Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Hãy tưởng tượng một chiếc thuyền đang nỗ lực chèo thẳng sang bờ bên kia của một con sông với vận tốc $4\text{ m/s}$, trong khi dòng nước chảy xiết cuốn ngang chiếc thuyền với vận tốc $3\text{ m/s}$.
Chiếc thuyền sẽ di chuyển theo hướng nào và với tốc độ thực tế là bao nhiêu?

• Nếu cộng đại số thông thường: $4 + 3 = 7\text{ m/s}$? Sai hoàn toàn!
• Thực tế, chiếc thuyền bị đẩy trôi theo đường chéo với vận tốc $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ m/s}$!

Phép cộng trong thế giới vectơ không đơn thuần là phép cộng hai con số vô hướng. Nó là sự phối hợp đồng thời của cả độ lớn và phương hướng trong không gian.

Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá hai quy tắc hình học bất hủ: Quy tắc ba điểm (Tam giác) và Quy tắc hình bình hành, cùng kỹ thuật tính hiệu hai vectơ và các tính chất tuyệt đẹp về trung điểm và trọng tâm!

1. Sơ đồ tư duy toàn diện: Tổng và hiệu của hai vectơ

2. Khởi động: 5 câu hỏi phản xạ nhanh

1. Tổng $\vec{MN} + \vec{NP}$ bằng vectơ nào?
   Đáp án: Bằng $\vec{MP}$ (theo quy tắc ba điểm).
2. Hiệu $\vec{AB} - \vec{AC}$ bằng vectơ nào?
   Đáp án: Bằng $\vec{CB}$ (quy tắc trừ chung gốc $A$).
3. Vectơ đối của vectơ $\vec{EF}$ là gì?
   Đáp án: Là vectơ $-\vec{EF} = \vec{FE}$.
4. Hai lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ cùng có độ lớn 10 N tác dụng vào một chất điểm theo hai hướng vuông góc nhau. Hợp lực có độ lớn bằng bao nhiêu?
   Đáp án: Theo quy tắc hình bình hành (ở đây là hình vuông): $F = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \approx 14,14$ N.
5. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Tổng $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ bằng bao nhiêu?
   Đáp án: Bằng vectơ-không $\vec{0}$.

3. Lý thuyết trọng tâm

3.1. Tổng của hai vectơ & Quy tắc cộng

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ tùy ý, vẽ $\vec{AB} = \vec{a}$ và từ điểm $B$ vẽ $\vec{BC} = \vec{b}$.
Vectơ $\vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, ký hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$.

Quy tắc 1: Quy tắc ba điểm (Quy tắc tam giác)

Với ba điểm bất kỳ $A, B, C$, ta luôn có:

(Mẹo nhớ: Điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai, kết quả nối từ đầu mút đầu tiên đến đầu mút cuối cùng).

Quy tắc 2: Quy tắc hình bình hành

Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì:

(Mẹo nhớ: Tổng của hai vectơ chung gốc nằm trên hai cạnh kề của hình bình hành bằng vectơ đường chéo xuất phát từ gốc đó).

Các tính chất của phép cộng vectơ:

1. Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
2. Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
3. Tính chất cộng với vectơ-không: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$

3.2. Hiệu của hai vectơ & Quy tắc trừ

Vectơ đối:

• Vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, ký hiệu là $-\vec{a}$.
• Tổng của hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không:$$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$$
• Đặc biệt: $-\vec{AB} = \vec{BA}$ và $-\vec{0} = \vec{0}$.

Hiệu của hai vectơ:

• Hiệu của vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là tổng của $\vec{a}$ với vectơ đối của $\vec{b}$:$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$

Quy tắc trừ (Quy tắc chung gốc):

Với ba điểm bất kỳ $O, A, B$, ta luôn có:

hoặc:

(Mẹo nhớ: Hai vectơ chung gốc trừ nhau sẽ bằng vectơ nối từ ngọn của vectơ trừ sang ngọn của vectơ bị trừ).

3.3. Tính chất trung điểm và trọng tâm

Ghi nhớ

TÍNH CHẤT TRUNG ĐIỂM:
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi:

$$\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$$

Với mọi điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng, ta luôn có:

$$\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$$

Ghi nhớ

TÍNH CHẤT TRỌNG TÂM:
Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:

$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$$

Với mọi điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng, ta luôn có:

$$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$$

4. Widget tương tác: Mô phỏng Cộng Vectơ & Hình Bình Hành Hợp Lực

Kéo các điểm ngọn của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ để quan sát vectơ tổng $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ tự động cập nhật theo quy tắc hình bình hành:

<div style="background: #f8fafc; border: 1px solid #cbd5e1; border-radius: 12px; padding: 20px; margin: 24px 0; font-family: system-ui, sans-serif;">
  <div style="display: flex; justify-content: space-between; align-items: center; flex-wrap: wrap; gap: 10px; margin-bottom: 16px;">
    <h3 style="margin: 0; font-size: 1.15rem; color: #1e293b;">⚡ Mô Phỏng Hợp Lực Hình Bình Hành</h3>
    <span style="font-size: 0.85rem; color: #475569; background: #e2e8f0; padding: 4px 8px; border-radius: 4px;">Kéo đầu mút của vectơ u (xanh) hoặc v (đỏ)</span>
  </div>

  <div style="display: grid; grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(290px, 1fr)); gap: 20px; align-items: center;">
    <!-- Interactive Canvas SVG -->
    <div style="background: white; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 8px; padding: 10px; text-align: center;">
      <svg data-interactive-done="true" id="addVecSvg" viewBox="0 0 320 240" style="width: 100%; max-width: 340px; height: auto; touch-action: none; cursor: crosshair;">
        <defs>
          <marker id="arrU" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto-start-reverse">
            <path d="M 0 1 L 10 5 L 0 9 z" fill="#2563eb" />
          </marker>
          <marker id="arrV" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto-start-reverse">
            <path d="M 0 1 L 10 5 L 0 9 z" fill="#dc2626" />
          </marker>
          <marker id="arrW" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto-start-reverse">
            <path d="M 0 1 L 10 5 L 0 9 z" fill="#16a34a" />
          </marker>
        </defs>

        <!-- Parallelogram dotted edges -->
        <polygon id="paraPoly" points="50,190 170,190 250,70 130,70" fill="#f0fdf4" fill-opacity="0.4" stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="4,4" />

        <!-- Vector u (from O to U) -->
        <line id="lineU" x1="50" y1="190" x2="170" y2="190" stroke="#2563eb" stroke-width="3" marker-end="url(#arrU)" />
        <!-- Vector v (from O to V) -->
        <line id="lineV" x1="50" y1="190" x2="130" y2="70" stroke="#dc2626" stroke-width="3" marker-end="url(#arrV)" />
        <!-- Sum Vector w = u + v (diagonal) -->
        <line id="lineW" x1="50" y1="190" x2="250" y2="70" stroke="#16a34a" stroke-width="3.5" marker-end="url(#arrW)" />

        <!-- Origin O -->
        <circle cx="50" cy="190" r="5" fill="#0f172a" />
        <text x="36" y="205" font-size="12" font-weight="bold" fill="#0f172a">O</text>

        <!-- Handle U -->
        <circle id="hU" cx="170" cy="190" r="7" fill="#2563eb" style="cursor: move;" />
        <text id="lblU" x="175" y="205" font-size="12" font-weight="bold" fill="#2563eb">u</text>

        <!-- Handle V -->
        <circle id="hV" cx="130" cy="70" r="7" fill="#dc2626" style="cursor: move;" />
        <text id="lblV" x="120" y="60" font-size="12" font-weight="bold" fill="#dc2626">v</text>

        <!-- Handle W (Sum) -->
        <circle id="hW" cx="250" cy="70" r="5" fill="#16a34a" />
        <text id="lblW" x="255" y="65" font-size="13" font-weight="bold" fill="#16a34a">w = u + v</text>
      </svg>
    </div>

    <!-- Live Metrics Table -->
    <div style="background: white; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 8px; padding: 14px;">
      <div style="font-weight: 700; font-size: 0.95rem; color: #1e293b; margin-bottom: 8px;">Thông số đo đạc lực tổng hợp:</div>
      <table style="width: 100%; font-size: 0.85rem; border-collapse: collapse;">
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #2563eb; font-weight: 600;">Độ lớn lực |u|:</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; text-align: right;" id="valLenU">120.0 N</td>
        </tr>
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #dc2626; font-weight: 600;">Độ lớn lực |v|:</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; text-align: right;" id="valLenV">144.2 N</td>
        </tr>
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #475569;">Góc giữa hai lực (u, v):</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; text-align: right;" id="valAngUV">56°</td>
        </tr>
        <tr>
          <td style="padding: 4px 0; color: #16a34a; font-weight: 700; font-size: 0.95rem;">Hợp lực |u + v|:</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; color: #16a34a; font-size: 1.05rem; text-align: right;" id="valLenW">233.2 N</td>
        </tr>
      </table>

      <div style="margin-top: 10px; background: #f0fdf4; border-left: 3px solid #16a34a; padding: 8px; border-radius: 4px; font-size: 0.8rem; color: #166534; line-height: 1.4;">
        • <strong>Định luật hình bình hành:</strong> Đường chéo màu xanh lá thể hiện hợp lực tổng hợp $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.<br>
        • Công thức độ lớn: $|\vec{w}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u}, \vec{v})$.
      </div>
    </div>
  </div>
</div>

<script>
(function() {
  const svg = document.getElementById('addVecSvg');
  const O = { x: 50, y: 190 };
  let ptU = { x: 170, y: 190 };
  let ptV = { x: 130, y: 70 };
  let activeHandle = null;

  function update() {
    const ux = ptU.x - O.x, uy = ptU.y - O.y;
    const vx = ptV.x - O.x, vy = ptV.y - O.y;
    const wx = ux + vx, wy = uy + vy;
    const ptW = { x: O.x + wx, y: O.y + wy };

    const lenU = Math.hypot(ux, uy);
    const lenV = Math.hypot(vx, vy);
    const lenW = Math.hypot(wx, wy);

    // Angle between u and v
    let dot = ux * vx + uy * vy;
    let cosAng = (lenU * lenV > 0) ? (dot / (lenU * lenV)) : 1;
    cosAng = Math.max(-1, Math.min(1, cosAng));
    const angDeg = Math.round(Math.acos(cosAng) * 180 / Math.PI);

    // SVG elements update
    document.getElementById('paraPoly').setAttribute('points', `${O.x},${O.y} ${ptU.x},${ptU.y} ${ptW.x},${ptW.y} ${ptV.x},${ptV.y}`);

    document.getElementById('lineU').setAttribute('x2', ptU.x);
    document.getElementById('lineU').setAttribute('y2', ptU.y);
    document.getElementById('hU').setAttribute('cx', ptU.x);
    document.getElementById('hU').setAttribute('cy', ptU.y);
    document.getElementById('lblU').setAttribute('x', ptU.x + 8);
    document.getElementById('lblU').setAttribute('y', ptU.y + 15);

    document.getElementById('lineV').setAttribute('x2', ptV.x);
    document.getElementById('lineV').setAttribute('y2', ptV.y);
    document.getElementById('hV').setAttribute('cx', ptV.x);
    document.getElementById('hV').setAttribute('cy', ptV.y);
    document.getElementById('lblV').setAttribute('x', ptV.x - 14);
    document.getElementById('lblV').setAttribute('y', ptV.y - 8);

    document.getElementById('lineW').setAttribute('x2', ptW.x);
    document.getElementById('lineW').setAttribute('y2', ptW.y);
    document.getElementById('hW').setAttribute('cx', ptW.x);
    document.getElementById('hW').setAttribute('cy', ptW.y);
    document.getElementById('lblW').setAttribute('x', ptW.x + 8);
    document.getElementById('lblW').setAttribute('y', ptW.y - 6);

    // Metrics text
    document.getElementById('valLenU').textContent = `${lenU.toFixed(1)} N`;
    document.getElementById('valLenV').textContent = `${lenV.toFixed(1)} N`;
    document.getElementById('valAngUV').textContent = `${angDeg}°`;
    document.getElementById('valLenW').textContent = `${lenW.toFixed(1)} N`;
  }

  function getCoords(e) {
    const rect = svg.getBoundingClientRect();
    const cx = e.clientX || (e.touches && e.touches[0].clientX);
    const cy = e.clientY || (e.touches && e.touches[0].clientY);
    return {
      x: (cx - rect.left) * (320 / rect.width),
      y: (cy - rect.top) * (240 / rect.height)
    };
  }

  document.getElementById('hU').addEventListener('mousedown', () => { activeHandle = 'U'; });
  document.getElementById('hU').addEventListener('touchstart', (e) => { e.preventDefault(); activeHandle = 'U'; }, { passive: false });
  document.getElementById('hV').addEventListener('mousedown', () => { activeHandle = 'V'; });
  document.getElementById('hV').addEventListener('touchstart', (e) => { e.preventDefault(); activeHandle = 'V'; }, { passive: false });

  window.addEventListener('mousemove', (e) => {
    if (!activeHandle) return;
    const p = getCoords(e);
    if (activeHandle === 'U') { ptU.x = Math.max(10, Math.min(310, p.x)); ptU.y = Math.max(10, Math.min(230, p.y)); }
    else { ptV.x = Math.max(10, Math.min(310, p.x)); ptV.y = Math.max(10, Math.min(230, p.y)); }
    update();
  });
  window.addEventListener('touchmove', (e) => {
    if (!activeHandle) return;
    e.preventDefault();
    const p = getCoords(e);
    if (activeHandle === 'U') { ptU.x = Math.max(10, Math.min(310, p.x)); ptU.y = Math.max(10, Math.min(230, p.y)); }
    else { ptV.x = Math.max(10, Math.min(310, p.x)); ptV.y = Math.max(10, Math.min(230, p.y)); }
    update();
  }, { passive: false });

  const endDrag = () => { activeHandle = null; };
  window.addEventListener('mouseup', endDrag);
  window.addEventListener('touchend', endDrag);

  update();
})();
</script>

5. Bốn dạng toán điển hình & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Rút gọn biểu thức vectơ bằng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành

Phương pháp:

• Nhóm các vectơ "nối đuôi" nhau: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
• Đổi dấu trừ thành cộng với vectơ đối: $-\vec{XY} = \vec{YX}$.
• Nhóm các vectơ chung gốc tạo thành đường chéo hình bình hành: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
• Sử dụng tính chất triệt tiêu của vectơ đối: $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Bài toán 1

Rút gọn các biểu thức vectơ sau:

1. $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BC} + \vec{DA}$
2. Cho 4 điểm tùy ý $A, B, C, D$. Rút gọn biểu thức $\vec{v} = \vec{AB} - \vec{AD} + \vec{CD} - \vec{CB}$.

Lời giải chi tiết:

1. Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vectơ:

   $$\vec{u} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DA})$$

   Áp dụng quy tắc ba điểm:

   $$\vec{u} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$$

   Vậy $\vec{u} = \vec{0}$.

2. Biến đổi biểu thức $\vec{v}$:

   • Áp dụng quy tắc trừ chung gốc: $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$.
   • Áp dụng quy tắc trừ chung gốc: $\vec{CD} - \vec{CB} = \vec{BD}$.
   • Do đó:$$\vec{v} = \vec{DB} + \vec{BD} = \vec{DD} = \vec{0}$$Vậy $\vec{v} = \vec{0}$.

Dạng 2: Tính độ dài của vectơ tổng và vectơ hiệu

Phương pháp:

1. Bước 1: Dựng và rút gọn vectơ tổng hoặc hiệu thành một vectơ duy nhất, ví dụ: $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (với $ABCD$ là hình bình hành).
2. Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng tương ứng bằng các định lí hình học (Pythagore, lượng giác, định lí côsin).

Bài toán 2

Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O$, cạnh $a$ và góc $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Tính độ dài của các vectơ sau:

1. $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AD}$
2. $\vec{v} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Lời giải chi tiết:

1. Tính độ dài $|\vec{u}| = |\vec{AB} + \vec{AD}|$:
   Vì $ABCD$ là hình thoi (cũng là hình bình hành) nên theo quy tắc hình bình hành:

   $$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$$

   Suy ra $|\vec{u}| = |\vec{AC}| = AC$.
   Vì hình thoi có cạnh $a$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$, tam giác $ABD$ là tam giác đều cạnh $a \Rightarrow BD = a$.
   Đoạn $OB = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}$.
   Tam giác $OAB$ vuông tại $O$, theo định lí Pythagore:

   $$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

   Độ dài đường chéo $AC = 2 \cdot OA = a\sqrt{3}$.
   Vậy $|\vec{u}| = a\sqrt{3}$.

2. Tính độ dài $|\vec{v}| = |\vec{AB} - \vec{AD}|$:
   Theo quy tắc trừ chung gốc:

   $$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$$

   Suy ra $|\vec{v}| = |\vec{DB}| = DB = a$.
   Vậy $|\vec{v}| = a$.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp:

• Biến đổi vế này thành vế kia: Chèn điểm thích hợp vào giữa bằng quy tắc ba điểm ($\vec{XY} = \vec{XO} + \vec{OY}$ hoặc $\vec{XY} = \vec{AY} - \vec{AX}$).
• Quy về tính chất trung điểm và trọng tâm:
  • $I$ là trung điểm $AB \iff \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$.
  • $G$ là trọng tâm $\triangle ABC \iff \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$.

Bài toán 3

Cho bốn điểm bất kỳ $A, B, C, D$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$.

1. Chứng minh rằng $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{IK}$.
2. Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $IK$. Chứng minh rằng $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}$.

Lời giải chi tiết:

1. Chứng minh $\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{IK}$:
   Chèn các điểm $I$ và $K$ vào các vectơ ở vế trái bằng quy tắc ba điểm:

   $$\vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IK} + \vec{KC}$$$$\vec{BD} = \vec{BI} + \vec{IK} + \vec{KD}$$

   Cộng hai đẳng thức vế theo vế:

   $$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AI} + \vec{BI}) + 2\vec{IK} + (\vec{KC} + \vec{KD})$$

   Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\vec{AI} + \vec{BI} = -(\vec{IA} + \vec{IB}) = \vec{0}$.
   Vì $K$ là trung điểm của $CD$ nên $\vec{KC} + \vec{KD} = \vec{0}$.
   Do đó:

   $$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{0} + 2\vec{IK} + \vec{0} = 2\vec{IK} \text{ (đpcm)}$$

2. Chứng minh $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}$:

   • Vì $I$ là trung điểm của $AB$, theo tính chất trung điểm với điểm $G$:$$\vec{GA} + \vec{GB} = 2\vec{GI}$$
   • Vì $K$ là trung điểm của $CD$, theo tính chất trung điểm với điểm $G$:$$\vec{GC} + \vec{GD} = 2\vec{GK}$$Cộng lại ta được:$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = 2(\vec{GI} + \vec{GK})$$Vì $G$ là trung điểm của $IK$ nên $\vec{GI} + \vec{GK} = \vec{0}$.
     Suy ra:$$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = 2 \cdot \vec{0} = \vec{0} \text{ (đpcm)}$$

Dạng 4: Bài toán hợp lực & Vận tốc trong thực tế

Phương pháp:

• Hợp lực của hai lực $\vec{F}_1, \vec{F}_2$ cùng tác dụng lên một vật là $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$.
• Dựng hình bình hành với hai cạnh là $\vec{F}_1, \vec{F}_2$. Độ lớn hợp lực:$$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}$$trong đó $\alpha$ là góc hợp bởi hai lực.

Bài toán 4

Hai con thuyền kéo một xà lan chở hàng trên sông bằng hai sợi dây cáp. Lực kéo của con thuyền thứ nhất có độ lớn $F_1 = 3000$ N, lực kéo của con thuyền thứ hai có độ lớn $F_2 = 4000$ N. Góc hợp bởi hai sợi dây cáp kéo là $\alpha = 60^\circ$.

1. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ tác dụng lên xà lan.
2. Nếu xà lan di chuyển đều theo phương của hợp lực $\vec{F}$ thì lực cản của nước tác dụng lên xà lan có độ lớn và hướng như thế nào?

Lời giải chi tiết:

1. Áp dụng công thức hợp lực hình bình hành:

   $$F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos 60^\circ$$$$F^2 = 3000^2 + 4000^2 + 2(3000)(4000) \cdot \frac{1}{2}$$$$F^2 = 9\,000\,000 + 16\,000\,000 + 12\,000\,000 = 37\,000\,000$$

   Suy ra:

   $$F = \sqrt{37\,000\,000} = 1000\sqrt{37} \approx 6082,76 \text{ (N)}$$

2. Khi xà lan chuyển động thẳng đều, theo định luật I Newton, tổng các lực tác dụng lên xà lan phải triệt tiêu lẫn nhau:

   $$\vec{F} + \vec{F}_{\text{cản}} = \vec{0} \iff \vec{F}_{\text{cản}} = -\vec{F}$$

   Vậy lực cản của nước có độ lớn bằng đúng 6082,76 N và ngược hướng hoàn toàn với hợp lực kéo $\vec{F}$.

6. Ứng dụng thực tế & Kỹ thuật hàng không - hàng hải

7. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra năng lực (10 câu)

8. Luyện tập tự do & Thử thách thực tế

Bài tập 1 (Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ)

Cho tam giác $ABC$. Hãy tìm điểm $K$ trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức:

Hướng dẫn giải:

• Nhóm $\vec{KA} + \vec{KC}$: Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$. Theo tính chất trung điểm, ta có:$$\vec{KA} + \vec{KC} = 2\vec{KM}$$
• Thay vào đẳng thức đã cho:$$2\vec{KM} + 2\vec{KB} = \vec{0} \iff 2(\vec{KM} + \vec{KB}) = \vec{0} \iff \vec{KM} + \vec{KB} = \vec{0}$$
• Đẳng thức này chứng tỏ điểm $K$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $BM$ (trong đó $M$ là trung điểm của $AC$).

Bài tập 2 (Vận tốc thuyền vượt sông thực tế)

Một ca nô vượt qua một khúc sông rộng 400 m. Mũi ca nô luôn hướng vuông góc với bờ sông và động cơ tạo ra vận tốc $v_{\text{cn}} = 12$ km/h so với dòng nước. Dòng nước chảy xuôi dòng với vận tốc $v_{\text{n}} = 5$ km/h.

1. Tính vận tốc thực tế của ca nô đối với hai bờ sông.
2. Hỏi sau bao lâu ca nô sang được bờ bên kia và điểm cập bến bị dòng nước cuốn trôi dạt xuôi dòng một khoảng bằng bao nhiêu mét so với điểm đối diện điểm xuất phát?

Hướng dẫn giải:

1. Vận tốc thực tế của ca nô là tổng vectơ: $\vec{v} = \vec{v}_{\text{cn}} + \vec{v}_{\text{n}}$.
   Vì mũi ca nô hướng vuông góc với bờ sông nên $\vec{v}_{\text{cn}} \perp \vec{v}_{\text{n}}$.
   Độ lớn vận tốc thực tế:$$v = \sqrt{v_{\text{cn}}^2 + v_{\text{n}}^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ (km/h)}$$
2. Thời gian sang sông chỉ phụ thuộc vào thành phần vận tốc vuông góc với bờ ($v_{\text{cn}} = 12$ km/h $= \frac{12}{3,6} = \frac{10}{3}$ m/s):$$t = \frac{d}{v_{\text{cn}}} = \frac{400}{\frac{10}{3}} = 120 \text{ (giây)} = 2 \text{ phút}$$Quãng đường ca nô bị dạt xuôi dòng trong 120 giây với vận tốc dòng nước $v_{\text{n}} = 5$ km/h $= \frac{5}{3,6}$ m/s:$$s_{\text{dạt}} = v_{\text{n}} \cdot t = \frac{5}{3,6} \cdot 120 \approx 166,7 \text{ (m)}$$Điểm cập bến bị dạt khoảng 166,7 mét.