Bài 7. Các khái niệm mở đầu về vectơ

Trong đời sống và khoa học tự nhiên, có những đại lượng ta chỉ cần dùng một con số kèm theo đơn vị đo là có thể mô tả trọn vẹn: nhiệt độ phòng là $28^\circ\text{C}$, khối lượng quả cân là $5\text{ kg}$, diện tích căn phòng là $30\text{ m}^2$. Các đại lượng này được gọi là đại lượng vô hướng (scalar).

Tuy nhiên, có vô vàn đại lượng vật lý quan trọng khác mà một con số đơn thuần là không đủ:

• Một chiếc máy bay bay với tốc độ $800\text{ km/h}$, nhưng bay về hướng bắc hay hướng nam?
• Bạn đẩy một chiếc hộp với lực $50\text{ N}$, nhưng đẩy sang trái hay sang phải, nâng lên hay ấn xuống?
• Cơn gió mạnh cấp 7 thổi dạt những con thuyền về phía bờ hay ra xa biển khơi?

Để mô tả đầy đủ những đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng xác định trong không gian, các nhà toán học và vật lý học đã khai sinh ra một khái niệm mang tính cách mạng: Vectơ (Vector).

1. Sơ đồ tư duy: Các khái niệm mở đầu về vectơ

2. Khởi động: 5 câu hỏi phản xạ nhanh

1. Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BA}$ có bằng nhau không?
   Đáp án: Không! Chúng có cùng độ dài $|\vec{AB}| = |\vec{BA}| = AB$, nhưng ngược hướng nhau (chúng là hai vectơ đối nhau).
2. Nếu hai vectơ có giá cắt nhau thì chúng có cùng phương không?
   Đáp án: Không, hai vectơ chỉ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
3. Hình bình hành $ABCD$ có những cặp vectơ nào bằng nhau tạo bởi các cạnh?
   Đáp án: $\vec{AB} = \vec{DC}$ và $\vec{AD} = \vec{BC}$ (cùng hướng và cùng độ dài).
4. Vectơ-không có phương và hướng như thế nào?
   Đáp án: Theo quy ước, vectơ $\vec{0}$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
5. Cho 3 điểm phân biệt $A, B, C$. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương là gì?
   Đáp án: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng (vì hai đường thẳng $AB$ và $AC$ cùng đi qua điểm $A$ nên phải trùng nhau).

3. Lý thuyết trọng tâm

3.1. Khái niệm vectơ

• Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu (gốc) và điểm nào là điểm cuối (ngọn).
• Ký hiệu:
  • Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ được ký hiệu là $\vec{AB}$, vẽ bằng đoạn thẳng nối từ $A$ đến $B$ và có mũi tên ở đầu mút $B$.
  • Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, vectơ còn được ký hiệu bằng các chữ cái in thường có mũi tên: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}, \vec{v}, \dots$
• Độ dài của vectơ:
  Độ dài của vectơ $\vec{AB}$ là khoảng cách giữa điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$, ký hiệu là $|\vec{AB}|$.
  Như vậy: $|\vec{AB}| = AB$. Độ dài của vectơ luôn là một số thực không âm.

3.2. Phương và hướng của vectơ

• Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
  (Ví dụ: Đường thẳng $AB$ là giá của vectơ $\vec{AB}$).
• Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hướng của vectơ: Đối với hai vectơ cùng phương, chúng chỉ có thể:
  • Hoặc cùng hướng (mũi tên chỉ về cùng một phía).
  • Hoặc ngược hướng (mũi tên chỉ về hai phía trái ngược nhau).

Lưu ý / Cảnh báo

Hai vectơ chỉ có thể so sánh về hướng (cùng hướng hay ngược hướng) khi chúng đã cùng phương. Nếu hai vectơ không cùng phương thì ta không xét hướng của chúng.

3.3. Hai vectơ bằng nhau & Hai vectơ đối nhau

• Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.$$\vec{a} = \vec{b} \iff \left\{\begin{array}{l} \vec{a} \text{ cung huong voi } \vec{b} \\ |\vec{a}| = |\vec{b}| \end{array}\right.$$
• Đặc trưng hình bình hành:
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi:$$\vec{AB} = \vec{DC} \quad (\text{hoac } \vec{AD} = \vec{BC})$$

Ghi nhớ

Tính chất dời vectơ tự do:
Cho trước một vectơ $\vec{a}$ và một điểm $O$ bất kỳ trong mặt phẳng, luôn luôn tìm được duy nhất một điểm $M$ sao cho $\vec{OM} = \vec{a}$.

• Vectơ-không ($\vec{0}$):
  Là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ: $\vec{AA}, \vec{BB}$.
  • Ký hiệu: $\vec{0}$.
  • Độ dài: $|\vec{0}| = 0$.
  • Quy ước: Vectơ $\vec{0}$ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

4. Widget tương tác: Khám phá Phương, Hướng & Bằng nhau của Vectơ

Kéo điểm đầu $A$ hoặc điểm cuối $B$ của vectơ $\vec{u} = \vec{AB}$ và quan sát độ dài, phương, hướng cùng các vectơ đối chứng:

<div style="background: #f8fafc; border: 1px solid #cbd5e1; border-radius: 12px; padding: 20px; margin: 24px 0; font-family: system-ui, sans-serif;">
  <div style="display: flex; justify-content: space-between; align-items: center; flex-wrap: wrap; gap: 10px; margin-bottom: 16px;">
    <h3 style="margin: 0; font-size: 1.15rem; color: #1e293b;">🏹 Phòng Thí Nghiệm Động Học Vectơ</h3>
    <span style="font-size: 0.85rem; color: #475569; background: #e2e8f0; padding: 4px 8px; border-radius: 4px;">Kéo điểm đầu A hoặc điểm cuối B</span>
  </div>

  <div style="display: grid; grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(290px, 1fr)); gap: 20px; align-items: center;">
    <!-- Interactive Vector SVG Canvas -->
    <div style="background: white; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 8px; padding: 10px; text-align: center;">
      <svg data-interactive-done="true" id="vecSvg" viewBox="0 0 320 220" style="width: 100%; max-width: 340px; height: auto; touch-action: none; cursor: crosshair; background: #ffffff;">
        <defs>
          <marker id="arrowBlue" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto-start-reverse">
            <path d="M 0 1 L 10 5 L 0 9 z" fill="#2563eb" />
          </marker>
          <marker id="arrowGreen" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto-start-reverse">
            <path d="M 0 1 L 10 5 L 0 9 z" fill="#16a34a" />
          </marker>
          <marker id="arrowRed" viewBox="0 0 10 10" refX="8" refY="5" markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto-start-reverse">
            <path d="M 0 1 L 10 5 L 0 9 z" fill="#dc2626" />
          </marker>
        </defs>

        <!-- Grid lines -->
        <g stroke="#f1f5f9" stroke-width="1">
          <line x1="20" y1="0" x2="20" y2="220" /><line x1="60" y1="0" x2="60" y2="220" /><line x1="100" y1="0" x2="100" y2="220" />
          <line x1="140" y1="0" x2="140" y2="220" /><line x1="180" y1="0" x2="180" y2="220" /><line x1="220" y1="0" x2="220" y2="220" />
          <line x1="260" y1="0" x2="260" y2="220" /><line x1="300" y1="0" x2="300" y2="220" />
          <line x1="0" y1="30" x2="320" y2="30" /><line x1="0" y1="70" x2="320" y2="70" /><line x1="0" y1="110" x2="320" y2="110" />
          <line x1="0" y1="150" x2="320" y2="150" /><line x1="0" y1="190" x2="320" y2="190" />
        </g>

        <!-- Line of action (Giá của vectơ AB) -->
        <line id="lineAction" x1="0" y1="0" x2="320" y2="220" stroke="#cbd5e1" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4,4" />

        <!-- Reference equal vector CD (cùng hướng, cùng độ dài) -->
        <line id="vecCD" x1="60" y1="160" x2="180" y2="160" stroke="#16a34a" stroke-width="2.5" marker-end="url(#arrowGreen)" stroke-dasharray="2,2" />
        <text id="txtCD" x="120" y="180" font-size="10" font-weight="bold" fill="#16a34a">Vectơ bằng: v = u</text>

        <!-- Main vector AB -->
        <line id="vecAB" x1="60" y1="80" x2="180" y2="80" stroke="#2563eb" stroke-width="3" marker-end="url(#arrowBlue)" />

        <!-- Handles A and B -->
        <circle id="hA" cx="60" cy="80" r="7" fill="#1e40af" style="cursor: move;" />
        <circle id="hB" cx="180" cy="80" r="7" fill="#dc2626" style="cursor: move;" />

        <text id="lblA" x="48" y="75" font-size="12" font-weight="bold" fill="#1e40af">A</text>
        <text id="lblB" x="190" y="75" font-size="12" font-weight="bold" fill="#dc2626">B</text>
      </svg>
    </div>

    <!-- Live Inspector -->
    <div style="background: white; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 8px; padding: 14px;">
      <div style="font-weight: 700; font-size: 0.95rem; color: #1e293b; margin-bottom: 8px;">Thông số hình học của vectơ:</div>
      <table style="width: 100%; font-size: 0.85rem; border-collapse: collapse;">
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #64748b;">Điểm đầu A:</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; text-align: right;" id="statA">(60; 80)</td>
        </tr>
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #64748b;">Điểm cuối B:</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; text-align: right;" id="statB">(180; 80)</td>
        </tr>
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #64748b;">Độ dài |AB|:</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; color: #2563eb; text-align: right;" id="statLen">120 px</td>
        </tr>
        <tr style="border-bottom: 1px solid #f1f5f9;">
          <td style="padding: 4px 0; color: #64748b;">Góc nghiêng (Phương):</td>
          <td style="padding: 4px 0; font-weight: bold; color: #475569; text-align: right;" id="statAngle">0° (Nằm ngang)</td>
        </tr>
      </table>

      <div id="inspectorNotice" style="margin-top: 10px; background: #eff6ff; border-left: 3px solid #3b82f6; padding: 8px; border-radius: 4px; font-size: 0.8rem; color: #1e40af; line-height: 1.4;">
        • Đường đứt đoạn màu xám thể hiện <strong>Giá của vectơ</strong>.<br>
        • Vectơ màu xanh lá cây $\vec{v}$ được tạo ra bằng cách tịnh tiến $\vec{u}$ $\Rightarrow \vec{v} = \vec{u}$ vì cùng hướng và cùng độ dài.
      </div>
    </div>
  </div>
</div>

<script>
(function() {
  const svg = document.getElementById('vecSvg');
  let ptA = { x: 70, y: 70 };
  let ptB = { x: 210, y: 70 };
  let activePoint = null;

  function update() {
    const dx = ptB.x - ptA.x;
    const dy = ptB.y - ptA.y;
    const len = Math.hypot(dx, dy);
    let ang = Math.atan2(dy, dx) * 180 / Math.PI;

    // Line of action extends across svg
    const lineAct = document.getElementById('lineAction');
    if (len > 2) {
      const udx = dx / len;
      const udy = dy / len;
      lineAct.setAttribute('x1', ptA.x - udx * 200);
      lineAct.setAttribute('y1', ptA.y - udy * 200);
      lineAct.setAttribute('x2', ptB.x + udx * 200);
      lineAct.setAttribute('y2', ptB.y + udy * 200);
    }

    // Main vector AB
    const vecAB = document.getElementById('vecAB');
    vecAB.setAttribute('x1', ptA.x);
    vecAB.setAttribute('y1', ptA.y);
    vecAB.setAttribute('x2', ptB.x);
    vecAB.setAttribute('y2', ptB.y);

    document.getElementById('hA').setAttribute('cx', ptA.x);
    document.getElementById('hA').setAttribute('cy', ptA.y);
    document.getElementById('lblA').setAttribute('x', ptA.x - 12);
    document.getElementById('lblA').setAttribute('y', ptA.y - 10);

    document.getElementById('hB').setAttribute('cx', ptB.x);
    document.getElementById('hB').setAttribute('cy', ptB.y);
    document.getElementById('lblB').setAttribute('x', ptB.x + 12);
    document.getElementById('lblB').setAttribute('y', ptB.y - 10);

    // Parallel equal vector CD: placed lower
    const cX = 60, cY = 160;
    const vecCD = document.getElementById('vecCD');
    vecCD.setAttribute('x1', cX);
    vecCD.setAttribute('y1', cY);
    vecCD.setAttribute('x2', cX + dx);
    vecCD.setAttribute('y2', cY + dy);
    document.getElementById('txtCD').setAttribute('x', cX + dx/2);
    document.getElementById('txtCD').setAttribute('y', cY + dy/2 + 16);

    // Inspector texts
    document.getElementById('statA').textContent = `(${Math.round(ptA.x)}; ${Math.round(ptA.y)})`;
    document.getElementById('statB').textContent = `(${Math.round(ptB.x)}; ${Math.round(ptB.y)})`;
    document.getElementById('statLen').textContent = `${len.toFixed(1)} px`;
    document.getElementById('statAngle').textContent = `${Math.round(ang)}°`;
  }

  function getCoords(e) {
    const rect = svg.getBoundingClientRect();
    const cx = e.clientX || (e.touches && e.touches[0].clientX);
    const cy = e.clientY || (e.touches && e.touches[0].clientY);
    return {
      x: (cx - rect.left) * (320 / rect.width),
      y: (cy - rect.top) * (220 / rect.height)
    };
  }

  document.getElementById('hA').addEventListener('mousedown', () => { activePoint = 'A'; });
  document.getElementById('hA').addEventListener('touchstart', (e) => { e.preventDefault(); activePoint = 'A'; }, { passive: false });
  document.getElementById('hB').addEventListener('mousedown', () => { activePoint = 'B'; });
  document.getElementById('hB').addEventListener('touchstart', (e) => { e.preventDefault(); activePoint = 'B'; }, { passive: false });

  window.addEventListener('mousemove', (e) => {
    if (!activePoint) return;
    const p = getCoords(e);
    if (activePoint === 'A') { ptA.x = p.x; ptA.y = p.y; }
    else { ptB.x = p.x; ptB.y = p.y; }
    update();
  });
  window.addEventListener('touchmove', (e) => {
    if (!activePoint) return;
    e.preventDefault();
    const p = getCoords(e);
    if (activePoint === 'A') { ptA.x = p.x; ptA.y = p.y; }
    else { ptB.x = p.x; ptB.y = p.y; }
    update();
  }, { passive: false });

  const endDrag = () => { activePoint = null; };
  window.addEventListener('mouseup', endDrag);
  window.addEventListener('touchend', endDrag);

  update();
})();
</script>

5. Bốn dạng toán điển hình & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Xác định điểm đầu, điểm cuối và đếm số lượng vectơ tạo thành

Phương pháp:

• Cho $n$ điểm phân biệt ($n \ge 2$). Số đoạn thẳng tạo thành là $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$.
• Với mỗi đoạn thẳng $AB$, ta có đúng 2 vectơ khác vectơ-không có hướng ngược nhau là $\vec{AB}$ và $\vec{BA}$.
• Do đó số vectơ khác vectơ-không tạo thành từ $n$ điểm phân biệt là:$$A_n^2 = n(n - 1)$$
• Nếu tính cả các vectơ-không thì có thêm $n$ vectơ dạng $\vec{AA}_i$.

Bài toán 1

Cho 5 điểm phân biệt $A, B, C, D, E$ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

1. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 5 điểm trên?
2. Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là điểm $A$?

Lời giải chi tiết:

1. Số cách chọn điểm đầu từ 5 điểm là $5$ cách.
   Sau khi đã chọn điểm đầu, số cách chọn điểm cuối khác với điểm đầu là $4$ cách.
   Số vectơ khác vectơ-không tạo thành là:

   $$5 \times 4 = 20 \text{ (vectơ)}$$

2. Để vectơ có điểm đầu là $A$ và khác vectơ-không, điểm cuối chỉ có thể là một trong 4 điểm $B, C, D, E$.
   Vậy có tất cả 4 vectơ thỏa mãn: $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}, \vec{AE}$.

Dạng 2: Chứng minh hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng

Phương pháp:

• Hai vectơ cùng phương $\iff$ Giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng hướng $\iff$ Chúng cùng phương và mũi tên chỉ cùng chiều.
• Để chứng minh 3 điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng: Chứng minh hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Bài toán 2

Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy là $AB$ và $CD$ thỏa mãn $CD = 2AB$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.

1. Chỉ ra các cặp vectơ cùng hướng với vectơ $\vec{AB}$.
2. Chỉ ra các cặp vectơ ngược hướng với vectơ $\vec{AB}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình thang có đáy $AB$ và $CD$, và $MN$ là đường trung bình của hình thang nên:

Do đó tất cả các vectơ có giá nằm trên các đường thẳng $AB, MN, CD$ đều cùng phương với nhau.

1. Các vectơ cùng hướng với $\vec{AB}$:

   • Vectơ $\vec{DC}$ (có chiều từ trái sang phải giống $\vec{AB}$).
   • Vectơ $\vec{MN}$ (có chiều từ trái sang phải giống $\vec{AB}$).

2. Các vectơ ngược hướng với $\vec{AB}$:

   • Vectơ $\vec{BA}$ (ngược chiều từ phải sang trái).
   • Vectơ $\vec{CD}$ (ngược chiều từ phải sang trái).
   • Vectơ $\vec{NM}$ (ngược chiều từ phải sang trái).

Dạng 3: Tìm các vectơ bằng nhau trong hình học phẳng

Phương pháp:

• Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
• Thường khai thác các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông hoặc tính chất trung điểm, đoạn thẳng nối tâm đối xứng.

Bài toán 3

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$ (giao điểm của hai đường chéo).

1. Tìm các vectơ bằng với vectơ $\vec{AB}$.
2. Tìm các vectơ bằng với vectơ $\vec{OA}$.

Lời giải chi tiết:

1. Tìm các vectơ bằng $\vec{AB}$:
   Trong hình bình hành $ABCD$, cạnh $AB$ song song và bằng cạnh $DC$.
   Vectơ $\vec{DC}$ có cùng hướng với $\vec{AB}$ và có độ dài $|\vec{DC}| = DC = AB = |\vec{AB}|$.
   Do đó:

   $$\vec{AB} = \vec{DC}$$

2. Tìm các vectơ bằng $\vec{OA}$:
   Vì $O$ là trung điểm của đường chéo $AC$, nên đoạn $CO = OA$.
   Hướng của vectơ $\vec{OA}$ là hướng từ $O$ đến $A$.
   Vectơ $\vec{CO}$ cũng có hướng từ $C$ đến $O$ (trùng hướng với từ $O$ đến $A$) và có độ dài $|\vec{CO}| = CO = OA = |\vec{OA}|$.
   Do đó:

   $$\vec{OA} = \vec{CO}$$

Dạng 4: Tính độ dài của vectơ

Phương pháp:

• Độ dài của vectơ $\vec{AB}$ chính là độ dài hình học của đoạn thẳng $AB$: $|\vec{AB}| = AB$.
• Sử dụng các định lí hình học quen thuộc: Định lí Pythagore, hệ thức lượng trong tam giác, tỉ số lượng giác, định lí sin, côsin để tính độ dài đoạn thẳng.

Bài toán 4

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, $M$ là trung điểm của cạnh $CD$. Tính độ dài của các vectơ sau: $\vec{AC}, \vec{OB}, \vec{AM}$.

Lời giải chi tiết:

1. Độ dài vectơ $\vec{AC}$:
   Trong hình vuông $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Theo định lí Pythagore:

   $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

   Vậy $|\vec{AC}| = a\sqrt{2}$.

2. Độ dài vectơ $\vec{OB}$:
   Đoạn $OB$ là một nửa đường chéo $BD$. Vì $BD = AC = a\sqrt{2}$ nên:

   $$OB = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

   Vậy $|\vec{OB}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Độ dài vectơ $\vec{AM}$:
   Tam giác $ADM$ vuông tại $D$ có $AD = a$ và $DM = \frac{a}{2}$ (vì $M$ là trung điểm của $CD$).
   Theo định lí Pythagore:

   $$AM = \sqrt{AD^2 + DM^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

   Vậy $|\vec{AM}| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

6. Ứng dụng thực tế & Khoa học máy tính

7. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra năng lực (10 câu)

8. Luyện tập tự do & Thử thách thực tế

Bài tập 1 (Chứng minh tứ giác là hình bình hành)

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$.

1. Chứng minh rằng $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$ (về hướng và tỉ lệ độ dài).
2. Lấy điểm $P$ đối xứng với $M$ qua $N$. Chứng minh rằng $\vec{AP} = \vec{MB}$ và tứ giác $BMC P$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

1. Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, nên $MN \parallel BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$. Vì hai vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng từ trái sang phải, nên chúng cùng hướng và $|\vec{MN}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}|$.
2. Vì $P$ đối xứng với $M$ qua $N$ nên $N$ là trung điểm của $MP \Rightarrow MN = NP \Rightarrow MP = 2MN = BC$. Lại có $MP \parallel BC$ nên tứ giác $BCPM$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{MC} = \vec{BP}$. Mặt khác, trong tam giác $AMP$: $N$ là trung điểm $MP$ và $N$ là trung điểm $AC \Rightarrow$ tứ giác $AMCP$ là hình bình hành $\Rightarrow \vec{AP} = \vec{MC}$. Mà $M$ là trung điểm $AB \Rightarrow \vec{AM} = \vec{MB}$. Suy ra $\vec{AP} = \vec{MB}$.

Bài tập 2 (Vật lý - Hai lực cân bằng)

Một chiếc đèn trần trang trí có khối lượng $m = 4$ kg được treo đứng yên nhờ hai sợi dây cáp đối xứng $OA$ và $OB$ gắn vào trần nhà. Trọng lực tác dụng lên chiếc đèn được mô tả bởi vectơ $\vec{P}$ hướng thẳng đứng xuống dưới với độ lớn $P = mg = 4 \times 9,8 = 39,2$ N.
Hai lực căng dây được biểu diễn bởi hai vectơ $\vec{T}_1$ và $\vec{T}_2$.

1. Hãy giải thích tại sao tổng lực tác dụng lên chiếc đèn phải bằng vectơ-không $\vec{0}$.
2. Nếu hai dây cáp tạo với trần nhà một góc $\alpha = 45^\circ$, hãy tính độ lớn lực căng của mỗi sợi dây cáp.

Hướng dẫn giải:

1. Theo định luật I Newton, một vật ở trạng thái đứng yên cân bằng khi và chỉ khi hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên vật bằng vectơ-không:$$\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{P} = \vec{0}$$
2. Do tính chất đối xứng, độ lớn hai lực căng dây bằng nhau: $T_1 = T_2 = T$.
   Hợp lực của hai lực căng dây là $\vec{T}_{12} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2$ phải là một vectơ hướng thẳng đứng lên trên để triệt tiêu trọng lực $\vec{P}$, tức $|\vec{T}_{12}| = P = 39,2$ N.
   Chiếu lên phương thẳng đứng:$$2 \cdot T \cdot \sin 45^\circ = P \iff 2 \cdot T \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 39,2 \iff T\sqrt{2} = 39,2$$Suy ra:$$T = \frac{39,2}{\sqrt{2}} \approx 27,72 \text{ (N)}$$Lực căng mỗi sợi dây xấp xỉ 27,72 N.