Ôn tập Chương 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chương 2 đưa chúng ta từ đại số thuần túy sang thế giới của hình học giải tích và ứng dụng thực tiễn với công cụ Quy hoạch tuyến tính. Việc làm chủ kỹ năng biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng $Oxy$ và tìm cực trị tại đỉnh giúp các em giải quyết trọn vẹn các bài toán thực tế trong kinh tế, kinh doanh và đời sống.

1. Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm Chương 2

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Dạng: $ax + by \le c$ ( $<, \ge, >$ với $a^2 + b^2 \ne 0$
• Đường thẳng bờ $d: ax + by = c$
• Dấu $\le, \ge$ vẽ nét liền (kể cả bờ $d$
• Dấu $<, >$ vẽ nét đứt (không kể bờ $d$
• Dùng điểm thử $O(0; 0)$ để xác định nửa mặt phẳng nghiệm.

2. Hệ BPT bậc nhất hai ẩn

• Gồm hai hay nhiều BPT bậc nhất hai ẩn.
• Miền nghiệm là giao của các miền nghiệm thành phần.
• Thường tạo thành một miền đa giác (tam giác, tứ giác) lồi.
• Tọa độ các đỉnh là nghiệm của hệ phương trình hai đường biên giao nhau.

3. Quy hoạch tuyến tính (Tối ưu hóa)

• Hàm mục tiêu: $F(x, y) = ax + by$
• Định lý đỉnh: Nếu miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn thì GTLN và GTNN của $F(x, y)$ luôn đạt tại một trong các đỉnh của miền đa giác.
• Thuật toán: Tìm tọa độ tất cả các đỉnh $\to$ Tính $F$ tại từng đỉnh $\to$ So sánh để kết luận.

2. Ma trận đề kiểm tra 45 phút Chương 2 (Chuẩn cấu trúc Bộ GD&ĐT)

Tỉ lệ phân bổ: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm).

Chủ đề / Mạch kiến thức	Nhận biết	Thông hiểu	Vận dụng	Vận dụng cao	Tổng câu / Điểm
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3 TN (0,75đ)	2 TN (0,5đ)	1 TL (1,5đ)	-	5 TN + 1 TL (2,75đ)
2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2 TN (0,5đ)	3 TN (0,75đ)	1 TL (1,5đ)	-	5 TN + 1 TL (2,75đ)
3. Cực trị trên miền đa giác	1 TN (0,25đ)	1 TN (0,25đ)	1 TL (2,0đ)	-	2 TN + 1 TL (2,5đ)
4. Bài toán tối ưu hóa thực tế	-	-	-	1 TL (2,0đ)	1 TL (2,0đ)
Tổng điểm	1,5đ (15%)	1,5đ (15%)	5,0đ (50%)	2,0đ (20%)	10,0 điểm (100%)

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 bài toán)

Bài 1 (1,5 điểm - Mức độ Thông hiểu)

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

2x - 3y + 6 \ge 0

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (1,0 điểm)
Điểm $M(m; 2)$ có thuộc miền nghiệm của bất phương trình trên hay không nếu $m \ge 0$ (0,5 điểm)

Bài 2 (1,5 điểm - Mức độ Vận dụng)

Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

\left\{\begin{array}{l} x - y \le 0 \\ x + y \le 4 \\ x \ge 0 \end{array}\right.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (0,75 điểm)
Chứng minh miền nghiệm là một hình tam giác vuông cân và tính diện tích tam giác đó. (0,75 điểm)

Bài 3 (2,0 điểm - Mức độ Vận dụng)

Cho hệ bất phương trình ràng buộc:

\left\{\begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 8 \\ 3x + 2y \le 12 \end{array}\right.

Xác định tọa độ tất cả các đỉnh của miền nghiệm. (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = 5x + 4y$ trên miền nghiệm trên. (1,0 điểm)

Bài 4 (2,0 điểm - Mức độ Vận dụng cao)

Một hộ nông dân dự định trồng hai loại cây trên diện tích tối đa 8 héc-ta: Cà chua ( $x$ ha) và Bắp cải ( $y$ ha).

Để trồng 1 ha cà chua cần 20 ngày công và 15 triệu đồng vốn. Lợi nhuận thu về là 40 triệu đồng/ha.
Để trồng 1 ha bắp cải cần 30 ngày công và 10 triệu đồng vốn. Lợi nhuận thu về là 35 triệu đồng/ha.
Toàn bộ gia đình chỉ có thể cung ứng tối đa 180 ngày công và nguồn vốn tích lũy tối đa là 105 triệu đồng.

Hỏi gia đình nông dân nên phân bổ diện tích gieo trồng mỗi loại cây là bao nhiêu héc-ta để thu được tổng lợi nhuận cao nhất? Tổng lợi nhuận lớn nhất đó là bao nhiêu?

5. Lời giải chi tiết & Barem chấm điểm phần Tự luận

Hướng dẫn chấm Bài 1 (1,5 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Vẽ đường thẳng bờ $d: 2x - 3y + 6 = 0$ Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A(0; 2)$ Cho $y = 0 \Rightarrow x = -3 \Rightarrow B(-3; 0)$ Vẽ đường thẳng đi qua $A$ và $B$ bằng nét liền.	0,5đ
	- Chọn điểm thử $O(0; 0)$ Thay vào vế trái $2(0) - 3(0) + 6 = 6 \ge 0$ (khẳng định đúng). - Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc tọa độ $O(0; 0)$ kể cả bờ $d$ (Học sinh gạch đúng phần không thuộc miền nghiệm).	0,5đ
2	- Thay tọa độ $M(m; 2)$ vào vế trái BPT: $T = 2m - 3(2) + 6 = 2m - 6 + 6 = 2m$	0,25đ
	- Vì giả thiết cho $m \ge 0 \Rightarrow 2m \ge 0$ do đó $T \ge 0$ luôn đúng. Vậy với mọi $m \ge 0$ điểm $M(m; 2)$ luôn thuộc miền nghiệm.	0,25đ

Hướng dẫn chấm Bài 2 (1,5 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Vẽ ba đường thẳng bờ: + $d_1: x - y = 0$ (đường phân giác góc phần tư I và III). + $d_2: x + y = 4$ đi qua $(4; 0)$ và $(0; 4)$ + $d_3: x = 0$ (trục tung $Oy$ - Gạch các nửa mặt phẳng không thích hợp, miền nghiệm là tam giác $OAB$	0,75đ
2	- Tọa độ 3 đỉnh của tam giác: + Gốc tọa độ $O(0; 0)$ + Đỉnh $A$ Giao của $d_2$ với trục tung $x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A(0; 4)$ + Đỉnh $B$ Giao của $x - y = 0$ và $x + y = 4 \iff x = y = 2 \Rightarrow B(2; 2)$	0,25đ
	- Ta có $\vec{OA} = (0; 4) \Rightarrow OA = 4$ Khoảng cách từ $B(2; 2)$ đến trục $Oy$ ( $OA$ là $d(B, Oy) = \|x_B\| = 2$ Tam giác $OAB$ có đỉnh $B(2; 2)$ ta tính độ dài các cạnh: $OB^2 = 2^2 + 2^2 = 8$ $AB^2 = (2 - 0)^2 + (2 - 4)^2 = 8$ $OA^2 = 4^2 = 16$ Vì $OB^2 + AB^2 = 8 + 8 = 16 = OA^2$ và $OB = AB = 2\sqrt{2}$ nên tam giác $OAB$ vuông cân tại $B$ .	0,25đ
	- Diện tích tam giác vuông cân $OAB$ $S = \frac{1}{2} OB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \text{ (đơn vị diện tích)}$	0,25đ

Hướng dẫn chấm Bài 3 (2,0 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ nằm trong góc phần tư I ( $x \ge 0, y \ge 0$ + $O(0; 0)$ + Đỉnh $A$ Giao của $3x + 2y = 12$ với trục hoành ( $y = 0 \Rightarrow x = 4$ $\Rightarrow A(4; 0)$ + Đỉnh $C$ Giao của $x + 2y = 8$ với trục tung ( $x = 0 \Rightarrow y = 4$ $\Rightarrow C(0; 4)$	0,5đ
	- Đỉnh $B$ Giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 8$ và $3x + 2y = 12$ Trừ hai phương trình: $2x = 4 \iff x = 2$ Thay vào tìm $y = \frac{8 - 2}{2} = 3 \Rightarrow B(2; 3)$ Tọa độ 4 đỉnh là $O(0; 0), A(4; 0), B(2; 3), C(0; 4)$	0,5đ
2	- Tính giá trị của biểu thức $F(x, y) = 5x + 4y$ tại từng đỉnh: + Tại $O(0; 0)$ $F(O) = 5(0) + 4(0) = 0$ + Tại $A(4; 0)$ $F(A) = 5(4) + 4(0) = 20$ + Tại $B(2; 3)$ $F(B) = 5(2) + 4(3) = 10 + 12 = 22$ + Tại $C(0; 4)$ $F(C) = 5(0) + 4(4) = 16$	0,5đ
	- So sánh các giá trị: + Giá trị lớn nhất: $F_{\max} = 22$ đạt được tại $(x; y) = (2; 3)$ + Giá trị nhỏ nhất: $F_{\min} = 0$ đạt được tại gốc tọa độ $(x; y) = (0; 0)$	0,5đ

Hướng dẫn chấm Bài 4 (2,0 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Gọi $x \ge 0$ là diện tích trồng cà chua (ha), $y \ge 0$ là diện tích trồng bắp cải (ha). - Thiết lập các bất phương trình ràng buộc: + Tổng diện tích: $x + y \le 8$ + Giới hạn ngày công: $20x + 30y \le 180 \iff 2x + 3y \le 18$ + Giới hạn vốn tích lũy: $15x + 10y \le 105 \iff 3x + 2y \le 21$ + Ràng buộc không âm: $x \ge 0, y \ge 0$	0,5đ
2	- Xác định các đỉnh của miền nghiệm trên $Oxy$ Miền nghiệm là ngũ giác lồi $OABCD$ trong góc phần tư thứ nhất: + $O(0; 0)$ + $A(7; 0)$ Giao của $3x + 2y = 21$ với trục hoành ( $y = 0 \Rightarrow x = 7$ + $B$ Giao của $3x + 2y = 21$ và $x + y = 8 \Rightarrow x = 5, y = 3 \Rightarrow B(5; 3)$ (Kiểm tra ngày công: $2(5) + 3(3) = 19 > 18$ không thỏa mãn BPT ngày công, nên đường $x + y = 8$ nằm ngoài vùng cắt của hai đường kia). Xét giao của $3x + 2y = 21$ và $2x + 3y = 18$ Giải hệ: Nhân 3 vào PT 1, nhân 2 vào PT 2 $\Rightarrow 9x + 6y = 63$ và $4x + 6y = 36 \Rightarrow 5x = 27 \Rightarrow x = 5,4 \Rightarrow y = \frac{18 - 2(5,4)}{3} = 2,4.$ Kiểm tra diện tích: $5,4 + 2,4 = 7,8 \le 8$ (thỏa mãn!). Vậy đỉnh giao là $M(5,4; 2,4)$ + Đỉnh trên trục tung: Giao của $2x + 3y = 18$ với $Oy$ $\Rightarrow x = 0, y = 6 \Rightarrow D(0; 6)$	0,5đ
3	- Miền nghiệm là tứ giác $OAMD$ với 4 đỉnh: $O(0; 0), A(7; 0), M(5,4; 2,4), D(0; 6)$ - Hàm mục tiêu lợi nhuận (triệu đồng): $L(x, y) = 40x + 35y$ + Tại $O(0; 0)$ $L(O) = 0$ + Tại $A(7; 0)$ $L(A) = 40(7) + 35(0) = 280$ (triệu đồng). + Tại $M(5,4; 2,4)$ $L(M) = 40(5,4) + 35(2,4) = 216 + 84 = 300$ (triệu đồng). + Tại $D(0; 6)$ $L(D) = 40(0) + 35(6) = 210$ (triệu đồng).	0,5đ
4	- So sánh các giá trị, ta thấy lợi nhuận lớn nhất là 300 triệu đồng. - Kết luận thực tiễn: Gia đình nông dân nên trồng 5,4 ha cà chua và 2,4 ha bắp cải (tổng diện tích sử dụng là 7,8 ha trong 8 ha cho phép) để đạt lợi nhuận tối đa là 300 triệu đồng.	0,5đ

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

Toán 10 Ôn tập Chương 2: Bất phương trình & Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn