Ôn tập Chương 1. Mệnh đề và tập hợp

Chương 1 là bước chuyển mình quan trọng của học sinh khi bước vào bậc THPT, trang bị bộ công cụ tư duy logic và ngôn ngữ tập hợp chuẩn mực của Toán học hiện đại.

Toàn bộ các định lý, phép chứng minh, điều kiện xác định và tập nghiệm sau này trong Đại số, Giải tích và Hình học đều sử dụng ngôn ngữ của Chương 1. Bài tổng ôn tập này giúp các em hệ thống hóa trọn vẹn kiến thức và thử sức với đề kiểm tra 45 phút chuẩn cấu trúc Bộ GD&ĐT.

1. Hệ thống hóa kiến thức: Sự tương ứng kỳ diệu giữa Logic và Tập hợp

Trong toán học hiện đại, Logic mệnh đề và Lý thuyết tập hợp là hai mặt của cùng một đồng xu (Đại số Boole). Nắm được bảng đối chiếu song hành này sẽ giúp các em không bao giờ bị nhầm lẫn giữa các khái niệm:

Logic Mệnh đề	Lý thuyết Tập hợp	Ý nghĩa kết nối
Mệnh đề $P$ đúng	$x \in A$	Phần tử $x$ thuộc tập thỏa mãn tính chất $P$
Mệnh đề phủ định $\overline{P}$	Phần bù $C_E A$ hoặc $A^c$	Phần tử không thỏa mãn tính chất $P$
Phép hội "VÀ" ( $P \land Q$	Phép giao $A \cap B$	Đồng thời thỏa mãn cả hai điều kiện
Phép tuyển "HOẶC" ( $P \lor Q$	Phép hợp $A \cup B$	Thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện
Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$	Quan hệ tập con $A \subset B$	Mọi đối tượng thỏa mãn $P$ đều thỏa mãn $Q$
Mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$	Hai tập hợp bằng nhau $A = B$	Hai tập hợp có cùng các phần tử
Mâu thuẫn (Mệnh đề luôn sai)	Tập hợp rỗng $\varnothing$	Không có phần tử nào thỏa mãn
Chân lý (Mệnh đề luôn đúng)	Tập vũ trụ $E$	Mọi phần tử trong phạm vi xét đều thỏa mãn

2. Ma trận đề kiểm tra 45 phút Chương 1 (Chuẩn cấu trúc Bộ GD&ĐT)

Đề kiểm tra được thiết kế theo tỉ lệ điểm: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm).

Chủ đề / Nội dung	Nhận biết	Thông hiểu	Vận dụng	Vận dụng cao	Tổng câu / Điểm
1. Mệnh đề, mệnh đề phủ định, $\forall, \exists$	3 TN (0,75đ)	2 TN (0,5đ)	1 TL (1,5đ)	-	5 TN + 1 TL (2,75đ)
2. Tập hợp, tập con, các phép toán tập rời rạc	2 TN (0,5đ)	2 TN (0,5đ)	1 TL (1,5đ)	-	4 TN + 1 TL (2,5đ)
3. Các tập con của $\mathbb{R}$ & phép toán khoảng đoạn	2 TN (0,5đ)	1 TN (0,25đ)	1 TL (2,0đ)	-	3 TN + 1 TL (2,75đ)
4. Bài toán thực tế / Tham số $m$ nâng cao	-	-	-	1 TL (2,0đ)	1 TL (2,0đ)
Tổng điểm	1,75đ (17,5%)	1,25đ (12,5%)	5,0đ (50,0%)	2,0đ (20,0%)	10,0 điểm (100%)

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống tự chấm bên dưới:

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 bài toán)

Bài 1 (1,5 điểm - Mức độ Thông hiểu)

Cho mệnh đề chứa biến $P(n): "n^2 + 1 \text{ chia hết cho } 5"$ với $n \in \mathbb{N}$

Kiểm tra chân trị của các mệnh đề $P(2), P(3)$ và $P(7)$ (0,75 điểm)
Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: " $\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ chia hết cho } 5$ " và cho biết mệnh đề phủ định đó đúng hay sai? Vì sao? (0,75 điểm)

Bài 2 (1,5 điểm - Mức độ Vận dụng)

Cho hai tập hợp sau:

A = \{x \in \mathbb{Z} \mid (x^2 - 16)(2x^2 - 7x + 3) = 0\}

B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ là ước nguyên dương của } 24\}

Viết các tập hợp $A$ và $B$ bằng cách liệt kê phần tử. (0,75 điểm)
Tìm các tập hợp $A \cap B$ $A \cup B$ $A \setminus B$ và $B \setminus A$ (0,75 điểm)

Bài 3 (2,0 điểm - Mức độ Vận dụng)

Cho các tập con của trục số thực $\mathbb{R}$

M = [-4; 3), \quad N = (1; 7], \quad P = (-\infty; 0]

Xác định và biểu diễn trên trục số các tập hợp: $M \cap N$ $M \cup N$ $M \setminus N$ (1,0 điểm)
Tìm tập hợp $(M \cap P) \cup (N \setminus P)$ (0,5 điểm)
Tìm phần bù $C_{\mathbb{R}}(M \cup N)$ (0,5 điểm)

Bài 4 (2,0 điểm - Mức độ Vận dụng cao)

(1,0 điểm) Cho hai tập hợp $A = [m - 2; m + 3]$ và $B = (-1; 6)$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \subset B$
(1,0 điểm) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, có 45 học sinh dự thi ít nhất một trong ba môn: Toán, Tin, Anh. Kết quả thống kê:
- 28 học sinh đạt giải môn Toán.
- 20 học sinh đạt giải môn Tin.
- 22 học sinh đạt giải môn Anh.
- 12 học sinh đạt giải cả hai môn Toán và Tin.
- 9 học sinh đạt giải cả hai môn Tin và Anh.
- 10 học sinh đạt giải cả hai môn Toán và Anh.
  Hỏi có bao nhiêu học sinh xuất sắc đạt giải ở cả ba môn thi?

5. Lời giải chi tiết & Barem chấm điểm phần Tự luận

Hướng dẫn chấm Bài 1 (1,5 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Với $n = 2$ $2^2 + 1 = 5 \ \vdots \ 5 \Rightarrow P(2)$ là mệnh đề Đúng.	0,25đ
	- Với $n = 3$ $3^2 + 1 = 10 \ \vdots \ 5 \Rightarrow P(3)$ là mệnh đề Đúng.	0,25đ
	- Với $n = 7$ $7^2 + 1 = 50 \ \vdots \ 5 \Rightarrow P(7)$ là mệnh đề Đúng.	0,25đ
2	- Mệnh đề phủ định là: " $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 \text{ khong chia het cho } 5$ ".	0,5đ
	- Mệnh đề phủ định này là Sai, vì đã chỉ ra được tồn tại $n = 2 \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $2^2 + 1 = 5 \ \vdots \ 5$	0,25đ

Hướng dẫn chấm Bài 2 (1,5 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Giải $(x^2 - 16)(2x^2 - 7x + 3) = 0 \iff x^2 = 16$ hoặc $2x^2 - 7x + 3 = 0$ + $x = \pm 4 \in \mathbb{Z}$ + $x = 3 \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ (loại). Suy ra $A = \{-4; 3; 4\}$	0,5đ
	- Ước nguyên dương của 24: $B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}$	0,25đ
2	- $A \cap B = \{3; 4\}$	0,25đ
	- $A \cup B = \{-4; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}$	0,25đ
	- $A \setminus B = \{-4\}$ và $B \setminus A = \{1; 2; 6; 8; 12; 24\}$	0,25đ

Hướng dẫn chấm Bài 3 (2,0 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- $M = [-4; 3)$ và $N = (1; 7]$ + Giao $M \cap N = (1; 3)$ + Hợp $M \cup N = [-4; 7]$ + Hiệu $M \setminus N = [-4; 1]$ (Lưu ý điểm $1 \notin N$ nên thuộc $M \setminus N$ lấy ngoặc vuông). Học sinh vẽ đúng trục số biểu diễn.	1,0đ
2	- Ta có $P = (-\infty; 0]$ + $M \cap P = [-4; 3) \cap (-\infty; 0] = [-4; 0]$ + $N \setminus P = (1; 7] \setminus (-\infty; 0] = (1; 7]$ + Suy ra $(M \cap P) \cup (N \setminus P) = [-4; 0] \cup (1; 7]$	0,5đ
3	- Ta có $M \cup N = [-4; 7]$ Suy ra phần bù $C_{\mathbb{R}}(M \cup N) = \mathbb{R} \setminus [-4; 7] = (-\infty; -4) \cup (7; +\infty).$	0,5đ

Hướng dẫn chấm Bài 4 (2,0 điểm)

Ý	Nội dung giải chi tiết	Điểm
1	- Để đoạn $A = [m - 2; m + 3]$ là tập con của khoảng $B = (-1; 6)$ điều kiện là: $\left\{\begin{array}{l} m - 2 > -1 \\ m + 3 < 6 \end{array}\right.$	0,5đ
	- Giải hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l} m > 1 \\ m < 3 \end{array}\right. \iff 1 < m < 3$ Kiểm tra mút: Tại $m = 1$ $A = [-1; 4] \not\subset (-1; 6)$ (vì $-1 \in A$ nhưng $-1 \notin B$ Tại $m = 3$ $A = [1; 6] \not\subset (-1; 6)$ (vì $6 \in A$ nhưng $6 \notin B$ Do đó không lấy dấu bằng. Kết luận: $m \in (1; 3)$	0,5đ
2	- Gọi $T, I, A$ lần lượt là tập hợp các học sinh đạt giải môn Toán, Tin, Anh. Theo giả thiết, cả 45 học sinh đều đạt giải ít nhất một môn, nên: $n(T \cup I \cup A) = 45$	0,25đ
	- Áp dụng công thức nguyên lý bao hàm - loại trừ cho ba tập hợp: $n(T \cup I \cup A) = n(T) + n(I) + n(A) - [n(T \cap I) + n(I \cap A) + n(A \cap T)] + n(T \cap I \cap A)$	0,25đ
	- Thay các số liệu vào công thức: $45 = 28 + 20 + 22 - (12 + 9 + 10) + n(T \cap I \cap A)$ $45 = 70 - 31 + n(T \cap I \cap A) \iff 45 = 39 + n(T \cap I \cap A)$	0,25đ
	- Suy ra: $n(T \cap I \cap A) = 45 - 39 = 6$ Vậy có đúng 6 học sinh đạt giải ở cả ba môn thi.	0,25đ

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

Toán 10 Ôn tập Chương 1: Mệnh đề và tập hợp - Hệ thống kiến thức & Đề kiểm tra