Ôn tập Chương 6. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Chương 6 là bản lề quan trọng của toàn bộ phần Đại số & Giải tích bậc THPT. Từ những khái niệm căn bản về hàm số, tính đơn điệu, các đặc trưng hình học của parabol cho đến kỹ thuật xét dấu tam thức bậc hai và giải phương trình chứa căn, chương học này cung cấp trọn bộ công cụ toán học để mô hình hóa thế giới thực. Bài tổng ôn tập này sẽ giúp các em hệ thống hóa toàn diện lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải đề kiểm tra 45 phút chuẩn cấu trúc Bộ GD&ĐT.

1. Bảng tra cứu toàn diện công thức Chương 6

2. Ma trận đề kiểm tra 45 phút Chương 6 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Tỉ lệ phân bổ: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm).

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 câu có thang điểm chi tiết)

Đề bài tự luận

Câu 1 (1,5 điểm - Vận dụng)

1. Tìm tập xác định của hàm số:$$y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x - 2} + \sqrt{5 - x}$$
2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x) = \frac{2}{x - 1}$ trên khoảng $(1; +\infty)$.

Câu 2 (1,5 điểm - Vận dụng)

Cho parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ có đồ thị đi qua điểm $A(0; 3)$ và có đỉnh là $I(2; -1)$.

1. Xác định các hệ số $a, b, c$.
2. Lập bảng biến thiên và vẽ parabol $(P)$ trong hệ trục tọa độ $Oxy$.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa tìm được trên đoạn $[1; 4]$.

Câu 3 (2,0 điểm - Vận dụng)

1. Giải bất phương trình bậc hai:$$\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 1} \ge 0$$
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực $x$:$$(m - 1)x^2 - 2(m - 1)x + 3m - 2 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$
3. Giải phương trình chứa căn thức:$$\sqrt{2x^2 - 5x + 1} = x - 1$$

Câu 4 (2,0 điểm - Vận dụng cao / Ứng dụng thực tế)

1. Bài toán kinh tế tối ưu: Một doanh nghiệp chuyên sản xuất thiết bị lọc nước gia đình bán sản phẩm với giá $p$ (triệu đồng/chiếc). Khảo sát thị trường cho thấy số lượng tiêu thụ hàng tháng $Q$ (chiếc) phụ thuộc vào giá bán theo hàm số:$$Q(p) = 240 - 20p \quad (2 \le p \le 11)$$Biết chi phí sản xuất cố định và vật tư cho mỗi chiếc máy lọc nước là $4\text{ triệu đồng}$.
   • Thiết lập hàm lợi nhuận hàng tháng $L(p)$ (triệu đồng) theo giá bán $p$.
   • Tìm mức giá bán $p$ để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cực đại. Lợi nhuận cực đại đó là bao nhiêu?
2. Kỹ thuật xây dựng: Một đường hầm xuyên núi được thiết kế có mặt cắt ngang là một parabol đỉnh quay lên trên. Chiều rộng mặt đường xe chạy tại chân hầm là $AB = 10\text{ m}$ và điểm cao nhất của vòm hầm cách mặt đường $h = 5\text{ m}$.
   • Thiết lập phương trình parabol trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ đặt tại trung điểm mặt đường $AB$.
   • Một chiếc xe container chở hàng siêu trường siêu trọng có chiều rộng thùng xe là $3,6\text{ m}$ và chiều cao $4,2\text{ m}$. Hỏi xe container này có thể đi qua an toàn ở chính giữa đường hầm mà không va chạm vào nóc vòm hay không?

Hướng dẫn chấm & Thang điểm chi tiết (Barem 0,25đ)

Lời giải Câu 1 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Điều kiện xác định của hàm số:$$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x - 2 \ne 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ne 2 \\ x \le 5 \end{cases}$$(0,5đ)
  • Kết hợp các điều kiện: $-3 \le x \le 5$ và $x \ne 2$. Vậy tập xác định là $D = [-3; 5] \setminus \{2\}$ (0,25đ).
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • Lấy tùy ý $x_1, x_2 \in (1; +\infty)$ với $x_1 < x_2$. Xét hiệu:$$f(x_2) - f(x_1) = \frac{2}{x_2 - 1} - \frac{2}{x_1 - 1} = \frac{2(x_1 - 1) - 2(x_2 - 1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} = \frac{-2(x_2 - x_1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)}$$(0,25đ)
  • Vì $x_1, x_2 > 1 \implies x_1 - 1 > 0$ và $x_2 - 1 > 0 \implies (x_2 - 1)(x_1 - 1) > 0$. Mặt khác $x_1 < x_2 \implies x_2 - x_1 > 0 \implies -2(x_2 - x_1) < 0$ (0,25đ).
  • Do đó $f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_2) < f(x_1)$. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$ (0,25đ).

Lời giải Câu 2 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Đồ thị đi qua $A(0; 3) \implies c = 3$ (0,25đ).
  • Đỉnh $I(2; -1)$:$$x_I = -\frac{b}{2a} = 2 \implies b = -4a$$Thay tọa độ $I(2; -1)$ vào phương trình:$$a(2^2) + b(2) + 3 = -1 \iff 4a + 2b = -4 \iff 4a + 2(-4a) = -4 \iff -4a = -4 \iff a = 1$$Suy ra $b = -4(1) = -4$ (0,25đ). Vậy parabol là $(P): y = x^2 - 4x + 3$.
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Bảng biến thiên: $a = 1 > 0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ và đồng biến trên $(2; +\infty)$. Giá trị cực tiểu tại đỉnh $I(2; -1)$ (0,25đ).
  • Đồ thị: Parabol có đỉnh $I(2; -1)$, trục đối xứng $x = 2$, cắt $Oy$ tại $(0; 3)$, cắt $Ox$ tại $x = 1$ và $x = 3$. Vẽ đồ thị chính xác (0,25đ).
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Xét trên đoạn $[1; 4]$: Hoành độ đỉnh $x_I = 2 \in [1; 4]$ (0,25đ).
  • Tính các giá trị: $f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$. $f(2) = -1$. $f(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 3$.
  • So sánh:$$\min_{[1; 4]} f(x) = f(2) = -1, \quad \max_{[1; 4]} f(x) = f(4) = 3$$(0,25đ)

Lời giải Câu 3 (2,0 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Bất phương trình $\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 1} \ge 0$. Tử thức $x^2 - 5x + 6 = 0 \iff x = 2$ hoặc $x = 3$. Mẫu thức $x + 1 = 0 \iff x = -1$ (điểm không xác định) (0,25đ).
  • Lập bảng xét dấu của vế trái:
    • Khi $x < -1$: Tử $> 0$, mẫu $< 0 \implies$ Vế trái $< 0$.
    • Khi $-1 < x < 2$: Tử $> 0$, mẫu $> 0 \implies$ Vế trái $> 0$.
    • Khi $2 < x < 3$: Tử $< 0$, mẫu $> 0 \implies$ Vế trái $< 0$.
    • Khi $x > 3$: Tử $> 0$, mẫu $> 0 \implies$ Vế trái $> 0$ (0,25đ).
  • Bất phương trình lấy dấu $\ge 0$, tập nghiệm là:$$S = (-1; 2] \cup [3; +\infty)$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • BPT $(m - 1)x^2 - 2(m - 1)x + 3m - 2 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \iff m = 1$. BPT trở thành $0x^2 - 0x + 3(1) - 2 > 0 \iff 1 > 0$ (luôn đúng với mọi $x$). Do đó $m = 1$ thỏa mãn (0,25đ). Trường hợp 2: $m - 1 \ne 0 \iff m \ne 1$. BPT nghiệm đúng với mọi $x \iff \begin{cases} a = m - 1 > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}$$$\Delta' = (m - 1)^2 - (m - 1)(3m - 2) = (m - 1)[(m - 1) - (3m - 2)] = (m - 1)(-2m + 1)$$$$\begin{cases} m > 1 \\ (m - 1)(-2m + 1) < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m > 1 \\ -2m + 1 < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m > 1 \\ m > \frac{1}{2} \end{cases} \iff m > 1$$(0,25đ).
  • Kết hợp hai trường hợp: $m \ge 1$ (0,25đ).
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Phương trình $\sqrt{2x^2 - 5x + 1} = x - 1$. Bình phương hai vế:$$2x^2 - 5x + 1 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$$$x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \iff x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3$$(0,25đ)
  • Thử lại vào phương trình ban đầu:
    • Với $x = 0$: Vế phải $= 0 - 1 = -1 < 0$ (Loại nghiệm ngoại lai).
    • Với $x = 3$: Vế trái $= \sqrt{2(9) - 5(3) + 1} = \sqrt{4} = 2$; Vế phải $= 3 - 1 = 2$ (Thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$ (0,25đ).

Lời giải Câu 4 (2,0 điểm)

• Ý 1 (1,0 điểm):
  • Chi phí sản xuất cho $Q$ sản phẩm: $C(p) = 4 \cdot Q(p) = 4(240 - 20p) = 960 - 80p$. Doanh thu: $R(p) = p \cdot Q(p) = p(240 - 20p) = -20p^2 + 240p$ (0,25đ).
  • Lợi nhuận hàng tháng:$$L(p) = R(p) - C(p) = (-20p^2 + 240p) - (960 - 80p) = -20p^2 + 320p - 960$$(0,25đ)
  • Hàm số $L(p)$ là hàm số bậc hai có $a = -20 < 0$, đạt cực đại tại đỉnh:$$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{320}{2(-20)} = 8\text{ triệu đồng/chiếc} \quad (\text{thỏa mãn } 2 \le p \le 11)$$(0,25đ)
  • Lợi nhuận cực đại:$$L_{max} = -20(8^2) + 320(8) - 960 = -1280 + 2560 - 960 = 320\text{ triệu đồng}$$(0,25đ)
• Ý 2 (1,0 điểm):
  • Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ tại trung điểm $AB$, trục tung $Oy$ hướng lên trên. Khi đó chân đường hầm $A(-5; 0)$ và $B(5; 0)$. Đỉnh vòm hầm tại $I(0; 5)$ (0,25đ).
  • Parabol có đỉnh $I(0; 5) \implies y = ax^2 + 5$. Parabol đi qua $B(5; 0) \implies a(5^2) + 5 = 0 \iff 25a = -5 \iff a = -\frac{1}{5} = -0,2$. Phương trình đường vòm hầm là:$$y = -0,2x^2 + 5$$(0,25đ)
  • Xe container có chiều rộng $3,6\text{ m}$. Khi đi chính giữa đường hầm, xe chiếm dải hoành độ từ $x = -1,8\text{ m}$ đến $x = 1,8\text{ m}$ (0,25đ). Điểm thấp nhất của nóc hầm trên phạm vi chiều rộng của xe là tại hai mép $x = \pm 1,8\text{ m}$:$$y_{\text{mep}} = -0,2(1,8)^2 + 5 = -0,2(3,24) + 5 = -0,648 + 5 = 4,352\text{ m}$$
  • So sánh với chiều cao xe: $h_{xe} = 4,2\text{ m} < y_{\text{mep}} = 4,352\text{ m}$. Khoảng tĩnh không còn dư: $4,352 - 4,2 = 0,152\text{ m} = 15,2\text{ cm} > 0$. Kết luận: Xe container có thể đi qua an toàn ở chính giữa hầm (0,25đ).

5. Kết luận & Chiến thuật làm bài thi Chương 6

Mẹo hay

1. Kiểm tra nghiệm ngoại lai bằng máy tính cầm tay: Khi giải phương trình chứa căn $\sqrt{f(x)} = g(x)$, sau khi bấm máy tính tìm ra các nghiệm của phương trình bậc hai sau bình phương, hãy dùng phím CALC nhập từng nghiệm vào biểu thức $\sqrt{f(x)} - g(x)$. Giá trị nào cho kết quả bằng 0 mới là nghiệm chính xác!
2. Luôn nhớ điều kiện $a \ne 0$: Trong các bài toán tìm tham số $m$ để tam thức $f(x)$ giữ dấu trên $\mathbb{R}$, nếu hệ số của $x^2$ có chứa $m$, bước đầu tiên bắt buộc phải xét riêng trường hợp hệ số đó bằng 0.