Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu như ở Bài 3, một bất phương trình bậc nhất hai ẩn giúp ta kiểm soát một ràng buộc đơn lẻ (chẳng hạn như giới hạn về ngân sách), thì trong thế giới thực, một doanh nghiệp hay một nhà hoạch định chính sách luôn phải đối mặt với hàng loạt ràng buộc cùng một lúc:

• Số lượng nguyên liệu A không được vượt quá kho chứa.
• Số giờ công lao động của công nhân có hạn.
• Sản lượng tối thiểu mỗi ngày phải đáp ứng hợp đồng đã ký.
• Yêu cầu bảo vệ môi trường giới hạn lượng khí thải phát ra.

Khi gom tất cả các điều kiện ràng buộc đó lại, chúng ta có một Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đặc biệt, Bài 4 sẽ mở ra cánh cửa dẫn đến một trong những nhánh toán học ứng dụng vĩ đại nhất của thế kỷ XX — Quy hoạch tuyến tính (Linear Programming) — công cụ đã mang lại Giải Nobel Kinh tế năm 1975 cho hai nhà toán học Leonid Kantorovich và Tjalling Koopmans nhờ phát minh phương pháp phân bổ tối ưu các nguồn lực kinh tế!

1. Sơ đồ tư duy toàn diện: Hệ BPT & Quy hoạch tuyến tính

2. Khởi động: 5 câu hỏi phản xạ nhanh

1. Cặp số $(1; 1)$ có là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l} x + y \le 3 \\ 2x - y \ge 0 \end{array}\right.$ không?
   Đáp án: Có, vì $1 + 1 = 2 \le 3$ (đúng) và $2(1) - 1 = 1 \ge 0$ (đúng). Cả hai BPT đều thỏa mãn.
2. Miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array}\right.$ trên mặt phẳng $Oxy$ là vùng nào?
   Đáp án: Góc phần tư thứ I của mặt phẳng tọa độ (kể cả hai tia $Ox$ và $Oy$).
3. Nếu một hệ BPT có miền nghiệm là một tam giác, ta cần tính giá trị hàm mục tiêu tại bao nhiêu điểm để tìm GTLN?
   Đáp án: Đúng 3 điểm (tọa độ 3 đỉnh của tam giác).
4. Hệ BPT $\left\{\begin{array}{l} x + y \le 2 \\ x + y \ge 5 \end{array}\right.$ có nghiệm không?
   Đáp án: Vô nghiệm, vì không có cặp số $(x; y)$ nào mà tổng $x + y$ vừa nhỏ hơn hoặc bằng 2 lại vừa lớn hơn hoặc bằng 5.
5. Đỉnh của miền đa giác nghiệm được xác định bằng cách nào?
   Đáp án: Giải hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng bờ tương ứng cắt nhau tại đỉnh đó.

3. Lý thuyết trọng tâm

3.1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Định nghĩa: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$. Mỗi bất phương trình trong hệ có dạng $ax + by \le c$ (hoặc $<, \ge, >$).
• Nghiệm của hệ: Cặp số $(x_0; y_0)$ là một nghiệm của hệ nếu nó đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ.
• Miền nghiệm: Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình thành phần.

3.2. Phương pháp biểu diễn miền nghiệm của hệ trên $Oxy$

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

1. Trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$, lần lượt vẽ các đường thẳng bờ của từng bất phương trình.
2. Với mỗi bất phương trình, xác định nửa mặt phẳng không phải là miền nghiệm (bằng phương pháp điểm thử) và gạch bỏ phần đó đi.
3. Phần mặt phẳng trắng (không bị gạch) cùng với các đoạn biên thích hợp chính là miền nghiệm cần tìm.

Lưu ý / Cảnh báo

Cần phân biệt rõ nét liền (được tính vào miền nghiệm) và nét đứt (không được tính vào miền nghiệm). Khi tính tọa độ đỉnh, nếu đỉnh nằm trên một đường nét đứt thì giá trị tại đỉnh đó không thể đạt được dưới dạng GTLN/GTNN thực sự (chỉ là cận trên/cận dưới).

3.3. Bài toán Quy hoạch tuyến tính & Định lý Cực trị tại Đỉnh

Trong thực tế sản xuất và quản trị, ta thường gặp bài toán:
Tìm cặp số $(x; y)$ thuộc miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho biểu thức mục tiêu:

đạt Giá trị Lớn Nhất (GTLN) hoặc Giá trị Nhỏ Nhất (GTNN).

Ghi nhớ

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH:
Nếu miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một đa giác lồi (tức là miền đa giác bị chặn, kể cả biên), thì hàm số $F(x, y) = ax + by$ luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại ít nhất một trong các đỉnh của miền đa giác đó.

Ý nghĩa trực quan hình học:

Đường thẳng mức $d_c: ax + by = c$ có phương không đổi với vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$. Khi hằng số $c$ tăng hoặc giảm, đường thẳng $d_c$ tịnh tiến song song với chính nó. Điểm cuối cùng mà đường thẳng $d_c$ còn chạm vào miền đa giác trước khi rời khỏi nó luôn luôn là một trong các đỉnh (hoặc cả một cạnh nối hai đỉnh nếu đường thẳng song song với cạnh đó).

4. Khảo sát trực quan: Điểm thuộc miền nghiệm & Giá trị hàm mục tiêu

Khảo sát hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn kinh điển: 85952\left{\begin{array}{l} x \ge 0, \ y \ge 0 \ x + y \le 6 \ 2x + y \le 8 \end{array}\right.85952 và hàm mục tiêu lợi nhuận: (x, y) = 3x + 2y$.

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác cố định $trên mặt phẳng tọa độ$ với các đỉnh: 85952O(0; 0), \quad A(4; 0), \quad B(2; 4), \quad C(0; 6)85952

Em hãy kéo rê điểm (x; y)$bên dưới (hoặc điều chỉnh thanh trượt , y$) để quan sát giá trị hàm mục tiêu (x, y) = 3x + 2y$thay đổi theo vị trí của điểm$:

5. Bốn dạng toán điển hình & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Kiểm tra điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm $(x_0; y_0)$ vào tất cả các bất phương trình trong hệ:

• Nếu tất cả các bất đẳng thức đều đúng, thì điểm thuộc miền nghiệm.
• Chỉ cần một bất đẳng thức sai, kết luận ngay điểm đó không thuộc miền nghiệm.

Bài toán 1

Cho hệ bất phương trình:

Kiểm tra xem các điểm sau có thuộc miền nghiệm của hệ không: $M(1; 2), N(3; 3), P(0; 4)$ và $Q(4; 2)$.

Lời giải chi tiết:

• Với điểm $M(1; 2)$:

  • $2(1) + 3(2) = 8 \le 12$ (Đúng).
  • $1 - 2 = -1 \ge -1$ (Đúng).
  • $1 \ge 0$ và $2 \ge 0$ (Đúng).
    Vì thỏa mãn cả 4 bất phương trình, $M(1; 2)$ thuộc miền nghiệm.

• Với điểm $N(3; 3)$:

  • $2(3) + 3(3) = 15 \le 12$ (Sai).
    Do vi phạm bất phương trình đầu tiên, $N(3; 3)$ không thuộc miền nghiệm.

• Với điểm $P(0; 4)$:

  • $2(0) + 3(4) = 12 \le 12$ (Đúng).
  • $0 - 4 = -4 \ge -1$ (Sai, vì $-4 < -1$).
    Do đó, $P(0; 4)$ không thuộc miền nghiệm.

• Với điểm $Q(4; 2)$:

  • $2(4) + 3(2) = 14 \le 12$ (Sai).
    Do đó, $Q(4; 2)$ không thuộc miền nghiệm.

Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm, xác định tọa độ đỉnh và tính diện tích đa giác

Phương pháp:

1. Vẽ các đường thẳng bờ trên cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
2. Gạch bỏ phần không thỏa mãn của từng bất phương trình.
3. Xác định tọa độ các đỉnh bằng cách giải các hệ phương trình giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng.
4. Chia miền đa giác thành các tam giác hoặc hình thang vuông để tính diện tích.

Bài toán 2

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

1. Xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm.
2. Tính diện tích của miền nghiệm đó.

Lời giải chi tiết:

1. Biểu diễn hình học & Tìm tọa độ các đỉnh:

   • Điều kiện $x \ge 0, y \ge 0$ giới hạn miền nghiệm trong góc phần tư thứ nhất.
   • Vẽ đường thẳng $d_1: x - y = 2$ đi qua $(2; 0)$ và $(0; -2)$. Miền nghiệm $x - y \le 2$ chứa điểm $O(0; 0)$ vì $0 - 0 = 0 \le 2$.
   • Vẽ đường thẳng $d_2: x + 2y = 8$ đi qua $(8; 0)$ và $(0; 4)$. Miền nghiệm $x + 2y \le 8$ chứa điểm $O(0; 0)$ vì $0 + 2(0) = 0 \le 8$.

   Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ với các đỉnh:

   • Gốc tọa độ: $O(0; 0)$.
   • Đỉnh $A$: Giao điểm của $d_1$ với trục hoành $y = 0 \Rightarrow x - 0 = 2 \Rightarrow A(2; 0)$.
   • Đỉnh $B$: Giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ:$$\left\{\begin{array}{l} x - y = 2 \\ x + 2y = 8 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} 3y = 6 \\ x = y + 2 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} y = 2 \\ x = 4 \end{array}\right. \Rightarrow B(4; 2)$$
   • Đỉnh $C$: Giao điểm của $d_2$ với trục tung $x = 0 \Rightarrow 0 + 2y = 8 \Rightarrow C(0; 4)$.

2. Tính diện tích tứ giác $OABC$: Ta chia tứ giác $OABC$ thành hai tam giác vuông hoặc dùng hình thang:

   • Hạ $BH \perp Ox$ tại $H(4; 0)$.
   • Đoạn $OA = 2$, đoạn $AH = 4 - 2 = 2$, chiều cao $BH = 2$.
   • Diện tích tam giác $ABH$:$$S_{\triangle ABH} = \frac{1}{2} AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$$
   • Diện tích hình thang vuông $OCHB$ (có hai đáy $OC = 4, BH = 2$, chiều cao $OH = 4$):$$S_{OCHB} = \frac{(OC + BH) \cdot OH}{2} = \frac{(4 + 2) \cdot 4}{2} = 12$$
   • Suy ra diện tích tứ giác $OABC$:$$S_{OABC} = S_{OCHB} - S_{\triangle ABH} = 12 - 2 = 10 \text{ (đơn vị diện tích)}$$

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $F(x, y) = ax + by$ trên miền đa giác

Phương pháp:

1. Xác định tọa độ tất cả các đỉnh $A_1, A_2, \dots, A_n$ của miền đa giác nghiệm.
2. Lần lượt tính giá trị $F(A_i) = ax_i + by_i$ tại từng đỉnh.
3. So sánh các giá trị:$$F_{\max} = \max \{F(A_1), F(A_2), \dots, F(A_n)\}$$$$F_{\min} = \min \{F(A_1), F(A_2), \dots, F(A_n)\}$$

Bài toán 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = 4x + 3y$ với $(x; y)$ thỏa mãn hệ:

Lời giải chi tiết:

• Xác định các đường thẳng bờ:

  • $d_1: x + y = 5$
  • $d_2: 2x - y = 4$
  • $d_3: x = 0$ (trục tung)
  • $d_4: y = 1$ (đường thẳng song song trục hoành)

• Tìm tọa độ các đỉnh của miền tứ giác nghiệm:

  • Đỉnh $A$ là giao của $d_3$ và $d_4$: $\left\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 1 \end{array}\right. \Rightarrow A(0; 1)$.
  • Đỉnh $B$ là giao của $d_2$ và $d_4$: $\left\{\begin{array}{l} 2x - 1 = 4 \\ y = 1 \end{array}\right. \Rightarrow x = 2,5 \Rightarrow B(2,5; 1)$.
  • Đỉnh $C$ là giao của $d_1$ và $d_2$: $\left\{\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} 3x = 9 \\ y = 5 - x \end{array}\right. \Rightarrow C(3; 2)$.
  • Đỉnh $D$ là giao của $d_1$ và $d_3$: $\left\{\begin{array}{l} 0 + y = 5 \\ x = 0 \end{array}\right. \Rightarrow D(0; 5)$.

• Tính giá trị của biểu thức $F(x, y) = 4x + 3y$ tại các đỉnh:

  • Tại $A(0; 1)$: $F(A) = 4(0) + 3(1) = 3$.
  • Tại $B(2,5; 1)$: $F(B) = 4(2,5) + 3(1) = 10 + 3 = 13$.
  • Tại $C(3; 2)$: $F(C) = 4(3) + 3(2) = 12 + 6 = 18$.
  • Tại $D(0; 5)$: $F(D) = 4(0) + 3(5) = 15$.

• Kết luận:

  • Giá trị lớn nhất: $F_{\max} = 18$ đạt được tại $(x; y) = (3; 2)$.
  • Giá trị nhỏ nhất: $F_{\min} = 3$ đạt được tại $(x; y) = (0; 1)$.

Dạng 4: Bài toán tối ưu hóa nguồn lực trong thực tế sản xuất & kinh doanh

Phương pháp:

1. Lập bảng số liệu: Liệt kê các đại lượng, chi phí, doanh thu, định mức.
2. Đặt ẩn số & Tìm miền ràng buộc: Gọi $x, y$ là số lượng cần sản xuất, lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
3. Thiết lập hàm mục tiêu: Hàm lợi nhuận hoặc hàm chi phí $F(x, y)$.
4. Tìm cực trị tại đỉnh và trả lời câu hỏi bài toán với đơn vị thực tế.

Bài toán 4

Một xưởng may sản xuất hai loại áo: áo sơ mi (loại I) và áo khoác (loại II).

• Để may 1 chiếc áo loại I cần 2 mét vải và 3 giờ công. Lợi nhuận mang lại là 120 000 đồng/chiếc.
• Để may 1 chiếc áo loại II cần 3 mét vải và 2 giờ công. Lợi nhuận mang lại là 150 000 đồng/chiếc.
• Mỗi ngày xưởng chỉ có tối đa 60 mét vải và 60 giờ công lao động.

Hỏi xưởng may cần sản xuất bao nhiêu chiếc áo mỗi loại trong một ngày để thu được lợi nhuận lớn nhất? Lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Gọi ẩn & Đặt điều kiện:
  Gọi $x$ là số áo loại I và $y$ là số áo loại II may trong một ngày ($x, y \ge 0, x, y \in \mathbb{N}$).

• Bước 2: Thiết lập hệ bất phương trình ràng buộc:

  • Lượng vải sử dụng: $2x + 3y \le 60$ (mét).
  • Số giờ công sử dụng: $3x + 2y \le 60$ (giờ).
  • Điều kiện không âm: $x \ge 0, y \ge 0$.

  Ta có hệ bất phương trình:

  $$\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y \le 60 \\ 3x + 2y \le 60 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array}\right.$$

• Bước 3: Xác định các đỉnh của miền nghiệm:
  Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ nằm trong góc phần tư thứ I:

  • $O(0; 0)$.
  • $A(20; 0)$: Giao của đường $3x + 2y = 60$ với trục hoành ($y = 0 \Rightarrow x = 20$).
  • $B(12; 12)$: Nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y = 60 \\ 3x + 2y = 60 \end{array}\right. \iff x = y = 12$.
  • $C(0; 20)$: Giao của đường $2x + 3y = 60$ với trục tung ($x = 0 \Rightarrow y = 20$).

• Bước 4: Tính lợi nhuận tại các đỉnh:
  Hàm mục tiêu lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng):

  $$L(x, y) = 120x + 150y$$
  • Tại $O(0; 0)$: $L(O) = 0$.
  • Tại $A(20; 0)$: $L(A) = 120(20) + 150(0) = 2400$ (nghìn đồng).
  • Tại $B(12; 12)$: $L(B) = 120(12) + 150(12) = 1440 + 1800 = 3240$ (nghìn đồng).
  • Tại $C(0; 20)$: $L(C) = 120(0) + 150(20) = 3000$ (nghìn đồng).

• Kết luận:
  Xưởng may cần sản xuất 12 chiếc áo loại I và 12 chiếc áo loại II mỗi ngày để đạt lợi nhuận lớn nhất là 3 240 000 đồng.

6. Ứng dụng khoa học & Công nghệ hiện đại

7. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra năng lực (10 câu)

8. Luyện tập tự do & Thử thách thực tế

Bài tập 1 (Phân tích miền ngũ giác & Cực trị)

Cho hệ bất phương trình:

1. Chứng minh miền nghiệm của hệ là một miền ngũ giác.
2. Tìm tọa độ 5 đỉnh của ngũ giác và tìm GTLN, GTNN của biểu thức $F(x, y) = 5x + 3y$.

Hướng dẫn giải:

1. Miền nghiệm nằm trong góc phần tư thứ I ($x \ge 0, y \ge 0$). Bị giới hạn bởi 2 đường $x = 4, y = 4$ và đường chéo $x + y = 6$.
2. Năm đỉnh của ngũ giác lần lượt là:
   • $O(0; 0)$
   • $A(4; 0)$ (giao của $x = 4$ và $y = 0$)
   • $B(4; 2)$ (giao của $x = 4$ và $x + y = 6$)
   • $C(2; 4)$ (giao của $y = 4$ và $x + y = 6$)
   • $D(0; 4)$ (giao của $y = 4$ và $x = 0$) Tính $F(x, y) = 5x + 3y$:
   • $F(O) = 0$ (GTNN)
   • $F(A) = 5(4) + 3(0) = 20$
   • $F(B) = 5(4) + 3(2) = 20 + 6 = 26$ (GTLN)
   • $F(C) = 5(2) + 3(4) = 10 + 12 = 22$
   • $F(D) = 5(0) + 3(4) = 12$
     Vậy $F_{\max} = 26$ tại $B(4; 2)$ và $F_{\min} = 0$ tại $O(0; 0)$.

Bài tập 2 (Bài toán dinh dưỡng tối ưu chi phí)

Một viện dưỡng lão cần thiết lập khẩu phần ăn mỗi ngày cho một cụ già từ hai loại thực phẩm $M$ và $N$:

• Mỗi gam thực phẩm $M$ chứa 2 đơn vị canxi và 1 đơn vị vitamin C. Giá tiền: 300 đồng/gam.
• Mỗi gam thực phẩm $N$ chứa 1 đơn vị canxi và 2 đơn vị vitamin C. Giá tiền: 400 đồng/gam.
• Bác sĩ chỉ định mỗi ngày một cụ cần tối thiểu 100 đơn vị canxi và tối thiểu 80 đơn vị vitamin C.
• Để tránh khó tiêu, tổng khối lượng thực phẩm $M$ và $N$ trong ngày không vượt quá 90 gam.

Hãy tìm phương án mua thực phẩm để chi phí bữa ăn là nhỏ nhất mà vẫn đáp ứng đầy đủ yêu cầu y tế.

Hướng dẫn giải:

• Gọi $x$ là số gam thực phẩm $M$ và $y$ là số gam thực phẩm $N$ ($x, y \ge 0$).
• Hệ điều kiện:$$\left\{\begin{array}{l} 2x + y \ge 100 \text{ (canxi)} \\ x + 2y \ge 80 \text{ (vitamin C)} \\ x + y \le 90 \text{ (tổng khối lượng)} \\ x \ge 0, \ y \ge 0 \end{array}\right.$$
• Giao điểm của các đường bờ tạo nên miền tam giác nghiệm $ABC$:
  • Đỉnh $A$: Giao của $2x + y = 100$ và $x + 2y = 80 \Rightarrow A(40; 20)$.
  • Đỉnh $B$: Giao của $2x + y = 100$ và $x + y = 90 \Rightarrow B(10; 80)$.
  • Đỉnh $C$: Giao của $x + 2y = 80$ và $x + y = 90 \Rightarrow C(100; -10)$ (loại vì $y < 0$). Thay bằng giao với trục hoặc đường phù hợp: Ta thấy tại $y = 0 \Rightarrow x + y = 90 \Rightarrow x = 90$ nhưng $2(90) + 0 = 180 \ge 100$ và $90 + 0 = 90 \ge 80$. Điểm $C(90; 0)$ thỏa mãn! Và giao của $x + 2y = 80$ với $x + y = 90$: $$x + y = 90 \Rightarrow x = 90 - y \Rightarrow (90 - y) + 2y = 80 \Rightarrow y = -10 < 0.$$ Do đó đường $x + 2y = 80$ cắt $2x + y = 100$ tại $A(40; 20)$ và cắt trục hoành tại $(80; 0)$. Tứ giác nghiệm có 4 đỉnh: $A(40; 20), B(10; 80), D(0; 90)$? Thử $(0; 90)$: $2(0) + 90 = 90 < 100$ (không thỏa). Đỉnh $B(10; 80)$: $$2(10) + 80 = 100 \ge 100, 10 + 2(80) = 170 \ge 80, 10 + 80 = 90 \le 90$$ (thỏa mãn). Đỉnh $C(90; 0)$: $2(90) + 0 = 180 \ge 100, 90 + 0 \ge 80, 90 + 0 \le 90$ (thỏa mãn). Đỉnh $E(50; 0)$: $2(50) = 100, 50 < 80$ (không thỏa). Điểm $(80; 0)$: $2(80) \ge 100, 80 \ge 80, 80 \le 90$ (thỏa mãn). Vậy các đỉnh là $A(40; 20), B(10; 80), C(90; 0), E(80; 0)$.
• Hàm chi phí: $T(x, y) = 300x + 400y$ (đồng).
  • $T(A) = 300(40) + 400(20) = 12000 + 8000 = 20000$ đồng.
  • $T(B) = 300(10) + 400(80) = 3000 + 32000 = 35000$ đồng.
  • $T(C) = 300(90) + 400(0) = 27000$ đồng.
  • $T(E) = 300(80) + 400(0) = 24000$ đồng.
• Chi phí nhỏ nhất là 20 000 đồng khi dùng 40g thực phẩm M và 20g thực phẩm N.