a) Tọa độ của một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là $\left ( { 1;2;-1 } \right. )$.

b) Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$.

c) Phương trình mặt cầu tâm $A$ và có bán kính bằng khoách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là $\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right. ) ^ { 2 } =8$

d) Gọi $\left ( { Q } \right. )$ mặt phẳng đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$, mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ có phương trình là $x+2y-z-1=0$

Lời giải

a) Đúng: Từ phương trình của $\left ( { P } \right. )$ ta có tọa độ của một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là $\left ( { 1;2;-1 } \right. )$.

b) Sai: Do $1.1+2.1-1.2+3≠0$ nên điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$.

c) Sai: Ta có $d\left ( { A,\left ( { P } \right. ) } \right. )=$ $\frac { 2\sqrt{ 6 } } { 3 }$, nên phương trình mặt cầu tâm $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$ và có bán kính bằng khoách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là $\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right. ) ^ { 2 } =\frac { 8 } { 3 }$

d) Đúng: Mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có véctơ pháp tuyến của là $\left. \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;2;-1 } \right. ) \right.$, nên mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ có véctơ pháp tuyến của là $\left. \overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;2;-1 } \right. ) \right.$

Điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$.

Phương trình mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ là $1.\left ( { x-1 } \right. )+2\left ( { y-1 } \right. )-1\left ( { z-2 } \right. )=0⇔x+2y-z-1=0$.

a) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ lên mặt phẳng $\left ( { Oxz } \right. )$ có tọa độ là $\left ( { 0;1;0 } \right. )$

b) Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left ( { \frac { 10 } { 3 };\frac { 7 } { 3 };\frac { 11 } { 3 } } \right. )$

c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\left. \overset\rightarrow { u }=\left ( { 4;-5;1 } \right. ) \right.$

d) Phương trình mặt phẳng $(ABC\,)$ là $14x+13y+9z-110=0$

Lời giải

a) Sai: Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ lên mặt phẳng $\left ( { Oxz } \right. )$ có tọa độ là $\left ( { 5;0;3 } \right. )$

b) Đúng:$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\left\{ \begin{array}{l} x_{ G } =\frac { 1+5+4 } { 3 }=\frac { 10 } { 3 }y _{ G } =\frac { 6+1+0 } { 3 }=\frac { 7 } { 3 }z_{ G } =\frac { 2+3+6 } { 3 }=\frac { 11 } { 3 } \end{array} \right.$

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left ( { \frac { 10 } { 3 };\frac { 7 } { 3 };\frac { 11 } { 3 } } \right. )$

c) Đúng:$\left. \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4\,;\,-5\,;\,1 } \right. ) \right.$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\left. \overset\rightarrow { u }=\left ( { 4;-5;1 } \right. ) \right.$

d) Đúng: Ta có $\left. \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4\,;\,-5\,;\,1 } \right. ) \right.$ và $\left. \left. \left. \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 3\,;\,-6\,;\,4 } \right. )⇒\left[ \overset\rightarrow { AB }\,,\,\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { -14\,;\,-13\,;\,-9 } \right. ) \right. \right. \right.$.

Gọi $n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$, ta chọn $n=\left ( { -14\,;\,-13\,;\,-9 } \right. )$.

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$ có dạng:

$-14\left ( { x-1 } \right. )-13\left ( { y-6 } \right. )-9\left ( { z-2 } \right. )=0$ $⇔-14x-13y-9z+110=0$ $⇔\,\,\,14x+13y+9z-110=0$.

Biết rằng camera nhận diện tốt nhất biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông là khi biển số của chúng nằm trong hình thang cânABCDvới:$SA=SB=27$ m,$OD=OC=5$ m,$AB=14$ m,$CD=9,6$ m và tia $Ox$ nằm trên đường trung trực các đoạn thẳng $AB$ và $DC$ (xem hình vẽ minh họa). Giả sử tại thời điểm $9$ h00 (được xem là thời điểm xuất phát) một ô tô chuyển động thẳng đều theo phương song song với trục $Ox$, hướng về phía trục $Oy$ và có vị trí của biển số xe là $M\left ( { 50;-6;0 } \right. )$.

a) Tọa độ điểm $D$ có tọa độ là $\left ( { 1,4;-4,8;0 } \right. )$.

b) Đường thẳng $AD$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l} x=1,4-20,6ty=-4,8+2,2tz=0 \end{array} \right.,\left ( { t∈\mathbb{R} } \right. )$..

c) Nếu ô tô đi với vận tốc $45$ (km/h) thì sau đúng $2,2$ giây kể từ thời điểm xuất phát thì biển số của xe ôtô đã nằm trong vùng nhận diện tốt nhất của camera.

d) Nếu camera ghi nhận được hình ảnh biển số xe ô tô liên tục trong một khoảng thời gian kéo dài đúng 0,7 giây, và khoảng thời gian 0,7 giây này kết thúc đồng thời với thời điểm xe vừa ra khỏi vùng nhận diện tốt nhất, thì ôtô đã vượt quá tốc độ cho phép.

Lời giải

a) Đúng: Xét $\left ( { Oxy } \right. )$ ta gọi $H$ là trung điểm $CD$, ta có $CD=9,6⇒DH=4,8⇒y_{ D } =-4,8$

XétΔDOHvuông tại $H$, có:$$OH=\sqrt{ OD ^ { 2 } -DH ^ { 2 } }=\sqrt{ 5 ^ { 2 } -4,8 ^ { 2 } }=1,4⇒x_{ D } =1,4$$

Vậy $D\left ( { 1,4;-4,8;0 } \right. )$

b) Đúng:$AB=14⇒AK=7⇒A\left ( { x_{ A } ;-7;0 } \right. ),\left ( { x_{ A } >0 } \right. )$

Ta có:ΔSOAvuông tại $O$, ta có:$OA ^ { 2 } +SO ^ { 2 } =SA ^ { 2 }$

$⇔x_{ A } ^{ 2 }+\left ( { -7 } \right. ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +14 ^ { 2 } =27 ^ { 2 } ⇔x_{ A } =22⇒A\left ( { 22;-7;0 } \right. )$,$\left. \overset\rightarrow { DA }=\left ( { 20,6;-2,2;0 } \right. ) \right.$

Vậy đường thẳng $\left. \left. AD:\left\{ \begin{array}{l} \,D\left ( { 1,4;-4,8;0 } \right. )\overset\rightarrow { u_{ AD } }=\overset\rightarrow { DA }=\left ( { 20,6;-2,2;0 } \right. ) \end{array} \right.⇒\,AD:\left\{ \begin{array}{l} x=1,4-20,6ty=-4,8+2,2tz=0 \end{array} \right.,\left ( { t∈\mathbb{R} } \right. ) \right. \right.$

c) Sai: Biển số của xe ôtô đã nằm trong vùng nhận diện tốt nhất của camera khi ô tô đi qua hình thang cânABCDtạo hai giao điểm $E,F$ như hình vẽ.

Ta có:$MF=50-22=28\left ( { m } \right. )$

Thời gian từ $M$ đến $F$ là $t_{M \to F} = \frac{MF}{v_{\text{ô tô}}} = \frac{28}{\frac{45}{3{,}6}} = 2{,}24$ (giây).

d) Sai: Theo định lý Talet: $$\frac{EF}{DI} = \frac{AF}{AI} = \frac{7-6}{7-4{,}8} = \frac{1}{2{,}2} \Rightarrow EF = DI \cdot \frac{1}{2{,}2} = \frac{22-1{,}4}{2{,}2} = \frac{103}{11}.$$

Suy ra $$v = \frac{s}{t} = \frac{EF}{t} = \frac{\frac{103}{11}}{0{,}7} = \frac{1030}{77}\text{ m/s} = \frac{3708}{77}\text{ km/h} \approx 48{,}16\text{ km/h} < 50\text{ km/h}.$$

Vậy xe không vượt quá tốc độ cho phép.

a) Vectơ vận tốc của máy bay chiến đấu là $\left. \overset\rightarrow { v_{ 1 } }=\left ( { 20;9;0,2 } \right. ) \right.$ (km/phút)

b) Tọa độ điểm $N\left ( { 1700;-960;20 } \right. )$.

c) Độ lớn vận tốc của đạn pháo là $109,5$ (km/phút)

d) Tại thời điểm pháo bắn, vectơ vị trí của pháo so với máy bay là $\left. \overset\rightarrow { r }=\left ( { a;\,b;\,c } \right. ) \right.$ thì giá trị của biểu thức $a+b+5c=2160$.

Lời giải

a) Đúng:$\left. \overset\rightarrow { MQ }=\left ( { 100;\,45;\,1 } \right. ) \right.$ nên vectơ vận tốc của máy bay là $\left. \left. \overset\rightarrow { v_{ 1 } }=\frac { \overset\rightarrow { MQ } } { t }=\frac { \left ( { 100;45;1 } \right. ) } { 5 }=\left ( { 20;\,9;\,0,2 } \right. ) \right. \right.$

b) Sai: Vị trí của điểm $\left. N=M+30\overset\rightarrow { v_{ 1 } }=\left ( { 1100;\,690;\,14 } \right. )+30\left ( { 20;\,9;\,0,2 } \right. )=\left ( { 1700;\,960;20 } \right. ) \right.$

c) Sai:$\left. \overset\rightarrow { EN }=\left ( { 1080;\,-2400;\,-24 } \right. ) \right.$ và vận tốc đạn pháo là $\overset arrow { v_{ 2 } }=\frac { \overset arrow { EN } } { T }$

Theo giả thiết $$\left | { v_{ 2 } } \right. |=5\left | { v_{ 1 } } \right. |=5\sqrt{ 20 ^ { 2 } +9 ^ { 2 } +\left ( { 0,2 } \right. ) ^ { 2 } }=109,7$$ (km/phút)

d) Đúng: Thời gian bay của pháo là $$T=\frac { EN } { v_{ 2 } }=\frac { \sqrt{ 1800 ^ { 2 } +\left ( { -2400 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -24 } \right. ) ^ { 2 } } } { 5.\sqrt{ 20 ^ { 2 } +9 ^ { 2 } +\left ( { 0,2 } \right. ) ^ { 2 } } }=24$$ (phút)

Thời điểm bắn pháo là $t=30-T=30-24=6$ (phút)

Tại thời điểm $t=6$ thì vị trí của máy bay là $J_{ 6 } \left ( { 1220;\,744;\,15,2 } \right. )$

Vector vị trí của pháo so với máy bay tại thời điểm pháo bắn là vector từ vị trí máy bay đến vị trí pháo tại thời điểm đó nên $\left. \left. \overset\rightarrow { r }=\overset\rightarrow { J_{ 6 } E }=\left ( { -600;\,2616;\,28,8 } \right. ) \right. \right.$

Vậy $a+b+5c=2160$

Ta có:$M\left ( { 2\,;2\,;0 } \right. )∈\left ( { \Delta } \right. )$ và $M'\left ( { 2\,;\,-1\,;\,0 } \right. )∈\left ( { \Delta ' } \right. )$ nên $\left. \overset\rightarrow { M'M }=\left ( { 0\,;3;\,0 } \right. ) \right.$. Có $\left. \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1\,;\,1\,;\,-1 } \right. ) \right.$ và $\left. \overset\rightarrow { u' }=\left ( { 1\,;\,2;\,-3 } \right. ) \right.$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left ( { \Delta } \right. )$ và $\left ( { \Delta ' } \right. )$. Suy ra $\left. \left. \left[ \overset\rightarrow { u }\,;\,\overset\rightarrow { u' } \right]=\left ( { -1\,;\,2\,;\,1 } \right. ) \right. \right.$. Khi đó:$\left. \left. \left. \left. \left. d\left ( { \left ( { \Delta } \right. )\,,\,\left ( { \Delta ' } \right. ) } \right. )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { u }\,;\,\overset\rightarrow { u' } \right].\overset\rightarrow { M'M } } \right. | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { u }\,;\,\overset\rightarrow { u' } \right] } \right. | }=\frac { 6 } { \sqrt{ 1+4+1 } }=\sqrt{ 6 }≈2,45 \right. \right. \right. \right. \right.$.