3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian

Để biết cách chứng minh hai mặt phẳng song song, chúng ta cần phải xem thế nào là hai mặt phẳng song song, và từ đó sẽ có các phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng song song trong không gian.

1. Thế nào là hai mặt phẳng song song?

1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Trong không gian, cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ thì có ba khả năng về vị trí của chúng:

• Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(\beta)$ trùng nhau. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

• Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

• Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(\beta)$ song song. Khi đó, hai mặt phẳng không có điểm chung.

Từ đó, người ta định nghĩa hai mặt phẳng song song như sau:

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

1.2. Định lý về hai mặt phẳng song song

• Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau mà cả hai đường thẳng này song song với mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Xem thêm: Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

• Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

1.3. Tính chất hai mặt phẳng song song

• Cho hai mặt phẳng song song, mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng thứ nhất đều song song với mặt phẳng thứ hai.

• Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

• Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.

• Định lý Thales trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

1.4. Hình lăng trụ, hình chóp cụt

• Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau đồng thời nằm trên hai mặt phẳng song song và các mặt bên là các hình bình hành.

• Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành thì gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là hình có tất cả các mặt đều là hình bình hành.

• Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy thu được một hình chóp mới và một hình chóp cụt.

2. Cách chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song chúng ta có thể sử dụng một trong ba cách:

• Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với mặt phẳng thứ hai.

• Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng thứ hai.

• Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.

3. Ví dụ về cách chứng minh hai mặt phẳng song song

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

1. Chứng minh rằng $(ADF)\parallel(BCE)$;

2. Gọi $I,J,K$ là trung điểm của các cạnh $AB,CD,EF.$ Chứng minh rằng $(DIK)\parallel(JBE).$

Ví dụ 2. Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC, ABD, ACD.$ Chứng minh rằng $(MNP)\parallel(BCD).$

Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD.$ Từ $A$ và $C$ kẻ hai tia $Ax$ và $Cy$ song song, cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng $(ABCD).$ Chứng minh mặt phẳng $(BAx)\parallel (DCy).$

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$ là trung điểm của $SD.$

1. Xác định giao điểm $K$ của $BI$ và $(SAC).$

2. Trên $IC$ lấy điểm $H$ sao cho $HC=2HI.$ Chứng minh $KH\parallel(SAD).$

3. Gọi $N$ là điểm trên $SI$ sao cho $SN=2NI.$ Chứng minh $(KHN)\parallel(SBC).$

4. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(KHN).$

Hướng dẫn. Chỉ ra $K$ là trọng tâm tam giác $SBD.$

Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$ có $I ,K ,G$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC, A’B’C’$ và $ACC’.$ Chứng minh rằng: $(IKG) \parallel (BB’C’C), (A’KG)\parallel(AIB’).$

Hướng dẫn. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B’C’$ thì mặt phẳng $(A’KG)$ chính là mặt phẳng $(A’CN)$, còn mặt phẳng $(AIB’)$ chính là mặt phẳng $(AMB’).$ Hai mặt phẳng này song song vì có $AM\parallel A’N$ và $B’M\parallel CN.$

4. Bài tập chứng minh 2 mặt phẳng song song

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SD, AB, ON.$ Chứng minh: $(OMN) \parallel (SBC).$ Chứng minh: $PQ \parallel (SBC).$

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, CD, AD.$ Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC).$ Gọi $I$ là điểm trên $MP.$ Chứng minh: $OI \parallel (SCD).$

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $BC, AB, SB, AD.$ Chứng minh $(MNP) \parallel (SAC)$, $PQ \parallel (SCD).$ Gọi $I$ là giao điểm $AM$ và $BD, JSA$ sao cho $AJ = 2JS$, chứng minh $IJ \parallel (SBC).$ Gọi $K$ là một điểm trên $AC$, tìm giao tuyến $(SKM)$ và $(MNC).$

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, G, P, Q$ là trung điểm $DC, AB, SB, BG, BI.$ Chứng minh $(IJG) \parallel (SAD)$, $PQ \parallel (SAD).$ Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(IJG)$; $(ACG)$ và $(SAD).$

Bài 5. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AB, CD, EF.$ Chứng minh $(ADF) \parallel (BCE)$; $(DIK) \parallel (JBE).$