Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Thành thạo cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng sẽ giúp các em học sinh có thể chứng minh được hai mặt phẳng song song với nhau.

Xem thêm 3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian, xét một đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ thì có ba khả năng về vị trí giữa chúng:

• Đường thẳng $d$ cắt $(\alpha)$: có một điểm chung.

• Đường thẳng $d$ nằm trên $(\alpha)$: có vô số điểm chung.

• Đường thẳng $d$ song song $(\alpha)$: không có điểm chung.

Định nghĩa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

• Nếu một đường thẳng không nằm trên mặt phẳng mà song song với một đường thẳng của mặt phẳng đó thì đường thẳng đã cho song song với mặt phẳng đó.

  $$\begin{cases} d\not\subset (\alpha)\\ d\parallel a\\ a\subset (\alpha) \end{cases} \Rightarrow d \parallel (\alpha)$$

• Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $d$ mà $d\parallel(\beta)$ thì giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ cũng song song với đường thẳng $d.$

  $$\begin{cases} d \subset (\alpha)\\ d \parallel (\beta)\\ b=(\alpha) \cap (\beta) \end{cases} \Rightarrow d \parallel b$$

  

  Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

  $$\begin{cases} (P) \parallel a\\ (Q) \parallel a\\ \Delta=(P) \cap (Q) \end{cases} \Rightarrow a \parallel \Delta$$

• Cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

2. Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trên mặt phẳng đã cho và song song với một đường thẳng của mặt phẳng đó.

3. Ví dụ cách đường thẳng song song với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB.$ Chứng minh rằng $MN\parallel(ABCD).$

Hướng dẫn. Vì $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$ nên $MN\parallel AB.$ Như vậy ta có

Suy ra $MN\parallel(ABCD).$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$ Chứng minh rằng $MN\parallel(SBC),MN\parallel(SAD).$ Gọi $P$ là trung điểm $SA,$ chứng minh rằng $SB,SC$ cùng song song với mặt phẳng $(MNP).$ Gọi $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $SBC.$ Chứng minh rằng $G_1G_2\parallel(SAB).$

Hướng dẫn. Gọi $O$ là tâm hình bình hành thì $SC\parallel PO.$ Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và xét tam giác $SAI$ có $G_1G_2\parallel SA.$

Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD.$ Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC.$ Chứng minh rằng $MG\parallel (ACD).$

Hướng dẫn. Kéo dài $BG$ cắt $AD$ tại $E$ thì $(BMG)\cap(ACD)=CE.$ Đi chứng minh $MG\parallel CE$ và suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Chứng minh rằng bốn điểm $C, D, E, F$ đồng phẳng. Gọi $O, I$ là tâm các hình bình hành $ABCD, ABEF.$ Chứng minh rằng $OI\parallel (BCE), OI \parallel (ADF).$ Gọi $M, N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD, ABF.$ Chứng minh rằng $MN\parallel (CDFE).$

Hướng dẫn. Chỉ ra $MN\parallel DF$ nên….

Ví dụ 5. Hai hình bình hành $ABCD,ABEF$ có chung cạnh $AB$ và không đồng phẳng. Trên các cạnh $AD, BE$ lần lượt lấy các điểm $M, N$ sao cho $\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BE}.$ Chứng minh đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(CDFE).$

Hướng dẫn. Trên $CE$ lấy điểm $P$ sao cho $\frac{CP}{CE}=\frac{BN}{BE}.$ Chứng minh tứ giác $DMNP$ là hình bình hành. Từ đó suy ra $MN\parallel DP$ và có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành, $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $E$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $DE = 2EA.$ Chứng minh rằng $GE\parallel(SCD).$

Hướng dẫn. Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ thì chứng minh được $GE\parallel HD.$

4. Bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, CD, SA.$ Chứng minh: $MN \parallel (SBC); MN \parallel (SAD)$; $SB \parallel (MNP); SC \parallel (MNP).$ Gọi $I, J$ là trọng tâm tam giác $ACD,SCD.$ Chứng minh: $IJ \parallel (SAB), IJ \parallel (SAD), IJ \parallel (SAC).$

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $I, J$ là trung điểm $BC, SC$ và $K\in SD$ sao cho $KD=2SK.$ Chứng minh: $OJ \parallel (SAD), OJ \parallel (SAB)$; $IO \parallel (SCD), IJ \parallel (SBD).$ Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BD.$ Chứng minh: $MK \parallel (SBC).$

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $M, N, P$ là trung điểm $SB, SO, OD.$ Chứng minh: $MN \parallel (ABCD), MO \parallel (SCD)$; $NP \parallel (SAD),$ tứ giác $NPOM$ là hình gì? Gọi $I\in SD$ sao cho $SD = 4ID.$ Chứng minh $PI \parallel (SBC), PI \parallel (SAB).$