Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cách dựng một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là bài toán quyết định của hình học không gian lớp 11, và cũng là cơ sở để giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện ở lớp 12.

Xem thêm Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1. Lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa. Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.

Tuy nhiên, để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta không cần chỉ ra nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng, mà ta chỉ cần sử dụng định lý sau.

Định lý. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P).$

Như vậy, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì ta được sử dụng kết quả đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đã cho. Nhưng để chứng minh thì ta chỉ cần chỉ ra nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó là đủ.

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.

2. Ví dụ dạng toán chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy $(ABC),$ tam giác $ABC$ vuông tại $B.$ Chứng minh rằng đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB).$

Hướng dẫn. Muốn chỉ ra đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$ ta phải chỉ ra đường thẳng $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $(SAB).$ Hiển nhiên ta đã có ngay $BC\perp AB$ do tam giác $ABC$ vuông tại $B.$ Cần phải tìm thêm một đường thẳng nữa cũng vuông góc với $BC$ mà đường thẳng đó phải cắt $AB.$ Chú ý rằng giả thiết cho $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, tức là nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC).$ Nên, tất nhiên $SA$ cũng vuông góc với $BC.$ Tóm lại, chúng ta có lời giải như sau.

Lời giải. Ta có $SA\perp (ABC) \Rightarrow SA\perp BC.$ Như vậy

 Suy ra, $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB).$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O, SA=SC$ và $SB=SD.$

1. Chứng minh rằng đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD).$

2. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SD.$ Chứng minh đường thẳng $MN$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC).$

Hướng dẫn.

1. Chỉ ra $SO$ là đường cao trong tam giác cân $SAC$ nên $SO \perp AC.$ Tương tự cũng chứng minh được $SO\perp BD.$ Mà $AC$ và $BD$ là hai đường thẳng cắt nhau, cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên suy ra $SO$ vuông góc với $(ABCD).$

2. Ta chứng minh đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC).$ Thật vậy, có

Mặt khác $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $MN\parallel BD.$ Do đó, đường thẳng $MN$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC).$

Ví dụ 3. Tứ diện $ABCD$ có $AC=AD$ và $BC=BD.$ Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ vuông góc với đường thẳng $AB.$

Hướng dẫn. Giả thiết $AC=AD$ và $BC=BD$ gợi cho chúng ta nghĩ đến các tính chất của tam giác cân. Mà tam giác cân thì yếu tố vuông góc chính là các đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Do đó, chúng ta gọi trung điểm của $CD$ là $M$ thì có cách giải như sau.

Lời giải. Gọi trung điểm của cạnh $CD$ là $M$ thì ta có tam giác $ACD$ cân tại $A$ nên $AM\perp CD$, tam giác $BCD$ cân tại $B$ nên $BM\perp CD.$ Tóm lại chúng ta có

Mà đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABM)$ nên suy ra $CD$ vuông góc với $AB.$

Ví dụ 4. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với đáy. Chứng minh rằng đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD).$

Gợi ý. Hãy chỉ ra đường thẳng $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $(SAD).$

Lời giải. Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD.$ Mặt khác, $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABCD)$, đương nhiên trong đó có $CD.$ Tóm lại, chúng ta có được

  Suy ra, đường thẳng $CD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD).$

Ví dụ 5. Hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC.$ Chứng minh rằng $O$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ khi và chỉ khi $OA=OB=OC.$

Hướng dẫn. Ta phải chứng minh cả hai chiều thuận và đảo của bài toán.

• Thuận: Có đường thẳng $SO$ vuông góc với $(ABC)$ nên $SO$ vuông góc với các đường thẳng $OA,OB,OC.$ Ba tam giác vuông $SOA,SOB,SOC$ bằng nhau nên suy ra $OA=OB=OC.$

• Đảo: Từ $OA=OB$ suy ra tam giác $OAB$ cân tại $O.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ thì $AB$ vuông góc với $OI.$ Mặt khác, tam giác $SAB$ cũng cân tại $S$ nên và $SI\perp AB.$ Do đó, $AB$ vuông góc với $SO.$

  Chứng minh tương tự có $AC$ cũng vuông góc với $SO.$ Từ đó suy ra $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ hay $O$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC).$

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy.

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, chứng minh đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC).$

3. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SC,$ chứng minh đường thẳng $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(AHK).$

4. Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $HK,$ chứng minh đường thẳng $AI$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC).$

Hướng dẫn.

1. Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA$ vuông góc với $AB,AC.$ Do đó, các tam giác $SAB, SAC$ vuông tại $A.$

Để chứng minh tam giác $SBC$ vuông, ta chứng minh $BC\perp SB$ bằng cách chỉ ra $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB).$ Thật vậy, chúng ta có

2. Theo chứng minh ở phần trước, có $BC\perp (SAB)$ nên suy ra $BC\perp AH.$ Như vậy, ta có

Suy ra đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC).$

3. Chỉ ra $SC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $(AHK)$ là $AH$ và $AK.$

4. Chỉ ra $AI$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng $(SAC)$ là $SA$ và $SC.$

Ví dụ 7. Cho hình chóp $S.ABC$, biết $SA = SB = SC = a,$\widehat{ASB} = 60^\circ,$\widehat{BSC} = 90^\circ,$\widehat{CSA} = 120^\circ .$Gọi$ H $là trung điểm$ AC .$Chứng minh$ SH $vuông góc với mặt phẳng$ (ABC) .$

Hướng dẫn. Tam giác $SAB$ đều nên $AB = SA = a.$ Tam giác $SBC$ vuông tại $S$ nên có

Tam giác $SAC$ có

Từ đó suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $B.$ Vì $H$ là trung điểm $AC$ nên $HA = HB = HC$, mà $SA = SB = SC$ nên đường thẳng $SH$ vuông góc với $(ABC).$

Ví dụ 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy; $SA = a\sqrt{3}.$ Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $SE.$ Chứng minh hai đường thẳng $AF$ và $SC$ vuông góc với nhau. Gợi ý. Chỉ ra tam giác $SAE$ vuông cân tại $A.$

Ví dụ 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{2}.$ Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$ và $SD$, chứng minh đường thẳng $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(AMN).$ Gọi $K$ là giao điểm của $SC$ và $(AMN).$ Chứng minh $AK$ và $MN$ vuông góc với nhau và tính diện tích tứ giác $AMKN.$

Ví dụ 10. [Đề thi ĐH Khối B năm 2002] Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BB’,CD,A’D’.$ Chứng minh đường thẳng $MP$ vuông góc với $C’N.$

Ví dụ 11. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ trên mặt phẳng $(ABC).$ Chứng minh rằng đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(OAH).$ Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và tính độ dài $OH$ theo $OA,OB,OC.$ Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác nhọn.

Ví dụ 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Mặt bên $SAB$ là tam giác đều còn $SAD$ là tam giác vuông cân đỉnh $S.$ Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Tính các cạnh của tam giác $SIJ$ và chứng minh rằng $SI$ vuông góc với $(SCD), SJ$ vuông góc với $(SAB).$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $IJ.$ Chứng minh rằng $SH$ vuông góc $AC.$ Gọi $M$ là một điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho đường thẳng $BM$ vuông góc với $SA.$ Tính độ dài đoạn $AM$ theo $a.$

Đáp số. $SI=\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}$; $\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

3. Video bài giảng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

https://www.youtube.com/watch?v=aE-Ow2I5b7Q

https://www.youtube.com/watch?v=dKQiFn55Yzs

https://www.youtube.com/watch?v=LEcaaqpsCg4