Hướng dẫn cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Xem thêm

• Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện

• Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tập hợp các điểm chung đó của hai mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.

1. Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, chúng ta xét các khả năng sau:

• Nếu nhìn thấy ngay hai điểm chung $A$ và $B$ của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta).$

  Kết luận đường thẳng $AB$ chính là giao tuyến cần tìm.

• Nếu chỉ chỉ tìm được ngay một điểm chung $S$ của mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $(\beta).$ Lúc này, ta xét ba khả năng:

Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $I$ thì $SI$ chính là giao tuyến cần tìm.

Đối với các em học sinh lớp 11 đầu năm thì chưa học đến quan hệ song song trong không gian nên sử dụng các kết quả trên là đủ. Sau khi các em học sang phần đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc các em học sinh lớp 12 thì sẽ sử dụng thêm các kết quả sau:

- Hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ theo thứ tự chứa hai đường thẳng $d_1,d_2$ mà $d_1$ và $d_2$ song song với nhau thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $S$ đồng thời song song với cả $d_1,d_2.$

- Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $a$ mà $a$ lại song song với $(\beta)$ thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng $d$ đi qua $S$ đồng thời song song với đường thẳng $a.$

Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Một số lưu ý.

• Cho mặt phẳng $(ABC)$ thì các điểm $A,B,C$ thuộc mặt phẳng $(ABC);$ các đường thẳng $AB,AC,BC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, và do đó mọi điểm thuộc những đường thẳng này đều thuộc mặt phẳng $(ABC).$

• Hai đường thẳng chỉ cắt nhau được nếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng nào đó, nên khi gọi giao điểm của hai đường thẳng ta phải xét trong một mặt phẳng cụ thể.

• Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta chú ý tới tên gọi của chúng.

• Thường phải mở rộng mặt phẳng, tức là kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng đó.

2. Một số ví dụ tìm giao tuyến của 2 mp

Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $I$ là trung điểm của $BD.$ Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABD$ và $CBD.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IEF)$ và $(ABC).$

Hướng dẫn.

Rõ ràng $E$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ nên $E$ phải nằm trên đường thẳng $AI.$ Suy ra, điểm $A$ thuộc vào đường thẳng $IE.$ Tương tự, có điểm $F$ thuộc vào đường thẳng $CI.$

• Như vậy, chúng ta có:

  $$\begin{cases} A\in (ABC)\\ A\in IE \subset (IEF) \end{cases}$$

  hay $A$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(IEF)$ và $(ABC).$

• Tương tự, các em cũng chỉ ra được $C$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $(IEF)$ và $(ABC).$

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $(IEF)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $AC.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD.$ Đáy $ABCD$ có $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AC$ cắt $BD$ tại $F.$ Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

1. $(SAB)$ và $(SAC)$,

2. $(SAB)$ và $(SCD)$,

3. $(SAD)$ và $(SBC)$,

4. $(SAC)$ và $(SBD)$,

5. $(SEF)$ và $(SAD)$,

Hướng dẫn.

1. Dễ thấy  hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $SA.$

   

2. Ta thấy ngay $(SAB)$ và $(SCD)$ có một điểm chung là $S.$ Để tìm điểm chung thứ hai, chúng ta dựa vào đề bài $AB$ cắt $CD$ tại $E.$ Tức là có

   $$\begin{cases} E\in AB\subset (SAB)\\ E\in CD\subset (SCD) \end{cases}$$

   . Như vậy $E$ là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD).$

   Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SE.$

3. Tương tự ý 2, các em tìm được giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SF.$

4. Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$, trong đó $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

5. $(SEF)$ và $(SAD)$ chính là đường thẳng $SF.$

Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC.$ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(ADM)$ và mặt phẳng $(BCD).$

Hướng dẫn.

Đầu tiên, chúng ta thấy ngay một điểm chung của hai mặt phẳng $(ADM)$ và $(BCD)$ là điểm $D.$ Như vậy, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm một điểm chung nữa của hai mặt phẳng này.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $AM$ cắt $BC$ tại $N.$ Ta thấy

nên $N$ chính là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng $(ADM)$ và $(BCD).$

Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $(ADM)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $DN.$

Ví dụ 4. Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng $AB, AC, BD$ lấy lần lượt các điểm $M, N, P$ sao cho $MN$ không song song với $BC.$ Tìm giao tuyến của $(BCD)$ và $(MNP).$

Hướng dẫn.

Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).

Chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.

Khi đó,

• I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)

• I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)

Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$, $N$ thuộc miền trong tam giác $ABD.$ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(ACD).$

Hướng dẫn.

Trong mặt phẳng $(ABC)$, kéo dài $BM$ cắt $AC$ tại $P$ thì ta có:

• $P\in MB$ mà $MB$ nằm trong mặt phẳng $(BMN)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(BMN)$;

• $P\in AC$ mà $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ nên $P$ cũng thuộc mặt phẳng $(ACD)$;

Như vậy, $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(BMN)$ và  $(ACD).$

Tương tự, trong mặt phẳng $(ABD)$ kéo dài $BN$ cắt $AD$ tại $Q$ thì cũng chỉ ra được $Q$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(BMN)$ và  $(ACD).$

Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng $(BMN)$ và  $(ACD)$ là đường thẳng $PQ.$

Ví dụ 6. Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ thuộc miền trong tam giác $ABD,N$ thuộc miền trong tam giác $ACD.$ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$; mặt phẳng $(DMN)$ và $(ABC).$

Hướng dẫn.

Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC.$ Lấy $K$ thuộc $BD$ sao cho $KD<KB.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IJK)$ và $(ACD),(IJK)$ và $(ABD).$

Hướng dẫn.

Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD).$ Gọi $M,N$ là hai điểm trên cạnh $AB,AC.$ Xác định giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN).$

Hướng dẫn.

Ví dụ 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SC.$ Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(ABCD),(SAB),(SAD)$ và $(SAC).$

Hướng dẫn.

Ví dụ 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CD,SO.$ Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(SAB),(SAD),(SBC)$ và $(SCD).$

Hướng dẫn.