Bài tập Toán 12: Phương trình mặt phẳng trong không gian $Oxyz$

Tóm tắt chuyên đề: Chuyên đề Phương trình mặt phẳng trong không gian $Oxyz$: vectơ pháp tuyến, viết phương trình mặt phẳng, vị trí tương đối và khoảng cách có bài tập và lời giải chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:Cho mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$. Vectơ $\left. n≠\overrightarrow { 0 } \right.$ và có giá vuông góc với mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$. Nhận xét:

• Nếu $n$ là một vectơ pháp tuyến của $\left ( { α } \right. )$ thì $k⋅n$ $\left ( { k≠0 } \right. )$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left ( { α } \right. )$.

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:Cho mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$. Nếu hai vectơ $a$ và $\overrightarrow { b }$ không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ thì $a,b$ là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$. Nhận xét:

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương :

• Trong không gian $Oxyz$, nếu mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ nhận hai vectơ $a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. )$ và $\overrightarrow { b }=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. )$. làm cặp vectơ chỉ phương thì $\left ( { α } \right. )$ nhận $\left. n=\left[ a,\overrightarrow { b } \right] \right.$ làm vectơ pháp tuyến.

• $\left. \left[ a,\overrightarrow { b } \right]=\left ( { \left | { a_{ 2 } { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }a_{ 3 } b_{ 2 } { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }b_{ 3 } } \right. |;\left | { a_{ 3 } { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }a_{ 1 } { \rm{ } }b_{ 3 } { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }b_{ 1 } } \right. |;\left | { a_{ 1 } { \rm{ } }{ \rm{ } }a_{ 2 } b_{ 1 } { \rm{ } }{ \rm{ } }b_{ 2 } } \right. | } \right. )\,=\left ( { a_{ 2 } b_{ 3 } -a_{ 3 } b_{ 2 } ;a_{ 3 } b_{ 1 } -a_{ 1 } b_{ 3 } ;a_{ 1 } b_{ 2 } -a_{ 2 } b_{ 1 } } \right. ) \right.$.

• $a$ cùng phương với $\overrightarrow { b }$ $\left. \left. ⇔\left[ a,\overrightarrow { b } \right]=\overrightarrow { 0 } \right. \right.$.

• Nếu $\left. n=\left[ a,\overrightarrow { b } \right] \right.$ thì vectơ $n$ vuông góc với cả hai vectơ $a$ và $\overrightarrow { b }$. Chú ý

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:Trong không gian $Oxyz$, mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình:$Ax+By+Cz+D=0\,\,$ với $A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } ≠0$, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét:

• Nếu mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0\,$ (với $A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } ≠0$) thì vectơ $\,n=\left ( { A;\,B;\,C } \right. )$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$
• Cho mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0\,$. Khi đó:$$N_{ 0 } (x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } )∈\left ( { α } \right. )⇔Ax_{ 0 } +By_{ 0 } +Cz_{ 0 } +D=0\,$$

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một số điều kiện: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết vectơ pháp tuyến:

• Trong không gian $Oxyz$, phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm $M_{ 0 } \left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right. )$ và có vectơ pháp tuyến $\,n=\left ( { A;\,B;\,C } \right. )$ là:$A\left ( { x-x_{ 0 } } \right. )+B\left ( { y-y_{ 0 } } \right. )+C\left ( { z-z_{ 0 } } \right. )=0$ hay $Ax+By+Cz+D=0\,$ với $D=-Ax_{ 0 } -By_{ 0 } -Cz_{ 0 }$ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương:

• Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ đi qua điểm $M_{ 0 } \left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right. )$ và có cặp vectơ chỉ phương $a;b$, ta thực hiện như sau:Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến $n=\left[ a;b \right]$. Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ đi qua điểm $M_{ 0 } \left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right. )$ và có vectơ pháp tuyến $n$.

Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

• Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương $\left. \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } \right.$. Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến $\left. \left. n=\left[ \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } \right] \right. \right.$. Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ đi qua điểm $A$ (hoặc điểm $B$ hoặc điểm $C$) và có vectơ pháp tuyến $n$. Nhận xét:

• Mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ không đi qua gốc tọa độ $O$ và lần lượt cắt trục $Ox$ tại $A\left ( { a;0;0 } \right. )$, cắt trục $Oy$ tại $B\left ( { 0;b;0 } \right. )$, cắt trục $Oz$ tại $C\left ( { 0;0;c } \right. )$ có phương trình là $\frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1$. với $a.b.c≠0$.

• Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng song song:Trong không gian $Oxyz$, cho 2 mặt phẳng $\left ( { α_{ 1 } } \right. ):A_{ 1 } x+B_{ 1 } y+C_{ 1 } z+D_{ 1 } =0$ và $\left ( { α_{ 1 } } \right. ):A_{ 2 } x+B_{ 2 } y+C_{ 2 } z+D_{ 2 } =0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $n_{ 1 } =\left ( { A_{ 1 } ;B_{ 1 } ;C_{ 1 } } \right. ),\,{ \rm{ } }n_{ 2 } =\left ( { A_{ 2 } ;B_{ 2 } ;C_{ 2 } } \right. )$.

• Khi đó:$\left ( { α_{ 1 } } \right. ){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { α_{ 2 } } \right. )⇔\left\{ \begin{array}{l} \,n_{ 1 } =kn_{ 2 } D_{ 1 } ≠k.D_{ 2 } \end{array} \right.{ \rm{ } }\left ( { k∈\mathbb{R} } \right. )$
• $\left ( { α_{ 1 } } \right. )≡\left ( { α_{ 2 } } \right. )⇔\left\{ \begin{array}{l} \,n_{ 1 } =kn_{ 2 } D_{ 1 } =kD_{ 2 } \end{array} \right.{ \rm{ } }\left ( { k∈\mathbb{R} } \right. )$
• $\left ( { α_{ 1 } } \right. )∩\left ( { α_{ 2 } } \right. )$ $⇔\,n_{ 1 }$ và $n_{ 2 }$ không cùng phương.. Chú ý

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:Trong không gian $Oxyz$, cho 2 mặt phẳng $\left ( { α_{ 1 } } \right. ):A_{ 1 } x+B_{ 1 } y+C_{ 1 } z+D_{ 1 } =0$ và $\left ( { α_{ 1 } } \right. ):A_{ 2 } x+B_{ 2 } y+C_{ 2 } z+D_{ 2 } =0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $n_{ 1 } =\left ( { A_{ 1 } ;B_{ 1 } ;C_{ 1 } } \right. ),\,{ \rm{ } }n_{ 2 } =\left ( { A_{ 2 } ;B_{ 2 } ;C_{ 2 } } \right. )$.

• Khi đó:$\left ( { α_{ 1 } } \right. )⊥\left ( { α_{ 2 } } \right. )⇔n_{ 1 } .n_{ 2 } =0⇔A_{ 1 } A_{ 2 } +B_{ 1 } B_{ 2 } +C_{ 1 } C_{ 2 } =0$

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định nghĩaTrong không gian $Oxyz$,Oxyz, cho điểm $M_{ 0 } \left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right. )$ và mặt phẳng $\left ( { α } \right. ):Ax+By+Cz+D=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M_{ 0 }$ đến mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ được tính:$d\left ( { M_{ 0 } ,\left ( { α } \right. ) } \right. )=\frac { \left | { Ax_{ 0 } +By_{ 0 } +Cz_{ 0 } +D } \right. | } { \sqrt{ A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } } }$

5. Các mặt phẳng đặc biệt

Các mặt phẳng đặc biệt:TÍNH CHẤT MẶT PHẲNGPHƯƠNG TRÌNHHỆ SỐ ĐẶC BIỆT $\left ( { α } \right. )$ đi qua/chứa gốc $O$.$\left ( { α } \right. ):Ax+By+Cz=0$ $D=0$ $\left ( { α } \right. )$ song song/chứa $Ox$.$\left ( { α } \right. ):By+Cz+D=0$ $A=0$ $\left ( { α } \right. )$ song song/chứa $Oy$.$\left ( { α } \right. ):Ax+Cz+D=0$ $B=0$ $\left ( { α } \right. )$ song song/chứa $Oz$.$\left ( { α } \right. ):Ax+By+D=0$ $C=0$ $\left ( { α } \right. )$ song song/trùng $\left ( { Oxy } \right. )$.$\left ( { α } \right. ):Cz+D=0$ $A=B=0$ $\left ( { α } \right. )$ song song/trùng $\left ( { Oxz } \right. )$.$\left ( { α } \right. ):By+D=0$ $A=C=0$ $\left ( { α } \right. )$ song song/trùng $\left ( { Oyz } \right. )$.$\left ( { α } \right. ):Ax+D=0$ $B=C=0$ Nhận xét:

• Mặt phẳng không chứa ẩn nào thì mặt phẳng sẽ song song/chứa trục đó hoặc mặt phẳng không chứa ẩn nào thì mặt phẳng sẽ song song/chứa mặt phẳng đó.

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Một mặt phẳng có vô số véctơ pháp tuyến và chúng cùng phương với nhau.

• Chẳng hạn $n$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ thì $k⋅n$ $\left ( { k≠0 } \right. )$ cũng là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$.

• Nếu mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có cặp véctơ chỉ phương là $u_{ 1 } ;u_{ 2 }$ thì $\left ( { P } \right. )$ có véctơ pháp tuyến là $n=\left[ u_{ 1 } ;u_{ 2 } \right]$ Phương pháp

Ví dụ 1.1. Trong không gian $Oxyz$,mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ song song với giá của hai vectơ $a=\left ( { 1;-2;3 } \right. ),\,\,b=\left ( { 3;0;5 } \right. )$. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$.

Lời giải:

Gọi $n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$. Ta có :$n⊥a$ và $n⊥b$.

Nên chọn $n=\left[ a,\,b\, \right]=\left ( { -10;4;6 } \right. )$.

Ví dụ 1.2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( { P } \right. ):2y+x+3z-1=0.$ Xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$?

Lời giải:

Từ $\left ( { P } \right. ):2y+x+3z-1=0$ nếu lấy nhanh hệ số và $⇒n=\left ( { 2;1;3 } \right. )$ là sai do chưa lấy đúng hệ số trước x – y – z.

Sắp xếp đúng như sau:$$\left ( { P } \right. ):2y+x+3z-1=0⇔\left ( { P } \right. ):x+2y+3z-1=0$$ $⇒n=\left ( { 1;2;3 } \right. ).$

Ví dụ 1.3. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left ( { 2;1;-3 } \right. );B\left ( { 0;-2;5 } \right. )$ và $C\left ( { 1;1;3 } \right. )$. Tìm tọa độ vectơ $n$ có phương vuông góc với hai vectơ $\overrightarrow { AB }$ và $\overrightarrow { AC }$.

Lời giải:

Ta có:$\left. \left. \left. \overrightarrow { AB }=\left ( { -2;-3;8 } \right. );\overrightarrow { AC }=\left ( { -1;0;6 } \right. )⇒\left[ \overrightarrow { AB };\overrightarrow { AC } \right]=\left ( { -18;4;-3 } \right. ) \right. \right. \right.$.

Vậy:$\left. \left. n=\left[ \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } \right]=\left ( { -18;4;-3 } \right. ) \right. \right.$.

Dạng 2. PTMP khi biết điểm đi qua và cặp vecto chỉ phương

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua điểm $M\left ( { x_{ 0 } ;\,y_{ 0 } \,;z_{ 0 } } \right. )$ và có véctơ pháp tuyến là $n=\left ( { A;\,B;\,C } \right. )$ có dạng:$A\left ( { x-x_{ 0 } } \right. )+B\left ( { y-y_{ 0 } } \right. )+C\left ( { z-z_{ 0 } } \right. )=0$ $⇒Ax+By+Cz+D=0$ (với $D=-Ax_{ 0 } -By_{ 0 } -Cz_{ 0 }$).

• Nếu mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có cặp véctơ chỉ phương là $u_{ 1 } ;u_{ 2 }$ thì $\left ( { P } \right. )$ có véctơ pháp tuyến là $n=\left[ u_{ 1 } ;u_{ 2 } \right]$

  

Phương pháp

Ví dụ 2.1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua điểm $M\left ( { 2\,;\,1\,;-3 } \right. )$ có véctơ pháp tuyến là $n=\left ( { 3;\,-2;\,6 } \right. )$.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua điểm $M\left ( { 2\,;\,1\,;-3 } \right. )$ có véctơ pháp tuyến là $n=\left ( { 3;\,-2;\,6 } \right. )$ có dạng:$3\left ( { x-2 } \right. )-2\left ( { y-1 } \right. )+6\left ( { z+3 } \right. )=0$ $⇔3x-2y+6z+14=0$.

Ví dụ 2.2. Trong không gian $Oxyz$. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua điểm $M\left ( { 2\,;\,-1\,;0 } \right. )$ và có cặp véctơ chỉ phương là $$a=\left ( { 2;\,1\,;\,3 } \right. ),b=\left ( { 1;\,1\,;\,2 } \right. )$$

Lời giải:

Mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có cặp véctơ chỉ phương là $$a=\left ( { 2;\,1\,;\,3 } \right. ),b=\left ( { 1;\,1\,;\,2 } \right. )$$ nên có vectơ pháp tuyến là $n=\left[ a;b \right]=\left ( { -1\,;-1\,;1 } \right. )$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua điểm $M\left ( { 2\,;\,-1\,;0 } \right. )$ có véctơ pháp tuyến là $n=\left ( { -1\,;-1\,;1 } \right. )$ có dạng:$-1\left ( { x-2 } \right. )-1\left ( { y+1 } \right. )+1\left ( { z-0 } \right. )=0$ $⇔-x-y+z+1=0$.

Dạng 3. PTMP qua ba điểm không thẳng hàng

• Phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ di qua $A\,;\,B\,;\,C$ không thẳng hàng. Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương $\left. \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } \right.$. Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến $\left. \left. n=\left[ \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } \right] \right. \right.$. Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ đi qua điểm $A$ (hoặc điểm $B$ hoặc điểm $C$) và có vectơ pháp tuyến $n$.

• Phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là phương trình mặt chắn, tức mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua $$A\left ( { a\,;\,0\,;\,0 } \right. )\,;\,B\left ( { 0\,;\,b\,;\,0 } \right. )\,;\,C\left ( { 0\,;\,0\,;\,c } \right. )$$ có dạng:$\left ( { P } \right. ):\frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1$.

Phương pháp

Ví dụ 3.1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$⑴ Với ba điểm $A\left ( { -1;0;3 } \right. ),$ $B\left ( { 2;-1;1 } \right. ),$ $C\left ( { 1;-1;0 } \right. )$. ⑵ Với ba điểm $A\left ( { 1\,;0\,;2 } \right. ),B\left ( { -2\,;3\,;1 } \right. ),C\left ( { 3\,;2\,;1 } \right. )$.

Lời giải:

⑴ Với ba điểm $A\left ( { -1;0;3 } \right. ),$ $B\left ( { 2;-1;1 } \right. ),$ $C\left ( { 1;-1;0 } \right. )$.

Ta có $\left. \overrightarrow { AB }=\left ( { 3;-1;-2 } \right. );\overrightarrow { AC }=\left ( { 2;-1;-3 } \right. ) \right.$

Mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$ có vectơ pháp tuyến $\left. \left. \overrightarrow { n }=\left[ \overrightarrow { AC };\overrightarrow { AB } \right]=\left ( { -1;-5;1 } \right. ) \right. \right.$.

Phương trình mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$ là $-(x+1)-5y+z-3=0⇔-x-5y+z-4=0$

⑵ Với ba điểm $A\left ( { 1\,;0\,;2 } \right. ),B\left ( { -2\,;3\,;1 } \right. ),C\left ( { 3\,;2\,;1 } \right. )$.

Ta có:$\left. \overrightarrow { AB }=\left ( { -3\,;3\,;-1 } \right. ),\,\overrightarrow { AC }=\left ( { 2\,;2\,;-1 } \right. ) \right.$.

Mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có một véctơ pháp tuyến là $\left. \left. n=\left[ \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } \right]=\left ( { -1\,;\,-5\,;\,-12 } \right. ) \right. \right.$.

Phương trình mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$ là $-x-5y-12z+25=0⇔x+5y+12z-25=0$

Ví dụ 3.2. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left ( { ABC } \right. )$⑴ Với ba điểm $M\left ( { 2;\,0;\,0 } \right. )$,$N\left ( { 0;\,-1;\,0 } \right. )$,$P\left ( { 0;\,0;\,2 } \right. )$. ⑵ Với ba điểm $M\left ( { 0;-2;0 } \right. ),N\left ( { 3;0;0 } \right. ),P\left ( { 0;0;-3 } \right. )$.

Lời giải:

⑴ Với ba điểm $M\left ( { 2;\,0;\,0 } \right. )$,$N\left ( { 0;\,-1;\,0 } \right. )$,$P\left ( { 0;\,0;\,2 } \right. )$.

Ta có:$M\left ( { 2;\,0;\,0 } \right. )$,$N\left ( { 0;\,-1;\,0 } \right. )$,$P\left ( { 0;\,0;\,2 } \right. )$ $⇒\left ( { MNP } \right. ):\frac { x } { 2 }+\frac { y } { -1 }+\frac { z } { 2 }=1⇔x-2y+z-2=0$

⑵ Với ba điểm $M\left ( { 0;-2;0 } \right. ),N\left ( { 3;0;0 } \right. ),P\left ( { 0;0;-3 } \right. )$.

Ta có:$M\left ( { 0;-2;0 } \right. ),N\left ( { 3;0;0 } \right. ),P\left ( { 0;0;-3 } \right. )$ $⇒\left ( { MNP } \right. ):\frac { x } { 3 }+\frac { y } { -2 }+\frac { z } { -3 }=1$

$$⇔\frac { x } { 3 }-\frac { y } { 2 }-\frac { z } { 3 }=1⇔2x-3y-2z-6=0$$

Ví dụ 3.3. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ chứa điểm $M\left ( { 1\,;\,3\,;\,-2 } \right. )$, cắt các tia $Ox$,$Oy$,$Oz$ lần lượt tại $A$,$B$,$C$ sao cho $\frac { OA } { 1 }=\frac { OB } { 2 }=\frac { OC } { 4 }$.

Lời giải:

Phương trình mặt chắn cắt tia $Ox$ tại $A\left ( { a\,;\,0\,;\,0 } \right. )$, cắt tia $Oy$ tại $B\left ( { 0\,;\,b\,;\,0 } \right. )$, cắt tia $Oz$ tại $C\left ( { 0\,;\,0\,;\,c } \right. )$ có dạng là $\left ( { P } \right. )$:$\frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1$ (với $a>0$,$b>0$,$c>0$).

Theo đề:$\frac { OA } { 1 }=\frac { OB } { 2 }=\frac { OC } { 4 }$ $⇔\frac { a } { 1 }=\frac { b } { 2 }=\frac { c } { 4 }$ $⇒\left\{ \begin{array}{l} a=\frac { b } { 2 }c=2b \end{array} \right.$.

Vì $M\left ( { 1\,;\,3\,;\,-2 } \right. )$ nằm trên mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ nên ta có:$\frac { 1 } { \frac { b } { 2 } }+\frac { 3 } { b }+\frac { -2 } { 2b }=1$ $⇔\frac { 4 } { b }=1$ $⇔b=4$.

Khi đó $a=2$,$c=8$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là:$\frac { x } { 2 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 8 }=1$ $⇔4x+2y+z-8=0$.

Dạng 4. PTMP trung trực của đoạn thẳng

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ trung trực đoạn thẳng $AB$ Bước 1: Véctơ pháp tuyến của mặt $\left ( { α } \right. )$ là:$\left. n=\overrightarrow { AB } \right.$. Bước 2: Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$. Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ đi qua điểm $I$ và có vectơ pháp tuyến $\left. n=\overrightarrow { AB } \right.$.

Phương pháp

Ví dụ 4.1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { 4;0;1 } \right. )$ và $B\left ( { -2;2;3 } \right. ).$ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Lời giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow { AB }=\left ( { -\,6;2;2 } \right. )$ và đi qua trung điểm $I\left ( { 1;1;2 } \right. )$ của đoạn thẳng AB.

Do đó, ta có:$-\,6\left ( { x-1 } \right. )+2\left ( { y-1 } \right. )+2\left ( { z-2 } \right. )=0⇔-6x+2y+2z=0⇔3x-y-z=0.$

Ví dụ 4.2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { -3;\,2;\,1 } \right. )$ và $B\left ( { 5;\,-4;\,1 } \right. )$. Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left ( { Oxy } \right. )$, và $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $\left ( { Oyz } \right. )$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $\left ( { P } \right. )$ của đoạn thẳng $MN$.

Lời giải:

$M$ là hình chiếu của $A\left ( { -3;\,2;\,1 } \right. )$ trên trục $\left ( { Oxy } \right. )$ nên ta có $M\left ( { -3;2;0 } \right. )$.

$N$ là đối xứng với $B\left ( { 5;\,-4;\,1 } \right. )$ qua $\left ( { Oyz } \right. )$ nên ta có $N\left ( { -5;-4;1 } \right. )$.

Gọi $I$ là trung điểm $MN$. Ta có $I\left ( { -4;-1;\frac { 1 } { 2 } } \right. )$ và $\overrightarrow { MN }=\left ( { -2;-6;1 } \right. )$

Phương trình mặt phẳng $2\left ( { x+4 } \right. )+6\left ( { y+1 } \right. )-1\left ( { z-\frac { 1 } { 2 } } \right. )=0$ $⇔4x+12y-2z+29=0.$

Ví dụ 4.3. Trong không gian $Oxyz$, cho hình vuôngABCDbiết $A\left ( { 1;2;1 } \right. ),B\left ( { 3;0;0 } \right. ),$ $C\left ( { 1;-1;-2 } \right. ),D\left ( { -1;1;-1 } \right. )$. Giả sử $I\left ( { a;b;c } \right. )$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuôngABCDvà $G$ là trọng tâmtam giác $ABC$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $GI$.

Lời giải:

VìABCDlà hình vuông nên tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuôngABCDlà giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Khi đó $I\left ( { 1;\frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right. )$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\left ( { \frac { 5 } { 3 };\frac { 1 } { 3 };\frac { -1 } { 3 } } \right. )$.

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $GI$ nên $M\left ( { \frac { 4 } { 3 };\frac { 5 } { 12 };-\frac { 5 } { 12 } } \right. )$

Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng $GI$:

$-4\left ( { x-\frac { 4 } { 3 } } \right. )+\left ( { y-\frac { 5 } { 12 } } \right. )-\left ( { z+\frac { 5 } { 12 } } \right. )=0⇔8x-2y+2z-9=0$.

Ví dụ 4.4. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộpABCD.A'B'C'D', biết rằng $A\left ( { -3;0;0 } \right. )$,$B\left ( { 0;2;0 } \right. )$,$D\left ( { 0;0;1 } \right. )$,$A'\left ( { 1;2;3 } \right. )$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $C'D$.

Lời giải:

Gọi $C'\left ( { x;y;z } \right. )$. Ta có $\overrightarrow { AB }=\left ( { 3;2;0 } \right. )$;$\overrightarrow { AD }=\left ( { 3;0;1 } \right. )$;$\overrightarrow { AA' }=\left ( { 4;2;3 } \right. )$.

Mà $\left. \left. \left. \overrightarrow { AC' }=\overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AD }+\overrightarrow { AA' } \right. \right. \right.$ $\left. ⇒\overrightarrow { AC' }=\left ( { 10;4;4 } \right. ) \right.$ $⇒\left\{ \begin{array}{l} x=10-3y=4-0z=4-0 \end{array} \right.$ $⇒C'\left ( { 7;4;4 } \right. )$.

Khi đó mặt phẳng trung trực của $C'D$:$\left. \left\{ \begin{array}{l} { \rm{ q } }{ \rm{ u } }{ \rm{ a } }\,\,I\left ( { \frac { 13 } { 2 };2;\frac { 5 } { 2 } } \right. )n=\overrightarrow { C'D }=\left ( { -7;-4;-3 } \right. ) \end{array} \right. \right.$

có phương trình là $7\left ( { x-\frac { 13 } { 2 } } \right. )+4\left ( { y-2 } \right. )+3\left ( { z-\frac { 5 } { 2 } } \right. )=0$ $⇔7x+4y+3z-61=0$.

Dạng 5. PTMP 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ LoạiPhương pháp⑴ Qua $M\left ( { x_{ 0 } \,;\,y_{ 0 } \,;\,z_{ 0 } } \right. )$ và song song $\left ( { β } \right. ):Ax+By+Cz+D=0$.

⌘ Cách 1:≫ Véctơ pháp tuyến $\left ( { α } \right. )$ là:$$n_{ \left ( { α } \right. ) } =n_{ \left ( { β } \right. ) } =\left ( { A\,;\,B\,;\,C } \right. ).$$≫ Mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ qua điểm $M$. ⌘ Cách 2: ≫ Do $\left ( { α } \right. ){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { β } \right. )⇒$ $\left ( { α } \right. ):Ax+By+Cz+D'=0$ $\left ( { D≠D' } \right. )$≫ Thay điểm $M$ vào $\left ( { α } \right. )⇒D'=?⇒$ $\left ( { α } \right. )$.⑵ Song song $\left ( { P } \right. ):Ax+By+Cz+D=0$ và cách $\left ( { P } \right. )$ một khoảng bằng $k$.

≫ Vì $\left ( { α } \right. ){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { P } \right. )⇒$ $\left ( { α } \right. ):Ax+By+Cz+D'=0$ $\left ( { D≠D' } \right. )$.≫ Vì $\left ( { α } \right. )$ cách $\left ( { P } \right. )$ một khoảng bằng $k$ $⇒d\left ( { \left ( { α } \right. )\,;\,\left ( { P } \right. ) } \right. )=k d\left ( { M\,;\,\left ( { P } \right. ) } \right. )=k$ $⇔\frac { \left | { D-D' } \right. | } { \sqrt{ A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } } }=k⇒D'=?$≫ Có $D'⇒$ phương trình mặt $\left ( { P } \right. )$ hoàn chỉnh. Phương pháp

Ví dụ 5.1. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng qua điểm $A\left ( { -1;1;2 } \right. )$ và song song với mặt phẳng $\left ( { α } \right. ):2x-2y+z-1=0$ có phương trình là?

Lời giải:

Có $\left ( { P } \right. )$ song song $\left ( { α } \right. ):2x-2y+z-1=0$ nên $\left ( { P } \right. ):2x-2y+z+m=0$, với $m≠-1$.

Do $\left ( { P } \right. )$ đi qua điểm $A\left ( { -1;1;2 } \right. )$ nên $+2+m=0⇔m=2$ (nhận)

Vậy măt phẳng cần tìm là $\left ( { P } \right. ):2x-2y+z+2=0$.

Ví dụ 5.2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( { Q } \right. ):x+2y+2z-3=0$ và mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ không qua $O$, song song mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ và $d\left ( { \left ( { P } \right. );\left ( { Q } \right. ) } \right. )=1.$ Phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ là?

Lời giải:

Gọi phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có dạng $x+2y+2z+d=0$ Với $d≠0;d≠-3$.

Có $d\left ( { \left ( { P } \right. );\left ( { Q } \right. ) } \right. )=1⇔\frac { \left | { d+3 } \right. | } { \sqrt{ 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=1⇒\left[ d=0d=-6 \right.$.

Kết hợp điều kiện $⇒$ $\left ( { P } \right. )$ có dạng:$x+2y+2z-6=0$.

Ví dụ 5.3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left ( { α_{ 1 } } \right. ):3x-y+z-2=0,$ $\left ( { α_{ 2 } } \right. ):x+4y-5=0$ đồng thời song song với mặt phẳng $\left ( { α_{ 3 } } \right. ):2x+21y-z+7=0$. Viết phương trình của mặt phẳng .

Lời giải:

$\left ( { P } \right. ){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { α_{ 3 } } \right. )⇒\left ( { P } \right. ):2x+21y-z+m=0\,\,\left ( { m≠-7 } \right. )$

Gọi $d$ là giao tuyến của $\left ( { α_{ 1 } } \right. );\left ( { α_{ 2 } } \right. )$ $d:\left\{ \begin{array}{l} \left ( { α_{ 1 } } \right. ):3x-y+z-2=0\left ( { α_{ 2 } } \right. ):x+4y-5=0 \end{array} \right.$

Cho $\xrightarrow {\mathrm{ y=0 }}\left\{ \begin{array}{l} 3x+z-2=0x-5=0 \end{array} \right.⇒M\left ( { 5;0;-13 } \right. )$ và $\xrightarrow {\mathrm{ z=0 }}\left\{ \begin{array}{l} 3x-y-2=0x+4y-5=0 \end{array} \right.→N\left ( { 1;1;0 } \right. )$

$M∈\left ( { P } \right. )⇒2.5+21.0-\left ( { -13 } \right. )+m=0⇒m=-23$

$N∈\left ( { P } \right. )⇒2.1+21.1-0+m=0⇒m=-23$

Vậy $2x+21y-z-23=0$.

Ví dụ 5.4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( { P } \right. ):2x-2y+z-5=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ song song với mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$, cách $\left ( { P } \right. )$ một khoảng bằng 3 và cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ dương.

Lời giải:

$\left ( { Q } \right. ){ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { P } \right. )$ nên mặt phẳng $\left ( { Q } \right. ):2x-2y+z+C=0$;$C≠-5$, chọn $M\left ( { 0\,;\,0\,;\,5 } \right. )∈\left ( { P } \right. )$

Ta có $d\left ( { \left ( { P } \right. )\,;\,\left ( { Q } \right. ) } \right. )=d\left ( { M\,;\,\left ( { Q } \right. ) } \right. )=\frac { \left | { 5+C } \right. | } { \sqrt{ 2 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=3$ $⇔\left[ C=4C=-14 \right.$