Để làm được các bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°, các em học sinh cần khi nắm vững định nghĩa và các công thức trong bài Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ .
Bài 1. Cho sin x = 5 13 ( 90 ∘ < x < 180 ∘ ) . \sin x =\frac{5}{13}\left(90^{\circ}<x<180^{\circ}\right). sin x = 13 5 ( 9 0 ∘ < x < 18 0 ∘ ) .
Hướng dẫn. Từ đẳng thức sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2x+\cos^2x=1 sin 2 x + cos 2 x = 1
cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − 25 169 = 144 169 \cos ^{2} x =1-\sin ^{2} x =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}
cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − 169 25 = 169 144 Mặt khác, 90 ∘ < x < 180 ∘ 90^{\circ}<x<180^{\circ} 9 0 ∘ < x < 18 0 ∘ cos x < 0. \cos x <0. cos x < 0.
cos x = − 12 13 \cos x=-\frac{12}{13}
cos x = − 13 12 Từ đó tính được tan x = 5 13 ⋅ − 13 12 = − 5 12 , cot x = − 12 5 . \tan x=\frac{5}{13} \cdot-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}, \cot x=-\frac{12}{5}. tan x = 13 5 ⋅ − 12 13 = − 12 5 , cot x = − 5 12 .
Bài 2. Biết cot 15 ∘ = 2 + 3 . \cot 15^\circ=2+\sqrt{3}. cot 1 5 ∘ = 2 + 3 . 15 ∘ . 15^{\circ}. 1 5 ∘ .
Hướng dẫn. Dễ dàng có ngay
tan 15 ∘ = 1 2 + 3 = 2 − 3 \tan 15^{\circ}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}
tan 1 5 ∘ = 2 + 3 1 = 2 − 3 Để tính cos 15 ∘ \cos 15^\circ cos 1 5 ∘
1 + tan 2 x = 1 cos 2 x 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2x}
1 + tan 2 x = cos 2 x 1 Ta có
1 cos 2 15 ∘ = 1 + tan 2 15 ∘ = 4 ( 2 − 3 ) \frac{1}{\cos ^{2} 15^{\circ}}=1+\tan ^{2} 15^{\circ}=4(2-\sqrt{3})
c o s 2 1 5 ∘ 1 = 1 + tan 2 1 5 ∘ = 4 ( 2 − 3 ) Suy ra
cos 2 15 ∘ = 1 4 ( 2 − 3 ) = 2 + 3 4 \cos ^{2} 15^\circ=\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}
cos 2 1 5 ∘ = 4 ( 2 − 3 ) 1 = 4 2 + 3 Lưu ý rằng 15 ∘ 15^\circ 1 5 ∘
cos 15 ∘ = 2 + 3 2 \cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}
cos 1 5 ∘ = 2 2 + 3 Cuối cùng, ta tính
sin 15 ∘ = tan 15 ∘ ⋅ cos 15 ∘ = 2 − 3 2 \sin 15^\circ=\tan 15^\circ \cdot \cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
sin 1 5 ∘ = tan 1 5 ∘ ⋅ cos 1 5 ∘ = 2 2 − 3 Bài 3. Cho tan α = 3. \tan \alpha=3. tan α = 3.
2 sin α + 3 cos α 4 sin α − 11 cos α \frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha} 4 s i n α − 11 c o s α 2 s i n α + 3 c o s α
3 sin α − 2 cos α sin 3 α − 17 cos 3 α \frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha} s i n 3 α − 17 c o s 3 α 3 s i n α − 2 c o s α
**Hướng dẫn.
Chia hai vế cho cos α \cos\alpha cos α
2 sin α + 3 cos α 4 sin α − 11 cos α = 2 tan α + 3 4 tan α − 11 = 11 \frac{2 \sin \alpha+3 \cos \alpha}{4 \sin \alpha-11 \cos \alpha}=\frac{2 \tan \alpha+3}{4 \tan \alpha-11}=11
4 sin α − 11 cos α 2 sin α + 3 cos α = 4 tan α − 11 2 tan α + 3 = 11 Chia hai vế cho cos 3 α \cos^3\alpha cos 3 α
3 sin α − 2 cos α sin 3 α − 17 cos 3 α = 3 tan α − 2 tan 3 α − 17 ⋅ 1 cos 2 α = 3 tan α − 2 tan 3 α − 17 ( 1 + tan 2 α ) = 7 \begin{aligned}
\frac{3 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{\sin ^{3} \alpha-17 \cos ^{3} \alpha}&=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\\
&=\frac{3 \tan \alpha-2}{\tan ^{3} \alpha-17}\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=7
\end{aligned}
sin 3 α − 17 cos 3 α 3 sin α − 2 cos α = tan 3 α − 17 3 tan α − 2 ⋅ cos 2 α 1 = tan 3 α − 17 3 tan α − 2 ( 1 + tan 2 α ) = 7
Bài 4. Cho tana + + + = m ={m} = m m {m} m
tan 2 a + cot 2 a \tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a} tan 2 a + cot 2 a
tan 3 a + cot 3 a \tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a} tan 3 a + cot 3 a
∣ tan a − cot a ∣ \mid \tan a- \cot a \mid ∣ tan a − cot a ∣
**Hướng dẫn.
tan 2 a + cot 2 a = ( tan a + cot a ) 2 − 2 tan a ⋅ cot a = m 2 − 2 \tan ^{2} {a}+\cot ^{2} {a}=(\tan {a}+\cot a)^{2}-2 \tan a \cdot \cot a={m}^{2}-2 tan 2 a + cot 2 a = ( tan a + cot a ) 2 − 2 tan a ⋅ cot a = m 2 − 2
tan 3 a + cot 3 a = ( tan a + cot a ) 3 − 3 tan a ⋅ cot a ( tan a + cot a ) = m 3 − 3 m \tan ^{3} {a}+\cot ^{3} {a}=(\tan {a}+\cot {a})^{3}-3 \tan a \cdot \cot {a}(\tan {a}+\cot {a})={m}^{3}-3 {m} tan 3 a + cot 3 a = ( tan a + cot a ) 3 − 3 tan a ⋅ cot a ( tan a + cot a ) = m 3 − 3 m
∣ tan a − cot a ∣ = ( tan a + cot a ) 2 − 2 tan a cot a = m 2 − 2 |\tan a-\cot a|=\sqrt{(\tan a+\cot a)^{2}-2 \tan a \cot a}=\sqrt{m^{2}-2} ∣ tan a − cot a ∣ = ( tan a + cot a ) 2 − 2 tan a cot a = m 2 − 2
Bài 5. Cho sin a + cos a = m \sin a +\cos a=m sin a + cos a = m m m m
sin a cos a \sin a \cos a sin a cos a
∣ sin a – cos a ∣ |\sin a – \cos a | ∣ sin a– cos a ∣
sin 3 a + cos 3 a \sin ^{3} a+\cos ^{3} a sin 3 a + cos 3 a
sin 4 a + cos 4 a \sin ^{4} a+\cos ^{4} a sin 4 a + cos 4 a
Bài 6. Chứng minh rằng:
tan 2 a − sin 2 a cot 2 a − cos 2 a = tan 6 a \frac{\tan ^{2} a-\sin ^{2} a}{\cot ^{2} a-\cos ^{2} a}=\tan ^{6} a c o t 2 a − c o s 2 a t a n 2 a − s i n 2 a = tan 6 a
sin 2 a tan 2 a + 4 sin 2 a − tan 2 a + 3 cos 2 a = 3 \sin ^{2} a\tan^{2} a+4 \sin ^{2} a-\tan ^{2} a+3 \cos ^{2} a=3 sin 2 a tan 2 a + 4 sin 2 a − tan 2 a + 3 cos 2 a = 3
sin a + cos a cos 3 a = 1 + tan a + tan 2 a + tan 3 a \frac{\sin a+\cos a}{\cos ^{3} a}=1+\tan a+\tan ^{2} a+\tan ^{3} a c o s 3 a s i n a + c o s a = 1 + tan a + tan 2 a + tan 3 a
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
cos 4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x − 1 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x=2 \cos ^{2} x-1 cos 4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x − 1
cot 2 x − cos 2 x = cos 2 x ⋅ cot 2 x \cot ^{2} x-\cos ^{2} x=\cos ^{2} x \cdot \cot ^{2} x cot 2 x − cos 2 x = cos 2 x ⋅ cot 2 x
tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x ⋅ sin 2 x \tan ^{2} x-\sin ^{2} x=\tan ^{2} x \cdot \sin ^{2} x tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x ⋅ sin 2 x
( sin x + cos x ) 2 + ( sin x − cos x ) 2 = 2 (\sin x+\cos x)^{2}+(\sin x-\cos x)^{2}=2 ( sin x + cos x ) 2 + ( sin x − cos x ) 2 = 2
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
2 ( sin 6 x + cos 6 x ) − 3 ( sin 4 x + cos 4 x ) 2\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)-3\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right) 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) − 3 ( sin 4 x + cos 4 x )
2 cos 4 x − sin 4 x + sin 2 x cos 2 x + 3 sin 2 x 2 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x 2 cos 4 x − sin 4 x + sin 2 x cos 2 x + 3 sin 2 x
( sin 4 x + cos 4 x − 1 ) ( tan 2 x + cot 2 x + 2 ) \left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x-1\right)\left(\tan ^{2} x+\cot ^{2} x+2\right) ( sin 4 x + cos 4 x − 1 ) ( tan 2 x + cot 2 x + 2 )
