Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Lý thuyết chuẩn Toán 10 Bài 5: Nửa đường tròn đơn vị, định nghĩa sin, cos, tan, cot cho góc từ 0° đến 180°, tính chất góc bù nhau, các hệ thức lượng giác cơ bản, widget nửa đường tròn đơn vị tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

#Toán học#Toán 10#Hình học 10#Lượng giác#Nửa đường tròn đơn vị#Giá trị lượng giác#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết19 mục

Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Ở lớp 9, các em đã làm quen với tỉ số lượng giác của góc nhọn (sin⁡,cos⁡,tan⁡,cot⁡\sin, \cos, \tan, \cot) gắn liền với tam giác vuông thông qua các câu khẩu quyết quen thuộc: "Sao Đi Học, Cứ Khóc Hoài, Thôi Đừng Khóc, Có Kẹo Đây".

Tuy nhiên, trong thực tế và trong hình học giải tích:

  • Một tam giác có thể có góc tù (lớn hơn 90∘90^\circ).
  • Hướng di chuyển của tàu thủy, máy bay có thể tạo với phương bắc một góc tù bất kỳ.
  • Trong vật lý, công cơ học A=F⋅s⋅cos⁡αA = F \cdot s \cdot \cos\alpha có thể âm khi góc cản α>90∘\alpha > 90^\circ.

Để giải quyết vấn đề này, các nhà toán học đã mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác lên mọi góc từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ bằng một công cụ hình học tuyệt đẹp: Nửa đường tròn đơn vị.

1. Sơ đồ tư duy: Giá trị lượng giác từ 0° đến 180°

1. Nửa đường tròn đơn vị

• Bán kính R=1R = 1, tâm tại gốc O(0;0)O(0; 0) thuộc nửa mặt phẳng y⩾0y \ge 0.
• Điểm M(x0;y0)M(x_0; y_0) trên nửa đường tròn sao cho xOM^=α\widehat{xOM} = \alpha:
  + sin⁡α=y0\sin\alpha = y_0 (tung độ)
  + cos⁡α=x0\cos\alpha = x_0 (hoành độ)
  + tan⁡α=y0x0\tan\alpha = \frac{y_0}{x_0} (α≠90∘\alpha \ne 90^\circ)
  + cot⁡α=x0y0\cot\alpha = \frac{x_0}{y_0} (α≠0∘,180∘\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ)

2. Dấu của giá trị lượng giác

• Với mọi α∈[0∘;180∘]\alpha \in [0^\circ; 180^\circ]: sin⁡α⩾0\sin\alpha \ge 0.
• Khi α\alpha nhọn (0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ):
  cos⁡α>0,tan⁡α>0,cot⁡α>0\cos\alpha > 0, \tan\alpha > 0, \cot\alpha > 0.
• Khi α\alpha tù (90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ):
  cos⁡α<0,tan⁡α<0,cot⁡α<0\cos\alpha < 0, \tan\alpha < 0, \cot\alpha < 0.
• Tại α=90∘\alpha = 90^\circ: sin⁡90∘=1,cos⁡90∘=0\sin 90^\circ = 1, \cos 90^\circ = 0.

3. Hai góc bù nhau

• "Sin bù":
  sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
  cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
  tan⁡(180∘−α)=−tan⁡α\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha
  cot⁡(180∘−α)=−cot⁡α\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha

4. 4 hệ thức cơ bản

• sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
• tan⁡α=sin⁡αcos⁡α,cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
• 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} (α≠90∘\alpha \ne 90^\circ)
• 1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} (α≠0∘,180∘\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ)
• tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1.

2. Khởi động: 5 câu hỏi phản xạ nhanh

  1. Góc α\alpha nằm trong khoảng nào thì cos⁡α<0\cos\alpha < 0?
    Đáp án: Khi α\alpha là góc tù (90∘<α⩽180∘90^\circ < \alpha \le 180^\circ).
  2. Giá trị sin⁡150∘\sin 150^\circ bằng bao nhiêu?
    Đáp án: Dùng tính chất góc bù: sin⁡150∘=sin⁡(180∘−150∘)=sin⁡30∘=12.\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
  3. Giá trị cos⁡120∘\cos 120^\circ bằng bao nhiêu?
    Đáp án: cos⁡120∘=−cos⁡(180∘−120∘)=−cos⁡60∘=−12.\cos 120^\circ = -\cos(180^\circ - 120^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.
  4. Tại sao tan⁡90∘\tan 90^\circ không xác định?
    Đáp án: Vì tại 90∘90^\circ, hoành độ x0=cos⁡90∘=0x_0 = \cos 90^\circ = 0, mà mẫu số của tan⁡=y0x0\tan = \frac{y_0}{x_0} bằng 0 nên phép chia không xác định.
  5. Tổng sin⁡240∘+sin⁡2140∘+cos⁡240∘\sin^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ + \cos^2 40^\circ rút gọn lại thành gì?
    Đáp án: Ta có sin⁡240∘+cos⁡240∘=1\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1, và sin⁡140∘=sin⁡40∘\sin 140^\circ = \sin 40^\circ, do đó tổng bằng 1+sin⁡240∘1 + \sin^2 40^\circ.

3. Lý thuyết trọng tâm

3.1. Nửa đường tròn đơn vị & Định nghĩa giá trị lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, nửa đường tròn tâm O(0;0)O(0; 0) bán kính R=1R = 1 nằm phía trên trục hoành (y⩾0y \ge 0) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc α\alpha thỏa mãn 0∘⩽α⩽180∘0^\circ \le \alpha \le 180^\circ, luôn tồn tại duy nhất một điểm M(x0;y0)M(x_0; y_0) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho:

xOM^=α\widehat{xOM} = \alpha

Khi đó, các giá trị lượng giác của góc α\alpha được định nghĩa như sau:

  • Sin của α\alpha: sin⁡α=y0\sin\alpha = y_0 (tung độ của điểm MM).
  • Côsin của α\alpha: cos⁡α=x0\cos\alpha = x_0 (hoành độ của điểm MM).
  • Tang của α\alpha: tan⁡α=y0x0=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{y_0}{x_0} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (xác định với α≠90∘\alpha \ne 90^\circ).
  • Côtang của α\alpha: cot⁡α=x0y0=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \frac{x_0}{y_0} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (xác định với α≠0∘\alpha \ne 0^\circ và α≠180∘\alpha \ne 180^\circ).
Ghi nhớ
  • Trục tung OyOy còn được gọi là trục Sin.
  • Trục hoành OxOx còn được gọi là trục Cos.
  • Vì M(x0;y0)M(x_0; y_0) nằm trên nửa đường tròn đơn vị (y⩾0y \ge 0 và x2+y2=1x^2 + y^2 = 1), nên:0⩽sin⁡α⩽10 \le \sin\alpha \le 1−1⩽cos⁡α⩽1-1 \le \cos\alpha \le 1

3.2. Mối quan hệ giữa hai góc bù nhau (180∘−α180^\circ - \alpha)

Hai góc bù nhau có tổng số đo bằng 180∘180^\circ. Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm M(α)M(\alpha) và M′(180∘−α)M'(180^\circ - \alpha) đối xứng nhau qua trục tung OyOy.
Do đó chúng có cùng tung độ và hoành độ đối nhau:

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alphacos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alphatan⁡(180∘−α)=−tan⁡α(α≠90∘)\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \quad (\alpha \ne 90^\circ)cot⁡(180∘−α)=−cot⁡α(0∘<α<180∘)\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha \quad (0^\circ < \alpha < 180^\circ)
Mẹo hay

Khẩu quyết nhớ dấu: "Sin bù" — Nghĩa là hai góc bù nhau thì giá trị sin⁡\sin giữ nguyên, còn cos⁡,tan⁡,cot⁡\cos, \tan, \cot đều đổi dấu trừ.

3.3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

| α\alpha | 0∘0^\circ | 30∘30^\circ | 45∘45^\circ | 60∘60^\circ | 90∘90^\circ | 120∘120^\circ | 135∘135^\circ | 150∘150^\circ | 180∘180^\circ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | sin⁡α\sin\alpha | 00 | 12\frac{1}{2} | 22\frac{\sqrt{2}}{2} | 32\frac{\sqrt{3}}{2} | 11 | 32\frac{\sqrt{3}}{2} | 22\frac{\sqrt{2}}{2} | 12\frac{1}{2} | 00 | | cos⁡α\cos\alpha | 11 | 32\frac{\sqrt{3}}{2} | 22\frac{\sqrt{2}}{2} | 12\frac{1}{2} | 00 | −12-\frac{1}{2} | −22-\frac{\sqrt{2}}{2} | −32-\frac{\sqrt{3}}{2} | −1-1 | | tan⁡α\tan\alpha | 00 | 33\frac{\sqrt{3}}{3} | 11 | 3\sqrt{3} | ∥\parallel | −3-\sqrt{3} | −1-1 | −33-\frac{\sqrt{3}}{3} | 00 | | cot⁡α\cot\alpha | ∥\parallel | 3\sqrt{3} | 11 | 33\frac{\sqrt{3}}{3} | 00 | −33-\frac{\sqrt{3}}{3} | −1-1 | −3-\sqrt{3} | ∥\parallel |

(Ký hiệu ∥\parallel nghĩa là không xác định)

3.4. Các hệ thức lượng giác cơ bản

Với mọi góc α\alpha (0∘⩽α⩽180∘0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) thỏa mãn điều kiện xác định:

  1. sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
  2. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (α≠90∘\alpha \ne 90^\circ)
  3. cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (α≠0∘,180∘\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ)
  4. tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 (α≠0∘,90∘,180∘\alpha \ne 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ)
  5. 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} (α≠90∘\alpha \ne 90^\circ)
  6. 1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} (α≠0∘,180∘\alpha \ne 0^\circ, 180^\circ)

4. Widget tương tác: Nửa đường tròn đơn vị động

Kéo thanh trượt góc α\alpha từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ để quan sát tọa độ điểm M(x0,y0)M(x_0, y_0), hình chiếu lên trục sin⁡\sin (tung độ) và trục cos⁡\cos (hoành độ):

<div style="background: #f8fafc; border: 1px solid #cbd5e1; border-radius: 12px; padding: 20px; margin: 24px 0; font-family: system-ui, sans-serif;">
  <div style="display: flex; justify-content: space-between; align-items: center; flex-wrap: wrap; gap: 10px; margin-bottom: 16px;">
    <h3 style="margin: 0; font-size: 1.15rem; color: #1e293b;">⭕ Phòng Khám Phá Nửa Đường Tròn Đơn Vị</h3>
    <div style="font-weight: 700; font-size: 1.2rem; color: #6366f1;">
      Góc α = <span id="degDisplay">120</span>°
    </div>
  </div>

  <div style="display: grid; grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(280px, 1fr)); gap: 20px; align-items: center;">
    <!-- Interactive Unit Circle SVG -->
    <div style="background: white; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 8px; padding: 12px; text-align: center;">
      <svg data-interactive-done="true" id="trigSvg" viewBox="-140 -140 280 160" style="width: 100%; max-width: 340px; height: auto;">
        <!-- Axes -->
        <g stroke="#94a3b8" stroke-width="1.5">
          <line x1="-130" y1="0" x2="130" y2="0" />
          <line x1="0" y1="10" x2="0" y2="-130" />
        </g>
        <text x="120" y="16" font-size="11" fill="#475569" font-weight="bold">x (Cos)</text>
        <text x="6" y="-120" font-size="11" fill="#475569" font-weight="bold">y (Sin)</text>
        <text x="-12" y="14" font-size="10" fill="#64748b">O</text>

        <!-- Unit semicircle (radius = 100px) -->
        <path d="M 100,0 A 100,100 0 0,0 -100,0" fill="none" stroke="#cbd5e1" stroke-width="2" />

        <!-- Angle Sector fill -->
        <path id="sectorArc" d="M 0,0 L 100,0 A 100,100 0 0,0 -50,-86.6 Z" fill="#6366f1" fill-opacity="0.15" />

        <!-- Terminal side OM -->
        <line id="lineOM" x1="0" y1="0" x2="-50" y2="-86.6" stroke="#4f46e5" stroke-width="2.5" />

        <!-- Projections -->
        <!-- Projection to Ox (Cos) -->
        <line id="projX" x1="-50" y1="0" x2="-50" y2="-86.6" stroke="#ef4444" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,3" />
        <!-- Projection to Oy (Sin) -->
        <line id="projY" x1="0" y1="-86.6" x2="-50" y2="-86.6" stroke="#10b981" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="3,3" />

        <!-- Segments on axes -->
        <!-- Cos segment on Ox -->
        <line id="cosSeg" x1="0" y1="0" x2="-50" y2="0" stroke="#ef4444" stroke-width="3" />
        <!-- Sin segment on Oy -->
        <line id="sinSeg" x1="0" y1="0" x2="0" y2="-86.6" stroke="#10b981" stroke-width="3" />

        <!-- Point M -->
        <circle id="pointM" cx="-50" cy="-86.6" r="5" fill="#4f46e5" />
        <text id="labelM" x="-85" y="-95" font-size="11" font-weight="bold" fill="#312e81">M(-0.5; 0.87)</text>

        <!-- Angle Arc small -->
        <path id="angleArc" d="M 25,0 A 25,25 0 0,0 -12.5,-21.6" fill="none" stroke="#f59e0b" stroke-width="2" />
        <text id="labelAlpha" x="8" y="-30" font-size="10" font-weight="bold" fill="#b45309">120°</text>
      </svg>
    </div>

    <!-- Live Values & Controls -->
    <div style="background: white; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 8px; padding: 16px;">
      <div style="margin-bottom: 14px;">
        <label style="font-size: 0.9rem; font-weight: 600; color: #334155;">Điều chỉnh góc α:</label>
        <input type="range" id="angleSlider" min="0" max="180" step="1" value="120" oninput="updateTrig()" style="width: 100%; margin-top: 6px;" />
        <div style="display: flex; justify-content: space-between; font-size: 0.75rem; color: #94a3b8;">
          <span>0°</span><span>30°</span><span>45°</span><span>60°</span><span>90°</span><span>120°</span><span>150°</span><span>180°</span>
        </div>
      </div>

      <div style="display: grid; grid-template-columns: 1fr 1fr; gap: 8px; font-size: 0.85rem;">
        <div style="background: #f0fdf4; border-left: 3px solid #10b981; padding: 8px; border-radius: 4px;">
          <strong style="color: #065f46;">sin α (Tung độ):</strong><br>
          <span id="valSin" style="font-size: 1.1rem; font-weight: bold; color: #047857;">0.8660</span>
        </div>
        <div style="background: #fef2f2; border-left: 3px solid #ef4444; padding: 8px; border-radius: 4px;">
          <strong style="color: #991b1b;">cos α (Hoành độ):</strong><br>
          <span id="valCos" style="font-size: 1.1rem; font-weight: bold; color: #dc2626;">-0.5000</span>
        </div>
        <div style="background: #f8fafc; border-left: 3px solid #64748b; padding: 8px; border-radius: 4px;">
          <strong style="color: #334155;">tan α:</strong><br>
          <span id="valTan" style="font-size: 1rem; font-weight: bold; color: #1e293b;">-1.7321</span>
        </div>
        <div style="background: #f8fafc; border-left: 3px solid #64748b; padding: 8px; border-radius: 4px;">
          <strong style="color: #334155;">cot α:</strong><br>
          <span id="valCot" style="font-size: 1rem; font-weight: bold; color: #1e293b;">-0.5774</span>
        </div>
      </div>

      <div id="natureNotice" style="margin-top: 12px; font-size: 0.85rem; color: #4338ca; background: #eef2ff; padding: 8px; border-radius: 6px;">
        • Góc 120° là góc tù ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): Hoành độ âm ($\cos < 0$), tung độ dương ($\sin > 0$).
      </div>
    </div>
  </div>
</div>

<script>
function updateTrig() {
  const deg = parseInt(document.getElementById('angleSlider').value);
  document.getElementById('degDisplay').textContent = deg;

  const rad = deg * Math.PI / 180;
  const cosV = Math.cos(rad);
  const sinV = Math.sin(rad);

  // SVG coordinates: R = 100. (0,0) in SVG is center. x goes right, y goes DOWN!
  // So svgX = 100 * cosV, svgY = -100 * sinV
  const mx = 100 * cosV;
  const my = -100 * sinV;

  document.getElementById('lineOM').setAttribute('x2', mx);
  document.getElementById('lineOM').setAttribute('y2', my);

  document.getElementById('projX').setAttribute('x1', mx);
  document.getElementById('projX').setAttribute('y1', 0);
  document.getElementById('projX').setAttribute('x2', mx);
  document.getElementById('projX').setAttribute('y2', my);

  document.getElementById('projY').setAttribute('x1', 0);
  document.getElementById('projY').setAttribute('y1', my);
  document.getElementById('projY').setAttribute('x2', mx);
  document.getElementById('projY').setAttribute('y2', my);

  document.getElementById('cosSeg').setAttribute('x2', mx);
  document.getElementById('sinSeg').setAttribute('y2', my);

  document.getElementById('pointM').setAttribute('cx', mx);
  document.getElementById('pointM').setAttribute('cy', my);

  const labelM = document.getElementById('labelM');
  labelM.setAttribute('x', mx > 0 ? mx + 8 : mx - 80);
  labelM.setAttribute('y', my - 8);
  labelM.textContent = `M(${cosV.toFixed(2)}; ${sinV.toFixed(2)})`;

  // Sector path
  const sector = document.getElementById('sectorArc');
  sector.setAttribute('d', `M 0,0 L 100,0 A 100,100 0 0,0 ${mx},${my} Z`);

  // Small angle arc (R=25)
  const ax = 25 * cosV;
  const ay = -25 * sinV;
  document.getElementById('angleArc').setAttribute('d', `M 25,0 A 25,25 0 0,0 ${ax},${ay}`);
  document.getElementById('labelAlpha').textContent = `${deg}°`;

  // Values display
  document.getElementById('valSin').textContent = sinV.toFixed(4);
  document.getElementById('valCos').textContent = cosV.toFixed(4);

  if (deg === 90) {
    document.getElementById('valTan').textContent = 'Không xđ';
    document.getElementById('valCot').textContent = '0.0000';
  } else if (deg === 0 || deg === 180) {
    document.getElementById('valTan').textContent = '0.0000';
    document.getElementById('valCot').textContent = 'Không xđ';
  } else {
    document.getElementById('valTan').textContent = (sinV / cosV).toFixed(4);
    document.getElementById('valCot').textContent = (cosV / sinV).toFixed(4);
  }

  const notice = document.getElementById('natureNotice');
  if (deg === 0) {
    notice.innerHTML = '• Góc 0°: Điểm M trùng A(1; 0). cos = 1, sin = 0.';
  } else if (deg === 90) {
    notice.innerHTML = '• Góc 90°: Điểm M trùng (0; 1). sin = 1, cos = 0, tan không xác định.';
  } else if (deg === 180) {
    notice.innerHTML = '• Góc 180°: Điểm M trùng (-1; 0). cos = -1, sin = 0.';
  } else if (deg < 90) {
    notice.innerHTML = `• Góc nhọn (${deg}° < 90°): Điểm M thuộc phần tư I $\\implies$ sin, cos, tan, cot đều mang dấu DƯƠNG (+).`;
  } else {
    notice.innerHTML = `• Góc tù (${deg}° > 90°): Điểm M thuộc phần tư II $\\implies$ sin > 0, cos < 0, tan < 0, cot < 0.`;
  }
}
</script>

5. Bốn dạng toán điển hình & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác bằng góc phụ, góc bù

Phương pháp:

  • Sử dụng tính chất góc bù nhau: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha tan⁡(180∘−α)=−tan⁡α\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha
  • Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau (α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ): sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

Bài toán 1

Tính giá trị của các biểu thức sau không dùng máy tính cầm tay:

  1. A=sin⁡135∘⋅cos⁡150∘+cos⁡45∘⋅sin⁡30∘A = \sin 135^\circ \cdot \cos 150^\circ + \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ
  2. B=cos⁡20∘+cos⁡40∘+cos⁡140∘+cos⁡160∘B = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ

Lời giải chi tiết:

  1. Tính biểu thức AA:

    • sin⁡135∘=sin⁡(180∘−135∘)=sin⁡45∘=22.\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 135^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.
    • cos⁡150∘=−cos⁡(180∘−150∘)=−cos⁡30∘=−32.\cos 150^\circ = -\cos(180^\circ - 150^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
    • cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} và sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}.

    Thay vào biểu thức AA:

    A=(22)⋅(−32)+(22)⋅(12)=−64+24=2−64A = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}

  2. Tính biểu thức BB: Nhận xét quan hệ giữa các góc bù nhau:

    • 160∘=180∘−20∘⇒cos⁡160∘=−cos⁡20∘160^\circ = 180^\circ - 20^\circ \Rightarrow \cos 160^\circ = -\cos 20^\circ.
    • 140∘=180∘−40∘⇒cos⁡140∘=−cos⁡40∘140^\circ = 180^\circ - 40^\circ \Rightarrow \cos 140^\circ = -\cos 40^\circ.

    Gom nhóm các số hạng:

    B=(cos⁡20∘+cos⁡160∘)+(cos⁡40∘+cos⁡140∘)B = (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ)B=(cos⁡20∘−cos⁡20∘)+(cos⁡40∘−cos⁡40∘)=0+0=0B = (\cos 20^\circ - \cos 20^\circ) + (\cos 40^\circ - \cos 40^\circ) = 0 + 0 = 0

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị còn lại

Phương pháp:

  1. Áp dụng hệ thức sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 để tính sin⁡α\sin\alpha hoặc cos⁡α\cos\alpha.
  2. Căn cứ vào điều kiện của góc α\alpha (nhọn hay tù) để lấy dấu thích hợp:
    • sin⁡α>0\sin\alpha > 0 với mọi góc 0∘<α<180∘0^\circ < \alpha < 180^\circ.
    • cos⁡α>0\cos\alpha > 0 nếu α\alpha nhọn; cos⁡α<0\cos\alpha < 0 nếu α\alpha tù.
  3. Tính tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} và cot⁡α=1tan⁡α\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}.

Bài toán 2

Cho biết sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} với 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ.

  1. Tính cos⁡α,tan⁡α\cos\alpha, \tan\alpha và cot⁡α\cot\alpha.
  2. Tính giá trị của biểu thức P=2sin⁡α+3cos⁡αcos⁡α−sin⁡αP = \frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha}.

Lời giải chi tiết:

  1. Ta có:

    cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−(35)2=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

    Vì 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ (α\alpha là góc tù) nên cos⁡α<0\cos\alpha < 0.
    Do đó:

    cos⁡α=−1625=−45\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}

    Từ đó suy ra:

    tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=35−45=−34\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}cot⁡α=1tan⁡α=−43\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = -\frac{4}{3}

  2. Thay sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5} và cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5} vào biểu thức PP:

    P=2(35)+3(−45)−45−35=65−125−75=−65−75=67P = \frac{2\left(\frac{3}{5}\right) + 3\left(-\frac{4}{5}\right)}{-\frac{4}{5} - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{6}{5} - \frac{12}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{-\frac{6}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{6}{7}

Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác & Chứng minh đẳng thức

Phương pháp:

  • Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản: sin⁡2α+cos⁡2α=1,tan⁡αcot⁡α=1,1+tan⁡2α=1cos⁡2α.\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \tan\alpha \cot\alpha = 1, 1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.
  • Đưa tất cả về sin⁡\sin và cos⁡\cos khi biểu thức chứa tan⁡,cot⁡\tan, \cot.
  • Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đại số: a2−b2,(a±b)2,a3±b3a^2 - b^2, (a \pm b)^2, a^3 \pm b^3.

Bài toán 3

Rút gọn biểu thức lượng giác sau:

M=1−cos⁡2αsin⁡α⋅cos⁡α−tan⁡α(0∘<α<180∘,α≠90∘)M = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} - \tan\alpha \quad (0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ)

và chứng minh đẳng thức:

sin⁡4α+cos⁡4α=1−2sin⁡2αcos⁡2α\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha

Lời giải chi tiết:

  1. Rút gọn biểu thức MM: Ta biết 1−cos⁡2α=sin⁡2α1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha. Thay vào:

    M=sin⁡2αsin⁡α⋅cos⁡α−tan⁡α=sin⁡αcos⁡α−tan⁡α=tan⁡α−tan⁡α=0M = \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} - \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \tan\alpha = \tan\alpha - \tan\alpha = 0

  2. Chứng minh đẳng thức: Biến đổi vế trái bằng cách thêm bớt:

    VT=sin⁡4α+cos⁡4α=(sin⁡2α)2+(cos⁡2α)2\text{VT} = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2=(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α= (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha

    Vì sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, ta có:

    VT=12−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α=VP (đpcm)\text{VT} = 1^2 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \text{VP (đpcm)}

Dạng 4: Cho tan⁡α\tan\alpha hoặc sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha, tính giá trị biểu thức phân thức

Phương pháp:

  • Nếu đề bài cho tan⁡α=k\tan\alpha = k: Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho cos⁡α\cos\alpha (nếu biểu thức bậc 1) hoặc cos⁡2α\cos^2\alpha (nếu biểu thức bậc 2 thuần nhất) để chuyển toàn bộ về tan⁡α\tan\alpha.
  • Nếu đề bài cho sin⁡α+cos⁡α=m\sin\alpha + \cos\alpha = m: Bình phương hai vế (sin⁡α+cos⁡α)2=m2  ⟺  1+2sin⁡αcos⁡α=m2⇒sin⁡αcos⁡α=m2−12.(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = m^2 \iff 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = m^2 \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha = \frac{m^2 - 1}{2}.

Bài toán 4

Cho tan⁡α=3\tan\alpha = 3. Tính giá trị của biểu thức:

Q=sin⁡2α−2sin⁡αcos⁡α+3cos⁡2α2sin⁡2α+cos⁡2αQ = \frac{\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + 3\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}

Lời giải chi tiết:

Vì tan⁡α=3\tan\alpha = 3 xác định nên cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0.
Chia cả tử và mẫu của phân thức QQ cho cos⁡2α≠0\cos^2\alpha \ne 0:

Q=sin⁡2αcos⁡2α−2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α+3cos⁡2αcos⁡2α2sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡2αcos⁡2αQ = \frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 2\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} + 3\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{2\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}Q=tan⁡2α−2tan⁡α+32tan⁡2α+1Q = \frac{\tan^2\alpha - 2\tan\alpha + 3}{2\tan^2\alpha + 1}

Thay tan⁡α=3\tan\alpha = 3 vào biểu thức:

Q=32−2(3)+32(32)+1=9−6+32(9)+1=619Q = \frac{3^2 - 2(3) + 3}{2(3^2) + 1} = \frac{9 - 6 + 3}{2(9) + 1} = \frac{6}{19}

6. Ứng dụng thực tế & Khoa học kỹ thuật

Lĩnh vực Ứng dụng cụ thể của Lượng giác góc tù (0∘−180∘0^\circ - 180^\circ)
Vật lý cơ học (Công cơ học) Công cơ học A=F⋅s⋅cos⁡αA = F \cdot s \cdot \cos\alpha. Khi kéo vật cùng chiều di chuyển (α<90∘\alpha < 90^\circ), cos⁡α>0⇒\cos\alpha > 0 \Rightarrow công phát động. Khi phanh xe lực ma sát ngược chiều (α=180∘\alpha = 180^\circ), cos⁡180∘=−1⇒\cos 180^\circ = -1 \Rightarrow công cản A=−F⋅s<0A = -F \cdot s < 0.
Đồ họa máy tính & Chiếu sáng (Shading) Mô hình chiếu sáng Lambert: Cường độ ánh sáng phản xạ trên bề mặt I=I0⋅cos⁡θI = I_0 \cdot \cos\theta. Khi góc giữa pháp tuyến và tia sáng θ>90∘\theta > 90^\circ, bề mặt nằm trong bóng tối (I=0I = 0).
Hàng hải & Định vị GPS Xác định góc lệch hướng gió (Drift angle) và góc dạt của tàu biển khi gặp các luồng hải lưu xiên góc tù.
Thiết kế mái dốc & Tấm pin mặt trời Tính hiệu suất hấp thụ quang năng theo góc nghiêng mặt trời: Góc tới của tia sáng có thể biến thiên từ góc nhọn sang góc tù theo thời gian trong ngày.
Kỹ thuật robot & Cánh tay máy Tính toán động học ngược (Inverse Kinematics): Khớp nối khuỷu tay robot xoay trong phạm vi từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ để định vị đầu gắp vật thể.

7. Trắc nghiệm tương tác kiểm tra năng lực (10 câu)

8. Luyện tập tự do & Thử thách thực tế

Bài tập 1 (Chứng minh biểu thức độc lập với góc α\alpha)

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào góc α\alpha:

A=2(sin⁡6α+cos⁡6α)−3(sin⁡4α+cos⁡4α)A = 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)

Hướng dẫn giải:

  • Ta có:sin⁡4α+cos⁡4α=(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha
  • Khai triển bậc 6 bằng hằng đẳng thức a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2):sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α+cos⁡2α)(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha)=1⋅(1−2sin⁡2αcos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α)=1−3sin⁡2αcos⁡2α= 1 \cdot (1 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \cos^2\alpha) = 1 - 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha
  • Thay vào biểu thức AA:A=2(1−3sin⁡2αcos⁡2α)−3(1−2sin⁡2αcos⁡2α)A = 2(1 - 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha) - 3(1 - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha)=2−6sin⁡2αcos⁡2α−3+6sin⁡2αcos⁡2α=−1= 2 - 6\sin^2\alpha \cos^2\alpha - 3 + 6\sin^2\alpha \cos^2\alpha = -1Biểu thức AA luôn bằng −1-1 với mọi góc α\alpha, do đó độc lập với α\alpha.

Bài tập 2 (Vật lý - Lực kéo và góc tù)

Một chiếc xe chở hàng khối lượng m=500m = 500 kg được kéo trượt trên một mặt sàn phẳng nằm ngang một quãng đường s=20s = 20 m. Người ta tác dụng một lực hãm F=400F = 400 N tạo với phương chuyển động của xe một góc α=150∘\alpha = 150^\circ.

  1. Tính công của lực hãm thực hiện lên chiếc xe. Cho biết đây là công phát động hay công cản?
  2. Nếu muốn lực hãm triệt tiêu hoàn toàn công (tức A=0A = 0) thì góc kéo α\alpha phải bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

  1. Công cơ học được tính bởi công thức:A=F⋅s⋅cos⁡α=400⋅20⋅cos⁡150∘A = F \cdot s \cdot \cos\alpha = 400 \cdot 20 \cdot \cos 150^\circTa có cos⁡150∘=−32\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, do đó:A=8000⋅(−32)=−40003≈−6928,2 (J)A = 8000 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -4000\sqrt{3} \approx -6928,2 \text{ (J)}Vì A<0A < 0, đây là công cản, có tác dụng làm giảm động năng của xe.
  2. Để công A=0A = 0, ta cần cos⁡α=0\cos\alpha = 0.
    Trong khoảng 0∘⩽α⩽180∘0^\circ \le \alpha \le 180^\circ, điều này xảy ra khi α=90∘\alpha = 90^\circ (lực tác dụng vuông góc với phương chuyển động).
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.