100 bài tập công thức lượng giác lớp 10

1. Kiến thức cần nhớ

• Định nghĩa các giá trị lượng giác $sin x, cos x, tan x, cot x$ của một cung, góc lượng giác

• Các công thức lượng giác cơ bản

• Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết): cung đối nhau, cung bù nhau, cung phụ nhau…

• Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng

2. Bài tập công thức lượng giác lớp 10

Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

1. $sin x cos 5 x-cos x sin 5 x$

2. $sin 4 x cot 2 x-cos 4 x$

3. $cos 6 x tan 3 x-sin 6 x$

4. $sin (x+y) cos (x-y)+sin (x-y) cos (x+y)$

5. $cos 7 x cdot cos 5 x-sqrt{3} sin 2 x+sin 7 x cdot sin 5 x$

6. $sqrt{3} cos 2 x+sin 2 x+2 sin left(2 x-dfrac{pi}{6}right)$

7. $dfrac{tan 2 x+cot left(90^{0}+xright)}{1+cot left(90^{0}-2 xright) tan x}$

8. $dfrac{tan ^{2} 2 x-tan ^{2} x}{1-tan ^{2} 2 x tan ^{2} x}$

9. $sin (a+b)+sin left(dfrac{pi}{2}-aright) sin (-b)$

10. $cos left(dfrac{pi}{2}-aright) cos left(dfrac{pi}{2}-bright)-cos (a-b)$

11. $cos left(dfrac{pi}{4}+aright) cos left(dfrac{pi}{4}-aright)+dfrac{1}{2} sin ^{2} a$

12. $sin ^{2} a sin ^{2} b-cos ^{2} a cos ^{2} b$

13. $dfrac{2 sin (a+b)}{cos (a+b)+cos (a-b)}-tan b$

14. $(sin x+cos x)^{2}$

15. $sin x cos x cos 2 x$

16. $1-4 sin ^{2} x cos ^{2} x$

17. $cos ^{4} 2 x-sin ^{4} 2 x$

18. $cos ^{2}left(x+dfrac{pi}{2}right)-sin ^{2}left(x+dfrac{pi}{2}right)$

19. $sin x cos x cos 2 x$

20. $4sin x sin left(x+dfrac{pi}{2}right) sin left(2 x+dfrac{pi}{2}right)$

21. $sin 8 x+2 cos ^{2}left(45^{circ}+4 xright)$

22. $sin ^{2}left(dfrac{pi}{8}+dfrac{x}{2}right)-sin ^{2}left(dfrac{pi}{8}-dfrac{x}{2}right)$

23. $sin 2 x+cos 2 x-2 cos x(sin x+cos x)+1$

24. $dfrac{2 cos ^{2} x-1}{sin x+cos x}$

25. $dfrac{1-2 sin ^{2} 2 x}{cos 2 x-sin 2 x}$

26. $dfrac{2}{(1-tan x)(1+cot x)}$

27. $left(1-tan ^{2} xright) cot x$

28. $dfrac{cot x-tan x}{cos 2 x}$

29. $dfrac{sin 2 x}{sin x}-dfrac{cos 2 x}{cos x}$

30. $dfrac{1+sin left(dfrac{3 pi}{2}-xright)}{1+sin left(dfrac{pi}{2}+xright)}$

31. $dfrac{sin ^{2} 2 x-4 sin ^{2} x}{sin ^{2} 2 x+4 sin ^{2} x-4}$

32. $dfrac{sin 4 x}{1+cos 4 x} cdot dfrac{cos 2 x}{1+cos 2 x}$

33. $dfrac{sin 3 x-cos 3 x}{sin x+cos x}$

34. $tan left(dfrac{pi}{4}+dfrac{x}{2}right) cdot dfrac{1+cos left(dfrac{pi}{2}+xright)}{sin left(dfrac{pi}{2}+xright)}$

35. $dfrac{1-cos 2 x+sin 2 x}{1+cos 2 x+sin 2 x} cdot cot x$

Bài tập 2. Chứng minh rằng

1. $sin 3 x=3 sin x-4 sin ^{3} x$

2. $cos 3 x=4 cos ^{3} x-3 cos x$

3. $cos ^{4} x-sin ^{4} x=cos 2 x$

4. $cos ^{2} 2 x-sin ^{2} x=cos x cos 3 x$

5. $sin 4 x=4 sin x cos xleft(1-2 sin ^{2} xright)$

6. $cos 4 x=8 cos ^{4} x-8 cos ^{2} x+1$

7. $sin ^{4}+cos ^{4} x=dfrac{3}{4}+dfrac{1}{4} cos 4 x$

8. $8 sin ^{4} x=3-4 cos 2 x+cos 4 x$

9. $sin ^{4}+cos ^{4} x-6 cos ^{2} x sin ^{2} x=cos 4 x$

10. $cos x+sin x=sqrt{2} cos left(x-dfrac{pi}{4}right)$

11. $cos x-sin x=sqrt{2} cos left(x+dfrac{pi}{4}right)$

12. $sin left(dfrac{pi}{4}+xright)-sin left(dfrac{pi}{4}-xright)=sqrt{2} sin x$

13. $tan (x+y)-tan x-tan y=tan (x+y) tan x tan y$

14. $dfrac{sin (a-b)}{cos a cos b}+dfrac{sin (b-c)}{cos b cos c}+dfrac{sin (c-a)}{cos c cos a}=0$

15. $dfrac{sin (a+b) sin (a-b)}{cos ^{2} a cos ^{2} b}=tan ^{2} a-tan ^{2} b$

16. $dfrac{1-cos 2 x}{sin 2 x}=tan x$

17. $tan x+cot x=dfrac{2}{sin 2 x}$

18. $dfrac{cos x}{1-sin x}=cot left(dfrac{pi}{4}-dfrac{x}{2}right)$

19. $cot x-tan x=2 cot 2 x$

20. $dfrac{1+cos x}{1-cos x} cdot tan ^{2} dfrac{x}{2}=1$

21. $dfrac{1}{sin 2 x}+cot 2 x=cot x$

22. $(tan 2 x-tan x) cos 2 x=tan x$

23. $(tan 2 x-tan x) cos 2 x=tan x$

24. $dfrac{cos dfrac{x}{2}-sin dfrac{x}{2}}{cos dfrac{x}{2}+sin dfrac{x}{2}}=dfrac{1}{cos x}-tan x$

25. $2left(dfrac{1}{sin 2 x}+cot 2 xright)=cot dfrac{x}{2}-tan dfrac{x}{2}$

Bài tập 3. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với biến $x.$

1. $sin ^{2} x+cos left(dfrac{pi}{3}-xright) cos left(dfrac{pi}{3}+xright)$

2. $cos ^{2} x+cos ^{2}left(dfrac{pi}{3}+xright)+cos ^{2}left(dfrac{pi}{3}-xright)$

3. $sin ^{2} x+sin ^{2}left(dfrac{2 pi}{3}+xright)+sin ^{2}left(dfrac{2 pi}{3}-xright)$

4. $cos ^{2} x+cos ^{2}left(x+dfrac{2 pi}{3}right)+cos ^{2}left(x-dfrac{2 pi}{3}right)$

5. $dfrac{a cos ^{3} x-cos 3 x}{cos x}+dfrac{a sin ^{3} x+sin 3 x}{sin x}$

6. $dfrac{sin 2 x-2 sin x}{sin 2 x+2 sin x}+tan ^{2} dfrac{x}{2}$

Bài tập 3. Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

1. $sin {C}=sin {A} cdot cos {B}+sin {B} cdot cos {A}$

2. $sin {A}=sin {B} cos {C}+sin {C} cos {B}$

3. $cos {A}=sin {B} sin {C}-cos {B} cos {C}$

4. $dfrac{sin {C}}{cos {A} . cos {B}}=tan {A}+tan {B}, quadleft({A}, {B} neq 90^{circ}right)$

5. $tan A+tan B+tan C=tan A .$ tan $B cdot tan C$

6. $cot A cdot cot B+cot B cdot cot C+cot C cdot cot A=1$

7. $sin dfrac{A}{2}=cos dfrac{B}{2} cos dfrac{C}{2}-sin dfrac{B}{2} sin dfrac{C}{2}$

8. $cos dfrac{A}{2}=sin dfrac{B}{2} cos dfrac{C}{2}-cos dfrac{B}{2} sin dfrac{C}{2}$

9. $tan dfrac{{A}}{2} cdot tan dfrac{{B}}{2}+tan dfrac{{B}}{2} cdot tan dfrac{{C}}{2}+tan dfrac{{C}}{2} cdot tan dfrac{{A}}{2}=1$

10. $cot dfrac{{A}}{2}+cot dfrac{{B}}{2}+cot dfrac{{C}}{2}=cot dfrac{{A}}{2} cdot cot dfrac{{B}}{2} cdot cot dfrac{{C}}{2}$

Bài tập 4. Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:

1. $cos xleft(x+dfrac{pi}{3}right)$ biết $sin x=dfrac{1}{sqrt{3}}$ và $0<x<dfrac{pi}{2}.$

2. $sin left(dfrac{pi}{3}-xright)$ biết $cos x=-dfrac{12}{13}$ và $pi<x<dfrac{3 pi}{2}.$

3. $cos left(x-30^{0}right)$ biết $tan x=sqrt{2}$ và $0<x<90^{0}.$

4. $sin left(2 x+dfrac{7 pi}{4}right)$ biết $cot x=dfrac{2}{3}.$

5. $sin 2 x, cos 2 x$ khi $sin x=dfrac{3}{5}, dfrac{pi}{2}<x<pi.$

6. $sin 2 x, cos 2 x$ khi $sin x+cos x=sqrt{2}.$

7. $cos 2 x, sin 2 x, tan 2 x$ biết rằng $tan x=2.$