Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng

#Toán học#Toán 10#Hình học 10#Vectơ

Mục lục bài viết5 mục

Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng dụng để chứng minh đẳng thức véc-tơ, xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ, chứng minh thẳng hàng, song song, tìm tập hợp điểm…

Xem thêm:

Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài 1. Cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D.A, B, C, D. Dựng các vectơ tổng AB→+CD→\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CD}, AB→+AC→+BD→.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.

Bài 2. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ:

u⃗=AB→+AD→,v⃗=AC→+BD→.\vec{u}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}, \vec{v}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.

Bài 3. Cho hình vuông ABCDABCD tâm OO có cạnh bằng a.a. Hãy tính

∣OA→−CB→∣;∣AB→+DC→∣;∣CD→−DA→∣.|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|;|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|;|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|.

Đáp số. a22;2a;a2.\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;a\sqrt{2}.

Bài tập chứng minh đẳng thức vecto

Bài 1. Cho bốn điểm A,B,C,D.A, B, C, D. Chứng minh rằng: AC→+BD→=AD→+BC→.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.

Bài 2. Cho năm điểm A,B,C,D,E.A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: AB→+CD→+EA→=CB→+ED→.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi điểm A,B,C,D,E,F,GA,B,C,D,E,F,G tùy ý ta luôn có:

  • AB→+CD→=AD→+CB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

  • AB→+CD→+EA→=ED→+CB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}

  • AD→+BE→+CF→=AE→+BF→+CD→=AF→+BD→+CE→\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}

  • AB→+CD→+EF→+GA→=CB→+ED→+GF→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF}

Bài 4. Gọi OO là tâm của hình bình hành ABCD.ABCD. Chứng minh rằng:

  • DO→+AO→=AB→\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}

  • OD→+OC→=BC→\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}

  • OA→+OB→+OC→+OD→=0→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}

  • MA→+MC→=MB→+MD→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD} với điểm MM tùy ý.

Bài 5. Cho tam giác ABC.ABC. Gọi M,NM,N và PP lần lượt là trung điểm các cạnh AB,ACAB,AC và BC.BC. Chứng minh rằng với điểm OO bất kỳ ta có

OA→+OB→+OC→=OM→+ON→+OP→.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.

Bài 6. Cho tam giác ΔABC\Delta ABC có A’,B’,C’A’,B’,C’ là trung điểm các cạnh BC,CA,AB.BC,CA,AB. Chứng minh AA’→+BB’→+CC’→=0⃗.\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec{0}.

Bài 7. Cho tứ giác ABCD.ABCD. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD.AB, CD. Điểm KK là điểm đối xứng của MM qua N.N. Chứng minh

MK→=AD→+BC→=AC→+BD→.\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.

Bài 8. Cho tam giác ABCABC, dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ,BCPQ,CARS.ABIJ,BCPQ,CARS. Chứng minh rằng RJ→+IQ→+PS→=0⃗.\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}.

Bài 9. Cho tứ giác lồi ABCD.ABCD. Gọi E,FE, F lần lượt là trung điểm của ABAB và CD.CD.

  • Chứng minh AC→+BD→=AD→+BC→=2EF→.\overrightarrow{ AC}+\overrightarrow{ BD}=\overrightarrow{ AD}+\overrightarrow{{BC}}=2 \overrightarrow{ EF}.

  • Gọi GG là trung điểm của EF.EF. Chứng minh rằng GA→+GB→+GC→+GD→=2EF→.\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=2 \overrightarrow{EF}.

Bài 10. Cho bốn điểm A,B,C,D.A,B,C,D. Gọi M,NM,N là trung điểm của AD,BCAD,BC và OO là điểm trên đoạn MNMN sao cho OM=2ON.OM=2ON. Chứng minh rằng

OA→+2OB→+2OC→+OD→=0⃗.\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.

Bài 11. Cho hình bình hành ABCD.ABCD. Gọi OO là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC.AC. Qua OO kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt ABAB và DCDC lần lượt tại MM và NN, cắt ADAD và BCBC lần lượt tại EE và F.F. Chứng minh rằng:

  • OA→+OC→=OB→+OD→.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}.

  • BD→=ME→+FN→.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}.

Bài 12. Gọi G,G’G,G’ là trọng tâm hai tam giác ABCABC và A’B’C’.A’B’C’. Chứng minh rằng

AA’→+BB’→+CC’→=3GG’→.\overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=3\overrightarrow{GG’}.

Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Bài 13. Cho lục giác ABCDEFABCDEF có M,N,P,Q,R,SM, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DE,EFAB, BC, CD, DE, EF và FA.FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPRMPR và NQSNQS có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn. Giả sử điểm GG là trọng tâm tam giác MPRMPR thì

GN→+GQ→+GS→=12(GB→+GC→)+12(GD→+GE→)+12(GF→+GA→)=12(GA→+GB→)+12(GC→+GD→)+12(GE→+GF→)=GM→+GP→+GR→=0⃗.\begin{aligned} \overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA}) \\ &=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})\\ &=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}\\ &=\vec{0}. \end{aligned}

Bài 14. Cho tứ giác ABCDABCD, biết rằng tồn tại điểm OO sao cho các véc-tơ OA→\overrightarrow{OA}, OB→\overrightarrow{OB}, OC→\overrightarrow{OC}, OD→\overrightarrow{OD} có độ dài bằng nhau và OA→+OB→+OC→+OD→=0⃗.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. Chứng minh rằng ABCDABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn. Gọi E,F,G,HE,F,G,H là trung điểm các cạnh. Từ OA→+OB→+OC→+OD→=0⃗\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} suy ra OO là trung điểm của EGEG và HF.HF. Mặt khác, các véc-tơ OA→,OB→,OC→,OD→\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} có độ dài bằng nhau nên OA=OB=OC=OD.OA=OB=OC=OD. Từ đó suy ra tứ giác ABCDABCD là hình chữ nhật.

Bài 15. Cho ΔABC\Delta ABC có MM là trung điểm của BC,GBC,G là trọng tâm, HH là trực tâm, OO là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh:

  • AH→=2OM→\overrightarrow{ AH}=2 \overrightarrow{ OM},

  • OA→+OB→+OC→=OH→=3OG→\overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ OH}=3\overrightarrow{OG},

  • HA→+AB→+HC→=2HO→=3HG→\overrightarrow{ HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ HC}=2 \overrightarrow{ HO}=3\overrightarrow{HG},

  • OH→=2OI→.\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI}.

Hướng dẫn. Gọi A’A’ đối xứng với AA qua OO thì BHCA’BHCA’ là hình bình hành.

Bài 16. Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là a,b,c.a,b,c. Gọi II là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh aIA→+bIB→+cIC→=0⃗.a \overrightarrow{ IA}+b\overrightarrow{ IB}+c\overrightarrow{ IC}=\vec{0}.

Hướng dẫn. Gọi B1,C1B_1,C_1 là chân hai đường phân giác kẻ từ B,C.B,C. Dựng hình bình hành AB2IC2AB_2IC_2 thì IA→=IB2→+IC2→.\overrightarrow{ IA}=\overrightarrow{ IB_2}+\overrightarrow{ IC_2}. Lại có IB2IB=AC2IB=AC1BC1=ba,\frac{IB_2}{IB}=\frac{AC_2}{IB}=\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b}{a}, nên IB2→=−baIB→.\overrightarrow{ IB_2}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{IB}. Tương tự có IC2→=−caIC→.\overrightarrow{ IC_2}=-\frac{c}{a}\overrightarrow{IC}. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 17. Cho tam giác ABCABC có HH là trực tâm. Chứng minh rằng

tan⁡A.HA→+tan⁡B.HB→+tan⁡C.HC→=0⃗.\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.

Hướng dẫn. Xét trường hợp tam giác ABCABC nhọn. Dựng hình bình hành HA’CB’HA’CB’ thì có HC→=HA’→+HB’→=α.HA→+β.HB→,\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA’}+\overrightarrow{HB’}=\alpha.\overrightarrow{HA}+\beta.\overrightarrow{HB}, trong đó

α=−HA’HA=−B1CB1A=−BB1.cot⁡CBB1cot⁡A=−tan⁡Atan⁡C,\alpha=-\frac{HA’}{HA}=-\frac{B_1C}{B_1A}=-\frac{BB_1.\cot C}{BB_1\cot A}=-\frac{\tan A}{\tan C},

và 

β=…=−tan⁡Btan⁡C.\beta=…=-\frac{\tan B}{\tan C}.

Suy ra

HC→=−tan⁡Atan⁡CHA→−tan⁡Btan⁡CHB→\overrightarrow{HC}=-\frac{\tan A}{\tan C}\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}\overrightarrow{HB}

hay chính là tan⁡A.HA→+tan⁡B.HB→+tan⁡C.HC→=0⃗.\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.

*Bài 18.**Cho tam giác ABCABC đều có MM là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi D,E,FD, E, F lần lượt là điểm đối xứng của MM qua các cạnh BC,AC,AB.BC,AC,AB. Chứng minh rằng hai tam giác ABCABC và DEFDEF có cùng trọng tâm.

Bài 19. Cho tam giác ABCABC có GG là trọng tâm và HH là điểm đối xứng của BB qua G.G.

  • Chứng minh AH→=23AC→−13AB→,CH→=−13(AB→+AC→).\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).

  • Gọi MM là trung điểm của BCBC, chứng minh rằng MH→=16AC→−56AB→.\overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.

Bài 20.* Cho tam giác ABCABC đều tâm O.O. Giả sử MM là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi D,E,FD, E, F lần lượt là hình chiếu của MM trên BC,ACBC, AC và AB.AB. Chứng minh rằng: MD→+ME→+MF→=32MO→.\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.

Hướng dẫn. Qua MM kẻ các đường thẳng song song B2C2∥BC,A2C1∥AC,A1B1∥ABB_2C_2\parallel BC, A_2C_1\parallel AC, A_1B_1\parallel AB thì các tam giác MA1A2,MB1B2,MC1C2MA_1A_2,MB_1B_2,MC_1C_2 là các tam giác đều.

Có

2(MD→+ME→+MF→)=MA1→+MA2→+MB1→+MB2→+MC1→+MC2→=MA→+MB→+MC→=3MO→.\begin{aligned} 2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})& =\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\\ &=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}. \end{aligned}

Bài tập phân tích véc-tơ (Biểu diễn vecto theo 2 vecto không cùng phương)

Bài 1. Cho tam giác ABCABC có trọng tâm G.G. Gọi D,E,FD,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,ABBC,CA,AB và II là giao điểm của ADAD và EF.EF. Đặt u⃗=AE→,v⃗=AF→.\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}. Hãy phân tích các véc-tơ AI→,AG→,DE→,DC→\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC} theo hai véc-tơ u⃗,v⃗.\vec{u},\vec{v}.

Đáp số. AI→=12u⃗+12v⃗;AG→=23u⃗+23v⃗;DE→=−v⃗;DC→=u⃗−v⃗.\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v};\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v};\overrightarrow{DE}=-\vec{v};\overrightarrow{DC}=\vec{u}-\vec{v}.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCDABCD có tâm O.O. Đặt AB→=a⃗,AD→=b⃗.\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}. Hãy tính các véc-tơ sau theo a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}:

  • AI→\overrightarrow{AI} với II là trung điểm của BO.BO.

  • BG→\overrightarrow{BG} với GG là trọng tâm tam giác OCD.OCD.

**Đáp số.**AI→=34a⃗+14b⃗\overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}, BG→=−12a⃗+56b⃗.\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}.

Bài 3. Cho tam giác ABCABC có trọng tâm G.G. Cho các điểm D,E,FD, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,ABBC, CA, AB và II là giao điểm của ADAD và EF.EF. Đặt u⃗=AE→,v⃗=AF→.\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}. Hãy phân tích các véc-tơ AI→,AG→,DE→,DC→\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC} theo u⃗,v⃗.\vec{u},\vec{v}.

Hướng dẫn. Ta có

AI→=12AD→=12(AE→+AF→)=12(u⃗+12v⃗)AG→=23AD→=23u⃗+23v⃗DE→=FA→=−AF→=0.u⃗+(−1)v⃗DC→=FE→=AE→−AF→=u⃗−v⃗\begin{aligned} \overrightarrow{AI}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})\\ \overrightarrow{AG}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\\ \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\vec{u}+(-1)\vec{v}\\ \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\vec{u}-\vec{v} \end{aligned}

Bài 4. Cho lục giác đều ABCDEFABCDEF có tâm OO và cạnh a.a.

  • Phân tích AD→\overrightarrow{AD} theo hai véc-tơ AB→\overrightarrow{AB} và AF→.\overrightarrow{AF}.

  • Tính độ dài của véc-tơ 12AB→+12BC→\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} theo a.a.

Đáp số. a) AD→=2AB→+2AF→\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}; b) a32.\frac{a\sqrt{3}}{2}.

Bài 5. Cho ΔABC\Delta ABC có MM là trung điểm của BC.BC. Phân tích AM→\overrightarrow{AM} theo AB→\overrightarrow{AB} và AC→.\overrightarrow{AC}.

Đáp số. AM→=12AB→+12AC→.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.

Bài 6. Cho ΔABC.\Delta ABC. Gọi MM là trung điểm của ABAB và NN là một điểm trên cạnh ACAC sao cho NA=2NC.NA=2NC. Gọi KK là trung điểm của MN.MN. Phân tích AK→\overrightarrow{AK} theo AB→\overrightarrow{AB} và AC→.\overrightarrow{AC}.

Đáp số. AK→=14AB→+13AC→.\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.

Bài 7. Cho tam giác ABCABC có điểm II trên cạnh BCBC sao cho 2CI=3BI,J2CI=3BI, J trên cạnh BCBC kéo dài sao cho 5JB=2JC.5JB=2JC.

  • Tính AI→,AJ→\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ} theo AB→,AC→.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.

  • Gọi điểm GG là trọng tâm tam giác ABCABC, tính AG→\overrightarrow{AG} theo AI→,AJ→.\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}.

**Đáp số.

  • AI→=35AB→+25AC→,AJ→=53AB→−23AC→.\overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.

  • AG→=3548AI→−116AJ→.\overrightarrow{AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}.

Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Bài 1. Cho hai điểm phân biệt AA và B.B. Tìm điểm KK sao cho 3KA→+2KB→=0→.3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.

Bài 2. Cho tam giác ABCABC, hãy dựng các điểm I,J,KI,J,K thỏa mãn: IA→−3IB→=AC→\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC}, JA→−JB→+2JC→=0⃗\overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0}, KA→+2KB→=2CB→.\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CB}.

Bài 3. Cho tam giác ABCABC, hãy dựng các điểm I,J,K,LI,J,K,L thỏa mãn:

  • IA→−IB→+2IC→=AB→\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB},

  • JA→+JB→+JC→=AB→−2AC→\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC},

  • KA→+KB→+2KC→=0⃗\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec{0},

  • LA→−2LB→+LC→=0⃗.\overrightarrow{LA}-2\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}=\vec{0}.

Bài 4. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng a,Ma,M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng các véc-tơ sau đây không đổi. Tính mô-đun của chúng theo a.a.

  • 2MA→+MB→−MC→−2MD→2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD},

  • 3MA→−MB→−2MC→3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC},

  • 4MA→−MB→−MC→−MD→.4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}.

Đáp số. 3a,a13,2a23a,a\sqrt{13},2a\sqrt{2}

Bài 5. Cho tam giác ABCABC, tìm tập hợp những điểm MM sao cho:

  • ∣MA→+MB→+MC→∣=32∣MB→+MC→∣|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|,

  • ∣MA→+BC→∣=∣MA→−MB→∣|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|,

  • ∣4MA→+MB→+MC→∣=∣2MA→−MB→−MC→∣.|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|.

**Hướng dẫn.

  • Biến đổi thành ∣MG→∣=∣MI→∣|\overrightarrow{MG}|=|\overrightarrow{MI}| với GG là trọng tâm tam giác ABCABC và II là trung điểm BC.BC.

  • MM thuộc đường tròn (D,AB)(D,AB) với DD là đỉnh hình bình hành ABCD.ABCD.

  • Biến đổi thành ∣6MK→∣=∣BA→+CA→∣=2∣EA→∣|6\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}|=2|\overrightarrow{EA}| trong đó EE là trung điểm BCBC và KK là điểm thỏa mãn 4KA→+KB→+KC→=0⃗.4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}.

Chứng minh song song thẳng hàng bằng vecto

Bài 1. Cho ΔABC.\Delta ABC. Hai điểm M,NM,N được xác định bởi BC→+MA→=0→;AB→−NA→−3AC→=0→.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}. Chứng minh MN∥AC.MN\parallel AC.

Hướng dẫn. Chỉ ra MN→=2AC→.\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD.ABCD. Trên đoạn BCBC lấy điểm H,H, trên đoạn BDBD lấy điểm KK sao cho: BH=CH,DK=2BK.BH=CH, DK=2BK. Chứng minh A,K,HA,K,H thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ AK→,AH→\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} theo các véc-tơ AB→,AD→.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD.ABCD. Trên BCBC lấy điểm H,H, trên BDBD lấy điểm KK sao cho: BH→=15BC→,BK→=16BD→.\overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. Chứng minh A,K,HA,K,H thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ AK→,AH→\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} theo các véc-tơ AB→,AD→.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}.

Bài 4. Cho tam giác ABCABC có M,N,PM,N,P thỏa mãn MB→=3MC→,NA→+3NC→=0⃗,PA→+PB→=0⃗.\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. Tính MP→,MN→\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} theo AB→,AC→.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. Suy ra M,N,PM,N,P thẳng hàng.

Hướng dẫn. Có MP→=AP→−AM→,MN→=AN→−AM→.\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. Ta đi tính AP→,AN→,AM→\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} theo AB→,AC→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} được AP→=12AB→,AN→=13AC→,AM→=32AC→−12AB→.\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. Từ đó phân tích MP→,MN→\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} theo AB→,AC→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} và suy ra MP→=2MN→,\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, do đó M,N,PM,N,P thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác ABCABC và hai điểm I,JI,J thỏa mãn IC→−IB→+IA→=0⃗,JA→+JB→−3JC→=0⃗.\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. Chứng minh I,G,BI,G,B thẳng hàng với GG là trọng tâm tam giác ABC.ABC. Chứng minh IJIJ cùng phương AC.AC.

Hướng dẫn. Từ IC→−IB→+IA→=0⃗\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} suy ra IG→=2GB→,\overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, do đó I,G,BI,G,B thẳng hàng.

Ta có IC→−IB→+IA→=0⃗⇔BC→+IA→=0⃗.\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}.

Mặt khác

JA→+JB→−3JC→=0⃗⇔JA→+(JA→+AB→)−3(JA→+AC→)=0⃗⇔AB→−JA→−3AC→=0⃗.\begin{aligned} \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}&=\vec{0}. \end{aligned}

Cộng từng vế hai đẳng thức được IJ→=2AC→,\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, do đó IJIJ cùng phương AC.AC.

Bài 6. Cho tam giác ABCABC có MM là điểm di động.

  • Dựng MN→=2MA→+3MB→−MC→.\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. Chứng minh đường thẳng MNMN luôn đi qua một điểm cố định.

  • Gọi PP là trung điểm CN,CN, chứng minh rằng đường thẳng MPMP luôn đi qua một điểm cố định.

  • Kéo dài ABAB một đoạn BE=AB,BE=AB, gọi FF là trung điểm ACAC, vẽ hình bình hành EAFG.EAFG. Đường thẳng AGAG cắt BCBC tại K.K. Tính tỉ số KB:KC.KB:KC.

**Hướng dẫn.

  • Gọi II là điểm xác định bởi 2IA→+3IB→−IC→2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} thì II cố định. Khi đó MN→=2MA→+3MB→−MC→=4MI→.\overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}. Suy ra M,N,IM,N,I thẳng hàng hay MNMN luôn đi qua điểm II cố định.

  • Vì PP là trung điểm CNCN nên MP→=12(MN→+MC→)=12(2MA→+3MB→).\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). Gọi JJ là điểm xác định bởi 2JA→+3JB→=0⃗2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} thì JJ cố định. Khi đó MP→=…=52MJ→\overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} hay MPMP luôn đi qua điểm JJ cố định.

  • Để xác định giao điểm KK của AGAG và BCBC ta tính AG→\overrightarrow{AG} theo AB→\overrightarrow{AB} và AC→.\overrightarrow{AC}.

    Có AG→=AE→+AF→=2AB→+12AC→.\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. Do đó AGAG cắt BCBC tại KK mà 2KB→+12KC→2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} hay KB:KC=1:4.KB:KC=1:4.

Bài 7. Cho ΔABC.\Delta ABC. Dựng AB’→=BC→\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC}, CA’→=AB→\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB}, BC’→=CA→.\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}. Chứng minh AA là trung điểm của B’C’.B’C’. Chứng minh AA’,BB’,CC’AA’,BB’,CC’ đồng quy.

Bài 8. Cho ΔABC\Delta ABC có điểm II trên cạnh ACAC sao cho CI=14CACI=\frac{1}{4}CA, JJ là điểm thỏa BJ→=12AC→−23AB→.\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.

  • Chứng minh BI→=34AC→−AB→.\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}.

  • Chứng minh B,I,JB,I,J thẳng hàng. Hãy dựng điểm JJ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 9. Cho tam giác ABCABC có điểm DD định bởi BD→=23BC→\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} và II là trung điểm AD.AD. Gọi MM là điểm thỏa mãn AM→=xAC→\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} với xx là số thực.

  • Tính BI→\overrightarrow{BI} theo BA→,BC→.\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}.

  • Tính BM→\overrightarrow{BM} theo BA→,BC→.\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}.

  • Tìm xx để ba điểm B,I,MB,I,M thẳng hàng.

**Hướng dẫn.

  • II là trung điểm ADAD nên có BI→=12(BA→+BD→)=12(BA→+23BC→)=12BA→+13BC→.\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.

  • Ta có

    AM→=xAC→⇔BM→−BA→=x(BC→−BA→)⇔BM→=(1−x)BA→+xBC→.\begin{aligned} \overrightarrow{AM}&=x\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}&=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}& =(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. \end{aligned}

  • Ba điểm B,I,MB,I,M thẳng hàng ⇔\Leftrightarrow tồn tại số kk sao cho

    BM→=kBI→⇔(1−x)BA→+xBC→=k2BA→+k3BC→⇔2(1−x)=3x⇔x=25.\begin{aligned} \overrightarrow{BM}&=k\overrightarrow{BI} \\ \Leftrightarrow (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}&=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \\ \Leftrightarrow 2(1-x)&= 3x \\ \Leftrightarrow x&=\frac{2}{5}. \end{aligned}

Bài 10. Cho tam giác ABC.ABC. Xác định điểm DD thỏa mãn DA→+3DB→=0⃗.\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0}. Tìm tập hợp điểm MM thỏa mãn ∣MA→+3MB→∣=8.|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|=8.

**Hướng dẫn.  Có DA→+3DB→=0⃗⇔DA→=−3DB→\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{DB} nên điểm DD chia đoạn ABAB theo tỉ số −3.-3.

Từ

∣MA→+3MB→∣=8⇔∣MD→+DA→+3(MD→+DB→)∣=8⇔∣4MD→∣=8\begin{aligned} |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|&=8 \\ \Leftrightarrow |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+3(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})|&=8 \\ \Leftrightarrow |4\overrightarrow{MD}|&=8 \end{aligned}

suy ra DM=2.DM=2.

Vậy tập hợp các điểm MM là đường tròn tâm D,D, bán kính bằng 2.

Bài 11.** Cho tam giác ABCABC và điểm MM tùy ý. Xác định điểm DD thỏa mãn DB→−3DC→=0⃗.\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}. Chứng minh rằng đường thẳng MNMN đi qua điểm cố định biết MN→=MB→−3MC→.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}.

**Hướng dẫn.  Có DB→−3DC→=0⃗⇔DB→=3DC→.\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DC}. Vậy điểm DD chia đoạn BCBC theo tỉ số 3.

Ta có MN→=MB→−3MC→⇔MN→=−2MD→.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MD}. Vậy đường thẳng MNMN đi qua điểm DD cố định.

Bài 12.** Cho tam giác ABCABC có DD là trung điểm của BC,NBC, N là điểm đối xứng của CC qua AA và

MM là điểm thỏa mãn AM→=−12AB→.\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. Tìm điểm KK trên đường thẳng MNMN sao cho ba điểm A,D,KA, D , K thẳng hàng.

**Hướng dẫn. Ta có AM→=−12AB→,AN→=−AC→,AD→=12(AB→+AC→).\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). Vì K∈MNK\in MN nên đặt KM→=xKN→⇔AM→−AK→=x(AN→−AK→).\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{KN} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=x(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK}).

Do đó AK→=xAN→−AM→x−1=−xAC→−12AB→x−1=x1−xAC→+12(1−x)AB→.\overrightarrow{AK}=\frac{x\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} }{x-1}=\frac{-x\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} }{x-1}=\frac{x}{1-x}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2(1-x)}\overrightarrow{AB}. Mà A,D,KA,D,K thẳng hàng nên tìm được x=12.x=\frac{1}{2}.

Vậy KM→=−12KN→.\overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KN}.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.