Ôn tập Chương 8. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Chào mừng các em học sinh lớp 9 đến với bài tổng ôn tập Chương 8: Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản!

Nếu như ở lớp 7 và lớp 8, các em chỉ mới tiếp cận xác suất thực nghiệm thông qua kiểm đếm số lần lặp lại, thì bước sang lớp 9, các em đã bước lên tầm cao mới của Lý thuyết Xác suất Cổ điển:

1. Bài 25 (Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu): Xác lập nền tảng toán học chuẩn mực: định nghĩa phép thử ngẫu nhiên, mô tả không gian mẫu $\Omega$ dưới dạng tập hợp toán học, phân loại biến cố chắc chắn, biến cố không thể và biến cố ngẫu nhiên, kiểm đếm các kết quả thuận lợi.
2. Bài 26 (Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử): Làm chủ công thức tính xác suất cổ điển $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$, định lý biến cố đối $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, kết hợp hai vũ khí đếm quyền năng: Bảng hai chiều (Two-way table) và Sơ đồ hình cây (Tree diagram) để giải quyết trọn vẹn các bài toán xác suất thực tiễn.

Bài tổng ôn tập này sẽ giúp các em hệ thống hóa toàn bộ kiến thức, nhận diện các bẫy thường gặp trong đề thi và thử sức với Đề kiểm tra 45 phút chuẩn định dạng ma trận kiểm tra đánh giá của Bộ GD&ĐT kèm barem điểm chi tiết đến từng $0,25$ điểm.

Ma trận Đề kiểm tra 45 phút Chương 8 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Đề kiểm tra 45 phút: Chương 8 - Toán 9

Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm — 12 câu, mỗi câu 0,25đ)

Phần II. Tự luận (7,0 điểm — 4 bài toán)

Bài 1 (1,5 điểm): Phép thử rút thẻ & Đếm kết quả thuận lợi

Một hộp kín chứa $16$ tấm thẻ cùng loại được đánh số thứ tự từ $1$ đến $16$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. a) Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính $n(\Omega)$.
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi và tính xác suất của biến cố $A$: "Số ghi trên thẻ là số chính phương".
c) Liệt kê các kết quả thuận lợi và tính xác suất của biến cố $B$: "Số ghi trên thẻ là ước của 24".

Bài 2 (2,0 điểm): Bảng hai chiều với Phép thử gieo xúc xắc

Gieo đồng thời hai con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất. a) Lập bảng hai chiều biểu diễn tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc.
b) Tính xác suất của biến cố $E$: "Tổng số chấm trên hai con xúc xắc là số chia hết cho 4".
c) Tính xác suất của biến cố $F$: "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn".

Bài 3 (2,0 điểm): Sơ đồ hình cây & Rút thăm không hoàn lại

Một túi quà có $3$ món đồ chơi gồm: $1$ chiếc ô tô ($O$), $1$ chú gấu bông ($G$) và $1$ bộ xếp hình ($X$). Hai bạn An và Bình lần lượt rút ngẫu nhiên mỗi người một món đồ chơi (An rút trước, Bình rút sau và không hoàn lại). a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu diễn tất cả các kết quả có thể của phép thử.
b) Viết không gian mẫu $\Omega$ và tính $n(\Omega)$.
c) Tính xác suất để bạn An rút được chiếc ô tô.
d) Tính xác suất để bạn Bình rút được chú gấu bông.

Bài 4 (1,5 điểm - Vận dụng cao): Mô hình Xác suất Thực tế & Biến cố đối

Một tổ học sinh gồm $6$ bạn nam và $4$ bạn nữ. Thầy giáo cần chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm $3$ bạn đại diện cho lớp tham gia cuộc thi Hùng biện Tiếng Anh cấp trường. a) Có bao nhiêu cách chọn một nhóm $3$ học sinh bất kỳ từ tổ này (tính $n(\Omega)$)?
b) Tính xác suất để nhóm được chọn chỉ toàn là học sinh nam.
c) Tính xác suất để nhóm $3$ học sinh được chọn có ít nhất một bạn nữ.

Đáp án chi tiết & Barem chấm điểm Phần Tự luận

Bài 1 (1,5 điểm)

a) (0,5 điểm)

• Không gian mẫu: $\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 16\}$. (0,25đ)
• Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = 16$. (0,25đ)

b) (0,5 điểm)

• Các số chính phương từ $1$ đến $16$ là: $A = \{1; 4; 9; 16\}$. (0,25đ)
• Số kết quả thuận lợi $n(A) = 4$.
• Xác suất của biến cố $A$ là: $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\%$$ (0,25đ)

c) (0,5 điểm)

• Các số từ $1$ đến $16$ là ước của $24$ gồm: $B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12\}$. (0,25đ)
• Số kết quả thuận lợi $n(B) = 7$.
• Xác suất của biến cố $B$ là: $$P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{16} = 0,4375 = 43,75\%$$ (0,25đ)

Bài 2 (2,0 điểm)

a) (0,75 điểm)

• Bảng hai chiều biểu diễn tổng số chấm $i + j$ ($1 \le i, j \le 6$): (0,5đ)

• Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. (0,25đ)

b) (0,75 điểm)

• Tổng chia hết cho $4$ gồm các tổng bằng $4, 8$ hoặc $12$:
  • Tổng bằng 4: $(1; 3), (2; 2), (3; 1)$ (3 cặp).
  • Tổng bằng 8: $(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)$ (5 cặp).
  • Tổng bằng 12: $(6; 6)$ (1 cặp). (0,25đ)
• Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$: $$n(E) = 3 + 5 + 1 = 9$$ (0,25đ)
• Xác suất của biến cố $E$ là: $$P(E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\%$$ (0,25đ)

c) (0,5 điểm)

• Tích $i \times j$ là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn.
• Xét biến cố đối $\bar{F}$: "Tích $i \times j$ là số lẻ" $\iff$ Cả hai số $i$ và $j$ đều lẻ. Các số lẻ là $\{1; 3; 5\}$, do đó số kết quả thuận lợi cho $\bar{F}$ là: $$n(\bar{F}) = 3 \times 3 = 9$$ (0,25đ)
• Xác suất của biến cố đối: $P(\bar{F}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.
• Áp dụng công thức biến cố đối: $$P(F) = 1 - P(\bar{F}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 = 75\%$$ (0,25đ)

Bài 3 (2,0 điểm)

a) (0,75 điểm)

• Sơ đồ hình cây:
  • Bạn An có 3 khả năng rút: Ô tô ($O$), Gấu bông ($G$), Xếp hình ($X$). (0,25đ)
  • Nhánh $O$: Bình có thể rút $G$ hoặc $X \implies (O; G), (O; X)$.
  • Nhánh $G$: Bình có thể rút $O$ hoặc $X \implies (G; O), (G; X)$.
  • Nhánh $X$: Bình có thể rút $O$ hoặc $G \implies (X; O), (X; G)$. (0,5đ)

b) (0,5 điểm)

• Không gian mẫu: $$\Omega = \{(O; G), (O; X), (G; O), (G; X), (X; O), (X; G)\}$$ (0,25đ)
• Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 6$. (0,25đ)

c) (0,375 điểm)

• An rút được Ô tô tương ứng với các cặp có $O$ đứng đầu: $\{(O; G), (O; X)\} \implies 2$ kết quả.
• Xác suất là: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. (0,375đ)

d) (0,375 điểm)

• Bình rút được Gấu bông tương ứng với các cặp có $G$ đứng sau: $\{(O; G), (X; G)\} \implies 2$ kết quả.
• Xác suất là: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. (0,375đ)

Bài 4 (1,5 điểm)

a) (0,5 điểm)

• Tổng số học sinh trong tổ: $6 + 4 = 10$ học sinh.
• Số cách chọn ngẫu nhiên $3$ bạn từ $10$ bạn là: $$n(\Omega) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \text{ (cách)}$$ (0,5đ)

b) (0,5 điểm)

• Gọi $K$ là biến cố: "Nhóm 3 bạn được chọn chỉ toàn là học sinh nam".
• Số cách chọn $3$ bạn nam từ $6$ bạn nam là: $$n(K) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \text{ (cách)}$$ (0,25đ)
• Xác suất của biến cố $K$ là: $$P(K) = \frac{n(K)}{n(\Omega)} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \approx 16,67\%$$ (0,25đ)

c) (0,5 điểm)

• Gọi $H$ là biến cố: "Nhóm 3 bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ".
• Biến cố đối của $H$ là $\bar{H}$: "Nhóm 3 bạn được chọn không có bạn nữ nào" (tức là nhóm chỉ toàn học sinh nam).
• Như vậy $\bar{H}$ chính là biến cố $K$ ở câu b! Ta có $P(\bar{H}) = P(K) = \frac{1}{6}$. (0,25đ)
• Áp dụng công thức tính xác suất theo biến cố đối: $$P(H) = 1 - P(\bar{H}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 83,33\%$$ (0,25đ)
• Vậy xác suất để nhóm được chọn có ít nhất một bạn nữ là $\frac{5}{6}$.