Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Trong toàn bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT trên cả nước, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (hoặc lập phương trình) luôn chiếm vị trí trang trọng với $1.5$ đến $2.0$ điểm — là câu hỏi phân loại cốt lõi kiểm tra năng lực tư duy mô hình hóa toán học của học sinh.

Khác với lớp 8 khi chúng ta chỉ được chọn một ẩn số duy nhất (buộc phải biểu diễn đại lượng thứ hai qua những biểu thức phân số cồng kềnh), ở lớp 9, chúng ta được trang bị "vũ khí kép": chọn đồng thời hai ẩn số $x$ và $y$!

Việc sử dụng hai ẩn số giúp các mối quan hệ thực tế được phản ánh tự nhiên, mạch lạc và tránh tối đa sai sót tính toán. Bài học này sẽ cung cấp cho các em bộ cẩm nang phương pháp xử lý bách chiến bách thắng mọi thể loại bài toán thực tế!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Điều kiện của ẩn: Một bài toán hỏi số học sinh nam $x$ và nữ $y$ của một lớp. Điều kiện của $x$ và $y$ là gì?
2. Ca nô xuôi ngược: Vận tốc thực của ca nô là $x\text{ km/h}$, vận tốc dòng nước là $y\text{ km/h}$ ($x > y > 0$). Biểu diễn vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô.
3. Năng suất 1 ngày: Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong $x$ ngày ($x > 0$). Trong 1 ngày, người đó hoàn thành được bao nhiêu phần công việc?
4. Cấu tạo số: Một số có hai chữ số gồm chữ số hàng chục là $x$ và chữ số hàng đơn vị là $y$. Khi viết xen chữ số 0 vào giữa hai chữ số đó thì số mới có giá trị bằng bao nhiêu?
5. Tăng năng suất: Theo kế hoạch tổ sản xuất phải dệt $x$ tấm thảm. Thực tế tổ đã dệt vượt mức $15\%$. Số thảm thực tế tổ đã dệt được biểu diễn như thế nào?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. $x, y \in \mathbb{N}^*$ (số nguyên dương) và $x, y < \text{tổng số học sinh}$.
2. Vận tốc xuôi dòng là $x + y\text{ (km/h)}$, vận tốc ngược dòng là $x - y\text{ (km/h)}$.
3. Trong 1 ngày, người đó hoàn thành $\frac{1}{x}$ (công việc).
4. Số ban đầu là $\overline{xy} = 10x + y$. Khi xen chữ số 0 vào giữa, số mới là $\overline{x0y} = 100x + y$.
5. Thực tế vượt mức $15\%$, số thảm dệt được là $x + 15\%x = 1.15x$ (tấm thảm).

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

Quy trình 3 bước chuẩn mực giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Quan trọng

QUY TRÌNH 3 BƯỚC BẮT BUỘC:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

• Chọn hai ẩn số $x$ và $y$ (chỉ rõ hai ẩn đại diện cho đại lượng gì, kèm theo đơn vị đo và điều kiện thích hợp của ẩn).
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo hai ẩn $x, y$ và các số liệu đã biết trong đề bài.
• Dựa vào hai mối quan hệ độc lập trong đề bài để lập ra hai phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó ghép thành hệ phương trình.

Bước 2: Giải hệ phương trình:

• Tùy cấu trúc hệ số của hệ, lựa chọn phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số thích hợp nhất để tìm nghiệm $(x; y)$.

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và Kết luận:

• So sánh các giá trị $x, y$ vừa tìm được với điều kiện đặt ra ở Bước 1.
• Chọn nghiệm thỏa mãn và viết câu trả lời kết luận kèm đúng đơn vị theo yêu cầu của đề bài.

Bảng tóm tắt công thức các dạng toán kinh điển

Ứng dụng Tương tác Trực quan

Mô phỏng Chuyển động Ca nô Xuôi dòng & Ngược dòng sông

Điều chỉnh vận tốc thực của ca nô ($v_{\text{canô}}$) và vận tốc dòng nước ($v_{\text{nước}}$) cùng khoảng cách giữa hai bến $AB$. Quan sát trực quan sự chênh lệch thời gian xuôi dòng và ngược dòng và hệ phương trình được thiết lập tự động:

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Bài toán chuyển động (Ca nô, ô tô, xe máy)

Phương pháp giải:

1. Lập bảng phân tích 3 cột: Vận tốc ($v$), Thời gian ($t$), Quãng đường ($s$).
2. Thiết lập 2 phương trình dựa trên quãng đường bằng nhau hoặc chênh lệch thời gian.

Bài toán 1:

Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông từ bến $A$ đến bến $B$ hết $3\text{ giờ}$ và chạy ngược dòng khúc sông đó từ bến $B$ về bến $A$ hết $4\text{ giờ}$. Biết vận tốc dòng nước chảy là $3\text{ km/h}$. Tính vận tốc thực của ca nô khi nước yên lặng và khoảng cách giữa hai bến $A$ và $B$.

Lời giải:

Gọi vận tốc thực của ca nô là $x\text{ (km/h)}$ và độ dài khúc sông $AB$ là $y\text{ (km)}$. Điều kiện: $x > 3$ và $y > 0$.

• Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: $x + 3\text{ (km/h)}$. Quãng đường ca nô xuôi dòng trong $3\text{ giờ}$ là: $3(x + 3)\text{ (km)}$. Vì quãng đường xuôi dòng chính là khúc sông $AB$ nên ta có phương trình:

  $$3(x + 3) = y \iff 3x - y = -9 \quad (1)$$

• Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là: $x - 3\text{ (km/h)}$. Quãng đường ca nô ngược dòng trong $4\text{ giờ}$ là: $4(x - 3)\text{ (km)}$. Vì quãng đường ngược dòng cũng là khúc sông $AB$ nên ta có phương trình:

  $$4(x - 3) = y \iff 4x - y = 12 \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

Lấy phương trình $(2)$ trừ phương trình $(1)$ theo từng vế:

Thay $x = 21$ vào $(1)$:

Cả hai giá trị $x = 21$ và $y = 72$ đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy vận tốc thực của ca nô là $21\text{ km/h}$ và khoảng cách giữa hai bến $A, B$ là $72\text{ km}$.

Dạng 2: Bài toán năng suất làm chung – làm riêng (Vòi nước chảy vào bể)

Phương pháp giải:

1. Quy ước toàn bộ công việc (hoặc bể nước đầy) là $1$.
2. Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc là $x$ và $y$ ($x, y > T_{\text{chung}}$).
3. Năng suất trong một đơn vị thời gian là $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$.

Bài toán 2:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn không có nước thì sau $4\text{ giờ } 48\text{ phút}$ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy một mình trong $3\text{ giờ}$ rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy tiếp trong $4\text{ giờ}$ thì cả hai vòi chảy được $\frac{7}{10}$ bể. Hỏi nếu chảy riêng một mình thì mỗi vòi mất bao lâu mới đầy bể?

Lời giải:

Đổi: $4\text{ giờ } 48\text{ phút} = 4 + \frac{48}{60} = \frac{24}{5}\text{ giờ}.$

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x\text{ (giờ)}$. Gọi thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y\text{ (giờ)}$. Điều kiện: $x, y > \frac{24}{5}$.

• Trong $1\text{ giờ}$:

  • Vòi 1 chảy được: $\frac{1}{x}$ (bể).
  • Vòi 2 chảy được: $\frac{1}{y}$ (bể).
  • Cả hai vòi cùng chảy được: $1 : \frac{24}{5} = \frac{5}{24}$ (bể). Ta có phương trình thứ nhất:$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24} \quad (1)$$

• Trong $3\text{ giờ}$, vòi 1 chảy được: $\frac{3}{x}$ (bể). Trong $4\text{ giờ}$, vòi 2 chảy được: $\frac{4}{y}$ (bể). Theo đề bài, lượng nước chảy được bằng $\frac{7}{10}$ bể nên ta có phương trình:

  $$\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{7}{10} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$ ($u, v > 0$), hệ trở thành:

Nhân phương trình $(3)$ với $3$:

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:

Thay $v = \frac{3}{40}$ vào $(3)$:

Suy ra:

Đổi: $7.5\text{ giờ} = 7\text{ giờ } 30\text{ phút}$; $\frac{40}{3}\text{ giờ} = 13\text{ giờ } 20\text{ phút}$. Vậy vòi 1 chảy một mình trong $7\text{ giờ } 30\text{ phút}$ thì đầy bể; vòi 2 chảy một mình trong $13\text{ giờ } 20\text{ phút}$ thì đầy bể.

Dạng 3: Bài toán cấu tạo số và quan hệ chữ số

Phương pháp giải: Số tự nhiên có hai chữ số: $\overline{xy} = 10x + y$ với $x, y \in \mathbb{N}, 1 \le x \le 9, 0 \le y \le 9$.

Bài toán 3:

Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn ba lần chữ số hàng đơn vị là $1$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta thu được một số mới nhỏ hơn số ban đầu là $27$ đơn vị.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là $x$, chữ số hàng đơn vị là $y$. Điều kiện: $x, y \in \mathbb{N}$ và $1 \le x \le 9;\ 0 \le y \le 9$.

• Số ban đầu là: $\overline{xy} = 10x + y$. Theo đề bài, hai lần chữ số hàng chục lớn hơn ba lần chữ số hàng đơn vị là $1$:

  $$2x - 3y = 1 \quad (1)$$

• Khi đổi chỗ hai chữ số, ta được số mới là: $\overline{yx} = 10y + x$. Số mới nhỏ hơn số ban đầu là $27$ đơn vị nên ta có phương trình:

  $$(10x + y) - (10y + x) = 27$$$$9x - 9y = 27 \iff x - y = 3 \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:

Từ $(2) \implies x = y + 3$. Thế vào $(1)$:

Suy ra:

Cả $x = 8$ và $y = 5$ đều thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy số tự nhiên cần tìm là $85$.

Dạng 4: Bài toán phần trăm kinh tế và pha trộn nồng độ dung dịch

Phương pháp giải:

1. Khối lượng chất tan ban đầu cộng lại bằng khối lượng chất tan trong dung dịch mới.
2. Thiết lập 2 phương trình: tổng khối lượng dung dịch và tổng khối lượng chất tan.

Bài toán 4:

Trong phòng thí nghiệm hóa học, một bạn học sinh cần pha chế $500\text{ gam}$ dung dịch muối nồng độ $12\%$ từ hai loại dung dịch muối có sẵn: dung dịch muối $A$ nồng độ $8\%$ và dung dịch muối $B$ nồng độ $18\%$. Hỏi bạn học sinh đó cần phải lấy bao nhiêu gam mỗi loại dung dịch $A$ và $B$?

Lời giải:

Gọi khối lượng dung dịch muối $A$ cần lấy là $x\text{ (gam)}$, khối lượng dung dịch muối $B$ cần lấy là $y\text{ (gam)}$. Điều kiện: $0 < x, y < 500$.

• Vì tổng khối lượng dung dịch mới thu được là $500\text{ gam}$ nên ta có phương trình:

  $$x + y = 500 \quad (1)$$

• Lượng muối nguyên chất có trong từng dung dịch:

  • Trong dung dịch $A$ nồng độ $8\%$: $8\% \cdot x = 0.08x\text{ (gam)}$.
  • Trong dung dịch $B$ nồng độ $18\%$: $18\% \cdot y = 0.18y\text{ (gam)}$.
  • Trong $500\text{ gam}$ dung dịch mới nồng độ $12\%$: $12\% \cdot 500 = 60\text{ (gam)}$. Ta có phương trình bảo toàn khối lượng chất tan:$$0.08x + 0.18y = 60 \iff 8x + 18y = 6000 \iff 4x + 9y = 3000 \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:

Từ $(1) \implies x = 500 - y$. Thế vào $(2)$:

Suy ra:

Cả $x = 300$ và $y = 200$ đều thỏa mãn điều kiện $0 < x, y < 500$. Vậy bạn học sinh cần lấy $300\text{ gam}$ dung dịch muối $A$ và $200\text{ gam}$ dung dịch muối $B$.

III. 5 Chuyên đề Khoa học Thực tiễn & Ứng dụng Công nghệ

1. Phối trộn Hợp kim Titanium trong Công nghiệp Hàng không Vũ trụ

Khi sản xuất vỏ tàu vũ trụ SpaceX Dragon hay thân máy bay Boeing 787:

• Các kỹ sư phải nấu chảy và phối trộn hai thỏi hợp kim titan với nồng độ nhôm và vanadi khác nhau để đạt chuẩn độ bền kéo $950\text{ MPa}$.
• Việc lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đảm bảo chính xác tỷ lệ khối lượng từng mẻ nấu lò hồ quang chân không.

2. Thuật toán Lập kế hoạch Sản xuất Chuỗi cung ứng (Supply Chain)

Các nhà máy lắp ráp điện thoại Samsung hay VinFast:

• Có hai dây chuyền sản xuất $A$ và $B$ với công suất linh kiện và thời gian kiểm thử khác nhau.
• Người quản lý lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn về tổng số giờ máy và tổng lượng linh kiện để phân bổ lịch làm việc ca ngày - ca đêm tối ưu nhất.

3. Dược học: Tính liều lượng phối hợp Kháng sinh Điều trị

Trong các ca nhiễm khuẩn nặng tại phòng hồi sức cấp cứu ICU:

• Bác sĩ cần phối hợp hai loại kháng sinh để tăng hiệu quả diệt khuẩn mà không gây suy thận cho người bệnh.
• Hệ phương trình nồng độ thẩm thấu dược chất trong máu theo thời gian bán thải $T_{1/2}$ giúp y tá truyền đúng tốc độ giọt dung dịch qua máy tiêm điện tử.

4. Quản lý Hồ thủy điện Đa mục tiêu mùa Mưa lũ

Hồ thủy điện Hòa Bình và Sơn La trên sông Đà:

• Có lưu lượng nước đổ về hồ và hai cửa xả đáy, xả mặt.
• Việc lập hệ phương trình cân bằng dung tích hồ chứa nước giúp ban chỉ huy phòng chống thiên tai tính toán đóng mở van xả chuẩn xác, vừa phát tối đa công suất điện lưới quốc gia, vừa bảo đảm tuyệt đối an toàn đê điều cho đồng bằng Bắc Bộ.

5. Công nghệ Trộn Màu Mực In Offset & Màn hình RGB / CMYK

Để in màu chính xác trên bao bì sản phẩm:

• Máy in công nghiệp tự động hòa trộn các đầu phun mực gốc Cyan, Magenta, Yellow.
• Mỗi sắc thái màu sắc được giải mã thành một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn về mật độ hạt mực, đảm bảo hàng triệu cuốn sách in ra có màu sắc chuẩn y như bản vẽ thiết kế trên máy tính.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Bài tập tự luyện & Thử thách thực tế

Bài tập cơ bản

1. Hai giá sách có tổng cộng $450$ cuốn sách. Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ gấp đôi số sách còn lại ở giá thứ nhất. Tính số sách ban đầu ở mỗi giá.
2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $64\text{ m}$. Nếu tăng chiều rộng thêm $3\text{ m}$ và giảm chiều dài đi $2\text{ m}$ thì diện tích mảnh vườn tăng thêm $14\text{ m}^2$. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn.
3. Một ô tô đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$ với vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm $10\text{ km/h}$ thì xe đến sớm hơn dự định $45\text{ phút}$. Nếu vận tốc giảm đi $10\text{ km/h}$ thì xe đến muộn hơn dự định $1\text{ giờ}$. Tính quãng đường $AB$ và thời gian dự định đi.

Bài tập nâng cao & Vận dụng thực tế

4. Bài toán sản xuất nông nghiệp công nghệ cao: Hai tổ nông dân trồng hoa lan hồ điệp xuất khẩu nhận kế hoạch ươm tổng cộng $18\,000$ cây giống. Nhờ áp dụng công nghệ nhà màng tự động, tổ I làm vượt mức $15\%$, tổ II làm vượt mức $12\%$, nên cả hai tổ đã ươm được $20\,460$ cây giống. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi tổ phải ươm bao nhiêu cây giống?
5. Để cung cấp nước sạch cho một khu dân cư nông thôn mới, hai trạm bơm cùng vận hành thì sau $12\text{ giờ}$ sẽ bơm đầy bể ngầm dự trữ. Nếu trạm I vận hành một mình trong $4\text{ giờ}$, sau đó cả hai trạm cùng vận hành thêm $6\text{ giờ}$ nữa thì bể chứa được $\frac{2}{3}$ dung tích. Hỏi nếu mỗi trạm bơm vận hành một mình thì mất bao lâu mới bơm đầy bể nước ngầm?