Bài 38. Hình chóp tam giác đều

Ở lớp 7, chúng ta đã được làm quen với các hình khối có hai mặt đáy song song và bằng nhau: hình hộp chữ nhật, hình lập phương và các hình lăng trụ đứng.

Bước sang lớp 8, chúng ta sẽ khám phá một lớp hình khối không gian hoàn toàn mới mẻ, tráng lệ và đầy tính ứng dụng trong kiến trúc: Hình chóp. Thay vì có hai đáy bằng nhau, hình chóp chỉ có duy nhất một mặt đáy, còn các mặt bên cùng vươn cao và cùng quy tụ về một điểm đỉnh nhọn hoắt duy nhất trên không trung!

Bài học đầu tiên của Chương 10 sẽ dẫn dắt các em tìm hiểu về Hình chóp tam giác đều — khối hình của những chiếc lều cắm trại dã ngoại, những viên rubik tam giác Pyraminx kì ảo và các khối tinh thể khoáng vật quý hiếm trong lòng đất.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Số đỉnh, mặt, cạnh: Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu mặt và bao nhiêu cạnh?
2. Hình dạng mặt bên: Các mặt bên của hình chóp tam giác đều là những hình gì? Chúng có bằng nhau không?
3. Diện tích xung quanh: Hình chóp tam giác đều có nửa chu vi đáy $p = 12\text{ cm}$ và độ dài trung đoạn $d = 8\text{ cm}$. Diện tích xung quanh $S_{xq}$ bằng bao nhiêu?
4. Thể tích: Hình chóp tam giác đều có diện tích mặt đáy $S_{\text{day}} = 30\text{ cm}^2$ và chiều cao $h = 9\text{ cm}$. Thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
5. So sánh thể tích: Một hình chóp tam giác đều và một hình lăng trụ đứng tam giác có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao. Thể tích hình chóp bằng mấy phần thể tích hình lăng trụ?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. Có 4 đỉnh ($1$ đỉnh chóp $+ 3$ đỉnh đáy), 4 mặt ($1$ mặt đáy $+ 3$ mặt bên), và 6 cạnh ($3$ cạnh đáy $+ 3$ cạnh bên).
2. Các mặt bên là các tam giác cân và chúng hoàn toàn bằng nhau.
3. $S_{xq} = p \cdot d = 12 \cdot 8 = 96\text{ cm}^2$.
4. $$V = \frac{1}{3} S_{\text{day}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 9 = 90\text{ cm}^3.$$
5. Thể tích hình chóp bằng đúng $\frac{1}{3}$ thể tích hình lăng trụ có cùng đáy và cùng chiều cao.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

1. Định nghĩa và Cấu tạo của Hình chóp tam giác đều

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA: Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là hình chóp có:

1. Mặt đáy $ABC$ là một tam giác đều.
2. Các cạnh bên bằng nhau: $SA = SB = SC$.
3. Các mặt bên ($SAB, SBC, SCA$) là các tam giác cân bằng nhau.

Các thành phần cấu tạo chi tiết:

• Đỉnh: $S$.
• Mặt đáy: Tam giác đều $ABC$.
• Chiều cao $h$: Đoạn thẳng $SH$ nối từ đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy, trong đó điểm $H$ chính là trọng tâm (đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp) của tam giác đều $ABC$.
• Trung đoạn $d$: Đường cao vẽ từ đỉnh $S$ của mỗi mặt bên tam giác cân. Trong hình vẽ, $M$ là trung điểm của $BC$ thì đoạn thẳng $SM$ chính là trung đoạn của hình chóp ($SM \perp BC$).

2. Công thức tính Diện tích xung quanh ($S_{xq}$)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tổng diện tích của 3 mặt bên:

Vì $3a$ chính là chu vi đáy $C_{\text{day}}$, ta có công thức tổng quát:

Quan trọng

CÔNG THỨC DIỆN TÍCH XUNG QUANH:

$$S_{xq} = p \cdot d = \frac{1}{2} C_{\text{day}} \cdot d$$

Trong đó:

• $p$: Nửa chu vi đáy ($p = \frac{3a}{2}$ với $a$ là độ dài cạnh đáy).
• $C_{\text{day}}$: Chu vi đáy ($C_{\text{day}} = 3a$).
• $d$: Độ dài trung đoạn của hình chóp.

Diện tích toàn phần ($S_{tp}$):

(với $S_{\text{day}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ là diện tích của tam giác đều cạnh $a$).

3. Công thức tính Thể tích ($V$)

Quan trọng

CÔNG THỨC THỂ TÍCH:

$$V = \frac{1}{3} S_{\text{day}} \cdot h$$

Trong đó:

• $S_{\text{day}}$: Diện tích của mặt đáy tam giác đều.
• $h$: Chiều cao của hình chóp ($h = SH$).

Ứng dụng Tương tác Trực quan

Mô phỏng 3D Hình chóp Tam giác đều & Tính toán Tham số

Kéo thanh trượt để thay đổi cạnh đáy $a$ và chiều cao $h$. Hệ thống sẽ tính toán ngay độ dài trung đoạn $d$, diện tích xung quanh $S_{xq}$ và thể tích $V$ của khối chóp:

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố và tính chu vi, diện tích mặt bên

Phương pháp giải:

1. Nhớ cấu trúc: Đáy là tam giác đều, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau.
2. Diện tích một mặt bên: $S_{1\text{ bên}} = \frac{1}{2} a \cdot d$.
3. Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 3 \cdot S_{1\text{ bên}} = p \cdot d$.

Bài toán 1:

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy $AB = 10\text{ cm}$ và độ dài trung đoạn $d = 12\text{ cm}$. a) Tính chu vi mặt đáy và diện tích xung quanh của hình chóp. b) Tính diện tích của một mặt bên tam giác cân $SBC$. c) Cho biết cạnh bên $SA = 13\text{ cm}$. Kiểm tra lại độ dài trung đoạn $d$ của hình chóp.

Lời giải:

a) Chu vi mặt đáy của hình chóp là:

Nửa chu vi đáy là:

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

b) Diện tích của một mặt bên $SBC$ là:

(hoặc tính trực tiếp: $$S_{SBC} = \frac{1}{2} BC \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\text{ cm}^2$$).

c) Gọi $M$ là trung điểm của $BC \implies BM = MC = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$. Vì $\triangle SBC$ cân tại $S$ nên trung đoạn $SM \perp BC$. Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle SMB$ vuông tại $M$:

Độ dài trung đoạn hoàn toàn khớp với đề bài ($d = 12\text{ cm}$).

Dạng 2: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều

Phương pháp giải:

1. Tính diện tích đáy tam giác đều: $S_{\text{day}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
2. Áp dụng công thức thể tích: $V = \frac{1}{3} S_{\text{day}} \cdot h$.

Bài toán 2:

a) Một hình chóp tam giác đều có diện tích mặt đáy bằng $24\sqrt{3}\text{ cm}^2$ và chiều cao $h = 10\text{ cm}$. Tính thể tích của hình chóp đó. b) Một khối gỗ hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $6\text{ cm}$ và chiều cao $h = 8\text{ cm}$. Tính thể tích khối gỗ (lấy $\sqrt{3} \approx 1.732$).

Lời giải:

a) Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

b)

• Mặt đáy là tam giác đều cạnh $a = 6\text{ cm}$. Diện tích mặt đáy là:$$S_{\text{day}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$$
• Thể tích của khối gỗ hình chóp là:$$V = \frac{1}{3} S_{\text{day}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3} \approx 24 \cdot 1.732 = 41.57\text{ cm}^3$$

Dạng 3: Mối quan hệ giữa Chiều cao, Trung đoạn và Cạnh đáy

Phương pháp giải: Xét tam giác vuông $SHM$ vuông tại $H$ (với $H$ là trọng tâm đáy, $M$ là trung điểm cạnh đáy):

Trong đó $HM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều đáy).

Bài toán 3:

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy bằng $12\text{ cm}$ và chiều cao $h = SH = 4\text{ cm}$. a) Tính độ dài đoạn thẳng $HM$ ($M$ là trung điểm của $BC$). b) Tính độ dài trung đoạn $d = SM$ của hình chóp. c) Tính diện tích xung quanh của hình chóp đó.

Lời giải:

a) Tam giác đều $ABC$ có cạnh $a = 12\text{ cm}$. Độ dài đường cao $AM$ của tam giác đáy là:

Vì $H$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$, nên $H$ chia đường cao $AM$ theo tỉ lệ:

b) Vì $SH \perp (ABC)$ nên $\triangle SHM$ vuông tại $H$. Áp dụng định lí Pythagore trong $\triangle SHM$:

Suy ra độ dài trung đoạn $d$ là:

c) Nửa chu vi đáy là:

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

Dạng 4: Bài toán thực tế về hình chóp tam giác đều

Phương pháp giải:

1. Nhận diện hình khối thực tế là hình chóp tam giác đều.
2. Gán các kích thước thực tế: cạnh đáy $a$, chiều cao $h$, trung đoạn $d$.
3. Tính lượng vải bạt, sơn phủ (diện tích xung quanh) hoặc dung tích chứa (thể tích).

Bài toán 4:

Một nhóm học sinh cắm trại tự làm một chiếc lều bạt có dạng hình chóp tam giác đều. Cạnh đáy của chiếc lều dài $3\text{ m}$, độ dài trung đoạn của chiếc lều là $2.5\text{ m}$. a) Tính diện tích vải bạt cần thiết để phủ kín 3 mặt bên của chiếc lều (không tính mặt đáy tiếp giáp đất). b) Biết giá tiền mỗi mét vuông vải bạt chống thấm là $85\,000\text{ đồng}$. Hỏi nhóm học sinh phải trả bao nhiêu tiền mua vải bạt (bỏ qua mép gấp)? c) Chiều cao bên trong lều từ đỉnh đến mặt đất là $2.3\text{ m}$. Tính thể tích không gian không khí bên trong chiếc lều (lấy $\sqrt{3} \approx 1.732$).

Lời giải:

a) Chu vi mặt đáy lều là:

Nửa chu vi mặt đáy là:

Diện tích vải bạt phủ kín 3 mặt bên chính là diện tích xung quanh của hình chóp:

b) Số tiền mua vải bạt là:

c) Diện tích mặt sàn đáy của chiếc lều là:

Thể tích không gian không khí bên trong lều là:

III. 5 Chuyên đề Khoa học Thực tiễn & Ứng dụng Công nghệ

1. Khối Đồ chơi Rubik Tam giác Pyraminx

Năm 1970, Uwe Meffert phát minh ra khối rubik tam giác Pyraminx:

• Khối rubik có dạng hình chóp tam giác đều (khối tứ diện đều).
• Các trục xoay liên kết các đỉnh và cạnh theo các mặt phẳng song song với 4 mặt tam giác đều, tạo nên trò chơi trí tuệ thu hút hàng triệu người chơi trên toàn thế giới.

2. Thiết kế Lều Dã ngoại Chống gió Bão Khắc nghiệt

Ở các vùng núi cao tuyết phủ như dãy Himalaya hay sa mạc lộng gió:

• Các căn lều thám hiểm hình chóp tam giác đều được ưu tiên sử dụng nhờ kết cấu 3 chân kiềng vững chãi nhất trong cơ học.
• Hình dáng chóp dốc giúp tuyết không bị đọng lại trên nóc lều, đồng thời gió bão thổi qua bị phân tán đều sang hai bên sườn tam giác cân mà không làm lật lều.

3. Tinh thể Kim cương & Cấu trúc Liên kết Carbon $sp^3$

Trong hóa học và công nghệ vật liệu siêu cứng:

• Mỗi nguyên tử Carbon trong tinh thể kim cương liên kết với $4$ nguyên tử Carbon lân cận tạo thành một hình chóp tam giác đều hoàn hảo (tứ diện đều).
• Cấu trúc liên kết này phân bố đều lực ép từ mọi phía, biến kim cương thành khoáng vật tự nhiên cứng nhất hành tinh.

4. Hộp Bao bì Bánh kẹo & Quà lưu niệm Origami Cao cấp

Các thương hiệu trà và sô-cô-la nổi tiếng của Nhật Bản và Thụy Sĩ:

• Sử dụng các hộp giấy gấp dạng hình chóp tam giác đều.
• Thiết kế này tối ưu hóa khả năng xếp khít vào các thùng carton vận chuyển lớn, đồng thời tạo cảm giác sang trọng, độc đáo kích thích thị giác người tiêu dùng.

5. Giá đỡ 3 chân Máy đo Trắc địa & Máy ảnh Chuyên nghiệp (Tripod)

Khi các kỹ sư trắc địa ngắm cao độ công trình:

• 3 chân cắm xuống đất tạo thành một tam giác đều, đỉnh hội tụ là trục máy quay.
• Dù địa hình có gồ ghề hay mấp mô, hình chóp tam giác đều luôn xác định một mặt phẳng duy nhất vững chắc, đảm bảo độ chính xác tuyệt đối cho các phép đo trắc địa vệ tinh.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Bài tập tự luyện & Thử thách thực tế

Bài tập cơ bản

1. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy $a = 6\text{ cm}$ và độ dài trung đoạn $d = 8\text{ cm}$. a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. b) Tính diện tích một mặt bên của hình chóp.
2. Một hình chóp tam giác đều có thể tích $V = 48\text{ cm}^3$ và chiều cao $h = 6\text{ cm}$. Tính diện tích mặt đáy của hình chóp đó.
3. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $8\text{ cm}$ và cạnh bên bằng $5\text{ cm}$. Tính độ dài trung đoạn $d$ của hình chóp.

Bài tập nâng cao & Vận dụng thực tế

4. Hộp kẹo socola hình chóp: Một công ty bánh kẹo thiết kế hộp socola có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh đáy dài $10\text{ cm}$, trung đoạn dài $12\text{ cm}$. a) Tính diện tích bìa carton dùng để làm vỏ hộp (kể cả đáy hộp, bỏ qua mép dán, lấy $\sqrt{3} \approx 1.732$). b) Nếu giá thành in ấn và cán màng là $400\text{ đồng/cm}^2$, hỏi chi phí làm một vỏ hộp kẹo là bao nhiêu tiền?
5. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$. Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. a) Tính chiều cao $SH$ của hình chóp theo $a$. b) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.