Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Khi thực hiện phép chia số tự nhiên ở bậc Tiểu học, các em đã từng gặp những phép chia "chia mãi không hết":

• Chia $3$ chiếc bánh cho $4$ bạn: mỗi bạn được $3 : 4 = 0{,}75$ chiếc bánh (phép chia dừng lại sau $2$ chữ số thập phân).
• Nhưng khi chia $1$ chiếc bánh cho $3$ bạn: $1 : 3 = 0{,}33333\dots$, chữ số $3$ cứ kéo dài bất tận không bao giờ kết thúc!

Tại sao lại có sự khác biệt kỳ diệu này? Làm thế nào để biết trước một phân số khi đổi ra số thập phân sẽ "dừng lại" hay "kéo dài vô tận" mà không cần đặt bút chia? Và những con số kéo dài vô tận như $0{,}333\dots$ hay $0{,}41666\dots$ có phải là số hữu tỉ hay không?

Bài học mở đầu Chương II sẽ giúp các em giải mã bí ẩn về số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn, khám phá khái niệm chu kỳ, bước đầu làm quen với số vô tỉ và tập hợp số thực $\mathbb{R}$, cùng $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic với tư duy toán học sâu sắc!

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

Hãy khởi động cùng $5$ bài toán nền tảng trước khi bước vào thế giới số thập phân:

Câu hỏi khởi động

1. Thực hiện phép chia đặt tính để viết các phân số sau dưới dạng số thập phân:

   • a) $\frac{3}{5}$.
   • b) $\frac{7}{8}$.
   • c) $\frac{5}{4}$.

2. Rút gọn các phân số sau về dạng tối giản có mẫu dương:

   • a) $\frac{18}{24}$.
   • b) $\frac{35}{50}$.
   • c) $\frac{12}{-45}$.

3. Phân tích các số tự nhiên sau ra thừa số nguyên tố:

   $$8; \quad 25; \quad 12; \quad 40; \quad 75.$$

4. Nêu định nghĩa số hữu tỉ và mối quan hệ bao hàm giữa $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$.

5. Điền kí hiệu $\in, \notin$ thích hợp vào chỗ trống:

   • a) $-4 \dots \mathbb{N}$;
   • b) $0{,}75 \dots \mathbb{Q}$;
   • c) $-3 \dots \mathbb{Z}$;
   • d) $\frac{2}{3} \dots \mathbb{Z}$.

Lời giải gợi ý phần Khởi động

1. Thực hiện phép chia:

   • a) $3 : 5 = 0{,}6$.
   • b) $7 : 8 = 0{,}875$.
   • c) $5 : 4 = 1{,}25$.

2. Rút gọn phân số tối giản:

   • a) $\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$.
   • b) $\frac{35}{50} = \frac{35 : 5}{50 : 5} = \frac{7}{10}$.
   • c) $\frac{12}{-45} = \frac{12 : (-3)}{-45 : (-3)} = \frac{-4}{15}$.

3. Phân tích ra thừa số nguyên tố:

   • $8 = 2^3$.
   • $25 = 5^2$.
   • $12 = 2^2 \cdot 3$.
   • $40 = 2^3 \cdot 5$.
   • $75 = 3 \cdot 5^2$.

4. Định nghĩa:

   • Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0$).
   • Mối quan hệ bao hàm: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

5. Điền kí hiệu:

   • a) $-4 \notin \mathbb{N}$;
   • b) $0{,}75 \in \mathbb{Q}$;
   • c) $-3 \in \mathbb{Z}$;
   • d) $\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$.

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn

Mọi số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ ($b > 0$) đều viết được dưới dạng số thập phân bằng cách lấy tử số chia cho mẫu số ($a : b$). Khi thực hiện phép chia, chỉ xảy ra một trong hai trường hợp:

Ghi nhớ

1. Phép chia kết thúc: Sau một số hữu hạn chữ số ở phần thập phân, phần dư bằng $0$. Kết quả thu được gọi là số thập phân hữu hạn. Ví dụ: $$\frac{3}{8} = 0{,}375; \quad -\frac{7}{20} = -0{,}35; \quad \frac{9}{4} = 2{,}25.$$
2. Phép chia không bao giờ kết thúc: Các số dư lặp đi lặp lại tuần hoàn, dẫn đến ở phần thập phân có một nhóm chữ số lặp lại vô hạn lần. Kết quả thu được gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: $$\frac{2}{3} = 0{,}6666\dots; \quad \frac{5}{11} = 0{,}454545\dots; \quad \frac{7}{12} = 0{,}58333\dots.$$

Định lý về biểu diễn số hữu tỉ:

• Mỗi số hữu tỉ đều được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
• Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn đều biểu diễn một số hữu tỉ.

2. Dấu hiệu nhận biết phân số thập phân

Làm thế nào để biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn mà không cần thực hiện phép chia?

Quan trọng

Định lý nhận biết: Cho phân số tối giản $\frac{a}{b}$ có mẫu dương ($b > 0$):

1. Nếu mẫu số $b$ không có ước nguyên tố nào khác $2$ và $5$ (tức là sau khi phân tích ra thừa số nguyên tố, $b = 2^m \cdot 5^n$ với $m, n \in \mathbb{N}$) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
2. Nếu mẫu số $b$ có ước nguyên tố khác $2$ và $5$ (chẳng hạn có chứa ước nguyên tố $3, 7, 11, 13, \dots$) thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1: Không thực hiện phép chia, hãy giải thích vì sao:

• a) $\frac{13}{40}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
• b) $\frac{7}{30}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
• c) $\frac{21}{60}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

• a) Phân số $\frac{13}{40}$ đã tối giản, mẫu $40 = 2^3 \cdot 5$ chỉ chứa thừa số nguyên tố $2$ và $5$. Do đó $\frac{13}{40}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn ($13 : 40 = 0{,}325$).
• b) Phân số $\frac{7}{30}$ đã tối giản, mẫu $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ có chứa thừa số nguyên tố $3$ (khác $2$ và $5$). Do đó $\frac{7}{30}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ($7 : 30 = 0{,}2333\dots = 0{,}2(3)$).
• c) Phân số $\frac{21}{60}$ chưa tối giản. Rút gọn: $\frac{21}{60} = \frac{21 : 3}{60 : 3} = \frac{7}{20}$. Mẫu số mới $20 = 2^2 \cdot 5$ chỉ chứa thừa số nguyên tố $2$ và $5$. Do đó $\frac{21}{60}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn ($\frac{7}{20} = 0{,}35$).

3. Chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ghi nhớ

Trong một số thập phân vô hạn tuần hoàn, nhóm chữ số lặp lại ngắn nhất sau dấu phẩy được gọi là chu kỳ. Để viết gọn số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta đặt chu kỳ đó trong dấu ngoặc đơn $(\dots)$.

Phân loại chu kỳ:

1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn: Chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy.
   • $0{,}333\dots = 0{,}(3)$ (chu kỳ là $3$).
   • $0{,}272727\dots = 0{,}(27)$ (chu kỳ là $27$).
   • $1{,}142857142857\dots = 1{,}(142857)$ (chu kỳ là $142857$).
2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp (hỗn hợp): Giữa dấu phẩy và chu kỳ còn có một hoặc nhiều chữ số không lặp lại (gọi là phần bất thường).
   • $0{,}41666\dots = 0{,}41(6)$ (chu kỳ là $6$, phần trước chu kỳ là $41$).
   • $2{,}15909090\dots = 2{,}15(90)$ (chu kỳ là $90$, phần trước chu kỳ là $15$).

4. Mở rộng: Khái niệm số vô tỉ và Tập hợp số thực $\mathbb{R}$

Toán học không dừng lại ở các số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn. Còn có những số thập phân vô hạn nhưng không bao giờ tuần hoàn:

Ghi nhớ

• Số vô tỉ (Irrational Number): Là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Kí hiệu tập hợp số vô tỉ là $\mathbb{I}$. Ví dụ: $\pi = 3{,}1415926535\dots$; $\sqrt{2} = 1{,}41421356\dots$; $0{,}1010010001\dots$
• Tập hợp số thực (Real Numbers): Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là $\mathbb{R}$.
• Mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số:$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$$
• Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm xác định trên trục số, và ngược lại mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực. Do đó, trục số còn gọi là trục số thực.

5. Những bẫy sai lầm kinh điển cần tránh

Lưu ý / Cảnh báo

1. Chưa rút gọn phân số đã vội xét mẫu: Ví dụ phân số $\frac{9}{15}$. Nếu vội vàng thấy mẫu $15 = 3 \cdot 5$ chứa số $3$ rồi kết luận vô hạn tuần hoàn là SAI. Phải rút gọn: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (mẫu là $5$) nên là số thập phân hữu hạn ($0{,}6$).
2. Xác định nhầm chu kỳ: Với số $0{,}1666\dots$, viết $0{,}(16)$ hoặc $0{,}(166)$ là sai. Chỉ có chữ số $6$ lặp lại, nên viết đúng là $0{,}1(6)$ và chu kỳ là $6$.
3. Nhầm lẫn số vô tỉ và số vô hạn tuần hoàn: Số thập phân vô hạn tuần hoàn vẫn là số hữu tỉ (thuộc $\mathbb{Q}$). Chỉ có số thập phân vô hạn không tuần hoàn mới là số vô tỉ (không thuộc $\mathbb{Q}$).
4. Bẫy chu kỳ $9$: Trong toán học chuẩn, không dùng chu kỳ $(9)$. Ví dụ $0{,}(9) = 1$; $0{,}2(9) = 0{,}3$. Khi biểu diễn phải quy về dạng chuẩn kết thúc.

B. Các dạng bài tập thường gặp & Phương pháp giải

Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân

Phương pháp giải:

• Đặt tính chia tử số cho mẫu số ($a : b$).
• Nếu chia hết (dư $0$) $\implies$ số thập phân hữu hạn.
• Nếu xuất hiện dư lặp lại $\implies$ số thập phân vô hạn tuần hoàn, xác định nhóm chữ số lặp lại và đóng ngoặc chu kỳ.

Bài 1.1: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn):

• a) $\frac{9}{25}$;
• b) $\frac{5}{6}$;
• c) $\frac{8}{11}$;
• d) $-\frac{7}{15}$.

Lời giải:

• a) Thực hiện chia: $9 : 25 = 0{,}36$ (số thập phân hữu hạn).
• b) Thực hiện chia: $5 : 6 = 0{,}8333\dots = 0{,}8(3)$ (chu kỳ là $3$).
• c) Thực hiện chia: $8 : 11 = 0{,}727272\dots = 0{,}(72)$ (chu kỳ là $72$).
• d) Thực hiện chia: $-7 : 15 = -0{,}4666\dots = -0{,}4(6)$ (chu kỳ là $6$).

Dạng 2: Phân loại phân số mà không cần thực hiện phép chia

Phương pháp giải:

1. Bước 1: Rút gọn phân số về dạng tối giản có mẫu dương $\frac{a}{b}$ ($b > 0$).
2. Bước 2: Phân tích mẫu số $b$ ra thừa số nguyên tố.
3. Bước 3:
   • Nếu $b$ chỉ chứa ước nguyên tố $2$ và/hoặc $5$ $\implies$ số thập phân hữu hạn.
   • Nếu $b$ chứa thêm ước nguyên tố khác $2, 5$ $\implies$ số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Bài 2.1: Cho các phân số sau:

Phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

Lời giải:

• Phân số $A = \frac{7}{16}$: đã tối giản. Mẫu $16 = 2^4$ chỉ chứa thừa số $2 \implies$ Hữu hạn.
• Phân số $B = \frac{11}{24}$: đã tối giản. Mẫu $24 = 2^3 \cdot 3$ có chứa thừa số $3 \implies$ Vô hạn tuần hoàn.
• Phân số $C = \frac{14}{35}$: rút gọn $C = \frac{2}{5}$. Mẫu $5$ là số nguyên tố $5 \implies$ Hữu hạn.
• Phân số $D = \frac{15}{75}$: rút gọn $D = \frac{1}{5}$. Mẫu $5 \implies$ Hữu hạn.
• Phân số $E = \frac{-9}{50}$: đã tối giản. Mẫu $50 = 2 \cdot 5^2$ chỉ chứa $2$ và $5 \implies$ Hữu hạn.

Dạng 3: Xác định chu kỳ và viết gọn số thập phân vô hạn tuần hoàn

Phương pháp giải:

• Quan sát phần thập phân sau dấu phẩy: tìm nhóm chữ số nhỏ nhất bắt đầu lặp lại vô hạn lần.
• Đặt nhóm chữ số đó vào trong cặp dấu ngoặc đơn $(\dots)$.
• Các chữ số đứng trước nhóm lặp lại thì giữ nguyên.

Bài 3.1: Viết gọn các số sau bằng kí hiệu chu kỳ và chỉ rõ chu kỳ của mỗi số:

• a) $0{,}5555\dots$
• b) $1{,}363636\dots$
• c) $0{,}1252525\dots$
• d) $-3{,}21454545\dots$

Lời giải:

• a) $0{,}5555\dots = 0{,}(5)$ — Chu kỳ là $5$.
• b) $1{,}363636\dots = 1{,}(36)$ — Chu kỳ là $36$.
• c) $0{,}1252525\dots = 0{,}1(25)$ — Chu kỳ là $25$.
• d) $-3{,}21454545\dots = -3{,}21(45)$ — Chu kỳ là $45$.

Dạng 4: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số tối giản

Phương pháp giải:

• Trường hợp chu kỳ đơn $0{,}(a)$ hoặc $0{,}(ab)$:$$0{,}(a) = \dfrac{a}{9}; \quad 0{,}(ab) = \dfrac{ab}{99}; \quad 0{,}(abc) = \dfrac{abc}{999}.$$
• Trường hợp chu kỳ hỗn hợp $0{,}a(b)$: Đặt $$x = 0{,}a(b) \implies 10x = a{,}(b) = a + \frac{b}{9} \implies x = \frac{9a + b}{90}.$$ Hoặc dùng quy tắc: Tử số bằng phần trước chu kỳ ghép với chu kỳ trừ đi phần trước chu kỳ; mẫu số gồm các chữ số $9$ (bằng số chữ số trong chu kỳ) kèm các chữ số $0$ (bằng số chữ số phần trước chu kỳ).

Bài 4.1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số tối giản:

• a) $0{,}(7)$;
• b) $0{,}(36)$;
• c) $0{,}2(6)$;
• d) $1{,}1(3)$.

Lời giải:

• a) $0{,}(7) = \frac{7}{9}$.
• b) $0{,}(36) = \frac{36}{99} = \frac{36 : 9}{99 : 9} = \frac{4}{11}$.
• c) Đặt $$x = 0{,}2(6) \implies 10x = 2{,}(6) = 2 + \frac{6}{9} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}.$$$$\implies x = \dfrac{8}{3} : 10 = \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15}.$$
• d) $1{,}1(3) = 1 + 0{,}1(3)$. Đặt $$y = 0{,}1(3) \implies 10y = 1{,}(3) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies y = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}.$$ Do đó: $1{,}1(3) = 1 + \frac{2}{15} = \frac{17}{15}$.

Dạng 5: Bài toán thực tế liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài 5.1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $40\text{ m}^2$ và chiều rộng $3\text{ m}$.

1. Tính chiều dài của mảnh vườn dưới dạng phân số.
2. Viết chiều dài đó dưới dạng số thập phân và cho biết đó là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.
3. Nếu làm tròn chiều dài đó đến hàng phần trăm (chữ số thập phân thứ hai), ta được bao nhiêu mét?

Lời giải:

1. Chiều dài của mảnh vườn là:$$40 : 3 = \dfrac{40}{3}\text{ m}.$$
2. Thực hiện phép chia:$$\dfrac{40}{3} = 40 : 3 = 13{,}3333\dots = 13{,}(3)\text{ m}.$$Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là $3$.
3. Làm tròn đến hàng phần trăm (sau dấu phẩy $2$ chữ số): Vì chữ số thứ ba sau dấu phẩy là $3 < 5$, ta giữ nguyên:$$13{,}333\dots \approx 13{,}33\text{ m}.$$

C. 5 Chuyên đề Nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi

Chuyên đề 1: Công thức tổng quát đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số

Mẹo hay

Công thức vạn năng:

1. Chu kỳ đơn gồm $k$ chữ số:$$0{,}(c_1 c_2 \dots c_k) = \dfrac{c_1 c_2 \dots c_k}{\underbrace{99\dots9}_{k\text{ chu so } 9}}.$$$$0{,}a_1 a_2 \dots a_m(c_1 c_2 \dots c_k) = \dfrac{(a_1 a_2 \dots a_m c_1 c_2 \dots c_k) - (a_1 a_2 \dots a_m)}{\underbrace{99\dots9}_{k\text{ chu so } 9}\underbrace{00\dots0}_{m\text{ chu so } 0}}.$$

Bài toán Olympic 1: Đổi số $A = 0{,}2(15)$ và $B = 3{,}14(6)$ ra phân số tối giản bằng công thức tổng quát.

Lời giải:

• Với $A = 0{,}2(15)$: có $m = 1$ chữ số trước chu kỳ ($2$) và $k = 2$ chữ số trong chu kỳ ($15$).$$A = \dfrac{215 - 2}{990} = \dfrac{213}{990} = \dfrac{213 : 3}{990 : 3} = \dfrac{71}{330}.$$
• Với $B = 3{,}14(6) = 3 + 0{,}14(6)$: Phần $0{,}14(6)$ có $m = 2$ chữ số trước chu kỳ ($14$) và $k = 1$ chữ số trong chu kỳ ($6$):$$0{,}14(6) = \dfrac{146 - 14}{900} = \dfrac{132}{900} = \dfrac{132 : 12}{900 : 12} = \dfrac{11}{75}.$$Do đó:$$B = 3 + \dfrac{11}{75} = \dfrac{225 + 11}{75} = \dfrac{236}{75}.$$

Chuyên đề 2: Tìm chữ số thập phân thứ $n$ của một phân số

Khi viết một phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, các chữ số trong chu kỳ sẽ lặp lại với chu kỳ cố định $T$. Để tìm chữ số thứ $n$, ta lấy $n$ chia cho $T$ và dựa vào số dư!

Bài toán Olympic 2: Viết phân số $\frac{1}{7}$ dưới dạng số thập phân rồi tìm chữ số thập phân thứ $100$ sau dấu phẩy của nó.

Lời giải: Thực hiện phép chia $1 : 7$:

Chu kỳ của $\frac{1}{7}$ là $142857$, gồm $6$ chữ số lặp lại theo thứ tự:

• Vị trí $1$: chữ số $1$
• Vị trí $2$: chữ số $4$
• Vị trí $3$: chữ số $2$
• Vị trí $4$: chữ số $8$
• Vị trí $5$: chữ số $5$
• Vị trí $6$: chữ số $7$

Để tìm chữ số thập phân thứ $100$, ta chia $100$ cho độ dài chu kỳ là $6$:

Số dư là $4$, nghĩa là sau $16$ chu kỳ hoàn chỉnh, chữ số thứ $100$ rơi vào vị trí thứ $4$ của chu kỳ tiếp theo. Vị trí thứ $4$ trong chu kỳ $142857$ chính là chữ số $8$. Vậy chữ số thập phân thứ $100$ sau dấu phẩy của $\frac{1}{7}$ là chữ số $8$.

Chuyên đề 3: Phép tính số học trên số thập phân vô hạn tuần hoàn

Mẹo hay

Không nên cộng trừ trực tiếp trên dạng viết gọn $0{,}(\dots)$, phương pháp chuẩn xác nhất là đổi tất cả sang phân số rồi thực hiện phép tính!

Bài toán Olympic 3: Chứng minh đẳng thức:

Lời giải: Đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số tối giản:

Khi đó:

Đẳng thức đã được chứng minh hoàn toàn!

Chuyên đề 4: Tìm số tự nhiên $n$ để phân số là số thập phân hữu hạn

Bài toán Olympic 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ có một chữ số để phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:

Lời giải: Ta có mẫu số $12 = 2^2 \cdot 3$. Mẫu số $12$ có chứa thừa số nguyên tố $3$. Để phân số $P$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì sau khi rút gọn, thừa số $3$ ở mẫu số phải bị triệt tiêu hoàn toàn. Điều này có nghĩa là tử số $(n + 2)$ phải chia hết cho $3$:

Vì $n$ là số tự nhiên có một chữ số nên $n \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$. Suy ra:

• $n + 2 \in \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11\}$. Các giá trị chia hết cho $3$ trong tập này là: $3; 6; 9$.
• $n + 2 = 3 \implies n = 1$.
• $n + 2 = 6 \implies n = 4$.
• $n + 2 = 9 \implies n = 7$.

Kết luận: Các số tự nhiên thỏa mãn là $n \in \{1; 4; 7\}$.

Chuyên đề 5: Chứng minh $\sqrt{2}$ là số vô tỉ (Phương pháp phản chứng)

Một trong những bài toán kinh điển nhất của lịch sử toán học nhân loại từ thời Hy Lạp cổ đại (phái Pythagoras).

Bài toán Olympic 5: Chứng minh rằng không tồn tại số hữu tỉ nào có bình phương bằng $2$ (tức $\sqrt{2}$ là số vô tỉ).

Lời giải: Giả sử phản chứng rằng $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ. Khi đó $\sqrt{2}$ viết được dưới dạng phân số tối giản:

Bình phương hai vế:

Suy ra $a^2$ là số chẵn $\implies a$ phải là số chẵn. Đặt $a = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$). Thay vào đẳng thức trên:

Suy ra $b^2$ là số chẵn $\implies b$ cũng phải là số chẵn.

Như vậy cả $a$ và $b$ đều là số chẵn, suy ra $a$ và $b$ cùng chia hết cho $2$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu rằng phân số $\frac{a}{b}$ đã tối giản ($\text{ƯCLN}(a; b) = 1$). Do đó giả thiết phản chứng là sai. Vậy $\sqrt{2}$ không phải là số hữu tỉ, mà là một số vô tỉ (điều phải chứng minh).

D. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác (Quiz)

E. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (Có lời giải)

Bài 1. Viết dưới dạng số thập phân hữu hạn

Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn:

Bài 2. Viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (dùng dấu ngoặc đơn chỉ chu kỳ):

Bài 3. Phân loại không cần làm phép chia

Không làm phép tính chia, giải thích vì sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn:

Bài 4. Bẫy rút gọn phân số

Hai bạn Minh và Nam tranh luận về phân số $\frac{12}{45}$:

• Minh nói: "Phân số này vô hạn tuần hoàn vì mẫu $45 = 3^2 \cdot 5$ có chứa số $3$."
• Nam nói: "Phải rút gọn trước thành $\frac{4}{15}$, mẫu $15 = 3 \cdot 5$ vẫn chứa số $3$ nên vẫn là vô hạn tuần hoàn." Hỏi bạn nào có lập luận đúng và kết quả đúng?

Bài 5. Xác định chu kỳ

Chỉ ra chu kỳ của mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:

• a) $0{,}(18)$;
• b) $2{,}5(3)$;
• c) $-0{,}142857142857\dots$;
• d) $4{,}13(502)$.

Bài 6. Đổi ra phân số tối giản

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số tối giản:

• a) $0{,}(8)$;
• b) $0{,}(45)$;
• c) $0{,}1(6)$;
• d) $2{,}1(3)$.

Bài 7. Bài toán phân chia thực tế

Một tấm ván gỗ dài $5\text{ m}$ được cưa đều thành $6$ thanh bằng nhau.

• a) Viết độ dài mỗi thanh gỗ dưới dạng phân số và số thập phân.
• b) Đây là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Chu kỳ là bao nhiêu?
• c) Nếu làm tròn độ dài mỗi thanh gỗ đến hàng phần trăm (chữ số thập phân thứ hai), ta được bao nhiêu mét?

Bài 8. Tìm chữ số thập phân thứ $n$

Viết phân số $\frac{5}{7}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn và tìm chữ số thập phân thứ $50$ sau dấu phẩy.

Bài 9. Phép tính số học với chu kỳ

Tính giá trị biểu thức:

Bài 10. Tìm biến số $n$

Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ hơn $10$ sao cho phân số $A = \frac{n + 1}{15}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Hướng dẫn giải chi tiết Phiếu bài tập

Bài 1:

• $\frac{7}{8} = 7 : 8 = 0{,}875$.
• $\frac{11}{20} = 11 : 20 = 0{,}55$.
• $-\frac{19}{50} = -19 : 50 = -0{,}38$.
• $\frac{81}{125} = 81 : 125 = 0{,}648$.

Bài 2:

• $\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}(3)$.
• $\frac{5}{11} = 5 : 11 = 0{,}(45)$.
• $\frac{7}{12} = 7 : 12 = 0{,}58(3)$.
• $-\frac{4}{15} = -4 : 15 = -0{,}2(6)$.

Bài 3:

• $\frac{9}{40}$: tối giản, mẫu $40 = 2^3 \cdot 5$ chỉ chứa $2, 5 \implies$ Hữu hạn.
• $\frac{13}{30}$: tối giản, mẫu $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ chứa thừa số $3 \implies$ Vô hạn tuần hoàn.
• $\frac{21}{70} = \frac{3}{10}$: tối giản, mẫu $10 = 2 \cdot 5 \implies$ Hữu hạn.
• $\frac{33}{150} = \frac{11}{50}$: tối giản, mẫu $50 = 2 \cdot 5^2 \implies$ Hữu hạn.

Bài 4:

Cả hai bạn đều ra kết luận đúng là "vô hạn tuần hoàn", nhưng lập luận của Nam chặt chẽ và đúng chuẩn phương pháp hơn vì Nam đã thực hiện bước rút gọn phân số về tối giản trước khi xét mẫu. Lập luận của Minh chưa chặt chẽ vì nếu phân số chưa tối giản mà tử số triệt tiêu thừa số ở mẫu thì kết luận sẽ sai.

Bài 5:

• a) Chu kỳ là $18$.
• b) Chu kỳ là $3$.
• c) Chu kỳ là $142857$.
• d) Chu kỳ là $502$.

Bài 6:

• a) $0{,}(8) = \frac{8}{9}$.
• b) $0{,}(45) = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$.
• c) $0{,}1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$.
• d) $$2{,}1(3) = 2 + \frac{13 - 1}{90} = 2 + \frac{12}{90} = 2 + \frac{2}{15} = \frac{32}{15}.$$

Bài 7:

• a) Độ dài mỗi thanh gỗ: $\frac{5}{6}\text{ m} = 5 : 6 = 0{,}8333\dots = 0{,}8(3)\text{ m}$.
• b) Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là $3$.
• c) Làm tròn đến hàng phần trăm: $0{,}833\dots \approx 0{,}83\text{ m}$.

Bài 8:

Chia $5 : 7 = 0{,}(714285)$. Chu kỳ gồm $6$ chữ số: $7, 1, 4, 2, 8, 5$. Lấy $50 : 6 = 8$ dư $2$. Chữ số thứ hai trong chu kỳ là chữ số $1$. Vậy chữ số thập phân thứ $50$ là $1$.

Bài 9:

Đổi ra phân số:

• $$0{,}(3) = \frac{1}{3}; \quad 0{,}(6) = \frac{2}{3} \implies 0{,}(3) + 0{,}(6) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$$
• $0{,}(72) = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.
• $0{,}(8) = \frac{8}{9}$. Khi đó:$$M = 1 \cdot \dfrac{8}{11} : \dfrac{8}{9} = \dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{9}{8} = \dfrac{9}{11}.$$

Bài 10:

Ta có mẫu $15 = 3 \cdot 5$. Để phân số là số thập phân hữu hạn thì sau khi rút gọn, thừa số $3$ phải bị triệt tiêu $\implies (n + 1) \ \vdots \ 3$. Vì $n < 10$ ($n \in \{0; 1; \dots; 9\}$) nên $n + 1 \in \{1; 2; \dots; 10\}$. Các số chia hết cho $3$: $n + 1 \in \{3; 6; 9\}$.

• $n + 1 = 3 \implies n = 2$.
• $n + 1 = 6 \implies n = 5$.
• $n + 1 = 9 \implies n = 8$. Vậy $n \in \{2; 5; 8\}$.

F. Đề kiểm tra 15 phút (2 Đề Chẵn - Lẻ)

Đề số 1

Phần I. Trắc nghiệm (4,0 điểm — Mỗi câu 1,0 điểm)

Câu 1: Phân số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?

• A. $\frac{5}{14}$
• B. $\frac{9}{20}$
• C. $\frac{2}{9}$
• D. $\frac{7}{12}$

Câu 2: Số thập phân $0{,}25(7)$ có chu kỳ là:

• A. $25$
• B. $7$
• C. $257$
• D. $57$

Câu 3: Phân số $\frac{5}{11}$ viết dưới dạng số thập phân là:

• A. $0{,}45$
• B. $0{,}(45)$
• C. $0{,}4(5)$
• D. $0{,}5(4)$

Câu 4: Khẳng định nào sau đây là sai?

• A. $\frac{3}{8}$ là số thập phân hữu hạn
• B. $0{,}(6)$ là số hữu tỉ
• C. Mọi số thập phân vô hạn đều là số vô tỉ
• D. $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Phần II. Tự luận (6,0 điểm)

Bài 1 (3,0 điểm): Không làm phép chia, hãy giải thích vì sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn:

• a) $\frac{11}{40}$;
• b) $\frac{18}{48}$.

Bài 2 (3,0 điểm): Đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau ra phân số tối giản:

• a) $0{,}(5)$;
• b) $0{,}1(3)$.

Hướng dẫn chấm Đề số 1

Trắc nghiệm:

• Câu 1: B ($1{,}0$ điểm).
• Câu 2: B ($1{,}0$ điểm).
• Câu 3: B ($1{,}0$ điểm).
• Câu 4: C ($1{,}0$ điểm).

Tự luận:

Bài 1 (3,0 điểm):

• a) $\frac{11}{40}$ tối giản, mẫu $40 = 2^3 \cdot 5$ chỉ chứa $2$ và $5 \implies$ số thập phân hữu hạn ($1{,}5$ điểm).
• b) Rút gọn $\frac{18}{48} = \frac{3}{8}$. Mẫu $8 = 2^3$ chỉ chứa $2 \implies$ số thập phân hữu hạn ($1{,}5$ điểm).

Bài 2 (3,0 điểm):

• a) $0{,}(5) = \frac{5}{9}$ ($1{,}5$ điểm).
• b) Đặt $$x = 0{,}1(3) \implies 10x = 1{,}(3) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies x = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$$ ($1{,}5$ điểm).

Đề số 2

Phần I. Trắc nghiệm (4,0 điểm — Mỗi câu 1,0 điểm)

Câu 1: Phân số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

• A. $\frac{3}{16}$
• B. $\frac{7}{25}$
• C. $\frac{5}{18}$
• D. $\frac{9}{50}$

Câu 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn $1{,}41666\dots$ được viết gọn là:

• A. $1{,}41(6)$
• B. $1{,}(416)$
• C. $1{,}4(16)$
• D. $1{,}416$

Câu 3: Đổi $0{,}(18)$ ra phân số tối giản ta được:

• A. $\frac{18}{100}$
• B. $\frac{2}{11}$
• C. $\frac{9}{50}$
• D. $\frac{18}{90}$

Câu 4: Tập hợp các số thực được kí hiệu là:

• A. $\mathbb{N}$
• B. $\mathbb{Z}$
• C. $\mathbb{Q}$
• D. $\mathbb{R}$

Phần II. Tự luận (6,0 điểm)

Bài 1 (3,0 điểm):

• a) Viết phân số $\frac{7}{15}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn và chỉ ra chu kỳ của nó.
• b) Giải thích vì sao phân số $\frac{21}{140}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài 2 (3,0 điểm): Cho phân số $M = \frac{a + 3}{18}$ ($a \in \mathbb{N}, a < 10$). Tìm tất cả các giá trị của $a$ để phân số $M$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Hướng dẫn chấm Đề số 2

Trắc nghiệm:

• Câu 1: C ($1{,}0$ điểm).
• Câu 2: A ($1{,}0$ điểm).
• Câu 3: B ($1{,}0$ điểm) ($\frac{18}{99} = \frac{2}{11}$).
• Câu 4: D ($1{,}0$ điểm).

Tự luận:

Bài 1 (3,0 điểm):

• a) Thực hiện chia: $7 : 15 = 0{,}4666\dots = 0{,}4(6)$ ($1{,}0$ điểm). Chu kỳ là $6$ ($0{,}5$ điểm).
• b) Rút gọn $\frac{21}{140} = \frac{21 : 7}{140 : 7} = \frac{3}{20}$ ($0{,}75$ điểm). Mẫu $20 = 2^2 \cdot 5$ chỉ chứa ước nguyên tố $2$ và $5$ nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn ($0{,}75$ điểm).

Bài 2 (3,0 điểm):

• Mẫu $18 = 2 \cdot 3^2$. Để phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì sau khi rút gọn, thừa số $3^2 = 9$ ở mẫu phải bị triệt tiêu ($1{,}0$ điểm).
• Do đó $(a + 3)$ phải chia hết cho $9$ ($1{,}0$ điểm).
• Vì $a \in \mathbb{N}, a < 10 \implies a + 3 \in \{3; 4; \dots; 12\}$. Số duy nhất chia hết cho $9$ trong khoảng này là $a + 3 = 9 \implies a = 6$ ($1{,}0$ điểm).