Ôn tập Chương 2. Số thực

Chào mừng các em học sinh đến với chuyên đề Tổng ôn tập toàn diện Chương II: Số thực thuộc chương trình Toán lớp 7!

Nếu như ở Chương I, chúng ta đã làm quen với tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ — nơi tập hợp các phân số $\frac{a}{b}$ thì bước sang Chương II, cánh cửa toán học đã mở rộng ra một không gian số trọn vẹn và hoàn chỉnh nhất của bậc THCS: Tập hợp số thực $\mathbb{R}$.

Xuyên suốt Chương II, chúng ta đã cùng nhau khám phá:

• Bài 5: Nhận biết số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn, giải mã khái niệm chu kỳ và dấu hiệu nhận biết mẫu số tối giản.
• Bài 6: Khám phá cuộc khủng hoảng toán học thời cổ đại dẫn tới sự ra đời của Số vô tỉ $\mathbb{I}$, định nghĩa và tính chất của Căn bậc hai số học $\sqrt{a}$, cùng phương pháp ước lượng kẹp số chính phương.
• Bài 7: Hợp nhất số hữu tỉ và số vô tỉ thành Tập hợp các số thực $\mathbb{R}$, lấp đầy hoàn toàn trục số thực, làm chủ công cụ Giá trị tuyệt đối $|x|$, Quy tắc làm tròn số theo độ chính xác $d$ và bài toán ước lượng thực tế.

Bài học tổng ôn này được biên soạn như một cẩm nang ôn thi toàn diện, giúp các em xâu chuỗi toàn bộ kiến thức qua sơ đồ tư duy, quét sạch $5$ dạng bài tập trọng tâm, chinh phục $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic và thử sức trực tiếp với $2$ đề kiểm tra $45$ phút chuẩn ma trận đề thi định kỳ!

Phần I. Hệ thống kiến thức cốt lõi toàn chương

1. Bảng so sánh toàn diện các tập hợp số

2. Bảng đối chiếu dạng biểu diễn số thập phân

                         ┌── Hữu hạn (mẫu chỉ có ước nguyên tố 2, 5)
          ┌── Số hữu tỉ ─┤
          │   (Q)        └── Vô hạn tuần hoàn (mẫu có ước nguyên tố khác 2, 5)
Số thực ──┤
(R)       │
          └── Số vô tỉ ───── Vô hạn không tuần hoàn (căn số không chính phương, π)
              (I)

• Quy tắc chuyển đổi phân số sang số thập phân: Rút gọn phân số về dạng tối giản với mẫu dương. Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố:
  • Nếu mẫu chỉ chứa các thừa số nguyên tố $2$ và/hoặc $5$: phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
  • Nếu mẫu chứa thừa số nguyên tố khác $2$ và $5$ (như $3, 7, 11, 13, \dots$): phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

3. Công thức và tính chất căn bậc hai số học

Cho các số không âm $a \ge 0, b \ge 0$:

1. Định nghĩa:$$\sqrt{a} = x \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 = a \end{cases}$$
2. Hằng đẳng thức căn bản:$$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)$$$$\sqrt{a^2} = a \quad (a \ge 0)$$
3. Căn của tích và căn của thương:$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)$$$$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)$$
4. So sánh căn bậc hai số học:$$a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)$$

4. Bốn bẫy sai lầm kinh điển cần tránh trong bài thi

Lưu ý / Cảnh báo

1. Bẫy dấu căn bậc hai số học:
   • $\sqrt{25} = 5$ (ĐÚNG). Tuyệt đối không viết $\sqrt{25} = \pm 5$!
   • Chỉ khi giải phương trình $x^2 = 25$ ta mới có hai nghiệm $x = \pm 5$.
2. Bẫy quên rút gọn phân số trước khi xét mẫu:
   • Xét phân số $\frac{21}{60}$: Nếu vội vàng phân tích mẫu $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ thấy có thừa số $3$ rồi kết luận vô hạn tuần hoàn là SAI!
   • Phải rút gọn: $\frac{21}{60} = \frac{7}{20}$. Mẫu số $20 = 2^2 \cdot 5$ chỉ chứa thừa số $2$ và $5$, do đó $\frac{21}{60} = 0{,}35$ là số thập phân hữu hạn!
3. Bẫy quên nghiệm âm trong phương trình giá trị tuyệt đối:
   • Phương trình $|x| = 3{,}6$ có hai nghiệm đối nhau: $x = 3{,}6$ hoặc $x = -3{,}6$.
   • Nếu $k < 0$: Phương trình $|x| = k$ vô nghiệm (vì khoảng cách $|x|$ không bao giờ âm).
4. Bẫy tách dấu căn qua phép cộng:
   • Tuyệt đối không có công thức $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
   • Ví dụ: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ne \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7.$

Phần II. 5 Dạng toán trọng tâm quét sạch đề thi

Dạng 1: Nhận biết, phân loại và chuyển đổi số thập phân

Phương pháp giải:

• Rút gọn phân số về tối giản với mẫu dương.
• Đặt phép chia tử cho mẫu để viết dưới dạng số thập phân và xác định chu kỳ.
• Phân loại: hữu hạn, vô hạn tuần hoàn (hữu tỉ $\mathbb{Q}$) hay vô hạn không tuần hoàn (vô tỉ $\mathbb{I}$).

Bài toán 1.1

Cho các phân số sau:

a) Trong các phân số trên, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? b) Viết các phân số đó dưới dạng số thập phân và chỉ ra chu kỳ (nếu có).

Lời giải chi tiết: a) Ta rút gọn từng phân số về tối giản có mẫu dương:

• $\frac{9}{40}$ tối giản. Mẫu $40 = 2^3 \cdot 5$ chỉ chứa thừa số $2$ và $5 \implies$ số thập phân hữu hạn.
• $\frac{14}{35} = \frac{2}{5}$. Mẫu $5$ chỉ chứa thừa số $5 \implies$ số thập phân hữu hạn.
• $\frac{5}{18}$ tối giản. Mẫu $18 = 2 \cdot 3^2$ chứa thừa số $3 \ne 2, 5 \implies$ số thập phân vô hạn tuần hoàn.
• $-\frac{7}{22}$ tối giản. Mẫu $22 = 2 \cdot 11$ chứa thừa số $11 \ne 2, 5 \implies$ số thập phân vô hạn tuần hoàn.
• $\frac{26}{65} = \frac{2}{5}$. Mẫu $5 \implies$ số thập phân hữu hạn.

b) Thực hiện phép chia:

• $\frac{9}{40} = 0{,}225$ (hữu hạn).
• $\frac{14}{35} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ (hữu hạn).
• $\frac{5}{18} = 0{,}2777\dots = 0{,}2(7)$ (chu kỳ là $7$).
• $-\frac{7}{22} = -0{,}31818\dots = -0{,}3(18)$ (chu kỳ là $18$).
• $\frac{26}{65} = 0{,}4$ (hữu hạn).

Dạng 2: Tính căn bậc hai số học và rút gọn biểu thức chứa căn

Phương pháp giải:

1. Áp dụng định nghĩa: $\sqrt{a} = x \iff x \ge 0$ và $x^2 = a$.
2. Đổi số thập phân, hỗn số về phân số chính phương: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
3. Thứ tự ưu tiên: tính căn bậc hai trước, rồi đến nhân/chia, sau đó cộng/trừ.

Bài toán 2.1

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải chi tiết:

• Tính biểu thức $M$:

  $$M = 3 \cdot 8 - 5 \cdot 6 + 2 \cdot 0{,}9 = 24 - 30 + 1{,}8 = -6 + 1{,}8 = -4{,}2.$$

• Tính biểu thức $N$: Ta có $\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}$; $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$; $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$; $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$; $\sqrt{100} = 10$.

  $$N = \dfrac{7}{4} : \dfrac{5}{2} + (0{,}6 - 0{,}2) \cdot 10$$$$N = \left(\dfrac{7}{4} \cdot \dfrac{2}{5}\right) + 0{,}4 \cdot 10 = \dfrac{7}{10} + 4 = 4{,}7.$$

• Tính biểu thức $P$: Trong căn: $15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \implies \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9.$ Hỗn số: $$1\frac{11}{25} = \frac{36}{25} \implies \sqrt{1\frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}.$$ Căn thương: $\sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}.$

  $$P = 9 + \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{3} = 9 + \dfrac{60}{15} = 9 + 4 = 13.$$

Dạng 3: So sánh các số thực (kể cả số chứa căn và số âm)

Phương pháp giải:

• Đưa về dạng số thập phân hoặc so sánh bình phương: với $a, b \ge 0$, $a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$.
• Đưa thừa số vào dấu căn: $m\sqrt{a} = \sqrt{m^2 \cdot a}$ ($m \ge 0$).
• Với số âm: $|a| > |b| \iff a < b$.

Bài toán 3.1

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

• a) $\sqrt{31}$ và $5{,}5$
• b) $4\sqrt{3}$ và $3\sqrt{5}$
• c) $-\sqrt{27}$ và $-5$
• d) $\sqrt{10} + \sqrt{15}$ và $7$

Lời giải chi tiết:

• a) Tính bình phương hai số:

  $$(\sqrt{31})^2 = 31.$$$$(5{,}5)^2 = 30{,}25.$$

  Vì $31 > 30{,}25$ nên $\sqrt{31} > 5{,}5.$

• b) Đưa thừa số vào trong dấu căn:

  $$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}.$$$$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}.$$

  Vì $48 > 45$ nên $\sqrt{48} > \sqrt{45}$, do đó $4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}.$

• c) Ta có $5 = \sqrt{25}$. Vì $27 > 25$ nên $\sqrt{27} > \sqrt{25} = 5$. Nhân hai vế với $-1$ đổi chiều bất đẳng thức:

  $$-\sqrt{27} < -5.$$

• d) So sánh qua số nguyên trung gian: Ta thấy $10 > 9 \implies \sqrt{10} > \sqrt{9} = 3.$ Mặt khác $15 < 16 \implies \sqrt{15} < \sqrt{16} = 4.$ Để so sánh chính xác $\sqrt{10} + \sqrt{15}$ với $7$, ta bình phương hai vế:

  $$(\sqrt{10} + \sqrt{15})^2 = 10 + 15 + 2\sqrt{10 \cdot 15} = 25 + 2\sqrt{150}.$$

  Số $7^2 = 49$. Ta cần so sánh $25 + 2\sqrt{150}$ với $49$, tương đương so sánh $2\sqrt{150}$ với $24$, hay $\sqrt{150}$ với $12 = \sqrt{144}$. Vì $150 > 144$ nên $\sqrt{150} > 12 \implies 2\sqrt{150} > 24 \implies 25 + 2\sqrt{150} > 49$. Vậy $(\sqrt{10} + \sqrt{15})^2 > 7^2$, suy ra $\sqrt{10} + \sqrt{15} > 7.$

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn bậc hai và giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

1. Dạng $\sqrt{A(x)} = m$ ($m \ge 0$): Bình phương hai vế $A(x) = m^2$ (với điều kiện $A(x) \ge 0$).
2. Dạng $|A(x)| = k$ ($k > 0$): Chia hai trường hợp $A(x) = k$ hoặc $A(x) = -k$.
3. Dạng $x^2 = a$ ($a > 0$): $x = \pm \sqrt{a}$.

Bài toán 4.1

Tìm số thực $x$, biết:

• a) $4\sqrt{x} - 3 = 17$
• b) $\sqrt{3x - 2} = 5$
• c) $|2x - 5| = 9$
• d) $3\left|x + \dfrac{1}{2}\right| - 2 = 7$
• e) $(2x - 1)^2 = 36$

Lời giải chi tiết:

• a) Điều kiện: $x \ge 0$.

  $$4\sqrt{x} = 17 + 3 = 20 \implies \sqrt{x} = 5 \implies x = 5^2 = 25\text{ (thỏa mãn)}.$$

  Vậy $x = 25.$

• b) Điều kiện: $3x - 2 \ge 0 \iff x \ge \frac{2}{3}$. Bình phương hai vế:

  $$3x - 2 = 5^2 = 25 \implies 3x = 27 \implies x = 9\text{ (thỏa mãn)}.$$

  Vậy $x = 9.$

• c) $|2x - 5| = 9 \iff 2x - 5 = 9$ hoặc $2x - 5 = -9$.

  • TH1: $2x - 5 = 9 \implies 2x = 14 \implies x = 7.$
  • TH2: $2x - 5 = -9 \implies 2x = -4 \implies x = -2.$ Vậy $x \in \{7; -2\}.$

• d) Chuyển vế:

  $$3\left|x + \dfrac{1}{2}\right| = 9 \implies \left|x + \dfrac{1}{2}\right| = 3.$$
  • TH1: $x + \frac{1}{2} = 3 \implies x = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$
  • TH2: $x + \frac{1}{2} = -3 \implies x = -3 - \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}.$ Vậy $x \in \left\{\frac{5}{2}; -\frac{7}{2}\right\}.$

• e) $(2x - 1)^2 = 36 \implies 2x - 1 = 6$ hoặc $2x - 1 = -6$.

  • TH1: $2x - 1 = 6 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}.$
  • TH2: $2x - 1 = -6 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}.$ Vậy $x \in \left\{\frac{7}{2}; -\frac{5}{2}\right\}.$

Dạng 5: Làm tròn số và bài toán ước lượng thực tế

Phương pháp giải:

• Xác định hàng làm tròn từ yêu cầu đề bài hoặc từ độ chính xác $d$:
  • $d = 0{,}005 \implies$ hàng phần trăm;
  • $d = 0{,}05 \implies$ hàng phần mười;
  • $d = 50 \implies$ hàng trăm;
  • $d = 500 \implies$ hàng nghìn.
• Xét chữ số ngay sau hàng làm tròn: $\ge 5$ thì cộng $1$, $< 5$ thì giữ nguyên.

Bài toán 5.1

Một khu vườn hình vuông có diện tích đo được là $84\text{ m}^2$. a) Tính độ dài cạnh của khu vườn (làm tròn đến hàng phần mười và hàng phần trăm). b) Bác An muốn xây tường rào bao quanh khu vườn và chừa lại một cổng ra vào rộng $2{,}5\text{ m}$. Chi phí xây mỗi mét tường rào là $350\,000$ đồng. Hãy ước lượng tổng chi phí xây tường rào (làm tròn đến hàng nghìn đồng).

Lời giải chi tiết: a) Độ dài cạnh của khu vườn hình vuông là:

Bấm máy tính cầm tay, ta được:

• Làm tròn đến hàng phần mười (chữ số ngay sau là $6 \ge 5$):$$a \approx 9{,}2\text{ m}.$$
• Làm tròn đến hàng phần trăm (chữ số ngay sau là $5 \ge 5$):$$a \approx 9{,}17\text{ m}.$$

b) Chiều dài tường rào cần xây là:

Tổng chi phí xây tường rào là:

Làm tròn đến hàng nghìn đồng (chữ số hàng trăm là $2 < 5$):

Vậy chi phí ước lượng khoảng $11\,956\,000$ đồng (khoảng gần $12$ triệu đồng).

Phần III. 5 Chuyên đề Olympic & Học sinh giỏi Toán 7 Nâng cao

Chuyên đề 1: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số tối giản

Mẹo hay

Quy tắc tổng quát đổi sang phân số:

1. Chu kỳ đơn (bắt đầu ngay sau dấu phẩy):$$0{,}(a_1 a_2 \dots a_n) = \dfrac{a_1 a_2 \dots a_n}{\underbrace{99\dots9}_{n \text{ chu so } 9}}$$Ví dụ: $0{,}(7) = \frac{7}{9}$; $0{,}(25) = \frac{25}{99}$; $0{,}(123) = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}.$
2. Chu kỳ hỗn hợp (có phần bất thường trước chu kỳ):$$0{,}b_1 b_2 \dots b_m(a_1 a_2 \dots a_n) = \dfrac{b_1 b_2 \dots b_m a_1 a_2 \dots a_n - b_1 b_2 \dots b_m}{\underbrace{99\dots9}_{n \text{ chu so } 9}\underbrace{00\dots0}_{m \text{ chu so } 0}}$$

Bài toán 1.1

Đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau sang phân số tối giản:

• a) $A = 0{,}(36)$
• b) $B = 1{,}(15)$
• c) $C = 0{,}2(18)$
• d) $D = 2{,}15(6)$

Lời giải chi tiết:

• a) Số $A = 0{,}(36)$ có chu kỳ gồm $2$ chữ số ($36$):

  $$A = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}.$$

• b) Tách phần nguyên:

  $$B = 1 + 0{,}(15) = 1 + \dfrac{15}{99} = 1 + \dfrac{5}{33} = \dfrac{38}{33}.$$

• c) Số $C = 0{,}2(18)$: Phần bất thường có $1$ chữ số ($2$), chu kỳ có $2$ chữ số ($18$):

  $$C = \dfrac{218 - 2}{990} = \dfrac{216}{990} = \dfrac{12}{55}.$$

  (Kiểm tra: $\frac{12}{55} = 0{,}2181818\dots$ chính xác).

• d) Số $D = 2{,}15(6)$:

  $$D = 2 + 0{,}15(6) = 2 + \dfrac{156 - 15}{900} = 2 + \dfrac{141}{900} = 2 + \dfrac{47}{300} = \dfrac{647}{300}.$$

Chuyên đề 2: Chứng minh một số là số vô tỉ bằng phương pháp phản chứng

Quan trọng

Phương pháp giải: Để chứng minh $\alpha$ là số vô tỉ, giả sử $\alpha$ là số hữu tỉ $\alpha = \frac{m}{n}$ với $m, n \in \mathbb{Z}^+, \text{ƯCLN}(m, n) = 1$. Biến đổi suy ra cả $m$ và $n$ cùng chia hết cho một số nguyên tố, mâu thuẫn với tính tối giản của phân số.

Bài toán 2.1

a) Chứng minh rằng $\sqrt{5}$ là một số vô tỉ. b) Chứng minh rằng số $K = 4 + 3\sqrt{5}$ cũng là một số vô tỉ.

Lời giải chi tiết: a) Giả sử $\sqrt{5}$ là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^+$ sao cho:

Bình phương hai vế:

Suy ra $a^2$ chia hết cho $5$. Vì $5$ là số nguyên tố nên $a$ chia hết cho $5$. Đặt $a = 5k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$). Thay vào đẳng thức trên:

Suy ra $b^2$ chia hết cho $5 \implies b$ cũng chia hết cho $5$. Như vậy cả $a$ và $b$ đều chia hết cho $5$, mâu thuẫn với điều kiện ban đầu $\text{ƯCLN}(a, b) = 1$. Vậy điều giả sử là sai, tức $\sqrt{5}$ phải là số vô tỉ. $\blacksquare$

b) Giả sử $K = 4 + 3\sqrt{5}$ là số hữu tỉ, đặt $K = q \in \mathbb{Q}$. Khi đó:

Vì $q \in \mathbb{Q}$ nên $q - 4 \in \mathbb{Q}$ và $\frac{q - 4}{3} \in \mathbb{Q}$. Điều này dẫn tới $\sqrt{5}$ là số hữu tỉ, mâu thuẫn trực tiếp với kết quả ở câu a ($\sqrt{5} \in \mathbb{I}$). Vậy $K = 4 + 3\sqrt{5}$ là số vô tỉ. $\blacksquare$

Chuyên đề 3: Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối $|a + b| \le |a| + |b|$ và Cực trị

Mẹo hay

Bất đẳng thức khoảng cách đoạn thẳng:

$$|x - a| + |b - x| \ge |(x - a) + (b - x)| = |b - a|.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $(x - a)(b - x) \ge 0 \iff a \le x \le b$ (với $a < b$).

Bài toán 3.1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải chi tiết: Ta nhóm số hạng đầu và số hạng cuối để triệt tiêu biến $x$:

Áp dụng bất đẳng thức $|a| + |b| \ge |a + b|$ cho nhóm thứ nhất:

Dấu "$=$" xảy ra khi $(x - 2)(10 - x) \ge 0 \iff 2 \le x \le 10.$ Đối với số hạng còn lại:

Dấu "$=$" xảy ra khi $x - 6 = 0 \iff x = 6.$ Vì giá trị $x = 6$ thỏa mãn điều kiện $2 \le 6 \le 10$, nên cả hai dấu đẳng thức đồng thời xảy ra tại $x = 6$! Khi đó:

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $8$, đạt được khi $x = 6.$

Chuyên đề 4: Phương trình tổng các biểu thức không âm

Quan trọng

Định lý triệt tiêu tổng không âm: Vì $A^2 \ge 0$, $\sqrt{B} \ge 0$ và $|C| \ge 0$, nên:

$$A^2 + \sqrt{B} + |C| = 0 \iff \begin{cases} A = 0 \\ B = 0 \\ C = 0 \end{cases}$$

Bài toán 4.1

Tìm các số thực $x, y, z$ thỏa mãn đẳng thức:

Lời giải chi tiết: Điều kiện xác định: $3y + 9 \ge 0 \iff y \ge -3$. Nhận xét với mọi $x, z \in \mathbb{R}$ và $y \ge -3$:

• $(2x - 4)^2 \ge 0$, dấu "$=$" xảy ra khi $2x - 4 = 0 \iff x = 2$.
• $\sqrt{3y + 9} \ge 0$, dấu "$=$" xảy ra khi $3y + 9 = 0 \iff y = -3$.
• $|z - 5| \ge 0$, dấu "$=$" xảy ra khi $z - 5 = 0 \iff z = 5$. Tổng của ba đại lượng không âm bằng $0$ khi và chỉ khi cả ba đại lượng đồng thời bằng $0$:$$\begin{cases} (2x - 4)^2 = 0 \\ \sqrt{3y + 9} = 0 \\ |z - 5| = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ 3y + 9 = 0 \\ z - 5 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \\ z = 5 \end{cases}$$Vậy bộ ba số thực $(x; y; z)$ thỏa mãn là $(2; -3; 5).$

Chuyên đề 5: Tìm số nguyên $x$ để biểu thức chứa căn nhận giá trị nguyên

Bài toán 5.1

Tìm số nguyên $x \ge 0$ để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

Lời giải chi tiết: Điều kiện: $x \ge 0$. Khi đó $\sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x} + 2 \ge 2 > 0$. Tách phần nguyên của tử theo mẫu:

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{\sqrt{x} + 2}$ phải là số nguyên, tức là:

Vì $x \ge 0 \implies \sqrt{x} \ge 0 \implies \sqrt{x} + 2 \ge 2$. Do đó trong các ước số trên, chỉ có giá trị $5$ là thỏa mãn điều kiện $\ge 2$:

Kiểm tra lại: Với $$x = 9 \implies P = \frac{2 \cdot 3 + 9}{3 + 2} = \frac{15}{5} = 3 \in \mathbb{Z}$$ (thỏa mãn). Vậy số nguyên cần tìm là $x = 9.$

Phần IV. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác (Quiz)

Phần V. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (10 bài tự luận)

Đề bài

Bài 1 (Phân loại tập số): Điền ký hiệu thích hợp ($\in, \notin, \subset$) vào các ô trống:

• a) $-\sqrt{49} \dots \mathbb{Z}$
• b) $\sqrt{15} \dots \mathbb{Q}$
• c) $\sqrt{15} \dots \mathbb{R}$
• d) $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \dots$
• e) $0{,}(72) \dots \mathbb{R}$
• f) $\mathbb{Z} \dots \mathbb{R}$

Bài 2 (Chuyển đổi số thập phân): a) Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân: $$\frac{13}{25}; \quad -\frac{7}{12}; \quad \frac{5}{16}; \quad \frac{8}{11}.$$ b) Đổi các số thập phân tuần hoàn sau sang phân số tối giản: $0{,}(18); \quad 1{,}2(6).$

Bài 3 (Tính giá trị biểu thức căn thức): Tính giá trị của các biểu thức sau:

• a) $A = 4\sqrt{81} - 3\sqrt{49} + 5\sqrt{0{,}04}.$
• b) $B = \sqrt{\dfrac{121}{25}} \cdot \sqrt{\dfrac{100}{16}} - \sqrt{0{,}81} : \dfrac{3}{5}.$
• c) $C = \sqrt{20^2 - 16^2} + \left(\sqrt{1\dfrac{9}{16}}\right)^2.$

Bài 4 (Tìm $x$): Tìm số thực $x$, biết:

• a) $\sqrt{x} = 8$
• b) $2\sqrt{2x + 1} - 3 = 7$
• c) $|3x - 2| = 10$
• d) $\left|x + \dfrac{3}{5}\right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{10}$
• e) $(2x - 3)^2 = 49$

Bài 5 (So sánh không dùng máy tính): So sánh các cặp số sau:

• a) $\sqrt{40}$ và $6$
• b) $3\sqrt{6}$ và $2\sqrt{13}$
• c) $-\sqrt{35}$ và $-6$
• d) $\sqrt{14} + \sqrt{27}$ và $9$

Bài 6 (Làm tròn và độ chính xác): Cho số thực $M = 58\,463{,}7285$. a) Làm tròn $M$ đến hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn. b) Làm tròn $M$ đến chữ số thập phân thứ nhất, thứ hai. c) Làm tròn $M$ với độ chính xác $d = 50$ và $d = 0{,}005$.

Bài 7 (Bài toán thực tế): Một căn phòng hình vuông có diện tích sàn là $45\text{ m}^2$. a) Tính độ dài cạnh căn phòng (làm tròn đến hàng phần trăm của mét). b) Người ta dùng nẹp gỗ để viền chân tường căn phòng. Biết mỗi thanh nẹp dài $2\text{ m}$. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu thanh nẹp gỗ để viền kín chân tường phòng (bỏ qua cửa ra vào rộng $1{,}2\text{ m}$)?

Bài 8 (Phương trình chứa căn và trị tuyệt đối): Tìm các số thực $x, y$ thỏa mãn: $|2x - 6| + \sqrt{y^2 - 16} = 0.$

Bài 9 (Cực trị giá trị tuyệt đối): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 10 (Nâng cao): Cho biểu thức $Q = \dfrac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \ge 0$. a) Tìm số nguyên $x$ để $Q$ nhận giá trị nguyên. b) Tìm giá trị lớn nhất của $Q$.

Hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1:

• a) $-\sqrt{49} = -7 \in \mathbb{Z}.$
• b) $15$ không chính phương $\implies \sqrt{15} \notin \mathbb{Q}.$
• c) $\sqrt{15} \in \mathbb{R}.$
• d) $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing.$
• e) $0{,}(72) \in \mathbb{R}.$
• f) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}.$

Bài 2: a)

• $\frac{13}{25} = 0{,}52$ (hữu hạn).
• $-\frac{7}{12} = -0{,}5833\dots = -0{,}58(3)$ (vô hạn tuần hoàn, chu kỳ $3$).
• $\frac{5}{16} = 0{,}3125$ (hữu hạn).
• $\frac{8}{11} = 0{,}7272\dots = 0{,}(72)$ (vô hạn tuần hoàn, chu kỳ $72$). b)
• $0{,}(18) = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}.$
• $$1{,}2(6) = 1 + \frac{26 - 2}{90} = 1 + \frac{24}{90} = 1 + \frac{4}{15} = \frac{19}{15}.$$

Bài 3:

• a) $A = 4 \cdot 9 - 3 \cdot 7 + 5 \cdot 0{,}2 = 36 - 21 + 1 = 16.$
• b) $B = \frac{11}{5} \cdot \frac{10}{4} - 0{,}9 : \frac{3}{5} = \frac{11}{2} - \left(\frac{9}{10} \cdot \frac{5}{3}\right) = 5{,}5 - 1{,}5 = 4.$
• c) $20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144 \implies \sqrt{20^2 - 16^2} = 12.$ $$1\frac{9}{16} = \frac{25}{16} \implies \left(\sqrt{\frac{25}{16}}\right)^2 = \frac{25}{16}.$$ $C = 12 + \frac{25}{16} = \frac{192 + 25}{16} = \frac{217}{16}.$

Bài 4:

• a) $\sqrt{x} = 8 \implies x = 8^2 = 64.$
• b) $$2\sqrt{2x + 1} = 10 \implies \sqrt{2x + 1} = 5 \implies 2x + 1 = 25 \implies 2x = 24 \implies x = 12.$$
• c) $|3x - 2| = 10 \iff 3x - 2 = 10$ hoặc $3x - 2 = -10$.
  • TH1: $3x = 12 \implies x = 4.$
  • TH2: $3x = -8 \implies x = -\frac{8}{3}.$ Vậy $x \in \{4; -\frac{8}{3}\}.$
• d) $$\left|x + \frac{3}{5}\right| = \frac{7}{10} + \frac{1}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.$$
  • TH1: $x + \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \implies x = \frac{3}{5}.$
  • TH2: $x + \frac{3}{5} = -\frac{6}{5} \implies x = -\frac{9}{5}.$ Vậy $x \in \{\frac{3}{5}; -\frac{9}{5}\}.$
• e) $(2x - 3)^2 = 49 \implies 2x - 3 = 7$ hoặc $2x - 3 = -7$.
  • TH1: $2x = 10 \implies x = 5.$
  • TH2: $2x = -4 \implies x = -2.$ Vậy $x \in \{5; -2\}.$

Bài 5:

• a) $6 = \sqrt{36}$. Vì $40 > 36$ nên $\sqrt{40} > 6.$
• b) $3\sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$. $2\sqrt{13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$. Vì $54 > 52$ nên $3\sqrt{6} > 2\sqrt{13}.$
• c) $6 = \sqrt{36}$. Vì $35 < 36 \implies \sqrt{35} < 6 \implies -\sqrt{35} > -6.$
• d) Bình phương: $$(\sqrt{14} + \sqrt{27})^2 = 14 + 27 + 2\sqrt{14 \cdot 27} = 41 + 2\sqrt{378}.$$ Số $9^2 = 81$. So sánh $2\sqrt{378}$ với $81 - 41 = 40$, tương đương so sánh $\sqrt{378}$ với $20 = \sqrt{400}$. Vì $378 < 400$ nên $\sqrt{378} < 20 \implies 2\sqrt{378} < 40 \implies 41 + 2\sqrt{378} < 81$. Vậy $\sqrt{14} + \sqrt{27} < 9.$

Bài 6: Với $M = 58\,463{,}7285$: a)

• Hàng chục: $58\,460$ (chữ số hàng đơn vị là $3 < 5$).
• Hàng trăm: $58\,500$ (chữ số hàng chục là $6 \ge 5$).
• Hàng nghìn: $58\,000$ (chữ số hàng trăm là $4 < 5$). b)
• Chữ số thập phân thứ nhất: $58\,463{,}7$ (chữ số sau là $2 < 5$).
• Chữ số thập phân thứ hai: $58\,463{,}73$ (chữ số sau là $8 \ge 5$). c)
• Độ chính xác $d = 50$: làm tròn đến hàng trăm $\implies 58\,500$.
• Độ chính xác $d = 0{,}005$: làm tròn đến hàng phần trăm $\implies 58\,463{,}73$.

Bài 7: a) Độ dài cạnh căn phòng: $a = \sqrt{45} \approx 6{,}7082\dots \approx 6{,}71\text{ m}.$ b) Chu vi cần viền nẹp gỗ: