Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Trong thế giới kinh doanh, nếu tổng doanh thu từ việc bán $x$ sản phẩm được mô tả bởi đa thức $R(x)$, và tổng chi phí sản xuất được mô tả bởi đa thức $C(x)$, thì lợi nhuận ròng của doanh nghiệp chính là hiệu của hai đa thức đó: $L(x) = R(x) - C(x)$. Trong vật lý sóng, khi hai nguồn sóng âm giao thoa với nhau, dao động tổng hợp tại một điểm chính là tổng của hai phương trình sóng thành phần.

Phép cộng và phép trừ đa thức một biến là những viên gạch cơ bản nhất để kết hợp các mô hình toán học đơn lẻ thành một bức tranh toàn cảnh phức tạp hơn. Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng rèn luyện thành thạo hai phương pháp tính toán chuẩn mực: Đặt tính theo hàng ngang và Đặt tính theo cột dọc, nắm vững quy tắc đổi dấu khi phá ngoặc và ứng dụng giải các bài toán tối ưu hóa trong thực tế!

Khởi động — Ôn luyện phản xạ nền tảng (5–7 phút)

Hãy thực hiện nhanh $5$ câu hỏi khởi động sau:

1. Quy tắc dấu ngoặc: Bỏ dấu ngoặc của các biểu thức sau: $-(3x^2 - 5x + 4)$ và $+(-2x^3 + 7x - 1)$.
2. Cộng trừ đơn thức: Tính: $6x^4 - 9x^4$; $4x^2 - (-3x^2)$; $5x - 5x$.
3. Tìm số hạng chưa biết: Tìm $x$ trong biểu thức số học: $x + 25 = 60$; $45 - x = 18$.
4. Sắp xếp cột dọc: Đặt phép cộng số học theo cột dọc: $205 + 138$. Chữ số hàng nào phải thẳng hàng với chữ số hàng đó?
5. Dự đoán: Nếu đa thức $P(x)$ có bậc $3$ và đa thức $Q(x)$ có bậc $3$, liệu tổng $P(x) + Q(x)$ có nhất thiết phải có bậc $3$ hay không? Cho ví dụ.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Phương pháp 1: Đặt tính theo hàng ngang

Đây là phương pháp linh hoạt và phổ biến nhất khi thực hiện phép cộng và trừ đa thức.

Quan trọng

QUY TRÌNH ĐẶT TÍNH THEO HÀNG NGANG:

• Bước 1: Viết phép tính với các dấu ngoặc:$$P(x) + Q(x) = (P(x)) + (Q(x))$$$$P(x) - Q(x) = (P(x)) - (Q(x))$$
• Bước 2: Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu:
  • Đằng trước dấu ngoặc có dấu "$+$": Giữ nguyên dấu của mọi hạng tử trong ngoặc.
  • Đằng trước dấu ngoặc có dấu "$-$": Đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc ($+$ thành $-$, và $-$ thành $+$).
• Bước 3: Nhóm các hạng tử có cùng số mũ của biến: Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng.
• Bước 4: Thu gọn từng nhóm và sắp xếp kết quả.

2. Phương pháp 2: Đặt tính theo cột dọc

Phương pháp đặt tính theo cột dọc đặc biệt hữu ích khi hai đa thức có nhiều hạng tử bậc cao, giúp tránh nhầm lẫn và sót số hạng.

Mẹo hay

QUY TRÌNH ĐẶT TÍNH THEO CỘT DỌC:

• Bước 1: Thu gọn và sắp xếp cả hai đa thức theo cùng một thứ tự lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.
• Bước 2: Đặt đa thức thứ nhất ở trên, đa thức thứ hai ở dưới sao cho các hạng tử có cùng số mũ được đặt thẳng cột với nhau. Nếu đa thức bị khuyết bậc nào, ta để trống một khoảng ở cột đó (hoặc ghi $0x^k$).
• Bước 3: Đặt dấu phép tính ($+$ hoặc $-$) ở bên trái và kẻ một đường gạch ngang ở dưới.
• Bước 4: Thực hiện cộng (hoặc trừ) các hệ số theo từng cột dọc từ trái sang phải (hoặc từ phải sang trái).

3. Nhận xét về Bậc của Đa thức Tổng và Hiệu

Giả sử $P(x)$ có bậc $m$ và $Q(x)$ có bậc $n$:

1. Nếu $m \neq n$: Bậc của tổng $P(x) + Q(x)$ và hiệu $P(x) - Q(x)$ luôn bằng số lớn hơn giữa $m$ và $n$:$$\text{Bậc}(P \pm Q) = \max(m, n)$$
2. Nếu $m = n$: Bậc của tổng hoặc hiệu không vượt quá $m$:
   • Nếu hai hệ số cao nhất không triệt tiêu nhau: Bậc vẫn bằng $m$.
   • Nếu hai hệ số cao nhất triệt tiêu nhau (tổng hoặc hiệu bằng $0$): Bậc sẽ nhỏ hơn $m$.

II. Các dạng toán trọng tâm và Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Cộng, trừ đa thức một biến theo hàng ngang

Phương pháp giải: Thực hiện nghiêm ngặt quy tắc phá ngoặc và gom nhóm hạng tử đồng dạng.

Bài toán 1:

Cho hai đa thức:

Tính: a) $A(x) + B(x)$ b) $A(x) - B(x)$

Lời giải:

a) Tính tổng $A(x) + B(x)$:

Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên dấu):

Nhóm các hạng tử cùng số mũ:

Thu gọn từng nhóm:

b) Tính hiệu $A(x) - B(x)$:

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu toàn bộ các hạng tử của $B(x)$):

Nhóm các hạng tử cùng số mũ:

Thu gọn:

Dạng 2: Cộng, trừ đa thức một biến theo cột dọc

Phương pháp giải:

1. Thu gọn các đa thức trước khi đặt tính.
2. Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần.
3. Đặt các số hạng cùng bậc thẳng cột với nhau (chừa chỗ trống nếu khuyết bậc).
4. Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ cẩn thận từng cột.

Bài toán 2:

Cho hai đa thức:

Hãy tính $P(x) + Q(x)$ và $P(x) - Q(x)$ bằng phương pháp đặt tính theo cột dọc.

Lời giải:

Nhận xét: Đa thức $Q(x)$ bị khuyết hạng tử bậc $1$ (hạng tử chứa $x$). Khi đặt tính, ta để trống cột chứa $x$.

1. Đặt tính phép cộng $P(x) + Q(x)$:

Vậy $P(x) + Q(x) = 7x^3 + 7x - 5$ (hai hạng tử bậc 2 triệt tiêu nhau: $-4x^2 + 4x^2 = 0$).

2. Đặt tính phép trừ $P(x) - Q(x)$:

(Lưu ý cột bậc 2: $-4x^2 - (+4x^2) = -8x^2$; Cột tự do: $-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$). Vậy $P(x) - Q(x) = 3x^3 - 8x^2 + 7x + 1$.

Dạng 3: Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức

Phương pháp giải: Tương tự như tìm số chưa biết trong số học, ta áp dụng quy tắc chuyển vế:

• Nếu $A(x) + M(x) = B(x) \implies M(x) = B(x) - A(x)$.
• Nếu $A(x) - M(x) = B(x) \implies M(x) = A(x) - B(x)$.
• Nếu $M(x) - A(x) = B(x) \implies M(x) = B(x) + A(x)$.

Bài toán 3:

Tìm đa thức $M(x)$ biết:

Lời giải:

Áp dụng quy tắc chuyển vế:

Bỏ dấu ngoặc (đổi dấu toàn bộ các số hạng trong ngoặc thứ hai):

Nhóm các hạng tử cùng lũy thừa:

Thu gọn:

Vậy đa thức cần tìm là $M(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x + 11$.

Dạng 4: Bài toán thực tế ứng dụng cộng trừ đa thức

Phương pháp giải:

1. Biểu diễn các đại lượng thực tế dưới dạng các đa thức theo một biến số $x$.
2. Thực hiện phép cộng (để tính tổng, chu vi...) hoặc phép trừ (để tính hiệu, chênh lệch, lợi nhuận...).
3. Thu gọn đa thức kết quả và thay số cụ thể khi đề bài yêu cầu.

Bài toán 4: Tối ưu hóa Lợi nhuận của một xưởng mộc

Một xưởng mộc sản xuất bàn ghế học sinh. Khi sản xuất và bán ra $x$ bộ bàn ghế mỗi tháng:

• Tổng doanh thu thu về (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi đa thức:$$R(x) = 1500x - 2x^2$$
• Tổng chi phí sản xuất (gồm tiền gỗ, tiền công thợ và chi phí điện nước) được cho bởi đa thức:$$C(x) = 800x + 12000$$

a) Hãy lập đa thức $L(x)$ biểu diễn lợi nhuận của xưởng mộc theo số lượng $x$ bộ bàn ghế bán được mỗi tháng (biết $\text{Lợi nhuận} = \text{Doanh thu} - \text{Chi phí}$). b) Tính lợi nhuận của xưởng khi bán được $x = 100$ bộ bàn ghế và khi bán được $x = 200$ bộ bàn ghế trong tháng.

Lời giải:

a) Lợi nhuận $L(x) = R(x) - C(x)$:

Bỏ dấu ngoặc:

Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần:

b) Tính lợi nhuận tại các mốc sản lượng:

• Khi $x = 100$:

  $$L(100) = -2 \cdot (100)^2 + 700 \cdot (100) - 12000$$$$L(100) = -2 \cdot 10000 + 70000 - 12000 = -20000 + 70000 - 12000 = 38000\text{ (nghìn đồng)}$$

  Vậy khi bán $100$ bộ bàn ghế, xưởng mộc lãi $38\,000\,000$ đồng ($38$ triệu đồng).

• Khi $x = 200$:

  $$L(200) = -2 \cdot (200)^2 + 700 \cdot (200) - 12000$$$$L(200) = -2 \cdot 40000 + 140000 - 12000 = -80000 + 140000 - 12000 = 48000\text{ (nghìn đồng)}$$

  Vậy khi bán $200$ bộ bàn ghế, xưởng mộc lãi $48\,000\,000$ đồng ($48$ triệu đồng).

III. 5 Chuyên đề Thực tế và Mở rộng Tư duy Khoa học

Chuyên đề 1: Phân tích Điểm Hòa vốn (Break-even Analysis) trong Kinh tế học

Khi thành lập một công ty khởi nghiệp, câu hỏi sinh tử đầu tiên của người sáng lập là: "Cần bán bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ?". Đó chính là Điểm hòa vốn (Break-even Point).

Tại điểm hòa vốn, lợi nhuận bằng $0$:

Đa thức chi phí $C(x)$ và đa thức doanh thu $R(x)$ gặp nhau. Việc giải nghiệm của đa thức hiệu $L(x) = 0$ giúp các giám đốc tài chính (CFO) biết chính xác số lượng đơn hàng tối thiểu cần đạt được mỗi tháng để bắt đầu có lãi.

Chuyên đề 2: Hiện tượng Triệt tiêu Bậc (Degree Cancellation) và Bài toán Tham số

Một hiện tượng toán học thú vị là: Khi cộng hoặc trừ hai đa thức cùng bậc $n$, bậc của đa thức kết quả có thể bị sụt giảm bất ngờ.

Bài toán mẫu: Cho $P(x) = (m - 2)x^3 + 5x^2 - 3$ và $Q(x) = 3x^3 + 2x^2 + 1$. Tìm $m$ để đa thức tổng $S(x) = P(x) + Q(x)$ có bậc là $2$.

• Tính tổng:$$S(x) = [(m - 2) + 3]x^3 + (5 + 2)x^2 - 2 = (m + 1)x^3 + 7x^2 - 2$$
• Để $S(x)$ có bậc là $2$, hệ số của lũy thừa bậc $3$ bắt buộc phải bị triệt tiêu:$$m + 1 = 0 \implies m = -1$$Kỹ thuật triệt tiêu bậc này được ứng dụng rộng rãi trong thiết kế mạch lọc tần số âm thanh để loại bỏ các dải sóng nhiễu cao tần.

Chuyên đề 3: Nguyên lý Chồng chất Sóng (Superposition Principle) trong Âm học

Khi các em đeo tai nghe chống ồn chủ động (Active Noise Cancelling - ANC) của Apple AirPods hay Sony:

1. Micro bên ngoài tai nghe sẽ thu lại tiếng ồn của môi trường xung quanh (như tiếng động cơ máy bay), biểu diễn thành đa thức sóng âm $N(t)$.
2. Vi xử lý âm thanh lập tức tạo ra một sóng âm đối lập $A(t) = -N(t)$ (gọi là Anti-noise).
3. Khi hai sóng này truyền vào tai cùng lúc, phép cộng đa thức diễn ra:$$S(t) = N(t) + A(t) = N(t) + (-N(t)) = 0$$Tiếng ồn bị triệt tiêu hoàn toàn về số $0$, mang lại không gian tĩnh lặng tuyệt đối cho người nghe. Đó chính là sức mạnh kỳ diệu của phép cộng đa thức đối!

Chuyên đề 4: Cấu trúc Dữ liệu Biểu diễn Đa thức trong Khoa học Máy tính

Trong bộ nhớ máy tính, làm thế nào một chương trình phần mềm (như Wolfram Alpha, MATLAB hay GeoGebra) có thể lưu trữ và thực hiện cộng trừ đa thức hàng nghìn bậc trong chớp mắt?

Các kỹ sư phần mềm sử dụng hai cấu trúc dữ liệu kinh điển:

1. Mảng hệ số (Array): Mảng coeffs[k] lưu trữ hệ số của lũy thừa $x^k$. Phép cộng đa thức được thực hiện bằng một vòng lặp đơn giản: sum_coeffs[k] = P_coeffs[k] + Q_coeffs[k].
2. Danh sách liên kết (Linked List): Dùng cho các đa thức thưa (Sparse Polynomial, ví dụ $x^{1000} - 1$), mỗi nút (Node) chỉ lưu cặp (hệ số, số mũ) để tiết kiệm dung lượng RAM.

Chuyên đề 5: Đa thức Vi sai và Sai phân Hữu hạn (Finite Differences)

Nhà toán học người Anh Brook Taylor đã phát hiện ra phương pháp Bảng sai phân hữu hạn: Nếu ta lấy một đa thức bậc $n$ và tính hiệu giữa các giá trị liên tiếp:

thì đa thức mới $\Delta P(x)$ sẽ có bậc là $n - 1$ (bậc giảm đi đúng $1$ đơn vị!). Nếu lặp lại phép trừ này $n$ lần, kết quả cuối cùng sẽ là một hằng số không đổi. Đây là phương pháp mà nhà phát minh Charles Babbage (năm 1822) đã dùng để chế tạo cỗ máy cơ học Difference Engine — chiếc máy tính cơ học đầu tiên trong lịch sử nhân loại!

IV. Bài tập Trắc nghiệm Tương tác (10 câu hỏi)

Hãy kiểm tra năng lực cộng trừ đa thức qua $10$ câu hỏi trắc nghiệm sau:

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận và Barem chấm điểm

1. Ma trận đề kiểm tra

2. Đề bài chi tiết

Phần I. Trắc nghiệm khách quan ($3.0$ điểm)

(Gồm $6$ câu hỏi, mỗi câu đúng được $0.5$ điểm)

Câu 1: Bỏ dấu ngoặc biểu thức $-(2x^3 - 4x^2 + 5)$ ta được:

• A. $-2x^3 - 4x^2 + 5$
• B. $-2x^3 + 4x^2 - 5$
• C. $2x^3 - 4x^2 - 5$
• D. $-2x^3 + 4x^2 + 5$

Câu 2: Cho $P(x) = 4x^2 - 3x + 2$ và $Q(x) = -x^2 + 3x - 5$. Đa thức tổng $P(x) + Q(x)$ có bậc là:

• A. Bậc $4$
• B. Bậc $2$
• C. Bậc $1$
• D. Bậc $0$

Câu 3: Cho $A(x) = 5x^2 - 1$ và $B(x) = 2x^2 + 3$. Hiệu $A(x) - B(x)$ bằng:

• A. $3x^2 + 2$
• B. $3x^2 - 4$
• C. $7x^2 + 2$
• D. $3x^2 + 4$

Câu 4: Tìm đa thức $N(x)$ biết $N(x) - (3x - 1) = 4x + 5$:

• A. $x + 6$
• B. $7x + 4$
• C. $7x + 6$
• D. $-x - 6$

Câu 5: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số cao nhất là $3x^3$ và $Q(x)$ có hệ số cao nhất là $3x^3$. Bậc của hiệu $P(x) - Q(x)$ chắc chắn:

• A. Luôn bằng $3$
• B. Nhỏ hơn hoặc bằng $2$
• C. Lớn hơn $3$
• D. Luôn bằng $0$

Câu 6: Một hình chữ nhật có chiều dài là $(3x + 4)\text{ cm}$ và chiều rộng là $(2x - 1)\text{ cm}$. Biểu thức nửa chu vi của hình chữ nhật đó là:

• A. $5x + 3\text{ cm}$
• B. $10x + 6\text{ cm}$
• C. $6x - 4\text{ cm}$
• D. $5x - 3\text{ cm}$

Phần II. Tự luận ($7.0$ điểm)

Bài 1 ($2.0$ điểm): Cho hai đa thức:

a) ($1.0$ điểm) Tính tổng $P(x) + Q(x)$ theo hàng ngang và xác định bậc của đa thức tổng. b) ($1.0$ điểm) Tính hiệu $P(x) - Q(x)$ theo hàng ngang.

Bài 2 ($2.0$ điểm): Cho hai đa thức:

Hãy tính $A(x) + B(x)$ và $A(x) - B(x)$ bằng phương pháp đặt tính theo cột dọc.

Bài 3 ($1.5$ điểm): Tìm đa thức $M(x)$ biết:

Bài 4 ($1.5$ điểm - Vận dụng cao): Cho ba đa thức:

a) ($0.75$ điểm) Tính đa thức tổng $S(x) = P(x) + Q(x) + R(x)$. b) ($0.75$ điểm) Chứng minh rằng đa thức tổng $S(x)$ vô nghiệm (không có nghiệm trên tập số thực).

3. Hướng dẫn chấm và Thang điểm (Barem)