Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ

Chào mừng các em học sinh bước vào chương trình Toán lớp 7!

Ở bậc Tiểu học và lớp 6, các em đã lần lượt làm quen với tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}$ và tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\}$. Khi thực hiện phép chia hai số nguyên (ví dụ chia $3$ chiếc bánh cho $4$ bạn, hay nhiệt độ giảm $-2{,}5^\circ\text{C}$), chúng ta xuất hiện các phân số và số thập phân như $\frac{3}{4}; -2{,}5; -\frac{5}{2}$.

Những con số này thuộc về một "ngôi nhà chung" rộng lớn hơn, bao trùm cả số tự nhiên lẫn số nguyên, đó chính là Tập hợp các số hữu tỉ (kí hiệu là $\mathbb{Q}$).

Bài học mở đầu này sẽ giúp các em nắm vững bản chất của số hữu tỉ, cách biểu diễn chúng trên trục số, quy tắc tìm số đối và so sánh hai số hữu tỉ bất kỳ, đồng thời chinh phục $5$ chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic với tư duy toán học sâu sắc!

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền tảng (5–7 phút)

Trước khi vào bài học mới, hãy cùng làm mới các kỹ năng phân số và số nguyên từ lớp 6:

Câu hỏi khởi động

1. Rút gọn các phân số sau về dạng tối giản có mẫu dương:

   $$A = \dfrac{-18}{24}; \quad B = \dfrac{35}{-42}; \quad C = \dfrac{-14}{-21}.$$

2. Quy đồng mẫu số hai phân số:

   $$\dfrac{-3}{4} \quad \text{va} \quad \dfrac{5}{-6}.$$

3. So sánh hai phân số:

   • a) $\frac{4}{7}$ và $\frac{5}{9}$.
   • b) $\frac{-3}{5}$ và $\frac{-4}{7}$.

4. Nêu số đối của mỗi số nguyên sau: $8; -11; 0$.

5. Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số $-3$ nằm ở phía nào so với điểm biểu diễn số $2$? Cách điểm $0$ bao nhiêu đơn vị?

Lời giải gợi ý phần Khởi động

1. Rút gọn:

   • $A = \frac{-18 : 6}{24 : 6} = \frac{-3}{4}$.
   • $B = \frac{35 : (-7)}{-42 : (-7)} = \frac{-5}{6}$.
   • $C = \frac{-14 : (-7)}{-21 : (-7)} = \frac{2}{3}$.

2. Quy đồng mẫu số: Đưa về mẫu dương: $\frac{-3}{4}$ và $\frac{-5}{6}$. $\text{BCNN}(4; 6) = 12$.

   • $\frac{-3}{4} = \frac{-3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{-9}{12}$.
   • $\frac{-5}{6} = \frac{-5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{-10}{12}$.

3. So sánh:

   • a) $\frac{4}{7} = \frac{36}{63}$ và $\frac{5}{9} = \frac{35}{63}$. Vì $36 > 35$ nên $\frac{4}{7} > \frac{5}{9}$.
   • b) $\frac{-3}{5} = \frac{-21}{35}$ và $\frac{-4}{7} = \frac{-20}{35}$. Vì $-21 < -20$ nên $\frac{-3}{5} < \frac{-4}{7}$.

4. Số đối:

   • Số đối của $8$ là $-8$.
   • Số đối của $-11$ là $11$.
   • Số đối của $0$ là chính nó ($0$).

5. Trục số: Điểm $-3$ nằm ở bên trái điểm $2$ (và nằm bên trái gốc $0$, cách gốc $0$ đúng $3$ đơn vị độ dài).

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Số hữu tỉ và tập hợp $\mathbb{Q}$

Ghi nhớ

Định nghĩa: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ và $b \ne 0$. Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$ (viết tắt từ chữ Quotient trong tiếng Anh nghĩa là thương số).

Nhận xét quan trọng:

1. Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ: Với mọi $a \in \mathbb{Z}$, ta luôn viết được $a = \frac{a}{1}$. Do đó $a \in \mathbb{Q}$. Ví dụ: $7 = \frac{7}{1}; \quad -5 = \frac{-5}{1}; \quad 0 = \frac{0}{1}$.
2. Mọi số thập phân hữu hạn đều là số hữu tỉ: Ví dụ: $$1{,}4 = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5}; \quad -0{,}35 = \dfrac{-35}{100} = \dfrac{-7}{20}.$$
3. Mọi hỗn số đều là số hữu tỉ: Ví dụ: $$2\frac{3}{5} = \frac{2 \times 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}; \quad -1\frac{1}{4} = -\frac{5}{4} = \frac{-5}{4}.$$
4. Mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số: Tập số tự nhiên là con của tập số nguyên, và tập số nguyên là con của tập số hữu tỉ:$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}.$$

      ┌─────────────────────────────┐
      │     Tập hợp số hữu tỉ Q     │
      │   ┌─────────────────────┐   │
      │   │ Tập hợp số nguyên Z │   │
      │   │   ┌─────────────┐   │   │
      │   │   │  Tập hợp N  │   │   │
      │   │   │  0; 1; 2;...│   │   │
      │   │   └─────────────┘   │   │
      │   │      -1; -2; -5     │   │
      │   └─────────────────────┘   │
      │        3/4; -2,5; 0,125     │
      └─────────────────────────────┘

Ví dụ 1: Trong các số sau: $$-7; \quad \frac{5}{0}; \quad 0{,}8; \quad -1\frac{2}{3}; \quad \frac{0}{-9},$$ số nào là số hữu tỉ? Số nào không phải? Vì sao?

Lời giải:

• Biểu thức $\frac{5}{0}$ có mẫu số bằng $0$ nên không phải là phân số, do đó không là số hữu tỉ.
• Các số còn lại đều là số hữu tỉ vì:
  • $-7 = \frac{-7}{1} \in \mathbb{Q}$.
  • $0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \in \mathbb{Q}$.
  • $-1\frac{2}{3} = \frac{-5}{3} \in \mathbb{Q}$.
  • $\frac{0}{-9} = 0 = \frac{0}{1} \in \mathbb{Q}$.

2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Điểm biểu diễn số hữu tỉ $x$ gọi là điểm $x$.

Quy trình biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ ($b > 0$) trên trục số:

1. Bước 1: Đưa số hữu tỉ về dạng phân số tối giản có mẫu dương $\frac{a}{b}$ với $b > 0$.
2. Bước 2: Chia đoạn thẳng đơn vị (đoạn từ $0$ đến $1$, hoặc từ $-1$ đến $0$) thành $b$ phần bằng nhau. Mỗi phần nhỏ có độ dài là $\frac{1}{b}$ đơn vị.
3. Bước 3:
   • Nếu $a > 0$: Điểm biểu diễn nằm về bên phải điểm $0$, cách gốc $0$ một khoảng bằng $a$ phần nhỏ.
   • Nếu $a < 0$: Điểm biểu diễn nằm về bên trái điểm $0$, cách gốc $0$ một khoảng bằng $|a|$ phần nhỏ.

Ví dụ 2: Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{3}{2}$ và $\frac{-5}{4}$ trên trục số.

Lời giải:

• Với số $\frac{3}{2}$: Chia đoạn đơn vị thành $2$ phần bằng nhau, mỗi phần là $\frac{1}{2}$. Điểm $\frac{3}{2}$ nằm về bên phải gốc $0$, lấy $3$ phần nhỏ (tức là ở giữa $1$ và $2$).
• Với số $\frac{-5}{4}$: Mẫu là $4$, chia mỗi đoạn đơn vị thành $4$ phần bằng nhau. Điểm $\frac{-5}{4}$ nằm về bên trái gốc $0$, lấy $5$ phần nhỏ (tức là nằm giữa $-2$ và $-1$, cách $-1$ một khoảng $\frac{1}{4}$ về phía bên trái).

3. Số đối của một số hữu tỉ

Ghi nhớ

• Hai số hữu tỉ được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$.
• Số đối của số hữu tỉ $x$ kí hiệu là $-x$.
• Ta có: $x + (-x) = 0$ và $-(-x) = x$.
• Số đối của số $0$ chính là $0$.

Công thức tìm số đối:

Với số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ ($b > 0$), số đối của nó là:

Vị trí hình học:

Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau $x$ và $-x$ nằm về hai phía đối diện của điểm gốc $0$ và cách đều gốc $0$.

Ví dụ 3: Tìm số đối của các số hữu tỉ sau: $\frac{4}{9}; \quad \frac{-7}{12}; \quad \frac{5}{-8}; \quad -3{,}25$.

Lời giải:

• Số đối của $\frac{4}{9}$ là $-\frac{4}{9}$.
• Số đối của $\frac{-7}{12}$ là $-\left(\frac{-7}{12}\right) = \frac{7}{12}$.
• Ta có $\frac{5}{-8} = \frac{-5}{8}$, do đó số đối của nó là $\frac{5}{8}$.
• Ta có $-3{,}25 = -\frac{13}{4}$, số đối của nó là $3{,}25$ (hoặc $\frac{13}{4}$).

4. So sánh hai số hữu tỉ

Với hai số hữu tỉ bất kỳ $x, y$, ta luôn có một trong ba trường hợp:

• Trên trục số nằm ngang, nếu $x < y$ thì điểm $x$ nằm bên trái điểm $y$.
• Số hữu tỉ lớn hơn $0$ gọi là số hữu tỉ dương.
• Số hữu tỉ nhỏ hơn $0$ gọi là số hữu tỉ âm.
• Số $0$ không phải là số hữu tỉ dương, cũng không phải là số hữu tỉ âm.
• Tính chất bắc cầu: Nếu $x < y$ và $y < z$ thì $x < z$.

Các phương pháp so sánh thường dùng:

1. Quy đồng mẫu số dương: Viết hai số dưới dạng phân số cùng mẫu dương: $\frac{a}{m}$ và $\frac{b}{m}$ ($m > 0$).
   • Nếu $a < b$ thì $\frac{a}{m} < \frac{b}{m}$.
2. So sánh qua số trung gian:
   • So sánh với số $0$: Số âm luôn nhỏ hơn $0$, số dương luôn lớn hơn $0$. Do đó mọi số âm đều nhỏ hơn mọi số dương.
   • So sánh với số $1$ hoặc số $-1$.
3. So sánh hai số hữu tỉ âm:
   • Với hai số hữu tỉ âm $-u$ và $-v$ ($u, v > 0$): Nếu $u < v$ thì $-u > -v$. (Số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó bé hơn).

5. Những bẫy sai lầm kinh điển cần tránh

Lưu ý / Cảnh báo

1. Quên điều kiện mẫu khác 0: Biểu thức có mẫu chứa biến như $\frac{3}{x - 2}$ chỉ là số hữu tỉ khi mẫu số $x - 2 \ne 0 \iff x \ne 2$.
2. Chưa chuyển về mẫu dương khi so sánh: Muốn so sánh tử số, bắt buộc cả hai phân số phải có cùng mẫu số dương. Nếu để mẫu âm mà so sánh tử số sẽ dẫn đến kết quả sai hoàn toàn!
3. Nhầm lẫn khi so sánh hai số âm: Ví dụ $-0{,}75$ và $-0{,}8$. Vì $0{,}75 < 0{,}8$ nên $-0{,}75 > -0{,}8$. Học sinh thường quen miệng nói $75 < 80$ rồi kết luận sai $-0{,}75 < -0{,}8$.
4. Số đối của hỗn số âm: Số đối của $-2\frac{1}{3}$ là $2\frac{1}{3}$, tuyệt đối không được viết $-2 + \frac{1}{3}$.

B. Các dạng bài tập thường gặp & Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết số hữu tỉ và mối quan hệ giữa các tập hợp số

Phương pháp giải:

• Sử dụng định nghĩa: số hữu tỉ là số đưa được về dạng $\frac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0$).
• Sử dụng các kí hiệu thuộc ($\in$), không thuộc ($\notin$), tập con ($\subset$).
• Ghi nhớ: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1.1: Điền kí hiệu $\in, \notin, \subset$ thích hợp vào chỗ trống:

• a) $-4 \dots \mathbb{N}$
• b) $-4 \dots \mathbb{Z}$
• c) $-4 \dots \mathbb{Q}$
• d) $\frac{-3}{7} \dots \mathbb{Z}$
• e) $\frac{-3}{7} \dots \mathbb{Q}$
• f) $\mathbb{Z} \dots \mathbb{Q}$
• g) $0{,}65 \dots \mathbb{Q}$
• h) $\mathbb{N} \dots \mathbb{Q}$

Lời giải:

• a) $-4 \notin \mathbb{N}$ ($-4$ là số nguyên âm, không phải số tự nhiên).
• b) $-4 \in \mathbb{Z}$.
• c) $-4 \in \mathbb{Q}$ (vì $-4 = \frac{-4}{1}$).
• d) $\frac{-3}{7} \notin \mathbb{Z}$.
• e) $\frac{-3}{7} \in \mathbb{Q}$.
• f) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
• g) $0{,}65 \in \mathbb{Q}$ (vì $0{,}65 = \frac{13}{20}$).
• h) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$.

Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Phương pháp giải:

• Rút gọn phân số về mẫu dương tối giản.
• Chia đoạn đơn vị theo mẫu số, đếm số đoạn nhỏ theo tử số.

Bài 2.1: Cho các số hữu tỉ: $$A = \frac{-3}{2}; \quad B = \frac{4}{3}; \quad C = 0; \quad D = -\frac{1}{2}; \quad E = 2.$$

• a) Sắp xếp các điểm này theo thứ tự từ trái sang phải trên trục số.
• b) Điểm nào nằm gần gốc $0$ nhất? Điểm nào nằm xa gốc $0$ nhất?

Lời giải:

• a) Ta so sánh các số:
  • Các số âm: $\frac{-3}{2} = -1{,}5$ và $-\frac{1}{2} = -0{,}5$. Ta có: $-1{,}5 < -0{,}5$.
  • Gốc $0$: $0$.
  • Các số dương: $\frac{4}{3} \approx 1{,}33$ và $2$. Ta có: $\frac{4}{3} < 2$. Do đó: $\frac{-3}{2} < -\frac{1}{2} < 0 < \frac{4}{3} < 2$. Thứ tự các điểm từ trái sang phải trên trục số là: $A, D, C, B, E$.
• b) Khoảng cách từ một điểm $x$ tới gốc $0$ chính là giá trị tuyệt đối $|x|$:
  • $|A| = 1{,}5$;
  • $|D| = 0{,}5$;
  • $|C| = 0$;
  • $|B| = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$;
  • $|E| = 2$. Điểm gần gốc $0$ nhất (khác $0$) là điểm $D$ (cách $0{,}5$ đơn vị). Điểm xa gốc $0$ nhất là điểm $E$ (cách $2$ đơn vị).

Dạng 3: Tìm số đối của số hữu tỉ

Phương pháp giải:

• Số đối của $x$ là $-x$.
• Số đối của $\frac{a}{b}$ là $\frac{-a}{b}$.
• Nếu đề bài cho số thập phân hoặc hỗn số, ta có thể đổi dấu trực tiếp: số đối của $-1{,}8$ là $1{,}8$; số đối của $-3\frac{2}{5}$ là $3\frac{2}{5}$.

Bài 3.1: Tìm số đối của các số sau và biểu diễn chúng trên trục số:

Lời giải:

• Với $x_1 = -\frac{5}{6}$, số đối là $-x_1 = \frac{5}{6}$.
• Với $x_2 = \frac{7}{-4} = -\frac{7}{4}$, số đối là $-x_2 = \frac{7}{4}$.
• Với $x_3 = 0$, số đối là $-x_3 = 0$.
• Với $x_4 = -(-2{,}4) = 2{,}4$, số đối là $-x_4 = -2{,}4$.

Dạng 4: So sánh và sắp xếp các số hữu tỉ

Phương pháp giải:

1. Cách 1 (Quy đồng): Đưa về cùng mẫu dương rồi so sánh tử.
2. Cách 2 (So sánh với 0): Số âm luôn bé hơn số dương.
3. Cách 3 (So sánh với 1 hoặc -1):
   • Nếu $0 < \frac{a}{b} < 1$ và $\frac{c}{d} > 1$ thì $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
4. Cách 4 (So sánh phần bù tới 1):
   • Với hai phân số dương bé hơn $1$, nếu phần bù tới $1$ của phân số nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

Bài 4.1: So sánh các cặp số hữu tỉ sau bằng cách hợp lý nhất:

• a) $\frac{-15}{21}$ và $\frac{-24}{32}$.
• b) $\frac{-17}{35}$ và $\frac{1}{2026}$.
• c) $\frac{2025}{2026}$ và $\frac{2026}{2027}$.
• d) $\frac{-19}{18}$ và $\frac{-23}{22}$.

Lời giải:

• a) Rút gọn trước khi so sánh:$$\dfrac{-15}{21} = \dfrac{-5}{7} = \dfrac{-20}{28}; \quad \dfrac{-24}{32} = \dfrac{-3}{4} = \dfrac{-21}{28}.$$Vì $-20 > -21$ nên $\frac{-20}{28} > \frac{-21}{28}$, suy ra $\frac{-15}{21} > \frac{-24}{32}$.
• b) Số $\frac{-17}{35} < 0$, còn $\frac{1}{2026} > 0$. Do đó: $\frac{-17}{35} < \frac{1}{2026}$.
• c) Cả hai phân số đều dương và nhỏ hơn $1$. Ta xét phần bù tới $1$:$$1 - \dfrac{2025}{2026} = \dfrac{1}{2026}; \quad 1 - \dfrac{2026}{2027} = \dfrac{1}{2027}.$$Vì $2026 < 2027$ nên $\frac{1}{2026} > \frac{1}{2027}$. Phần bù lớn hơn thì phân số nhỏ hơn, suy ra: $\frac{2025}{2026} < \frac{2026}{2027}$.
• d) Ta đổi sang hỗn số:$$\dfrac{-19}{18} = -\left(1 + \dfrac{1}{18}\right); \quad \dfrac{-23}{22} = -\left(1 + \dfrac{1}{22}\right).$$Vì $18 < 22$ nên $\frac{1}{18} > \frac{1}{22} \implies 1 + \frac{1}{18} > 1 + \frac{1}{22}$. Khi lấy dấu trừ, chiều bất đẳng thức đổi lại:$$-\left(1 + \dfrac{1}{18}\right) < -\left(1 + \dfrac{1}{22}\right) \implies \dfrac{-19}{18} < \dfrac{-23}{22}.$$

Dạng 5: Tìm điều kiện để một phân số là số hữu tỉ hoặc nhận giá trị nguyên

Phương pháp giải:

• Phân thức $\frac{A}{B}$ là số hữu tỉ khi $A, B \in \mathbb{Z}$ và $B \ne 0$.
• Phân thức $\frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên khi mẫu số $B$ là ước của tử số $A$ ($B \in \text{Ư}(A)$).

Bài 5.1: Cho biểu thức $M = \frac{5}{x - 3}$ với $x \in \mathbb{Z}$.

• a) Tìm điều kiện của số nguyên $x$ để $M$ là số hữu tỉ.
• b) Tìm các số nguyên $x$ để $M$ là số hữu tỉ dương.
• c) Tìm các số nguyên $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải:

• a) $M$ là số hữu tỉ khi mẫu số khác $0$:

  $$x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3.$$

  Vậy với mọi số nguyên $x \ne 3$ thì $M$ là số hữu tỉ.

• b) Vì tử số là $5 > 0$, để $M > 0$ thì mẫu số phải cùng dấu với tử số, tức là:

  $$x - 3 > 0 \iff x > 3.$$

  Vậy các số nguyên $x > 3$ thỏa mãn yêu cầu.

• c) $M \in \mathbb{Z} \iff (x - 3)$ là ước của $5$. Ta có $\text{Ư}(5) = \{-5; -1; 1; 5\}$. Lập bảng giá trị:

  $x - 3$	$-5$	$-1$	$1$	$5$
  $x$	$-2$	$2$	$4$	$8$

  Cả $4$ giá trị đều là số nguyên khác $3$. Vậy $x \in \{-2; 2; 4; 8\}$.

C. 5 Chuyên đề Nâng cao & Bồi dưỡng Học sinh giỏi

Chuyên đề 1: Bất đẳng thức Mediant và Tính trù mật của tập hợp $\mathbb{Q}$

Mẹo hay

Định lý về phân số trung gian (Mediant): Cho $a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+$ với $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$. Khi đó ta luôn có:

$$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + c}{b + d} < \dfrac{c}{d}.$$

Chứng minh:

• Ta có $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c$.
• Xét hiệu:$$\dfrac{a + c}{b + d} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b(a + c) - a(b + d)}{b(b + d)} = \dfrac{ba + bc - ab - ad}{b(b + d)} = \dfrac{bc - ad}{b(b + d)}.$$Vì $bc > ad$ và $b(b + d) > 0$ nên hiệu trên mang dấu dương $\implies \frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}$.
• Chứng minh tương tự ta có $\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}$.

Hệ quả (Tính trù mật của tập hợp số hữu tỉ): Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số hữu tỉ khác (chẳng hạn số trung bình cộng $\frac{x + y}{2}$ hoặc phân số trung gian). Bằng cách lặp lại quá trình này vô hạn lần, ta kết luận: Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn có vô số số hữu tỉ khác!

Bài toán Olympic 1: Hãy tìm $3$ số hữu tỉ khác nhau nằm xen giữa $\frac{2}{5}$ và $\frac{3}{5}$.

Lời giải:

• Cách 1 (Nhân cả tử và mẫu với một số tự nhiên): Quy đồng hai phân số với mẫu số lớn hơn: nhân cả tử và mẫu với $4$:$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}; \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}.$$Ba số hữu tỉ nằm xen giữa là: $\frac{9}{20}; \frac{10}{20} = \frac{1}{2}; \frac{11}{20}$.
• Cách 2 (Dùng Mediant): Phân số xen giữa thứ nhất: $m_1 = \frac{2 + 3}{5 + 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Phân số xen giữa $\frac{2}{5}$ và $\frac{1}{2}$: $m_2 = \frac{2 + 1}{5 + 2} = \frac{3}{7}$. Phân số xen giữa $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{5}$: $m_3 = \frac{1 + 3}{2 + 5} = \frac{4}{7}$. Ta có chuỗi so sánh đẹp mắt: $\frac{2}{5} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2} < \frac{4}{7} < \frac{3}{5}$.

Chuyên đề 2: So sánh phân số có quy luật bậc cao

Trong các đề thi học sinh giỏi, học sinh thường gặp các bài toán so sánh hai lũy thừa hoặc hai biểu thức phân thức có bậc rất lớn.

Bài toán Olympic 2: So sánh hai số hữu tỉ sau:

Phân tích phương pháp: Cả hai số $A$ và $B$ đều có tử nhỏ hơn mẫu và rất gần $0{,}1$ (khi nhân với $10$). Ta nhân cả hai vế với $10$ để đưa về dạng so sánh phần hơn so với $1$!

Lời giải: Ta xét $10A$ và $10B$:

So sánh phần dư: Vì $10^{2026} + 1 < 10^{2027} + 1$ nên:

Suy ra $10A > 10B \implies A > B$.

Chuyên đề 3: Kỹ thuật tách phần nguyên tìm biến $n \in \mathbb{Z}$

Bài toán Olympic 3: Tìm tất cả các số nguyên $n$ để phân thức sau nhận giá trị nguyên:

Phương pháp giải: Biến đổi tử số để xuất hiện bội của mẫu số $(n - 2)$:

Vì $3 \in \mathbb{Z}$ nên để $P \in \mathbb{Z}$ thì:

Ta lập bảng tìm $n$:

Kết luận: Tập hợp các giá trị nguyên thỏa mãn là $n \in \{-9; 1; 3; 13\}$.

Chuyên đề 4: Chứng minh phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$

Ghi nhớ

Để chứng minh phân số $\frac{A(n)}{B(n)}$ tối giản với mọi $n \in \mathbb{N}$, ta gọi $d = \text{ƯCLN}(A(n); B(n))$. Sau đó triệt tiêu biến $n$ để chứng minh $d$ phải là ước của $1$, suy ra $d = 1$.

Bài toán Olympic 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, phân số sau luôn tối giản:

Lời giải: Gọi $d = \text{ƯCLN}(2n + 3; 4n + 7)$ với $d \in \mathbb{Z}^+$. Khi đó:

Xét hiệu:

Vì $d \in \mathbb{Z}^+$ nên bắt buộc $d = 1$. Vậy $\text{ƯCLN}(2n + 3; 4n + 7) = 1$, phân số $Q$ luôn tối giản với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Chuyên đề 5: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng Phân số liên tục (Continued Fraction)

Mọi số hữu tỉ dương $\frac{a}{b}$ đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng phân số liên tục hữu hạn:

Trong đó $q_0, q_1, \dots, q_n$ là các thương số nguyên thu được từ thuật toán chia Euclid giữa $a$ và $b$.

Bài toán Olympic 5: Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{43}{30}$ dưới dạng phân số liên tục.

Lời giải: Áp dụng phép chia liên tiếp:

• $\frac{43}{30} = 1 + \frac{13}{30} = 1 + \cfrac{1}{\frac{30}{13}}$.
• $\frac{30}{13} = 2 + \frac{4}{13} = 2 + \cfrac{1}{\frac{13}{4}}$.
• $\frac{13}{4} = 3 + \frac{1}{4}$.

Kết hợp lại, ta được:

Dạng viết gọn là $[1; 2, 3, 4]$. Đây là một công cụ cực kỳ hữu ích để xấp xỉ các số thực và giải phương trình nghiệm nguyên (Diophantine equation)!

D. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác (Quiz)

E. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (Có lời giải)

Bài 1. Phân loại và tập hợp

Điền các dấu $\in, \notin, \subset$ thích hợp:

• a) $-15 \dots \mathbb{Z}$;
• b) $\frac{0}{7} \dots \mathbb{Q}$;
• c) $-2{,}8 \dots \mathbb{Z}$;
• d) $\frac{11}{-3} \dots \mathbb{Q}$;
• e) $\mathbb{N} \dots \mathbb{Z}$;
• f) $\mathbb{Z} \dots \mathbb{Q}$.

Bài 2. Biểu diễn trên trục số

Vẽ trục số và biểu diễn các số hữu tỉ sau:

Bài 3. Tìm số đối

Tìm số đối của mỗi số hữu tỉ sau:

Bài 4. So sánh số hữu tỉ

So sánh các cặp số sau bằng cách hợp lý:

• a) $\frac{-14}{25}$ và $\frac{-18}{25}$;
• b) $\frac{-11}{12}$ và $\frac{-17}{18}$;
• c) $\frac{2024}{2025}$ và $\frac{2025}{2026}$;
• d) $\frac{-1}{2026}$ và $\frac{1}{2025}$.

Bài 5. Sắp xếp thứ tự

Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần (từ bé đến lớn):

Bài 6. Tìm số nguyên $x$

Tìm số nguyên $x$ biết:

• a) $\frac{x}{5} = \frac{-12}{20}$;
• b) $\frac{-3}{x} = \frac{x}{-12}$;
• c) $\frac{x - 1}{4} = \frac{9}{x - 1}$.

Bài 7. Bài toán thực tế 1: Độ cao địa lý

Tại một vùng đầm phá ven biển, trạm quan trắc ghi nhận độ cao của ba vị trí so với mực nước biển như sau:

• Đỉnh đồi cát: $+4{,}8\text{ m}$.
• Mặt đường liên thôn: $-0{,}75\text{ m}$.
• Đáy kênh thoát lũ: $-\frac{9}{5}\text{ m}$.
• a) Vị trí nào nằm thấp nhất so với mực nước biển?
• b) Tính khoảng cách chênh lệch độ cao giữa đỉnh đồi cát và đáy kênh thoát lũ.

Bài 8. Bài toán thực tế 2: Chọn lựa kinh tế

Hai cửa hàng văn phòng phẩm bán cùng một loại tập vở:

• Cửa hàng $A$: Bán lốc $8$ quyển giá $76\,000$ đồng.
• Cửa hàng $B$: Bán lốc $12$ quyển giá $111\,000$ đồng. Hỏi mua vở ở cửa hàng nào có giá mỗi quyển rẻ hơn?

Bài 9. Phân thức nguyên

Cho biểu thức $A = \frac{2n + 7}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{Z}, n \ne -1$).

• a) Tìm các số nguyên $n$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.
• b) Tìm các số nguyên $n$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 10. Bài toán tìm số hữu tỉ xen giữa

Tìm phân số có mẫu bằng $11$, biết giá trị của phân số đó lớn hơn $\frac{-3}{4}$ và nhỏ hơn $\frac{-2}{5}$.

Hướng dẫn giải chi tiết Phiếu bài tập

Bài 1:

• a) $-15 \in \mathbb{Z}$;
• b) $\frac{0}{7} = 0 \in \mathbb{Q}$;
• c) $-2{,}8 \notin \mathbb{Z}$;
• d) $\frac{11}{-3} \in \mathbb{Q}$;
• e) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$;
• f) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Bài 2:

• Quy đồng về mẫu chung là $4$:$$-\dfrac{3}{4}; \quad \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}; \quad 0; \quad 1{,}25 = \dfrac{5}{4}; \quad -\dfrac{5}{4}.$$
• Chia mỗi đoạn đơn vị thành $4$ phần bằng nhau:
  • $-\frac{5}{4}$ nằm bên trái gốc $0$, cách gốc $5$ vạch nhỏ.
  • $-\frac{3}{4}$ nằm bên trái gốc $0$, cách gốc $3$ vạch nhỏ.
  • $0$ tại gốc tọa độ.
  • $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ nằm bên phải gốc $0$, cách gốc $2$ vạch nhỏ.
  • $1{,}25 = \frac{5}{4}$ nằm bên phải gốc $0$, cách gốc $5$ vạch nhỏ.