Câu 1. Viết các tập hợp ước:

• $\text{Ư}(8) = \{1; 2; 4; 8\}$ ($4$ ước).
• $\text{Ư}(11) = \{1; 11\}$ ($2$ ước).
• $\text{Ư}(15) = \{1; 3; 5; 15\}$ ($4$ ước). Trong ba số $8;\; 11;\; 15,$ số $11$ có ít ước nhất (chỉ có đúng $2$ ước).

Câu 2. a) Số $57$ có tổng các chữ số là $5 + 7 = 12\ \vdots\ 3$ nên $57\ \vdots\ 3.$ b) Số $95$ có chữ số tận cùng là $5$ nên $95\ \vdots\ 5.$

Câu 3. Đặt phép chia: $119 : 7 = 17$ (không dư). Vậy $119\ \vdots\ 7$ và viết được thành tích: $119 = 7 \cdot 17.$

Câu 4. Dùng luỹ thừa: a) $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4.$ b) $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2.$

Câu 5. Các số chỉ có đúng hai ước tương tự như số $11$ là: $2;\; 3;\; 5;\; 7;\; 13;\; 17;\; 19;\; \dots$ Những số đặc biệt này được gọi là số nguyên tố.

• Xét số $65$: Số $65$ có chữ số tận cùng là $5$ nên $65\ \vdots\ 5.$ Ngoài $1$ và $65,$ số $65$ còn có ước là $5$ (và $13$). Vậy $65$ là hợp số.
• Xét số $47$:
  • $47$ là số lẻ nên $47 \not\vdots\ 2.$
  • Tổng các chữ số $4 + 7 = 11 \not\vdots\ 3$ nên $47 \not\vdots\ 3.$
  • Tận cùng khác $0$ và $5$ nên $47 \not\vdots\ 5.$
  • Chia thử cho $7$: $47 : 7 = 6$ (dư $5$). Nhận thấy thương $6$ đã nhỏ hơn số chia $7,$ ta được phép dừng lại. Vậy $47$ chỉ có đúng hai ước là $1$ và $47,$ nên $47$ là số nguyên tố.
• Xét số $119$:
  • $119$ là số lẻ, không chia hết cho $2.$
  • Tổng chữ số $1 + 1 + 9 = 11 \not\vdots\ 3.$
  • Không tận cùng $0$ hoặc $5.$
  • Chia thử tiếp cho $7$: $119 : 7 = 17$ (chia hết). Vậy $119$ có ước là $7$ và $17,$ do đó $119$ là hợp số.

Chia liên tiếp cho các số nguyên tố nhỏ nhất:

• $126 : 2 = 63$
• $63 : 3 = 21$
• $21 : 3 = 7$
• $7 : 7 = 1$

Trình bày theo sơ đồ cột:

Vậy $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7.$ (Thử lại bằng phép nhân: $2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$).

• Không là số nguyên tố, không là hợp số: $0$ và $1.$
• Số nguyên tố:
  • $2$ (số nguyên tố chẵn duy nhất).
  • $23$ (chỉ có hai ước là $1$ và $23$).
• Hợp số:
  • $15$ (vì $15 = 3 \cdot 5,$ có các ước $1; 3; 5; 15$).
  • $87$ (tổng các chữ số $8 + 7 = 15\ \vdots\ 3 \implies 87 = 3 \cdot 29$).

• Các số nguyên tố:
  • $19$ (chỉ có hai ước $1$ và $19$).
  • $37$ (chỉ có hai ước $1$ và $37$).
  • $73$ (chia thử: $73 : 7 = 10$ dư $3;$ $73 : 11 = 6$ dư $7,$ thương $6 < 11$ nên dừng $\implies$ số nguyên tố).
• Các hợp số:
  • $42\ \vdots\ 2$ (số chẵn lớn hơn 2).
  • $27 = 3^3\ \vdots\ 3.$
  • $85\ \vdots\ 5$ (tận cùng bằng 5).
  • $51$ có tổng chữ số $5 + 1 = 6\ \vdots\ 3$ nên $51 = 3 \cdot 17$ (hợp số).

• Các số nguyên tố:
  • $23$
  • $41$
  • $67$ (chia thử cho 7: $67 : 7 = 9$ dư $4;$ cho 11: $67 : 11 = 6$ dư $1,$ thương $6 < 11$ nên dừng).
• Các hợp số:
  • $26\ \vdots\ 2.$
  • $35\ \vdots\ 5.$
  • $87$ có $8 + 7 = 15\ \vdots\ 3$ nên $87 = 3 \cdot 29.$
  • $91 = 7 \cdot 13$ (chia hết cho 7).

• $57$ có $5 + 7 = 12\ \vdots\ 3 \implies 57 = 3 \cdot 19$ là hợp số.
• $89$: Số lẻ, tổng chữ số $17 \not\vdots\ 3,$ không tận cùng $0, 5;$ chia thử cho $7$: $89 : 7 = 12$ dư $5;$ chia cho $11$: $89 : 11 = 8$ dư $1$ (thương $8 < 11$ nên dừng). Vậy $89$ là số nguyên tố.
• $111$ có $1 + 1 + 1 = 3\ \vdots\ 3 \implies 111 = 3 \cdot 37$ là hợp số.
• $119$: Chia thử $119 : 7 = 17 \implies 119 = 7 \cdot 17$ là hợp số.

a) Vì $48\ \vdots\ 2$ và $54\ \vdots\ 2$ nên $A\ \vdots\ 2.$ Mặt khác $A = 102 > 2$ nên $A$ là hợp số.

b) Tổng các chữ số: $$234 \to 9\ \vdots\ 9;\; 567 \to 18\ \vdots\ 9;\; 891 \to 18\ \vdots\ 9.$$ Cả ba số đều chia hết cho $9$ nên $B\ \vdots\ 9.$ Vì $B > 9$ nên $B$ là hợp số.

c) Tích thứ nhất chứa thừa số $11,$ tích thứ hai chứa thừa số $11.$ Do đó cả hai số hạng đều chia hết cho $11 \implies C\ \vdots\ 11.$ Vì $C > 11$ nên $C$ là hợp số.

d) Tích $9 \cdot 11 \cdot 13$ là tích các số lẻ nên là số lẻ. Tích $15 \cdot 17 \cdot 19$ cũng là số lẻ. Tổng của hai số lẻ là một số chẵn $\implies D\ \vdots\ 2.$ Vì $D > 2$ nên $D$ là hợp số.

a) Cả hai tích đều chứa thừa số $5$ nên $E\ \vdots\ 5.$ Ta có $E = 315 - 110 = 205 > 5.$ Vì $E > 5$ và $E\ \vdots\ 5$ nên $E$ là hợp số.

b) Tích đầu có thừa số $3\ \vdots\ 3.$ Tích sau có thừa số $15 = 3 \cdot 5\ \vdots\ 3.$ Do đó cả hai số hạng đều chia hết cho $3 \implies F\ \vdots\ 3.$ Vì $F > 3$ nên $F$ là hợp số.

• $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3.$
• $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7.$
• $96 = 2^5 \cdot 3$ (vì $96 : 2 = 48; 48 : 2 = 24; 24 : 2 = 12; 12 : 2 = 6; 6 : 2 = 3$).
• $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7.$
• $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ (vì $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2$).

a) Ta có $6 = 2 \cdot 3 \implies 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2.$ Do đó:

b) Ta có $10 = 2 \cdot 5 \implies 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3.$ Do đó:

Dùng kết quả phân tích ở Dạng 3: a) $54 = 2^1 \cdot 3^3 \implies$ Số ước là: $(1 + 1)(3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8$ ước. b) $70 = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \implies$ Số ước là: $(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ước. c) $96 = 2^5 \cdot 3^1 \implies$ Số ước là: $(5 + 1)(1 + 1) = 6 \cdot 2 = 12$ ước. d) $300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \implies$ Số ước là: $(2 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ ước.

• Với số $1000$: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3.$ Số lượng ước là: $(3 + 1)(3 + 1) = 4 \cdot 4 = 16$ ước.
• Với số $2025$: $2025 = 5^2 \cdot 81 = 3^4 \cdot 5^2.$ Số lượng ước là: $(4 + 1)(2 + 1) = 5 \cdot 3 = 15$ ước.
• Với số $28$:
  • Phân tích: $28 = 2^2 \cdot 7^1.$
  • Số lượng ước theo công thức: $(2 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6$ ước.
  • Liệt kê kiểm chứng: $\text{Ư}(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}$ — đúng chính xác $6$ ước.

Số học sinh trong mỗi nhóm phải là ước của $40.$ Phân tích: $40 = 2^3 \cdot 5.$ Số lượng ước của $40$ là: $(3 + 1)(1 + 1) = 8$ ước. Liệt kê đủ $8$ ước: $\text{Ư}(40) = \{1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40\}.$ Các ước nằm trong khoảng từ $4$ đến $10$ là: $4;\; 5;\; 8;\; 10.$ Vậy thầy giáo có $4$ cách chia nhóm:

1. Nhóm $4$ học sinh ($10$ nhóm).
2. Nhóm $5$ học sinh ($8$ nhóm).
3. Nhóm $8$ học sinh ($5$ nhóm).
4. Nhóm $10$ học sinh ($4$ nhóm).

Số sách ở mỗi giá phải là ước của $120.$ Phân tích: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.$ Số ước của $120$ là: $(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16$ ước. Các ước của $120$ nằm trong khoảng từ $10$ đến $25$ là: $10;\; 12;\; 15;\; 20;\; 24.$ Vậy cô phụ trách có $5$ cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu.

• Không thuộc cả hai nhóm: $0$ và $1.$
• Số nguyên tố: $13;\; 17;\; 29;\; 83.$
• Hợp số:
  • $51$ (vì $51 = 3 \cdot 17$).
  • $77$ (vì $77 = 7 \cdot 11$).

Xét các số từ $31$ đến $49$:

• Loại các số chẵn và số tận cùng là $5.$
• Còn lại: $31;\; 33;\; 37;\; 39;\; 41;\; 43;\; 47;\; 49.$
• Loại tiếp các hợp số: $33\ \vdots\ 3;\; 39\ \vdots\ 3;\; 49 = 7^2.$ Các số nguyên tố cần tìm là: $31;\; 37;\; 41;\; 43;\; 47.$

a) Cả $27$ và $63$ đều chia hết cho $9$ nên $A\ \vdots\ 9.$ Vì $A > 9$ nên $A$ là hợp số. b) Cả ba số đều chia hết cho $5$ nên $B\ \vdots\ 5.$ Vì $B > 5$ nên $B$ là hợp số. c) Tích đầu chẵn ($2 \cdot 5 \cdot 7\ \vdots\ 2$), tích sau lẻ ($9 \cdot 11 \cdot 13$). Tổng của số chẵn và số lẻ là số lẻ, ta tính trực tiếp:

Xét $1357$: không chia hết cho $2, 3, 5.$ Chia thử cho $7$: $1357 : 7 = 193$ dư $6.$ Chia thử cho $11$: $1357 : 11 = 123$ dư $4.$ Chia thử cho $23$: $1357 : 23 = 59.$ Vì $1357 = 23 \cdot 59$ nên $C$ là hợp số. d) $13 \cdot 17 \cdot 19$ là số lẻ, cộng với số lẻ $23$ sẽ được số chẵn $\implies D\ \vdots\ 2.$ Vì $D > 2$ nên $D$ là hợp số.

• $75 = 3 \cdot 5^2.$
• $112 = 2^4 \cdot 7.$
• $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2.$
• $252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7.$

• Số $75 = 3^1 \cdot 5^2 \implies (1 + 1)(2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6$ ước.
• Số $112 = 2^4 \cdot 7^1 \implies (4 + 1)(1 + 1) = 5 \cdot 2 = 10$ ước.
• Số $$150 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \implies (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$ ước.
• Số $$252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1 \implies (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$ ước.

• Phân tích $72 = 2^3 \cdot 3^2 \implies$ Các ước nguyên tố của $72$ là $2$ và $3.$
• Phân tích $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \implies$ Các ước nguyên tố của $90$ là $2;\; 3$ và $5.$

a) Xét các số từ $50$ đến $59$: Loại các số chẵn và số tận cùng là $5.$ Còn lại: $51 = 3 \cdot 17$ (hợp số); $53$ (nguyên tố); $57 = 3 \cdot 19$ (hợp số); $59$ (nguyên tố). Vậy $* \in \{3; 9\}.$

b) Xét các số có dạng $\overline{*7}$ với $* \in \{1; 2; \dots; 9\}$:

• $17$ (nguyên tố); $27 = 3^3$ (hợp số); $37$ (nguyên tố); $47$ (nguyên tố); $57 = 3 \cdot 19$ (hợp số); $67$ (nguyên tố); $77 = 7 \cdot 11$ (hợp số); $87 = 3 \cdot 29$ (hợp số); $97$ (nguyên tố). Vậy $* \in \{1; 3; 4; 6; 9\}.$

a) Trong các số từ $20$ đến $29,$ các hợp số là: $20;\; 21;\; 22;\; 24;\; 25;\; 26;\; 27;\; 28$ (chỉ loại $23$ và $29$ là số nguyên tố). Vậy $* \in \{0; 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8\}.$

b) Xét các số $\overline{*9}$:

• $19$ (nguyên tố); $29$ (nguyên tố); $39 = 3 \cdot 13$ (hợp số); $49 = 7^2$ (hợp số); $59$ (nguyên tố); $69\ \vdots\ 3$ (hợp số); $79$ (nguyên tố); $89$ (nguyên tố); $99\ \vdots\ 9$ (hợp số). Vậy $* \in \{3; 4; 6; 9\}.$

Cả hai bạn đều nói sai: a) Bạn Hùng sai vì có rất nhiều số tận cùng là $7$ nhưng là hợp số, chẳng hạn $27 = 3 \cdot 9;\; 57 = 3 \cdot 19;\; 77 = 7 \cdot 11.$ b) Bạn Lan sai vì trong tích $6 \cdot 8,$ cả $6$ và $8$ đều là hợp số chứ không phải số nguyên tố. Phải phân tích tiếp:

Số học sinh mỗi tổ phải là ước của $72.$ Phân tích: $72 = 2^3 \cdot 3^2.$ Các ước của $72$ nằm trong khoảng từ $6$ đến $12$ là: $6;\; 8;\; 9;\; 12.$ Vậy có $4$ cách chia tổ: tổ $6$ bạn, tổ $8$ bạn, tổ $9$ bạn, hoặc tổ $12$ bạn.

Câu 1. Trong các số $0;\; 1;\; 2;\; 21;\; 31;\; 91$:

• Không thuộc hai nhóm: $0$ và $1.$
• Số nguyên tố: $2$ và $31.$
• Hợp số: $21 = 3 \cdot 7$ và $91 = 7 \cdot 13.$

Câu 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố: a) $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.$ b) $200 = 2^3 \cdot 5^2.$

Câu 3. Tìm số ước của $90$ và $200$:

• Số $90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ có $(1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ ước.
• Số $200 = 2^3 \cdot 5^2$ có $(3 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$ ước.

Câu 4. Đoàn thể thao có $60$ vận động viên. Huấn luyện viên muốn chia đều thành các nhóm, mỗi nhóm từ $5$ đến $12$ bạn. Hỏi có bao nhiêu cách chia? Giải: Phân tích $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.$ Các ước của $60$ từ $5$ đến $12$ là: $5;\; 6;\; 10;\; 12.$ Vậy có $4$ cách chia.

Để số lượng các số hạng trong tổng là nhiều nhất, mỗi số hạng phải là hợp số nhỏ nhất có thể.

• Hợp số chẵn nhỏ nhất là $4$ (tiếp theo là $6$).
• Hợp số lẻ nhỏ nhất là $9.$

1. Với số $80$: Vì $80$ là số chẵn chia hết cho $4$:

   $$80 = 4 \cdot 20 = \underbrace{4 + 4 + \dots + 4}_{20 \text{ số hạng}}.$$

   Vậy số $80$ có thể viết thành tổng của nhiều nhất là $20$ hợp số.

2. Với số $81$: Vì $81$ là số lẻ, nên trong tổng bắt buộc phải chứa ít nhất một hợp số lẻ (nhỏ nhất là $9$). Sau khi bớt $9,$ phần còn lại là $81 - 9 = 72$ (là số chẵn chia hết cho $4$):

   $$72 = 4 \cdot 18 = \underbrace{4 + 4 + \dots + 4}_{18 \text{ số hạng}}.$$

   Do đó:

   $$81 = 9 + \underbrace{4 + 4 + \dots + 4}_{18 \text{ số hạng}} \implies 1 + 18 = 19\text{ số hạng}.$$

   Vậy số $81$ có thể viết thành tổng của nhiều nhất là $19$ hợp số.

Ta xét tính chia hết cho $3$ của số $A$ bằng cách tính tổng các chữ số của $A.$ Số $A$ được tạo thành bằng cách viết liên tiếp các số từ $1$ đến $50.$ Tổng các chữ số của $A$ bằng tổng các chữ số của tất cả các số từ $1$ đến $50.$

• Các số từ $1$ đến $49$:
  • Chữ số hàng đơn vị gồm $5$ chu kì từ $0$ đến $9$ (riêng nhóm $0$ đến $9$ có $1$ chu kì): Mỗi chữ số từ $1$ đến $9$ xuất hiện $5$ lần ở hàng đơn vị. Tổng bằng: $5 \cdot (1 + 2 + \dots + 9) = 5 \cdot 45 = 225.$
  • Chữ số hàng chục: Các chữ số $1, 2, 3, 4$ mỗi chữ số xuất hiện đúng $10$ lần. Tổng bằng: $10 \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 10 \cdot 10 = 100.$
• Số $50$ có tổng chữ số là: $5 + 0 = 5.$ Tổng các chữ số của số $A$ là:$$S = 225 + 100 + 5 = 330.$$Vì $330\ \vdots\ 3$ nên số $A\ \vdots\ 3.$ Mặt khác số $A$ chắc chắn lớn hơn $3.$ Vì $A > 3$ và $A\ \vdots\ 3$ nên $A$ là hợp số.

Phân tích số $4080$ ra thừa số nguyên tố:

Ta nhận thấy trong phân tích có thừa số nguyên tố lớn là $17.$ Do đó một trong ba số tự nhiên liên tiếp phải bằng $17$ hoặc là bội của $17.$ Vì ba số liên tiếp có tích là $4080$ nên các số phải ở quanh số $17$:

• Xét ba số liên tiếp có chứa số $17$: có thể là $(15, 16, 17)$ hoặc $(16, 17, 18)$ hoặc $(17, 18, 19).$
• Ghép các thừa số còn lại của $4080$:$$2^4 = 16$$$$3 \cdot 5 = 15.$$Ba thừa số nhận được chính là $15;\; 16;\; 17.$ Kiểm tra lại: $15 \cdot 16 \cdot 17 = 240 \cdot 17 = 4080$ (chính xác). Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là: $15;\; 16;\; 17$.

Gọi hai số cần tìm là $a$ và $b.$ Ta có:

Một số tự nhiên chia hết cho $10$ khi và chỉ khi nó đồng thời chứa cả thừa số nguyên tố $2$ và thừa số nguyên tố $5.$ Theo đề bài, cả $a$ và $b$ đều không chia hết cho $10,$ điều đó có nghĩa là:

• Toàn bộ các thừa số $2$ phải thuộc về một số.
• Toàn bộ các thừa số $5$ phải thuộc về số còn lại. Do đó:$$a = 2^5 = 32$$$$b = 5^5 = 3125.$$Thử lại:
• $32 \not\vdots\ 10$ và $3125 \not\vdots\ 10.$
• Tích $32 \cdot 3125 = 100000$ (chính xác).

Vậy hai số cần tìm là: $32$ và $3125$.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $n.$ Phân tích $n$ ra thừa số nguyên tố: $n = a^x \cdot b^y \cdot c^z \dots$ (với $a < b < c \dots$ là các số nguyên tố). Số lượng các ước của $n$ là: