Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 11: Bài tập cuối chương 6 - Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Tổng ôn toàn diện Chương 6 Đại số 11 Kết nối tri thức: Hệ thống hóa toàn bộ công thức lũy thừa, lôgarit, hàm số mũ, hàm số lôgarit, các dạng phương trình và bất phương trình kèm 12 câu trắc nghiệm tự chấm.

#Toán học#Toán 11#Ôn tập chương 6#Lũy thừa#Lôgarit#Hàm số mũ#Hàm số logarit#Phương trình mũ logarit#Trắc nghiệm chương 6#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết8 mục

Bài tập cuối chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chúc mừng các em đã hoàn thành toàn diện chuyên đề Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit — một trong những trọng tâm quan trọng nhất của chương trình Toán 11 Học kì 2 và đề thi Tốt nghiệp THPT!

Từ những phép toán biến đổi lũy thừa, căn bậc nn, các quy tắc lôgarit của Napier, cho đến khảo sát dáng điệu đồ thị đối xứng qua đường thẳng y=xy = x và kỹ năng giải phương trình, bất phương trình, các em đã làm chủ một công cụ giải tích mạnh mẽ để giải mã các quy luật tăng trưởng và suy giảm bùng nổ trong tự nhiên.

Bài học tổng kết này sẽ xâu chuỗi toàn bộ kiến thức, cung cấp bảng so sánh đối xứng song song và bộ câu hỏi trắc nghiệm tự chấm có lời giải chi tiết giúp các em sẵn sàng đạt điểm số cao nhất trong các bài kiểm tra!

BẢN ĐỒ TƯ DUY TOÀN BỘ CHƯƠNG VI: MŨ & LÔGARIT

1. Lũy thừa số mũ thực

• Số mũ không nguyên: Cơ số a>0a > 0.
• amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.
• Quy tắc: aα⋅aβ=aα+βa^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}, (aα)β=aαβ(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \beta}.
• So sánh: a>1a > 1 cùng chiều, 0<a<10 < a < 1 đảo chiều.

2. Phép toán Lôgarit

• α=log⁡ab  ⟺  aα=b\alpha = \log_a b \iff a^\alpha = b (a>0,a≠1,b>0a > 0, a \ne 1, b > 0).
• Tích →\to Tổng: log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y.
• Thương →\to Hiệu: log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y.
• Đổi cơ số: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca=1log⁡ba\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\log_b a}.

3. Đồ thị Hàm số Mũ & Lôgarit

• y=axy = a^x: D=R,T=(0;+∞)D = \mathbb{R}, T = (0; +\infty), qua (0;1)(0; 1), tiệm cận ngang y=0y = 0.
• y=log⁡axy = \log_a x: D=(0;+∞),T=RD = (0; +\infty), T = \mathbb{R}, qua (1;0)(1; 0), tiệm cận đứng x=0x = 0.
• Hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y=xy = x.

4. Phương trình & Bất phương trình

• ax=b  ⟺  x=log⁡aba^x = b \iff x = \log_a b (b>0b > 0).
• log⁡ax=b  ⟺  x=ab\log_a x = b \iff x = a^b.
• Phương pháp: Cùng cơ số, Đặt ẩn phụ (t=ax>0t = a^x > 0), Lôgarit hóa.
• Chú ý đảo chiều BPT khi cơ số 0<a<10 < a < 1!

I. Bảng So sánh Đối xứng Toàn diện: Mũ và Lôgarit

Tiêu chí so sánh Hàm số Mũ y=axy = a^x Hàm số Lôgarit y=log⁡axy = \log_a x
Điều kiện cơ số a>0,a≠1a > 0, a \ne 1 a>0,a≠1a > 0, a \ne 1
Tập xác định (DD) D=RD = \mathbb{R} D=(0;+∞)D = (0; +\infty) (x>0x > 0)
Tập giá trị (TT) T=(0;+∞)T = (0; +\infty) (y>0y > 0) T=RT = \mathbb{R}
Tính đơn điệu (a>1a > 1) Đồng biến trên R\mathbb{R} Đồng biến trên (0;+∞)(0; +\infty)
Tính đơn điệu (0<a<10 < a < 1) Nghịch biến trên R\mathbb{R} Nghịch biến trên (0;+∞)(0; +\infty)
Điểm luôn đi qua (0;1)(0; 1) và (1;a)(1; a) (1;0)(1; 0) và (a;1)(a; 1)
Đường tiệm cận Tiệm cận ngang: Trục hoành y=0y = 0 Tiệm cận đứng: Trục tung x=0x = 0
Vị trí hình học Hoàn toàn nằm phía trên trục hoành Hoàn toàn nằm bên phải trục tung
Tính đối xứng Đối xứng với y=log⁡axy = \log_a x qua đường phân giác y=xy = x Đối xứng với y=axy = a^x qua đường phân giác y=xy = x

II. Bộ đề Ôn tập Trắc nghiệm Toàn diện (12 câu)

III. Các Bài toán Tự luận Trọng tâm

Bài 1: Rút gọn và biến đổi lôgarit

a) Tính giá trị biểu thức: A=4log⁡23+9log⁡35−27log⁡32A = 4^{\log_2 3} + 9^{\log_3 5} - 27^{\log_3 2}.
b) Cho log⁡35=a\log_3 5 = a. Hãy tính log⁡1575\log_{15} 75 theo aa.

Mẹo hay

Lời giải: a) Ta có:

  • 4log⁡23=(22)log⁡23=22log⁡23=2log⁡2(32)=9.4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 9.
  • 9log⁡35=(32)log⁡35=3log⁡3(52)=259^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{\log_3 (5^2)} = 25.
  • 27log⁡32=(33)log⁡32=3log⁡3(23)=827^{\log_3 2} = (3^3)^{\log_3 2} = 3^{\log_3 (2^3)} = 8.
    Vậy A=9+25−8=26A = 9 + 25 - 8 = 26.
    b) Đổi cơ số về cơ số 3:log⁡1575=log⁡375log⁡315=log⁡3(3⋅52)log⁡3(3⋅5)=log⁡33+2log⁡35log⁡33+log⁡35=1+2a1+a\log_{15} 75 = \frac{\log_3 75}{\log_3 15} = \frac{\log_3 (3 \cdot 5^2)}{\log_3 (3 \cdot 5)} = \frac{\log_3 3 + 2\log_3 5}{\log_3 3 + \log_3 5} = \frac{1 + 2a}{1 + a}

Bài 2: Giải các phương trình và bất phương trình

a) 4x−3⋅2x+1+8=04^x - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0
b) log⁡2(x+1)+log⁡2(x−1)=3\log_2 (x + 1) + \log_2 (x - 1) = 3
c) (13)x2−2x⩾127\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} \ge \frac{1}{27}

Mẹo hay

Lời giải: a) 4x−6⋅2x+8=04^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0. Đặt t=2x>0⇒t2−6t+8=0  ⟺  t=2t = 2^x > 0 \Rightarrow t^2 - 6t + 8 = 0 \iff t = 2 hoặc t=4t = 4.

  • 2x=2  ⟺  x=12^x = 2 \iff x = 1.
  • 2x=4  ⟺  x=22^x = 4 \iff x = 2. Tập nghiệm S={1;2}S = \{1; 2\}.
    b) Điều kiện x>1x > 1. Phương trình trở thành log⁡2(x2−1)=3  ⟺  x2−1=23=8  ⟺  x2=9  ⟺  x=3\log_2 (x^2 - 1) = 3 \iff x^2 - 1 = 2^3 = 8 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 (nhận) hoặc x=−3x = -3 (loại). Nghiệm duy nhất x=3x = 3.
    c) 127=(13)3\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3. Vì cơ số 13<1\frac{1}{3} < 1, BPT đổi chiều:
    x2−2x⩽3  ⟺  x2−2x−3⩽0  ⟺  −1⩽x⩽3x^2 - 2x \le 3 \iff x^2 - 2x - 3 \le 0 \iff -1 \le x \le 3
    Tập nghiệm S=[−1;3]S = [-1; 3].

Bài toán Thực tế: Lãi kép Liên tục & Quy tắc 72 trong Đầu tư Tài chính

Khi gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức tính lãi kép liên tục (tiền lãi sinh ra được cộng gộp vào vốn tức thời ở mọi vi phân thời gian dtdt), số tiền cả gốc lẫn lãi sau tt (năm) được tính theo công thức lũy thừa cơ số tự nhiên ee:

A(t)=P⋅er⋅tA(t) = P \cdot e^{r \cdot t}

trong đó:

  • PP là số tiền gốc ban đầu gửi vào.
  • rr là lãi suất danh nghĩa hàng năm (dạng số thập phân).
  • tt là thời gian gửi (năm).
  • A(t)A(t) là tổng số tiền thu về sau tt năm.
Nhiệm vụ:
1. Một người gửi 100100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất r=7%r = 7\%/năm (r=0.07r = 0.07) tính lãi kép liên tục. Hỏi sau bao nhiêu năm thì số tiền trong tài khoản tăng gấp đôi (đạt 200200 triệu đồng)?
2. Chứng minh công thức tổng quát thời gian nhân đôi số tiền là: tgaˆˊp đoˆi=ln⁡2rt_{\text{gấp đôi}} = \frac{\ln 2}{r}.
3. Bí quyết của các nhà đầu tư: Vì ln⁡2≈0.693≈0.72\ln 2 \approx 0.693 \approx 0.72, trong giới tài chính người ta dùng **Quy tắc 72**: Lấy 7272 chia cho phần trăm lãi suất sẽ ra ngay số năm cần thiết để nhân đôi tài sản! Hãy dùng quy tắc 72 nhẩm nhanh với lãi suất 6%6\%/năm, 8%8\%/năm, 12%12\%/năm.
Mẹo hay

Giải đáp tài chính:

  1. Phương trình nhân đôi:100⋅e0.07⋅t=200  ⟺  e0.07t=2  ⟺  0.07t=ln⁡2  ⟺  t=ln⁡20.07≈0.693150.07≈9.9 na˘m (khoảng 10 na˘m)100 \cdot e^{0.07 \cdot t} = 200 \iff e^{0.07 t} = 2 \iff 0.07 t = \ln 2 \iff t = \frac{\ln 2}{0.07} \approx \frac{0.69315}{0.07} \approx 9.9 \text{ năm (khoảng 10 năm)}
  2. Công thức tổng quát:P⋅ert=2P  ⟺  ert=2  ⟺  rt=ln⁡2  ⟺  t=ln⁡2rP \cdot e^{rt} = 2P \iff e^{rt} = 2 \iff rt = \ln 2 \iff t = \frac{\ln 2}{r}
  3. Nhẩm nhanh với Quy tắc 72:
    • Lãi suất 6%6\%/năm: Cần 726=12\frac{72}{6} = 12 năm để nhân đôi tài sản.
    • Lãi suất 8%8\%/năm: Cần 728=9\frac{72}{8} = 9 năm để nhân đôi tài sản.
    • Lãi suất 12%12\%/năm: Chỉ cần 7212=6\frac{72}{12} = 6 năm để nhân đôi tài sản!
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Toán 11 Bài 19: Lôgarit - Định nghĩa, tính chất, công thức đổi cơ số và ứng dụng thực tế

Lý thuyết trọng tâm Bài 19 Toán 11 Kết nối tri thức: Định nghĩa phép toán lôgarit, các quy tắc tính lôgarit của tích, thương, lũy thừa, công thức đổi cơ số, lôgarit tự nhiên (ln), ứng dụng thang đo Richter, độ pH và decibel kèm mô phỏng tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học
Toán họcBài học

Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Khảo sát, đồ thị và tính đối xứng

Lý thuyết trọng tâm Bài 20 Toán 11 Kết nối tri thức: Định nghĩa hàm số mũ y = a^x và hàm số lôgarit y = log_a x, tập xác định, tập giá trị, chiều biến thiên theo cơ số a, tiệm cận, tính đối xứng qua đường thẳng y = x kèm mô phỏng tương tác và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học