Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Trong thế giới toán học, có những cặp khái niệm song sinh luôn gắn bó khăng khít với nhau: cộng và trừ, nhân và chia, vi phân và tích phân. Và trong giải tích, cặp đôi kỳ diệu bậc nhất chính là Hàm số mũ và Hàm số lôgarit!

Nếu như hàm số mũ $y = a^x$ mô tả sự bùng nổ vượt bậc của các đại lượng theo thời gian (như dân số, lãi kép, vi khuẩn), thì hàm số lôgarit $y = \log_a x$ lại đóng vai trò là "chiếc gương soi đảo ngược": cho biết cần bao nhiêu thời gian để đạt được một quy mô mong muốn.

Về mặt hình học, hai đồ thị $y = a^x$ và $y = \log_a x$ là hai hình ảnh phản chiếu hoàn hảo qua đường phân giác $y = x$. Nắm vững tính chất, dáng điệu đồ thị và đường tiệm cận của hai hàm số này sẽ giúp các em tự tin giải quyết mọi bài toán khảo sát và phương trình ở các bài học tiếp theo.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Tìm tập xác định: Hàm số $y = 2^x$ có tính được giá trị tại $x = 0$ và $x = -5$ không?
2. Điều kiện lôgarit: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_3 x$.
3. Cắt trục tọa độ: Đồ thị hàm số $y = 3^x$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ nào? Có cắt trục hoành không?
4. Cắt trục hoành: Đồ thị hàm số $y = \log_2 x$ cắt trục hoành tại điểm nào?
5. Đồng biến hay nghịch biến: Hàm số $y = (0.5)^x$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. Có, $2^0 = 1$ và $2^{-5} = \frac{1}{32}$. Tập xác định của hàm số mũ là toàn bộ $\mathbb{R}$.
2. Điều kiện là $x > 0$, do đó tập xác định là $D = (0; +\infty)$.
3. Cắt trục tung tại điểm $(0; 1)$ (vì $3^0 = 1$). Không bao giờ cắt trục hoành vì $3^x > 0, \forall x$.
4. Cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ (vì $\log_2 1 = 0$).
5. Nghịch biến, vì cơ số $a = 0.5 \in (0; 1)$.

I. Hàm số Mũ

1. Định nghĩa

Cho số thực dương $a$ khác $1$ ($a > 0, a \ne 1$). Hàm số có dạng:

được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

2. Tính chất của Hàm số Mũ $y = a^x$

II. Hàm số Lôgarit

1. Định nghĩa

Cho số thực dương $a$ khác $1$ ($a > 0, a \ne 1$). Hàm số có dạng:

được gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$.

2. Tính chất của Hàm số Lôgarit $y = \log_a x$

III. Tính Đối xứng qua Đường thẳng $y = x$

Hai hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ là hai hàm số ngược nhau:

Quan trọng

Định lý hình học về tính đối xứng: Đồ thị của hàm số mũ $y = a^x$ và đồ thị của hàm số lôgarit $y = \log_a x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng phân giác $y = x$.

Điều này có nghĩa là nếu ta gấp mặt phẳng toạ độ theo nếp gấp là đường thẳng $y = x$, đồ thị hàm số mũ $y = a^x$ sẽ trùng khít hoàn toàn lên đồ thị hàm số lôgarit $y = \log_a x$!

• Điểm $(0; 1)$ trên đồ thị hàm mũ đối xứng với điểm $(1; 0)$ trên đồ thị hàm lôgarit.
• Tiệm cận ngang $y = 0$ của hàm mũ đối xứng với tiệm cận đứng $x = 0$ của hàm lôgarit.

IV. Phòng thí nghiệm Tương tác: Khảo sát Đồ thị Mũ & Lôgarit

Hãy kéo thanh trượt cơ số $a$ (từ $0.2$ đến $4.0$) để quan sát sự biến chuyển của hai đường cong: màu đỏ là hàm mũ $y = a^x$, màu xanh dương là hàm lôgarit $y = \log_a x$. Hãy chú ý cách hai đường cong cùng lật ngược chiều biến thiên khi $a$ vượt qua mốc $1$!

V. Các Dạng Toán Thực chiến

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ và lôgarit

Quy tắc:

• Biểu thức dạng $y = a^{u(x)}$: Xác định khi $u(x)$ xác định.
• Biểu thức dạng $y = \log_a [u(x)]$: Xác định khi $u(x) > 0$.
• Biểu thức dạng $y = \log_{v(x)} [u(x)]$: Xác định khi $\begin{cases} u(x) > 0 \\ v(x) > 0 \\ v(x) \ne 1 \end{cases}$.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_2 (4 - x^2)$.
Giải:
Điều kiện xác định: $4 - x^2 > 0 \iff x^2 < 4 \iff -2 < x < 2$.
Vậy tập xác định là $D = (-2; 2)$.

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\log_{0.5} (2x - 1)}$.
Giải:
Điều kiện xác định:

Vậy tập xác định là $D = \left(\frac{1}{2}; 1\right]$.

Dạng 2: Nhận dạng đồ thị hàm số mũ và lôgarit

Bí kíp nhận diện đồ thị trong các đề thi:

1. Kiểm tra chiều biến thiên: Đồ thị đi lên $\Rightarrow a > 1$; đồ thị đi xuống $\Rightarrow 0 < a < 1$.
2. Kiểm tra giao điểm với trục toạ độ:
   • Cắt trục tung tại $(0; 1)$, nằm phía trên trục hoành $\Rightarrow$ hàm số mũ $y = a^x$.
   • Cắt trục hoành tại $(1; 0)$, nằm bên phải trục tung $\Rightarrow$ hàm số lôgarit $y = \log_a x$.
3. So sánh nhiều cơ số cùng lúc:
   • Kẻ đường thẳng thẳng đứng $x = 1$: Đường nào cắt cao hơn thì cơ số $a$ của hàm mũ đó lớn hơn.
   • Kẻ đường thẳng nằm ngang $y = 1$: Đường nào cắt xa hơn về bên phải thì cơ số $a$ của hàm lôgarit đó lớn hơn.

VI. Trắc nghiệm Tự luyện Củng cố (10 câu)

VII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luận

1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y = \log_5 \frac{x + 2}{3 - x}$
   b) $y = \sqrt{\log_2 (x - 1) - 1}$
   c) $y = 3^{\frac{1}{x - 2}} + \ln(x + 1)$

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ phác đồ thị các cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục toạ độ: a) $y = 2^x$ và $y = \log_2 x$
   b) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ và $y = \log_{0.5} x$

Thử thách Thực tế: Quá trình Sạc Tụ điện RC trong Mạch Điện tử

Trong kỹ thuật điện tử, khi đóng khóa điện nạp điện cho một tụ điện có điện dung $C$ qua một điện trở $R$, điện áp $u(t)$ hai đầu tụ điện tăng dần theo thời gian $t$ (giây) theo quy luật hàm số mũ:

trong đó $U_0$ là điện áp nguồn một chiều và $\tau = R \cdot C$ được gọi là hằng số thời gian của mạch.

Mẹo hay

Giải đáp ứng dụng:

1. Tại $t = 0$: $u(0) = U_0 (1 - e^0) = U_0(1 - 1) = 0\,\text{V}$ (tụ bắt đầu từ trạng thái cạn kiệt điện tích).
2. Khi $t \to +\infty$: Vì $e^{-\infty} = 0 \Rightarrow \lim_{t \to +\infty} u(t) = U_0(1 - 0) = U_0$. Đường thẳng $y = U_0$ chính là tiệm cận ngang của đồ thị điện áp.
3. Để điện áp đạt $99\% U_0$:$$U_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) = 0.99 U_0 \iff 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} = 0.99 \iff e^{-\frac{t}{\tau}} = 0.01$$Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:$$-\frac{t}{\tau} = \ln(0.01) = \ln(10^{-2}) = -2\ln 10 \approx -4.605$$$$\Rightarrow t \approx 4.6 \tau$$Trong kỹ thuật, người ta quy ước rằng sau khoảng thời gian $5\tau$, tụ điện được coi như đã nạp đầy $100\%$ điện tích!