Bài 19. Lôgarit

Năm 1614, nhà toán học người Scotland John Napier công bố một phát minh làm chấn động toàn bộ giới khoa học châu Âu: Phép toán Lôgarit (Logarithm).

Vào thời kỳ đó, các nhà thiên văn học đang miệt mài tính toán quỹ đạo các hành tinh với những con số có hàng chục chữ số. Mỗi phép nhân, chia hay khai căn các đại lượng khổng lồ mất hàng tuần trời tính tay trên giấy. Nhờ có phát minh lôgarit của Napier, người ta có thể:

• Biến phép nhân phức tạp thành phép cộng đơn giản: $\log(xy) = \log x + \log y$.
• Biến phép chia cồng kềnh thành phép trừ: $\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log x - \log y$.
• Biến phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân: $\log(x^\alpha) = \alpha \log x$.

Nhà toán học và thiên văn học lừng danh Pierre-Simon Laplace từng thốt lên lời ca ngợi bất hủ: "Bằng cách giảm bớt lao động tính toán, phát minh lôgarit đã nhân đôi tuổi thọ làm việc của các nhà thiên văn học!"

Ngày nay, máy tính điện tử đã làm thay việc tính toán, nhưng lôgarit vẫn là ngôn ngữ chuẩn mực để con người "thu nhỏ" những thang đo tự nhiên có biên độ chênh lệch hàng triệu lần: từ năng lượng của những trận động đất kinh hoàng (thang đo Richter), cường độ âm thanh (thang đo Decibel) cho đến độ axit trong hóa học (thang đo pH).

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Tìm số mũ: Phương trình $2^x = 8$ có nghiệm là bao nhiêu? Số $x$ này chính là $\log_2 8$.
2. Lũy thừa đặc biệt: $10^x = 1000$ thì $x = ?$
3. Số mũ 0: Với mọi cơ số $a > 0, a \ne 1$, giá trị của $\log_a 1$ bằng bao nhiêu?
4. Cơ số bằng biểu thức: Giá trị của $\log_5 5$ bằng bao nhiêu?
5. Số âm có logarit không: Biểu thức $\log_2 (-4)$ hay $\log_{-3} 9$ có tồn tại trong tập số thực không?

Mẹo hay

Giải đáp khởi động:

1. $2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3$. Vậy $\log_2 8 = 3$.
2. $10^3 = 1000 \Rightarrow x = 3$, tức $\log_{10} 1000 = 3$.
3. $\log_a 1 = 0$ vì $a^0 = 1$.
4. $\log_5 5 = 1$ vì $5^1 = 5$.
5. Không tồn tại! Biểu thức lấy lôgarit bắt buộc phải là số dương ($b > 0$) và cơ số phải dương, khác 1 ($a > 0, a \ne 1$).

I. Khái niệm và Tính chất của Lôgarit

1. Định nghĩa Lôgarit

Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \ne 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn đẳng thức $a^\alpha = b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$, ký hiệu là $\log_a b$:

Quan trọng

Điều kiện tồn tại của $\log_a b$: Để biểu thức $\log_a b$ có nghĩa, ta bắt buộc phải có:

$$\begin{cases} a > 0 \\ a \ne 1 \\ b > 0 \end{cases}$$

• Không có lôgarit của số âm hoặc số $0$!
• Cơ số của lôgarit không thể là số âm, không thể bằng $0$ và không thể bằng $1$.

Ví dụ:

• $\log_3 9 = 2$ vì $3^2 = 9$.
• $\log_2 \frac{1}{16} = -4$ vì $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
• $\log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$ vì $5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$.

2. Bốn tính chất cơ bản

Từ định nghĩa $\log_a b$, với mọi $a > 0, a \ne 1$ và $b > 0$, ta có ngay:

1. $\log_a 1 = 0$ (vì $a^0 = 1$)
2. $\log_a a = 1$ (vì $a^1 = a$)
3. $\log_a (a^\alpha) = \alpha$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$
4. $a^{\log_a b} = b$

Ví dụ áp dụng:

• Tính $A = 3^{\log_3 7} \Rightarrow A = 7$.
• Tính $$B = 4^{\log_2 5} = (2^2)^{\log_2 5} = 2^{2 \log_2 5} = 2^{\log_2 (5^2)} = 25.$$

II. Các Quy tắc Tính Lôgarit

Cho $a > 0, a \ne 1$ và các số thực dương $x, y > 0$:

1. Lôgarit của một tích

Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit:

(Mở rộng cho tích nhiều số: $\log_a (x_1 \cdot x_2 \dots x_n) = \log_a x_1 + \log_a x_2 + \dots + \log_a x_n$).

2. Lôgarit của một thương

Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit:

Đặc biệt khi $x = 1$:

3. Lôgarit của một lũy thừa

• Đưa số mũ ra trước dấu lôgarit:$$\log_a (x^\alpha) = \alpha \log_a x \quad (\alpha \in \mathbb{R})$$
• Đặc biệt với căn bậc $n$:$$\log_a \sqrt[n]{x} = \log_a (x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_a x$$
• Đưa số mũ ở cơ số ra trước:$$\log_{a^\beta} x = \frac{1}{\beta} \log_a x \quad (\beta \ne 0)$$
• Kết hợp cả hai:$$\log_{a^\beta} (x^\alpha) = \frac{\alpha}{\beta} \log_a x$$

Ví dụ:

• $\log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 8 + \log_2 16 = 3 + 4 = 7$.
• $$\log_3 \left(\frac{81}{27}\right) = \log_3 81 - \log_3 27 = 4 - 3 = 1.$$
• $\log_8 32 = \log_{2^3} (2^5) = \frac{5}{3} \log_2 2 = \frac{5}{3}$.

III. Công thức Đổi cơ số

Khi tính toán hoặc rút gọn, các biểu thức thường chứa các lôgarit khác cơ số. Để quy về cùng một cơ số chung, ta sử dụng các công thức đổi cơ số:

Quan trọng

Công thức đổi cơ số tổng quát: Cho $a, b, c$ là các số thực dương với $a \ne 1, c \ne 1$:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Các hệ quả đặc sắc:

1. Hoán đổi cơ số và biểu thức:$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a} \quad (b \ne 1)$$
2. Quy tắc mắt xích (nối cầu cơ số):$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$$(Mở rộng: $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d = \log_a d$)

Ví dụ: Tính giá trị $P = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$.
Giải: Áp dụng quy tắc nối cầu:

IV. Lôgarit Thập phân và Lôgarit Tự nhiên

Trong thực hành khoa học, có hai cơ số đặc biệt thông dụng:

1. Lôgarit thập phân (Cơ số 10)

• Là lôgarit cơ số $10$, ký hiệu là $\log b$ hoặc $\lg b$ (bỏ ghi số 10).
• $\log b = \alpha \iff 10^\alpha = b$.
• Ví dụ: $\log 10 = 1, \log 100 = 2, \log 0.001 = -3$.

2. Lôgarit tự nhiên (Cơ số $e$)

• Là lôgarit cơ số $e$ (với $e$ là số vô tỉ Euler: $e = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718281828\dots$).
• Ký hiệu là $\ln b$ (đọc là "lô-ga-rít tự nhiên" hoặc "len $b$").
• $\ln b = \alpha \iff e^\alpha = b$.
• Ví dụ: $\ln e = 1, \ln 1 = 0, \ln (e^5) = 5$.

V. Phòng thí nghiệm Tương tác: Thang đo Richter & Âm lượng Decibel

Tại sao khi động đất tăng thêm 1 độ Richter thì năng lượng tàn phá lại tăng gấp hơn 30 lần? Tại sao âm thanh $80\,\text{dB}$ lại ồn gấp 10 lần âm thanh $70\,\text{dB}$? Hãy kéo thanh trượt để khám phá sự kỳ diệu của thang đo Lôgarit!

VI. Các Dạng Toán Thực chiến

Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa lôgarit

Phương pháp:

• Đưa các số về dạng lũy thừa của thừa số nguyên tố: $4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 27 = 3^3$.
• Đưa số mũ ra ngoài bằng các công thức $\log_a (x^\alpha) = \alpha \log_a x$ và $\log_{a^\beta} x = \frac{1}{\beta} \log_a x$.
• Gom các lôgarit cùng cơ số bằng công thức tổng thành tích, hiệu thành thương.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức $A = \log_2 20 - \log_2 5 + \log_3 \sqrt[3]{9}$.
Giải:

• Phần 1: $$\log_2 20 - \log_2 5 = \log_2 \left(\frac{20}{5}\right) = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2.$$
• Phần 2: $$\log_3 \sqrt[3]{9} = \log_3 (9^{\frac{1}{3}}) = \log_3 ((3^2)^{\frac{1}{3}}) = \log_3 (3^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}.$$
• Kết quả: $A = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

Dạng 2: Biểu diễn lôgarit theo các lôgarit đã cho

Phương pháp:

• Phân tích cơ số và số lấy lôgarit của biểu thức cần tính thành tích các thừa số nguyên tố xuất hiện trong giả thiết.
• Đổi cơ số nếu cơ số của biểu thức cần tính khác với cơ số của giả thiết.

Ví dụ 2: Cho $\log_2 3 = a$ và $\log_2 5 = b$. Hãy tính $\log_2 45$ theo $a$ và $b$.
Giải:
Phân tích $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$.
Áp dụng quy tắc lôgarit của tích và lũy thừa:

Ví dụ 3: Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_6 18$ theo $a$.
Giải:
Đổi cơ số $6$ về cơ số $2$:

VII. Trắc nghiệm Tự luyện Củng cố (10 câu)

VIII. Bài tập Tự luyện & Thử thách Mở rộng

Bài tập Tự luận

1. Rút gọn các biểu thức lôgarit sau: a) $A = \log_3 15 - \log_3 5 + \log_2 32$
   b) $B = 27^{\log_3 2} + 4^{\log_2 3}$
   c) $C = \log_a \left(\frac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt{a}}\right)$

2. Biểu diễn theo $a$ và $b$: a) Cho $\log_3 2 = a$ và $\log_3 5 = b$. Tính $\log_3 40$ theo $a$ và $b$.
   b) Cho $\log_{12} 27 = a$. Tính $\log_6 16$ theo $a$.

Thử thách Thực tế: Thảm họa Kép Động đất Fukushima 2011

Ngày 11 tháng 3 năm 2011, vùng bờ biển Tohoku (Nhật Bản) hứng chịu trận siêu động đất có độ lớn $M_1 = 9.0$ độ Richter gây ra thảm họa sóng thần kinh hoàng. Trong khi đó, một trận động đất thông thường thường có độ lớn khoảng $M_2 = 6.0$ độ Richter.

Mẹo hay

Giải đáp khoa học:

1. Ta có:$$M_1 - M_2 = \log\left(\frac{A_1}{A_0}\right) - \log\left(\frac{A_2}{A_0}\right) = \log\left(\frac{A_1}{A_2}\right)$$Suy ra:$$\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2} = 10^{9.0 - 6.0} = 10^3 = 1\,000 \text{ lần!}$$Biên độ rung lắc mặt đất lớn gấp đúng $1\,000$ lần!
2. Về tỉ lệ năng lượng:$$\log E_1 - \log E_2 = 1.5(M_1 - M_2) = 1.5(3.0) = 4.5$$$$\Rightarrow \frac{E_1}{E_2} = 10^{4.5} \approx 31\,622.78 \text{ lần!}$$Năng lượng giải phóng của trận động đất $9.0$ độ lớn gấp hơn $31\,600$ lần trận động đất $6.0$ độ! (Mức năng lượng này tương đương sức nổ của hàng trăm triệu tấn thuốc nổ TNT).