Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

Toán 11: Bài tập cuối chương 1 - Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

Tổng ôn toàn bộ kiến thức Chương 1 Toán 11 Kết nối tri thức: Bản đồ tư duy hệ thống lượng giác, tổng hợp công thức, phân loại 6 dạng toán trọng tâm từ cơ bản đến nâng cao và 12 câu trắc nghiệm tự chấm có lời giải chi tiết.

#Toán học#Toán 11#Lượng giác 11#Ôn tập chương 1#Hàm số lượng giác#Phương trình lượng giác#Kết nối tri thức

Mục lục bài viết14 mục

Bài tập cuối chương I. Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

Chúc mừng các em đã hoàn thành toàn bộ lý thuyết và bài tập của Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (Chương trình GDPT 2018 — Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)!

Chương I là một trong những nền tảng quan trọng bậc nhất của chương trình Toán THPT, xuất hiện xuyên suốt trong các đề thi giữa kỳ, học kỳ và kỳ thi Tốt nghiệp THPT. Bài tổng kết này sẽ giúp các em xâu chuỗi toàn bộ mạch kiến thức, hệ thống hóa các dạng bài tập trọng tâm và rèn luyện kỹ năng giải nhanh, chính xác.

BẢN ĐỒ TƯ DUY TOÀN BỘ CHƯƠNG I: LƯỢNG GIÁC 11

1. Góc & Giá trị lượng giác

• Đổi đơn vị: π rad=180∘\pi\text{ rad} = 180^\circ.
• Cung lượng giác: α+k2π\alpha + k2\pi.
• Hằng đẳng thức: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.
• Góc liên kết: Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan hơn kém π\pi.

2. Công thức biến đổi

• Cộng: cos⁡(a∓b)\cos(a \mp b), sin⁡(a±b)\sin(a \pm b), tan⁡(a±b)\tan(a \pm b).
• Nhân đôi & Hạ bậc: sin⁡2a\sin 2a, cos⁡2a\cos 2a, cos⁡2a\cos^2 a, sin⁡2a\sin^2 a.
• Tích thành tổng: cos⁡acos⁡b\cos a \cos b, sin⁡asin⁡b\sin a \sin b, sin⁡acos⁡b\sin a \cos b.
• Tổng thành tích: cos⁡u±cos⁡v\cos u \pm \cos v, sin⁡u±sin⁡v\sin u \pm \sin v.

3. 4 Hàm số lượng giác

• y=sin⁡xy = \sin x: Lẻ, chu kỳ 2π2\pi, TGT [−1;1][-1; 1].
• y=cos⁡xy = \cos x: Chẵn, chu kỳ 2π2\pi, TGT [−1;1][-1; 1].
• y=tan⁡xy = \tan x: Lẻ, chu kỳ π\pi, luôn đồng biến.
• y=cot⁡xy = \cot x: Lẻ, chu kỳ π\pi, luôn nghịch biến.

4. Phương trình cơ bản

• sin⁡x=m\sin x = m: x=α+k2πx = \alpha + k2\pi hoặc x=π−α+k2πx = \pi - \alpha + k2\pi.
• cos⁡x=m\cos x = m: x=±α+k2πx = \pm \alpha + k2\pi.
• tan⁡x=m\tan x = m: x=α+kπx = \alpha + k\pi.
• cot⁡x=m\cot x = m: x=α+kπx = \alpha + k\pi.
• Dạng asin⁡x+bcos⁡x=ca\sin x + b\cos x = c: có nghiệm ⇔a2+b2⩾c2\Leftrightarrow a^2 + b^2 \ge c^2.

I. Tóm tắt Bảng vàng Công thức toàn chương

1. Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt

Góc α\alpha (rad) 00 π6\frac{\pi}{6} π4\frac{\pi}{4} π3\frac{\pi}{3} π2\frac{\pi}{2} π\pi
Độ 0∘0^\circ 30∘30^\circ 45∘45^\circ 60∘60^\circ 90∘90^\circ 180∘180^\circ
sin⁡α\sin\alpha 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11 00
cos⁡α\cos\alpha 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00 −1-1
tan⁡α\tan\alpha 00 33\frac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3} Không XĐ 00
cot⁡α\cot\alpha Không XĐ 3\sqrt{3} 11 33\frac{\sqrt{3}}{3} 00 Không XĐ

2. Các công thức biến đổi cốt lõi

cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡bcos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡bsin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡bsin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡bsin⁡2a=2sin⁡acos⁡acos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2asin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a−b)+sin⁡(a+b)]cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)]sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]\begin{aligned} \cos(a - b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\ \sin(a - b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b \\ \sin 2a &= 2\sin a \cos a \\ \cos 2a &= \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a \\ \sin a \cos b &= \frac{1}{2}[\sin(a - b) + \sin(a + b)] \\ \cos a \cos b &= \frac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)] \\ \sin a \sin b &= \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)] \end{aligned}

II. Phân loại và Phương pháp giải 6 Dạng toán trọng tâm

Dạng 1: Rút gọn biểu thức và Tính giá trị lượng giác

Bài toán 1:

Cho biết sin⁡α=−35\sin\alpha = -\frac{3}{5} với π<α<3π2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}. Tính giá trị của biểu thức:

P=sin⁡2α−cos⁡2α1+tan⁡αP = \frac{\sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \tan\alpha}

Lời giải chi tiết:

Vì π<α<3π2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} (góc phần tư thứ III) nên cos⁡α<0\cos\alpha < 0.
Áp dụng hệ thức sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1:

cos⁡α=−1−sin⁡2α=−1−(−35)2=−45\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = -\frac{4}{5}

Suy ra:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=−3/5−4/5=34\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}

Tính các giá trị nhân đôi:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅(−35)⋅(−45)=2425\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅925=725\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

Thay vào biểu thức PP:

P=2425−7251+34=172574=1725⋅47=68175P = \frac{\frac{24}{25} - \frac{7}{25}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{17}{25}}{\frac{7}{4}} = \frac{17}{25} \cdot \frac{4}{7} = \frac{68}{175}

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài toán 2:

Chứng minh rằng với mọi xx làm cho biểu thức có nghĩa, ta luôn có:

1+sin⁡2x+cos⁡2x1+sin⁡2x−cos⁡2x=cot⁡x\frac{1 + \sin 2x + \cos 2x}{1 + \sin 2x - \cos 2x} = \cot x

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái (VT) bằng cách sử dụng các công thức nhân đôi:

  • Ở tử số: nhóm 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x và sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x.
  • Ở mẫu số: nhóm 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^2 x và sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x.

Ta có:

VT=(1+cos⁡2x)+sin⁡2x(1−cos⁡2x)+sin⁡2x=2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x\text{VT} = \frac{(1 + \cos 2x) + \sin 2x}{(1 - \cos 2x) + \sin 2x} = \frac{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x}{2\sin^2 x + 2\sin x \cos x}

Đặt nhân tử chung ở tử và mẫu:

VT=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x=VP\text{VT} = \frac{2\cos x(\cos x + \sin x)}{2\sin x(\sin x + \cos x)} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x = \text{VP}

Đẳng thức đã được chứng minh.

Dạng 3: Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của hàm số

Bài toán 3:

Tìm tập xác định của hàm số:

y=f(x)=1−cos⁡2xsin⁡3xy = f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos 2x}}{\sin 3x}

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

{1−cos⁡2x⩾0sin⁡3x≠0\begin{cases} 1 - \cos 2x \ge 0 \\ \sin 3x \neq 0 \end{cases}
  1. Vì −1⩽cos⁡2x⩽1-1 \le \cos 2x \le 1 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R} nên 1−cos⁡2x⩾01 - \cos 2x \ge 0 luôn thỏa mãn với mọi xx.
  2. sin⁡3x≠0⇔3x≠kπ⇔x≠kπ3  (k∈Z)\sin 3x \neq 0 \Leftrightarrow 3x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{k\pi}{3} \; (k \in \mathbb{Z}).

Vậy tập xác định của hàm số là:

D=R∖{kπ3,k∈Z}D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\right\}

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 4:

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số:

y=2sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x−3cos⁡2x+1y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x - 3\cos^2 x + 1

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi:

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2,sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \quad \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x

Thay vào biểu thức của hàm số:

y=2(1−cos⁡2x2)−12sin⁡2x−3(1+cos⁡2x2)+1y = 2\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin 2x - 3\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) + 1y=(1−cos⁡2x)−12sin⁡2x−(32+32cos⁡2x)+1y = (1 - \cos 2x) - \frac{1}{2}\sin 2x - \left(\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos 2x\right) + 1y=−12sin⁡2x−52cos⁡2x+12y = -\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}

Xét biểu thức A=−12sin⁡2x−52cos⁡2xA = -\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{5}{2}\cos 2x. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki (hoặc công thức biên độ):

−(−12)2+(−52)2⩽A⩽(−12)2+(−52)2-\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} \le A \le \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2}−14+254⩽A⩽264⇔−262⩽A⩽262-\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25}{4}} \le A \le \sqrt{\frac{26}{4}} \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{26}}{2} \le A \le \frac{\sqrt{26}}{2}

Do đó:

1−262⩽y⩽1+262\frac{1 - \sqrt{26}}{2} \le y \le \frac{1 + \sqrt{26}}{2}
  • ymax⁡=1+262y_{\max} = \frac{1 + \sqrt{26}}{2}.
  • ymin⁡=1−262y_{\min} = \frac{1 - \sqrt{26}}{2}.

Dạng 5: Giải phương trình lượng giác và Tìm nghiệm trên khoảng

Bài toán 5:

Giải phương trình:

sin⁡3x−3cos⁡3x=2\sin 3x - \sqrt{3}\cos 3x = \sqrt{2}

và tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng (0;π)(0; \pi).

Lời giải chi tiết:

Chia cả hai vế cho 12+(−3)2=4=2\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2:

12sin⁡3x−32cos⁡3x=22\frac{1}{2}\sin 3x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Vì cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} và sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}:

sin⁡3xcos⁡π3−cos⁡3xsin⁡π3=sin⁡π4⇔sin⁡(3x−π3)=sin⁡π4\sin 3x \cos\frac{\pi}{3} - \cos 3x \sin\frac{\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{4}⇔[3x−π3=π4+k2π3x−π3=π−π4+k2π⇔[3x=7π12+k2π3x=13π12+k2π⇔[x=7π36+k2π3x=13π36+k2π3(k∈Z)\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ 3x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x = \frac{7\pi}{12} + k2\pi \\ 3x = \frac{13\pi}{12} + k2\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \\ x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} \end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})

Tìm nghiệm trong khoảng (0;π)(0; \pi):

  • Với họ x=7π36+k2π3x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}:

    0<7π36+k2π3<π⇔−736<24k36<2936⇔−724<k<29240 < \frac{7\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} < \pi \Leftrightarrow -\frac{7}{36} < \frac{24k}{36} < \frac{29}{36} \Leftrightarrow -\frac{7}{24} < k < \frac{29}{24}

    Do k∈Z⇒k∈{0;1}k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \{0; 1\}.

    • k=0⇒x1=7π36k = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{36}.
    • k=1⇒x2=7π36+24π36=31π36.k = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{7\pi}{36} + \frac{24\pi}{36} = \frac{31\pi}{36}.

  • Với họ x=13π36+k2π3x = \frac{13\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3}:

    0<13π36+k2π3<π⇔−1336<24k36<2336⇔−1324<k<23240 < \frac{13\pi}{36} + \frac{k2\pi}{3} < \pi \Leftrightarrow -\frac{13}{36} < \frac{24k}{36} < \frac{23}{36} \Leftrightarrow -\frac{13}{24} < k < \frac{23}{24}

    Do k∈Z⇒k=0k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0.

    • k=0⇒x3=13π36k = 0 \Rightarrow x_3 = \frac{13\pi}{36}.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng (0;π)(0; \pi) là: 7π36,13π36,31π36\frac{7\pi}{36}, \frac{13\pi}{36}, \frac{31\pi}{36}.

Dạng 6: Ứng dụng thực tế toàn diện

Bài toán 6: Nhịp sinh học con người

Lý thuyết nhịp sinh học (Biorhythm) cho rằng trạng thái thể lực, cảm xúc và trí tuệ của con người biến thiên tuần hoàn theo các hàm số lượng giác dạng sin:

  • Nhịp thể lực (Physical): Chu kỳ 23 ngaˋy23\text{ ngày}, P(t)=sin⁡(2πt23)P(t) = \sin\left(\frac{2\pi t}{23}\right).
  • Nhịp cảm xúc (Emotional): Chu kỳ 28 ngaˋy28\text{ ngày}, E(t)=sin⁡(2πt28)E(t) = \sin\left(\frac{2\pi t}{28}\right).
  • Nhịp trí tuệ (Intellectual): Chu kỳ 33 ngaˋy33\text{ ngày}, I(t)=sin⁡(2πt33)I(t) = \sin\left(\frac{2\pi t}{33}\right). (tt tính bằng ngày kể từ lúc một người chào đời).
  1. Vào ngày thứ mấy sau khi sinh thì nhịp thể lực của một người lần đầu tiên đạt trạng thái đỉnh cao nhất (P(t)=1P(t) = 1)?
  2. Tìm chu kỳ chung để cả 3 chu kỳ thể lực, cảm xúc và trí tuệ cùng đồng thời lặp lại đúng trạng thái ban đầu?

Lời giải chi tiết:

  1. P(t)=1⇔sin⁡(2πt23)=1⇔2πt23=π2+k2π⇔t=234+23k=5.75+23kP(t) = 1 \Leftrightarrow \sin\left(\frac{2\pi t}{23}\right) = 1 \Leftrightarrow \frac{2\pi t}{23} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{23}{4} + 23k = 5.75 + 23k.
    Thời điểm đầu tiên tương ứng k=0⇒t=5.75 ngaˋyk = 0 \Rightarrow t = 5.75\text{ ngày} (khoảng ngày thứ 6 sau khi chào đời).
  2. Chu kỳ lặp lại đồng thời của 3 nhịp sinh học là bội chung nhỏ nhất của ba chu kỳ:T=BCNN(23,28,33)T = \text{BCNN}(23, 28, 33)Phân tích ra thừa số nguyên tố: 23=2323 = 23, 28=22×728 = 2^2 \times 7, 33=3×1133 = 3 \times 11.
    Vì các số này nguyên tố cùng nhau đôi một nên:T=23×28×33=21 252 ngaˋy≈58.2 na˘mT = 23 \times 28 \times 33 = 21\,252\text{ ngày} \approx 58.2\text{ năm}Nghĩa là phải mất hơn 58 năm cuộc đời, cả ba trạng thái thể lực, cảm xúc và trí tuệ mới đồng thời hội tụ lại đúng chu kỳ xuất phát điểm ban đầu!

III. Đề Trắc nghiệm Tổng ôn Cuối chương (12 câu)

IV. Lời kết và Kế hoạch học tập tiếp theo

Chúc mừng các em đã chinh phục thành công trọn vẹn Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác!

Sau khi nắm vững chương này, các em đã sở hữu công cụ toán học mạnh mẽ để tiến vào:

  • Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân — Khám phá quy luật tăng trưởng của các dãy số trong kinh tế, tài chính và tự nhiên.
  • Vận dụng lượng giác vào các bài toán sóng ánh sáng, dao động điều hòa trong chương trình Vật lý 11.
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Đường tròn lượng giác & Radian

Toàn bộ lý thuyết trọng tâm Bài 1 Toán 11: Khái niệm góc lượng giác, đơn vị radian, đường tròn lượng giác, các giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot, công thức lượng giác cơ bản, bảng giá trị đặc biệt, widget tương tác đường tròn lượng giác SVG và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học