Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Chào mừng các em học sinh bước vào chương trình Toán 11!

Nếu như ở lớp 9 và lớp 10, chúng ta chỉ mới làm quen với góc hình học bị bó hẹp trong khoảng từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ và các tỉ số lượng giác của góc nhọn tam giác vuông, thì lên lớp 11, Toán học sẽ mở tung cánh cửa không gian với khái niệm Góc lượng giác:

• Khi một cánh tuabin điện gió quay hàng trăm vòng mỗi phút, góc quay của nó là bao nhiêu?
• Khi chiếc kim đồng hồ quay ngược hay xuôi nhiều vòng, ta biểu diễn góc quay đó như thế nào?
• Làm sao các kỹ sư lập trình đồ họa 3D mô phỏng góc nghiêng của camera bay quanh một tòa lâu đài không giới hạn số vòng xoay?

Khái niệm Góc lượng giác cùng công cụ tối thượng Đường tròn lượng giác sẽ giúp chúng ta giải quyết tất cả những bài toán chuyển động quay trong vũ trụ, từ sóng âm thanh, dòng điện xoay chiều đến chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Góc hình học vs Góc lượng giác: Kim phút của đồng hồ quay từ 12 giờ đến 6 giờ theo đúng chiều chuyển động tạo ra một góc lượng giác có số đo bằng bao nhiêu độ?
2. Chuyển đổi đơn vị: Đổi góc $60^\circ$ sang đơn vị radian.
3. Độ dài cung: Một chiếc đu quay có bán kính $R = 10\text{ m}$. Khi quay một góc lượng giác $\alpha = \frac{\pi}{2}\text{ rad}$, điểm gắn cabin đã đi được quãng đường dài bao nhiêu mét?
4. Dấu của giá trị lượng giác: Khi góc lượng giác $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ II ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), đại lượng $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ mang dấu dương hay âm?
5. Đẳng thức cơ bản: Tính giá trị biểu thức $P = \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ$.

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. Kim đồng hồ quay theo chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ) đúng nửa vòng $\implies$ Số đo là $-180^\circ$.
2. Ta có: $60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\text{ rad}$.
3. Quãng đường cabin đã đi: $$l = \alpha \cdot R = \frac{\pi}{2} \cdot 10 = 5\pi \approx 15,7\text{ m.}$$
4. Trong góc phần tư thứ II: hoành độ âm nên $\cos \alpha < 0$, tung độ dương nên $\sin \alpha > 0$.
5. Vì $75^\circ$ và $15^\circ$ phụ nhau nên $\sin 75^\circ = \cos 15^\circ$. Suy ra: $P = \sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = 1$.

Lý thuyết trọng tâm

1. Góc lượng giác & Số đo của góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác:

• Trong mặt phẳng, cho hai tia $Ou$ và $Ov$. Nếu tia $Om$ quay quanh gốc $O$ từ vị trí ban đầu trùng với tia $Ou$ đến vị trí kết thúc trùng với tia $Ov$, ta nói tia $Om$ đã quét nên một góc lượng giác có tia đầu là $Ou$ và tia cuối là $Ov$.
• Ký hiệu: $(Ou, Ov)$.

b) Quy ước chiều quay:

• Chiều dương (+): Ngược chiều quay của kim đồng hồ.
• Chiều âm (-): Cùng chiều quay của kim đồng hồ.

c) Số đo tổng quát:

Một tia $Om$ khi quay từ $Ou$ đến $Ov$ có thể quay thêm nhiều vòng nguyên ($k \in \mathbb{Z}$, mỗi vòng là $360^\circ$ hoặc $2\pi\text{ rad}$). Do đó:

Ghi nhớ

Công thức số đo tổng quát của góc lượng giác:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = \alpha^\circ + k \cdot 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

hoặc tính theo radian:

$$\text{sđ}(Ou, Ov) = \alpha + k \cdot 2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trong đó $\alpha$ là số đo của một góc quay cụ thể tùy ý từ tia $Ou$ đến tia $Ov$.

2. Đơn vị Radian & Độ dài cung tròn

a) Định nghĩa đơn vị Radian:

• Radian (ký hiệu: rad) là số đo của một góc ở tâm chắn một cung tròn có độ dài đúng bằng bán kính của đường tròn đó.
• Vì chu vi đường tròn là $2\pi R$, tương ứng với góc ở tâm $360^\circ$, nên:$$360^\circ = 2\pi \text{ rad} \iff 180^\circ = \pi \text{ rad} \approx 3,14159 \text{ rad}$$

b) Công thức chuyển đổi giữa độ và radian:

Bảng chuyển đổi các góc thường gặp:

c) Công thức tính độ dài cung tròn:

Trên đường tròn bán kính $R$, một cung có số đo $\alpha$ radian sẽ có độ dài $l$:

Lưu ý / Cảnh báo

Khi sử dụng công thức $l = \alpha \cdot R$, số đo $\alpha$ bắt buộc phải đổi ra đơn vị radian. Nếu đề bài cho đơn vị độ ($a^\circ$), phải chuyển đổi:

$$l = a^\circ \cdot \frac{\pi}{180} \cdot R.$$

3. Đường tròn lượng giác

Ghi nhớ

Định nghĩa: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường tròn lượng giác là đường tròn có:

1. Tâm trùng với gốc tọa độ $O(0; 0)$.
2. Bán kính bằng $1$ ($R = 1$).
3. Điểm gốc là điểm $A(1; 0)$ nằm trên trục hoành.
4. Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ; chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ.

• Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho $\text{sđ}(OA, OM) = \alpha$ được gọi là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha$.
• Mỗi góc lượng giác $\alpha$ chỉ xác định duy nhất một điểm biểu diễn $M$ trên đường tròn lượng giác.
• Ngược lại, một điểm $M$ là điểm biểu diễn của vô số góc lượng giác có dạng $\alpha + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

4. Giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha$

Giả sử điểm $M(x_M; y_M)$ là điểm biểu diễn góc lượng giác $\alpha$ trên đường tròn lượng giác:

1. Sin của góc $\alpha$: là tung độ $y_M$ của điểm $M$:

   $$\sin \alpha = y_M.$$

   (Trục tung $Oy$ được gọi là trục sin).

2. Cosin của góc $\alpha$: là hoành độ $x_M$ của điểm $M$:

   $$\cos \alpha = x_M.$$

   (Trục hoành $Ox$ được gọi là trục cos).

3. Tang của góc $\alpha$: (khi $\cos \alpha \ne 0$, tức $\alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$):

   $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y_M}{x_M}.$$

4. Cô-tang của góc $\alpha$: (khi $\sin \alpha \ne 0$, tức $\alpha \ne k\pi$):

   $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x_M}{y_M}.$$

Nhận xét quan trọng:

• Vì $M(x_M; y_M)$ nằm trên đường tròn đơn vị $x_M^2 + y_M^2 = 1$ nên:$$-1 \le \sin \alpha \le 1 \qquad \text{và} \qquad -1 \le \cos \alpha \le 1.$$
• $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$ có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào từ $-\infty$ đến $+\infty$.
• Tính tuần hoàn cơ bản:$$\sin(\alpha + k2\pi) = \sin \alpha, \qquad \cos(\alpha + k2\pi) = \cos \alpha \quad (k \in \mathbb{Z}).$$$$\tan(\alpha + k\pi) = \tan \alpha, \qquad \cot(\alpha + k\pi) = \cot \alpha \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Bảng dấu các giá trị lượng giác theo 4 góc phần tư:

Mẹo hay

Thần chú ghi nhớ dấu nhanh: "Nhất cả (I: tất cả đều +), Nhị sin (II: chỉ sin +), Tam tang (III: tan & cot +), Tứ cos (IV: chỉ cos +)".

5. Các hệ thức lượng giác cơ bản

Với mọi góc $\alpha$ làm cho biểu thức có nghĩa, ta luôn có 5 công thức nền tảng:

1. $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
2. $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \left(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$
3. $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\alpha \ne k\pi)$$
4. $$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad \left(\alpha \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right)$$
5. $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \left(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$
6. $$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \ne k\pi)$$

6. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Ứng dụng tương tác: Khám phá Đường tròn lượng giác

Kéo trực tiếp điểm M trên đường tròn đơn vị (hoặc dùng thanh trượt) để quan sát tọa độ hình chiếu $\cos \alpha$ và $\sin \alpha$ thay đổi liên tục trong 4 góc phần tư:

4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Đổi đơn vị đo góc & Tính độ dài cung tròn

Phương pháp giải:

1. Đổi độ sang radian: $\alpha = a^\circ \cdot \frac{\pi}{180}$
2. Đổi radian sang độ: $a^\circ = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
3. Độ dài cung tròn: $l = \alpha \cdot R$ (với $\alpha$ tính bằng radian).

Bài toán 1

Cho đường tròn có bán kính $R = 20\text{ cm}$.

1. Đổi các góc sau sang radian: $a = 72^\circ$, $b = -225^\circ$.
2. Đổi các góc sau sang độ: $\alpha = \frac{7\pi}{12}\text{ rad}$, $\beta = -3\text{ rad}$ (lấy đến phút).
3. Tính độ dài cung tròn có số đo $135^\circ$ trên đường tròn đã cho.

Lời giải chi tiết:

1. Đổi từ độ sang radian:

   • Với $a = 72^\circ$: $$a = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \approx 1,2566 \text{ rad}$$
   • Với $b = -225^\circ$: $$b = -225 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{5\pi}{4} \approx -3,9270 \text{ rad}$$

2. Đổi từ radian sang độ:

   • Với $\alpha = \frac{7\pi}{12}\text{ rad}$: $$\alpha = \frac{7\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$$
   • Với $\beta = -3\text{ rad}$: $$\beta = -3 \cdot \left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) \approx -171,887^\circ \approx -171^\circ 53'$$

3. Tính độ dài cung tròn:

   • Đổi $135^\circ$ sang radian: $$\alpha = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \text{ rad}$$
   • Áp dụng công thức $l = \alpha \cdot R$: $$l = \frac{3\pi}{4} \cdot 20 = 15\pi \approx 47,12 \text{ cm}$$

Dạng 2: Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác

Phương pháp giải:

1. Góc lượng giác $\alpha$ được biểu diễn bởi duy nhất một điểm $M$ trên đường tròn lượng giác thỏa mãn $\text{sđ}(OA, OM) = \alpha$.
2. Với góc lượng giác có dạng $\alpha = \alpha_0 + k \cdot \frac{2\pi}{n}$ ($k \in \mathbb{Z}$):
   • Để tìm số điểm biểu diễn, cho $k$ nhận $n$ giá trị nguyên liên tiếp $k \in \{0, 1, 2, \dots, n-1\}$.
   • Hệ thống gồm đúng $n$ điểm biểu diễn phân bố đều tạo thành các đỉnh của một đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn.

Bài toán 2

Biểu diễn các họ góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác và xác định số điểm biểu diễn của mỗi họ:

1. $\alpha = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
2. $\beta = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Lời giải chi tiết:

1. Xét họ góc $\alpha = \frac{\pi}{3} + k\pi$: Ta viết lại dưới dạng: $\alpha = \frac{\pi}{3} + k \cdot \frac{2\pi}{2}$. Mẫu số bằng $2$ nên họ nghiệm có đúng 2 điểm biểu diễn:

   • Khi $k = 0 \implies \alpha_1 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ (Điểm $M_1$).
   • Khi $k = 1 \implies \alpha_2 = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} = 240^\circ$ (Điểm $M_2$).
   • Khi $k = 2 \implies \alpha_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi$, điểm này quay lại trùng với điểm $M_1$. (Hai điểm $M_1$ và $M_2$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$).

2. Xét họ góc $\beta = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2}$: Ta viết lại: $\beta = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{2\pi}{4}$. Do đó có đúng 4 điểm biểu diễn:

   • $k = 0 \implies \beta_0 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$ (Điểm $P_1$ thuộc góc phần tư I).
   • $$k = 1 \implies \beta_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} = 135^\circ$$ (Điểm $P_2$ thuộc góc phần tư II).
   • $k = 2 \implies \beta_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} = 225^\circ$ (Điểm $P_3$ thuộc góc phần tư III).
   • $$k = 3 \implies \beta_3 = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{4} = 315^\circ$$ (Điểm $P_4$ thuộc góc phần tư IV). Bốn điểm $P_1, P_2, P_3, P_4$ nối lại tạo thành một hình vuông nội tiếp đường tròn lượng giác.

Dạng 3: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại

Phương pháp giải:

1. Dựa vào giả thiết về khoảng giá trị của $\alpha$ để xác định dấu ($+$ hoặc $-$) của các đại lượng $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$.
2. Áp dụng các công thức liên hệ cơ bản:
   • Biết $\sin \alpha \implies \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \implies \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$.
   • Biết $\cos \alpha \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \implies \sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$.
   • Tính $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
   • Nếu biết $\tan \alpha$, dùng $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ để tìm $\cos \alpha$.

Bài toán 3

1. Cho $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính $\sin \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$.
2. Cho $\tan \alpha = 2$ với $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Tính $\sin \alpha, \cos \alpha$.

Lời giải chi tiết:

1. Xét câu 1:

   • Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ ($\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II), nên $\sin \alpha > 0$.
   • Áp dụng công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
   • Vì $\sin \alpha > 0$ nên:$$\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
   • Tính $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$:$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$$$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{3}{4}$$

2. Xét câu 2:

   • Vì $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ ($\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III), nên $\sin \alpha < 0$ và $\cos \alpha < 0$.
   • Áp dụng công thức:$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \iff 1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \iff \cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$
   • Vì $\cos \alpha < 0$ nên:$$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$
   • Áp dụng $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$:$$\sin \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Dạng 4: Rút gọn biểu thức lượng giác & Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải:

1. Sử dụng tính tuần hoàn: $\sin(\alpha + k2\pi) = \sin \alpha$, $\tan(\alpha + k\pi) = \tan \alpha$.
2. Áp dụng quy tắc góc liên kết: "Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Hơn kém $\pi$".
3. Tách các hằng số góc đặc biệt như $\frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi$ để đưa về góc đơn giản $\alpha$.
4. Đưa các hàm số về cùng một loại hoặc tận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bài toán 4

Rút gọn các biểu thức sau:

1. $A = \sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(-\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$
2. $B = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \frac{2\cos^2 \alpha - 1}{\cos \alpha - \sin \alpha}$

Lời giải chi tiết:

1. Rút gọn biểu thức $A$: Ta áp dụng từng công thức góc liên kết:

   • $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ (góc bù)
   • $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$ (góc phụ)
   • $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ (góc đối)
   • $$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left[\frac{\pi}{2} - (-\alpha)\right] = \cos(-\alpha) = \cos \alpha$$

   Thay toàn bộ vào biểu thức $A$:

   $$A = \sin \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha = 2\sin \alpha$$

2. Rút gọn biểu thức $B$: Phân tích từng phân thức:

   • Phân thức thứ nhất có tử số là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:$$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \sin \alpha - \cos \alpha$$
   • Phân thức thứ hai biến đổi tử số bằng cách thay $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$:$$2\cos^2 \alpha - 1 = 2\cos^2 \alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$$Do đó:$$\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \cos \alpha + \sin \alpha$$
   • Cộng hai kết quả lại:$$B = (\sin \alpha - \cos \alpha) + (\cos \alpha + \sin \alpha) = 2\sin \alpha$$

5. Ứng dụng khoa học & Kỹ thuật hiện đại

10 Câu hỏi trắc nghiệm tự chấm (Interactive Quiz)

Bài tập Tự luyện & Thử thách Thực tế

Bài tập Tự luyện

1. Biểu diễn góc & Đổi đơn vị: Cho góc lượng giác $\alpha = -\frac{19\pi}{6}$: a) Đổi góc $\alpha$ sang đơn vị độ.
   b) Viết $\alpha$ dưới dạng $\alpha_0 + k2\pi$ với $0 \le \alpha_0 < 2\pi$.
   c) Xác định điểm biểu diễn của góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư nào và tính các giá trị $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$.

2. Tính giá trị biểu thức: a) Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Tính giá trị biểu thức $A = \frac{\tan \alpha + 3\cot \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$.
   b) Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x + \cos^2 x}{2(1 - \cos x)}$.

Thử thách Thực tế: Chuyển động Vòng quay Mặt Trời (Ferris Wheel)

Bối cảnh: Tại một công viên giải trí, vòng quay Mặt Trời khổng lồ có bán kính $R = 30\text{ m}$. Tâm của vòng quay nằm ở độ cao $35\text{ m}$ so với mặt đất (do đó điểm thấp nhất của cabin cách mặt đất $5\text{ m}$ và điểm cao nhất cách mặt đất $65\text{ m}$).

Vòng quay quay đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi, hoàn thành một vòng quay trong thời gian $T = 60\text{ giây}$.

Tại thời điểm $t = 0$, một du khách bước vào cabin ở vị trí thấp nhất (điểm $C_0$).

Nhiệm vụ của em:

1. Tính tốc độ góc $\omega$ (đơn vị: $\text{rad/s}$) của vòng quay.
2. Tìm góc lượng giác $\alpha(t)$ biểu diễn vị trí của cabin tại thời điểm $t$ giây (chọn tia gốc là tia nằm ngang $Ox$ hướng sang phải).
3. Thiết lập công thức hàm số tính độ cao $h(t)$ (mét) của du khách so với mặt đất tại thời điểm $t$ giây ($0 \le t \le 60$).
4. Tính độ cao của du khách sau khi vòng quay xuất phát được $10\text{ giây}$, $15\text{ giây}$ và $30\text{ giây}$.

Mẹo hay

Hướng dẫn giải thử thách:

1. Tốc độ góc:$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\text{ (rad/s)}.$$
2. Vị trí ban đầu ở điểm thấp nhất ứng với góc $-\frac{\pi}{2}$ (hoặc $\frac{3\pi}{2}$). Sau thời gian $t$, góc quay tăng thêm $\omega t = \frac{\pi}{30}t$.
   Vậy số đo góc lượng giác là:$$\alpha(t) = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{30}t\text{ (rad)}.$$
3. Tọa độ tung độ của cabin so với tâm $O$:$$y(t) = R \sin\left(\alpha(t)\right) = 30 \sin\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{30}t\right) = -30 \cos\left(\frac{\pi}{30}t\right).$$Độ cao so với mặt đất: $$h(t) = 35 + y(t) = 35 - 30\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right) \text{ (mét)}.$$
4. Kiểm tra tại các mốc thời gian:
   • Khi $t = 10\text{s}$: $$h(10) = 35 - 30\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 35 - 30 \cdot 0,5 = 20\text{ m.}$$
   • Khi $t = 15\text{s}$: $$h(15) = 35 - 30\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 35 - 0 = 35\text{ m.}$$ (ngang tâm trục quay).
   • Khi $t = 30\text{s}$: $h(30) = 35 - 30\cos(\pi) = 35 - 30(-1) = 65\text{ m.}$ (đạt đỉnh cao nhất của vòng quay!).