Toán 11 Bài 27: Thể tích của một số khối đa diện

Từ thời cổ đại, khi người Ai Cập xây dựng Đại Kim tự tháp Giza với hơn 2,3 triệu khối đá vôi, nhu cầu đo lường lượng không gian chiếm chỗ của một vật thể đã khai sinh ra khái niệm Thể tích.

Trong kỹ thuật xây dựng ngày nay, việc tính toán chính xác thể tích bê tông tươi cần đổ cho móng cọc, thể tích đất cần đào đắp cho hầm đường bộ, hay dung tích của các bể chứa dầu hình khối chữ nhật là nhiệm vụ thiết yếu của mọi kỹ sư. Trong bài học này, chúng ta sẽ làm chủ hệ thống công thức thể tích của các khối đa diện kinh điển!

Sơ đồ Tư duy: Bản đồ Công thức Thể tích Khối Đa diện

flowchart TD
    A["THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN"] --> B["Khối Lăng Trụ<br/>V = B . h"]
    A --> C["Khối Chóp<br/>V = 1/3 . B . h"]
    A --> D["Khối Chóp Cụt Đều<br/>V = 1/3 . h . (S1 + S2 + √(S1 . S2))"]
    
    B --> B1["Hộp chữ nhật: V = a . b . c"]
    B --> B2["Lập phương: V = a³"]
    B --> B3["Lăng trụ đứng: h = độ dài cạnh bên"]
    
    C --> C1["Chóp có cạnh bên ⊥ đáy:<br/>h = cạnh bên"]
    C --> C2["Chóp đều:<br/>h = SO (O là tâm đáy)"]
    C --> C3["TỈ SỐ THỂ TÍCH SIMSON (đáy tam giác):<br/>V(S.A'B'C') / V(S.ABC) = (SA'/SA) . (SB'/SB) . (SC'/SC)"]
    
    style A fill:#eff6ff,stroke:#2563eb,stroke-width:2px;
    style B fill:#ecfdf5,stroke:#10b981,stroke-width:2px;
    style C fill:#fef3c7,stroke:#f59e0b,stroke-width:2px;
    style C3 fill:#fef2f2,stroke:#ef4444,stroke-width:2px;

Khởi động Nhanh: 5 Câu Hỏi Trắc nghiệm Đầu Giờ

I. Lý thuyết Trọng tâm

1. Thể tích khối lăng trụ

Công thức chung: Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:

$$V = B \cdot h$$

• Khối hộp chữ nhật: Có ba kích thước $a, b, c$:$$V = a \cdot b \cdot c$$
• Khối lập phương: Có cạnh bằng $a$:$$V = a^3$$
• Lăng trụ đứng: Chiều cao $h$ chính là độ dài của cạnh bên. Do đó $V = S_{\text{đáy}} \cdot (\text{cạnh bên})$.

2. Thể tích khối chóp

Công thức chung: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:

$$V = \frac{1}{3} B \cdot h$$

• Chiều cao $h = d(S, (\text{đáy}))$ là khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt phẳng đáy.
• Tứ diện vuông $OABC$: (có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc tại $O$):$$V = \frac{1}{6} OA \cdot OB \cdot OC$$
• Tứ diện đều cạnh $a$:$$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$

3. Thể tích khối chóp cụt đều

Công thức: Thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao $h$, diện tích hai đáy lần lượt là $S_1$ và $S_2$:

$$V = \frac{1}{3} h \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} \right)$$

4. Công thức tỉ số thể tích Simson (Dành riêng cho chóp tam giác)

Cho hình chóp $S.ABC$. Trên các tia $SA, SB, SC$ lần lượt lấy các điểm $A', B', C'$ (khác $S$). Khi đó:

$$\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA'}{SA} \cdot \frac{SB'}{SB} \cdot \frac{SC'}{SC}$$

Cảnh báo cực kì quan trọng: Định lí Simson chỉ đúng cho khối chóp đáy tam giác. Tuyệt đối không được áp dụng trực tiếp cho khối chóp đáy tứ giác $S.ABCD$! Đối với chóp đáy tứ giác, bắt buộc phải chia đôi đáy bằng đường chéo $AC$ hoặc $BD$ thành hai khối chóp tam giác $S.ABC$ và $S.ACD$ rồi mới áp dụng Simson cho từng nửa.

II. Phòng thí nghiệm 3D Tương tác: Thể tích Khối Chóp Biến thiên

Hãy kéo thanh trượt để thay đổi Chiều cao $h$ và Độ rộng đáy $a$ của khối chóp tứ giác $S.ABCD$. Khối hình 3D sẽ co giãn trực tiếp và máy tính sẽ tính ngay thể tích thực theo thời gian thực! Em cũng có thể kéo chuột để xoay khối hình 3D trong không gian.

III. Các Dạng Toán Điển Hình và Phương Pháp Giải

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA \perp (ABCD)$. Cạnh bên $SC$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^\circ$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

Lời giải chi tiết:

1. Tính diện tích đáy: Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên:$$B = S_{ABCD} = a^2$$
2. Xác định và tính chiều cao $SA$:
   • Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$.
   • Hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng đáy là đoạn thẳng $AC$.
   • Do đó, góc giữa $SC$ và đáy là góc $\widehat{SCA} = 60^\circ$.
   • Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên độ dài đường chéo $AC = a\sqrt{2}$.
   • Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$:$$SA = AC \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a\sqrt{6}$$
3. Tính thể tích:$$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{6} = \frac{a^3\sqrt{6}}{3}$$

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp đều

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Lời giải chi tiết:

1. Diện tích đáy: $B = S_{ABCD} = a^2$.
2. Xác định tâm đáy và góc giữa mặt bên với đáy:
   • Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $S.ABCD$ là chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$. Chiều cao của chóp là $h = SO$.
   • Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$.
   • Vì $\triangle OCD$ vuông cân tại $O$ nên $OM \perp CD$ và $OM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{a}{2}$.
   • Theo định lí ba đường vuông góc, $SM \perp CD$.
   • Do đó, góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SMO} = 45^\circ$.
3. Tính chiều cao $SO$:
   • Xét tam giác vuông $SOM$ vuông tại $O$:$$SO = OM \cdot \tan 45^\circ = \frac{a}{2} \cdot 1 = \frac{a}{2}$$
4. Tính thể tích khối chóp:$$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$$

Dạng 3: Bài toán Tỉ số Thể tích (Định lí Simson)

Ví dụ 3:

Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V = 36\text{ cm}^3$. Trên các cạnh $SA, SB, SC$ lần lượt lấy các điểm $M, N, P$ sao cho $SM = \dfrac{1}{3} SA$, $SN = \dfrac{1}{2} SB$, và $SP = \dfrac{2}{3} SC$.

1. Tính thể tích khối chóp $S.MNP$.
2. Tính thể tích khối đa diện $ABCPNM$.

Lời giải chi tiết:

1. Tính thể tích $S.MNP$:
   • Áp dụng công thức tỉ số thể tích Simson cho chóp tam giác:$$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} \cdot \frac{SP}{SC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$
   • Do đó:$$V_{S.MNP} = \frac{1}{9} V_{S.ABC} = \frac{1}{9} \cdot 36 = 4\text{ cm}^3$$
2. Tính thể tích khối đa diện $ABCPNM$:
   • Khối chóp $S.ABC$ được phân chia thành hai phần: khối chóp chóp đỉnh $S.MNP$ và khối chóp đa diện phía dưới $ABCPNM$.
   • Do đó:$$V_{ABCPNM} = V_{S.ABC} - V_{S.MNP} = 36 - 4 = 32\text{ cm}^3 .$$

IV. Bài tập Trắc nghiệm Tự luyện (Chấm điểm Tức thì)

V. Ứng dụng Thực tiễn: Tính Khối lượng Bê tông và Chi phí Xây dựng

Trong dự án thi công hố ga hoặc bể phốt ngầm bằng bê tông cốt thép, việc tính toán chuẩn xác thể tích cấu kiện giúp dự trù vật tư, tránh lãng phí hàng chục mét khối bê tông thương phẩm hoặc thiếu hụt gây ngừng trệ thi công.

Giả sử một bồn nước chữa cháy dạng khối hộp chữ nhật có kích thước phủ bì: dài $8\text{ m}$, rộng $5\text{ m}$, cao $3\text{ m}$. Bề dày thành bê tông và đáy bồn là $0,25\text{ m}$.

1. Thể tích dung tích chứa nước (lọt lòng):
   • Chiều dài bên trong: $8 - 2 \times 0,25 = 7,5\text{ m}$.
   • Chiều rộng bên trong: $5 - 2 \times 0,25 = 4,5\text{ m}$.
   • Chiều cao bên trong: $3 - 0,25 = 2,75\text{ m}$.
   • Thể tích chứa nước: $V_{\text{nước}} = 7,5 \times 4,5 \times 2,75 = 92,8125\text{ m}^3$ (gần $93.000\text{ lít}$ nước).
2. Thể tích bê tông cần dùng:
   • Thể tích khối phủ bì: $V_{\text{ngoài}} = 8 \times 5 \times 3 = 120\text{ m}^3$.
   • Thể tích bê tông đổ thành và đáy: $V_{\text{bê tông}} = 120 - 92,8125 = 27,1875\text{ m}^3$.

Với đơn giá bê tông thương phẩm Mác 300 khoảng $1.400.000\text{ đ/m}^3$, kỹ sư có thể dự toán chính xác chi phí vật liệu là hơn $38$ triệu đồng một cách nhanh chóng!