Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LỚP 10

Trong một tam giác $ABC$ thì chúng ta thường kí hiệu:

#Hệ thức lượng#Tam giác#Định lý Cosin

Mục lục bài viết12 mục

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LỚP 10

1. Các ký hiệu

Trong một tam giác ABCABC thì chúng ta thường kí hiệu:

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LỚP 10

  • A,B,CA, B, C: là các góc đỉnh A,B,CA, B, C

  • a,b,ca, b, c: là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A,B,CA, B, C

  • ha,hb,hch_a, h_b, h_c: là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A,B,CA, B, C

  • ma,mb,mcm_a, m_b, m_c: là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,CA, B, C

  • la,lb,lcl_a, l_b, l_c: là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A,B,CA, B, C

  • RR: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC

  • rr: là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC

  • p=12(a+b+c)p=\frac{1}{2}(a+b+c) là nửa chu vi tam giác ABCABC

  • SS: là diện tích tam giác ABCABC

2. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông ABC.ABC. Gọi b’,c’b’, c’ là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có các hệ thức:

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

  1. b2=a.b’{{b}^{2}}=a.{{b}’}

  2. c2=a.c’{{c}^{2}}=a.{{c}’}

  3. a2=b2+c2{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}

  4. h2=b’.c’{{h}^{2}}={{b}’}.{{c}’}

  5. 1h2=1b2+1c2\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}

  6. a.h=b.ca.h=b.c

  7. b=a.sin⁡B=a.cos⁡Cb=a.\sin B=a.\cos C

  8. c=a.sin⁡C=a.cos⁡Bc=a.\sin C=a.\cos B

  9. b=c.tan⁡B=c.cot⁡Cb=c.\tan B=c.\cot C

  10. c=b.tan⁡C=b.cot⁡Bc=b.\tan C=b.\cot B

3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường

Định lý hàm số CÔSIN:

Trong tam giác ABCABC ta luôn có:

  1. a2=b2+c2−2bccos⁡A{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A

  2. b2=c2+a2−2cacos⁡B{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca\cos B

  3. c2=a2+b2−2abcos⁡C{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos C

Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa chúng.

Hệ quả: Trong tam giác ABCABC ta luôn có:

  1. cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc},

  2. cos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac},

  3. cos⁡C=a2+b2−c22ab.\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}.

Định lý hàm số SIN:

Trong tam giác ABCABC ta có:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

Hệ quả: Với mọi tam giác ABCABC, ta có:

a=2Rsin⁡A;b=2Rsin⁡B;c=2Rsin⁡Ca=2R\sin A;b=2R\sin B;c=2R\sin C

Ghi nhớ: Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Định lý về đường trung tuyến:

Trong tam giác ABCABC ta có:

ma2=b2+c22−a24mb2=a2+c22−b24mc2=a2+b22−c24\begin{aligned} m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \\ m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \\ m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4} \\ \end{aligned}

Định lý về diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABCABC được tính theo các công thức sau:

  1. S=12aha=12bhb=12chcS=\frac{1}{2}a{{h}_{a}}=\frac{1}{2}b{{h}_{b}}=\frac{1}{2}c{{h}_{c}}

  2. S=12absin⁡A=12acsin⁡B=12bcsin⁡AS=\frac{1}{2}ab\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A

  3. S=abc4RS=\frac{abc}{4R}

  4. S=prS=pr

  5. S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Định lý về đường phân giác:

la=2bc.cos⁡A2b+c;lb=2ac.cos⁡B2a+c;lc=2abcos⁡C2a+b{{l}_{a}}=\frac{2bc.\cos \frac{A}{2}}{b+c};{{l}_{b}}=\frac{2ac.\cos \frac{B}{2}}{a+c};{{l}_{c}}=\frac{2ab\cos \frac{C}{2}}{a+b}

II. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=BA=B ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau:

  • Phương pháp 1: Biến đổi vế này thành vế kia.

  • Phương pháp 2: Xuất phát từ một một hệ thức đúng đã biết để suy ra đẳng thức cần chứng minh.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:

  1. sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C=4.cos⁡A2.cos⁡B2.cos⁡C2\sin A+\sin B+\sin C=4.\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}

  2. sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=2+2cos⁡A.cos⁡B.cos⁡C{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C=2+2\cos A.\cos B.\cos C

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:

  1. tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A.tan⁡B.tan⁡C\tan A+\tan B+\tan C=\tan A.\tan B.\tan C (Δ\DeltaABC không vuông)

  2. tan⁡A2.tan⁡B2+tan⁡B2.tan⁡C2+tan⁡C2.tan⁡A2=1\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}=1

Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

Bất đẳng thức trong tam giác:

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì:

  • a>0,b>0,c>0a > 0, b > 0, c > 0

  • ∣b−c∣<a<b+c\left| b-c \right|<a<b+c

  • ∣c−a∣<b<c+a\left| c-a \right|<b<c+a

  • ∣a−b∣<c<a+b\left| a-b \right|<c<a+b

  • a>b>c⇔A>B>Ca>b>c\Leftrightarrow A>B>C

Các bất đẳng thức cơ bản: Mời các bạn xem trong bài Các bất đẳng thức thường sử dụng

Để chứng minh đẳng thức lượng giác A<BA<B ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau:

  • Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến một bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

  • Phương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết (Cô si, BCS,…) để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.ABC. Chứng minh rằng: 

sin⁡A2.sin⁡B2.sin⁡C2⩽18\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\le \frac{1}{8}

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.ABC. Chứng minh rằng:

  1. cos⁡A2+cos⁡B2+cos⁡C2⩽332\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}

  2. sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C⩽332\sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}

  3. tan⁡A2+tan⁡B2+tan⁡C2⩾3\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\ge \sqrt{3}

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC.ABC. Chứng minh rằng:

  1. cos⁡A2.cos⁡B2.cos⁡C2⩽338\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{8}

  2. tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C⩾33\tan A+\tan B+\tan C\ge 3\sqrt{3}

  3. tan⁡A2.tan⁡B2.tan⁡C2⩽133\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}\le \frac{1}{3\sqrt{3}}

Dạng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Phương pháp:

  1. Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi các điều kiện của đề bài thành một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác (vuông, cân, đều…)

  2. Chứng minh bất đẳng thức A⩾BA\ge B hoặc A⩽BA\le B để tìm điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đó là tam giác đã cho phải vuông, cân, đều,…

VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1: Tam giác ABC có sin⁡A+cos⁡Bsin⁡B+cos⁡A=tan⁡A.\frac{\sin A+\cos B}{\sin B+\cos A}=\tan A. Chứng minh rằng Δ\DeltaABC vuông.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu ΔABC\Delta ABC thỏa mãn điều kiện cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C+1=0\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1=0 thì tam giác đó là tam giác vuông

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABCABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác cân:

  1. tan⁡A+tan⁡B=2.cot⁡C2\tan A+\tan B=2.\cot \frac{C}{2}

  2. sin⁡A+sin⁡B+sin⁡Csin⁡A+sin⁡B−sin⁡C=cot⁡A2.cot⁡C2\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin A+\sin B-\sin C}=\cot \frac{A}{2}.\cot \frac{C}{2}

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác ABCABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác đều

  1. cos⁡A.cos⁡B.cos⁡C=18\cos A.\cos B.\cos C=\frac{1}{8}

  2. cos⁡A21+cos⁡A+cos⁡B21+cos⁡B+cos⁡C21+cos⁡C=3\frac{\cos \frac{A}{2}}{1+\cos A}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{1+\cos B}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{1+\cos C}=\sqrt{3}

  3. cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C=sin⁡A2+sin⁡B2+sin⁡C2\cos A+\cos B+\cos C=\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}

  4. 1cos⁡A+1cos⁡B+1cos⁡C=1sin⁡A2+1sin⁡B2+1sin⁡C2\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}=\frac{1}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}}

Ví dụ 5: Xác định dạng của tam giác ABCABC biết:

  1. a+b=tan⁡C2(a.tan⁡A+b.tan⁡B)a+b=\tan \frac{C}{2}(a.\tan A+b.\tan B)

  2. bcos⁡B+ccos⁡C=asin⁡B.sin⁡C\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B.\sin C}

  3. cos⁡B+cos⁡C=b+ca\cos B+\cos C=\frac{b+c}{a}

  4. a.cos⁡A+b.cos⁡B+c.cos⁡Ca+b+c=12\frac{a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C}{a+b+c}=\frac{1}{2}

Ví dụ 6: Hãy tính các góc của tam giác ABCABC nếu trong tam giác đó ta có:

sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=94+3cos⁡C+cos⁡2C{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C=\frac{9}{4}+3\cos C+{{\cos }^{2}}C

Ví dụ 7: Tính các góc của tam giác ABCABC biết rằng:

{4p(p−a)⩽bcsin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2=23−38\begin{cases} 4p(p-a)\le bc \\ \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{3}-3}{8} \end{cases}

trong đó BC = a, AB = c, p=a+b+c2.p=\frac{a+b+c}{2}.

NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP

Tự kiểm tra kiến thức

Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.

✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Ôn tập Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Toàn diện Lý thuyết, Ma trận Giải tam giác và Đề kiểm tra 45 phút

Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 4 Toán 9: Tỉ số lượng giác góc nhọn, hai góc phụ nhau, hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông, ứng dụng đo đạc thực tế kèm widget mô phỏng tương tác, 10 quiz và đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận barem điểm.

Đọc bài học
Toán họcBài học

Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông và ứng dụng - Giải tam giác vuông & Đo đạc thực tế

Lý thuyết toàn diện và bài tập Bài 12 Toán 9: Hệ thức giữa cạnh góc vuông với cạnh huyền và góc nhọn, quy trình 4 trường hợp giải tam giác vuông, bài toán đo chiều cao khoảng cách thực tế, widget giải tam giác vuông và 10 quiz có giải chi tiết.

Đọc bài học
Toán họcBài học

Toán 9 Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác - Tâm, Bán kính & Hệ thức Vàng

Lý thuyết chuẩn mực Bài 28 Toán 9: Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác, vị trí tâm O (trung trực), tâm I (phân giác), công thức tính R và r cho tam giác đều, tam giác vuông, widget tương tác hình học và 10 câu trắc nghiệm tự chấm.

Đọc bài học