Bài tập Toán 12: Ứng dụng hình học của tích phân

Tóm tắt chuyên đề: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và khối tròn xoay Toán 12 kèm bài tập thực tế và hướng dẫn giải chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Diện tích hình thang cong

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành, x=a và x=bHàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$.

• Trường hợp $f\left ( { x } \right. )>0$ trên $\left[ a;b \right]$, Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $f\left ( { x } \right. )$,$Ox$ và hai đường thẳng $x=a$,$x=b$: .

• Trường hợp $f\left ( { x } \right. )≤0$ trên $\left[ a;b \right]$, ta có $-f\left ( { x } \right. )≥0$ $S$ hình thang cong $aABb=$ $S$ hình thang cong $aA'B'b$. ($aA'B'b$ là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành). Do đó:

Tổng quát:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục,$Ox$ và hai đường thẳng $x=a$,$x=b$ được tính:

• Giả sử hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$. Nếu $f\left ( { x } \right. )$ không đổi dấu trên $\left[ a;b \right]$ thì:Chú ý

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, x=a và x=bCho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ và $y=g\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và đường thẳng $x=a$,$x=b$.

• Xét trường hợp $f\left ( { x } \right. )≥g\left ( { x } \right. )\,∀x∈\left[ a;b \right]$ Gọi $S$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi $\left\{ \begin{array}{l} Oxx=ax=b \end{array} \right.$ và $y=f\left ( { x } \right. )$;$y=g\left ( { x } \right. )$. Khi đó diện tích: .

Tổng quát:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left ( { x } \right. )$ và $g\left ( { x } \right. )$ và hai đường thẳng $x=a$,$x=b$ được tính:

2. Thể tích hình khối:

Định nghĩa

• Gọi $B$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b,$ $S\left ( { x } \right. )$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x,$ $\left ( { a≤x≤b } \right. )$

  

Giả sử $S\left ( { x } \right. )$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ Khi đó, thể tích của vật thể $B$ được xác định: .

3. Thể tích khối tròn xoay:

Định nghĩa

• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left ( { x } \right. )$,$Ox$, và hai đường thẳng $x=a,{ \rm{ } }x=b$ quanh trục $Ox:$

  

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Xây dựng công thức tính diện tích theo hình vẽ

• Xác định công thức diện tích hình phẳng:
• Bước 1: Xác định đồ thị của các hàm số được cho trên hình vẽ.
• Bước 2: Xác định các vị trí tương giao giữa các đồ thị.
• Bước 3: Áp dụng công thức tính diện tích .
• Bước 4: Phá trị tuyệt đối: Lấy công thức hàm số của đồ thị nằm trên trừ công thức hàm số của đồ thị nằm dưới
• Xác định công thức thể tích khối tròn xoay:
• Bước 1: Xác định đồ thị của các hàm số được cho trên hình vẽ.
• Bước 2: Xác định các vị trí tương giao giữa các đồ thị.
• Bước 3: Áp dụng công thức tính diện tích . Phương pháp

Ví dụ 1.1. Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Xây dựng công thức tính S?

Lời giải:

Thấy rằng đồ thị hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm $x=-1;x=1;x=2$.

Do đó .

Ví dụ 1.2. Cho đồ thị $y=f\left ( { x } \right. )$ như hình vẽ bên. Xác định công thức diện tích miền được gạch sọc ở hình bên.

Lời giải:

Ta có:$\left ( { H } \right. ):\left\{ \begin{array}{l} y=-x ^ { 2 } +3y=x ^ { 2 } -2x-1x=-1;\,x=2 \end{array} \right.$.

Ta có: (do trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ phần đồ thị $y=-x ^ { 2 } +3$ nằm trên đồ thị $y=x ^ { 2 } -2x-1$).

Ví dụ 1.3. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục $Ox$. Quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích $V$ được xác định theo công thức gì?

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$:

Ví dụ 1.4. Cho hình phẳng $\left ( { H } \right. )$ giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f_{ 1 } \left ( { x } \right. )$ và $f_{ 2 } \left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\left[ a;\ b \right]$ và đường thẳng $x=a$,$x=b$. Công thức tính diện tích của hình $\left ( { H } \right. )$ là?

Lời giải:

Thấy rằng đồ thị hàm số $y=f_{ 1 } \left ( { x } \right. )$ cắt $y=f_{ 2 } \left ( { x } \right. )$ tại hai điểm $x=c_{ 1 } ;x=c_{ 2 }$.

Xét trong $\left[ a;c_{ 1 } \right]:f_{ 1 } \left ( { x } \right. )≥f_{ 2 } \left ( { x } \right. )$;

Xét trong $\left[ c_{ 1 } ;c_{ 2 } \right]:f_{ 1 } \left ( { x } \right. )≤f_{ 2 } \left ( { x } \right. )$ và

Xét trong $\left[ c_{ 2 } ;b \right]:f_{ 1 } \left ( { x } \right. )≥f_{ 2 } \left ( { x } \right. )$

Vậy

Dạng 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox và x=a, x=b

Diện tích hình phẳng giới hạn: . Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

• Bước 1: Giải $f\left ( { x } \right. )=0$ tìm nghiệm $x_{ 1 } ,x_{ 2 } ,...,x_{ n } ∈\left ( { a;b } \right. )$ $\left ( { a < x_{ 1 } < x_{ 2 } < ... < x_{ n } < b } \right. )$.
• Bước 2: Tính Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp

Ví dụ 2.1. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x ^ { 2 }$, trục hoành $Ox$, các đường thẳng $x=1$,$x=2$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Diện tích hình phẳng là $=\left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right. ._{ 1 } ^{ 2 }$ $=\frac { 8 } { 3 }-\frac { 1 } { 3 }$ $=\frac { 7 } { 3 }$.

Ví dụ 2.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\left ( { x-2 } \right. ) ^ { 2 } -1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,\,x=2$ bằng

Lời giải:

Xét phương trình $\left ( { x-2 } \right. ) ^ { 2 } -1=0⇔$.

Ta có:.

Ví dụ 2.3. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $y=x ^ { 2 } -2x$,$y=0$,$x=-4$,$x=1$

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:$x ^ { 2 } -2x=0⇔\left[ x=0x=2 \right.$.

Diện tích:$=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x ^ { 2 } } \right. ) } \right. ._{ -4 } ^{ 0 }-\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x ^ { 2 } } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ 1 }$ $=38$.

Ví dụ 2.4. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x ^ { 3 } -1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=2$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $x ^ { 3 } -1=0⇔x=1$.

$=\left | { \left ( { x-\frac { x ^ { 4 } } { 4 } } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x } \right. ) } \right. ._{ 1 } ^{ 2 }=\frac { 7 } { 2 }$.

Ví dụ 2.5. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{ x }$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$;$x=4$ khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{ x }$, trục $Ox$,$x=1$ và $x=4$ được tính bởi công thức .

Dạng 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x) và x=a, x=b

Diện tích hình phẳng giới hạn: . Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

• Bước 1: Giải $f\left ( { x } \right. )=g\left ( { x } \right. )$ tìm nghiệm $x_{ 1 } ,x_{ 2 } ,...,x_{ n } ∈\left ( { a;b } \right. )$ $\left ( { a < x_{ 1 } < x_{ 2 } < ... < x_{ n } < b } \right. )$.
• Bước 2: Tính Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số $y=x ^ { 4 } -4x ^ { 2 } +4,$ $y=x ^ { 2 } ,$ đường thẳng $x=0$,$x=1.$

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì $x ^ { 4 } -5x ^ { 2 } +4=\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right. )\left ( { x ^ { 2 } -4 } \right. )≥0$ $∀x∈\left[ 0;1 \right]$

Nên

Ví dụ 3.2. Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=x\left ( { 1-x } \right. )$ và $y=x ^ { 3 } -x$ có diện tích bằng?

Lời giải:

$$x\left ( { 1-x } \right. )=x ^ { 3 } -x⇔x ^ { 3 } +x ^ { 2 } -2x=0⇔\left[ x=0x=-2x=1 \right.$$

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=x\left ( { 1-x } \right. )$ và $y=x ^ { 3 } -x$.

Khi đó

( đvdt).

Ví dụ 3.3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:⑴$y=e ^ { x } ,\ y=x ^ { 2 } -1,\ x=-1,\ x=1$;⑵$y=sinx,\ y=x,\ x=\frac { π } { 2 },\ x=π$.

Lời giải:

⑴$y=e ^ { x } ,\ y=x ^ { 2 } -1,\ x=-1,\ x=1$;

Xét $x∈\left[ -1;1 \right]$:$\left\{ \begin{array}{l} e ^ { x } >0-\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right. )≥0 \end{array} \right.$ $⇒e ^ { x } -\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right. )>0$ $⇒\left | { e ^ { x } -\left ( { x ^ { 2 } -1 } \right. ) } \right. |=e ^ { x } -x ^ { 2 } +1$.

Diện tích

⑵$y=sinx,\ y=x,\ x=\frac { π } { 2 },\ x=π$.

Xét $x∈\left[ \frac { π } { 2 };π \right]$:$sinx≤1 < x$ $⇒sinx-x < 0$ $⇒\left | { sinx-x } \right. |=x-sinx$.

Diện tích .

Ví dụ 3.4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:⑴$y=e ^ { x } ,\ y=x ^ { 2 } ,\ x=0,\ x=1$;⑵$y=cosx,\ y=x+1,\ x=\frac { π } { 2 },\ x=π$.

Lời giải:

⑴$y=e ^ { x } ,\ y=x ^ { 2 } ,\ x=0,\ x=1$;

Xét $x∈\left[ 0;1 \right]$ $\left\{ \begin{array}{l} e ^ { x } ≥1x ^ { 2 } ≤1 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} e ^ { x } ≥1-x ^ { 2 } ≥-1 \end{array} \right.$ $⇒e ^ { x } -x ^ { 2 } ≥0$ $⇒\left | { e ^ { x } -x ^ { 2 } } \right. |=e ^ { x } -x ^ { 2 }$

Diện tích .

⑵$y=cosx,\ y=x+1,\ x=\frac { π } { 2 },\ x=π$.

Xét $x∈\left[ \frac { π } { 2 };π \right]$:$cosx≤1 < x+1$ $⇒cosx-\left ( { x+1 } \right. ) < 0$ $⇒\left | { cosx-\left ( { x+1 } \right. ) } \right. |=x+1-cosx$.

Diện tích .

Ví dụ 3.5. Tìm $a$ để diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $\left ( { P } \right. ):y=\frac { x ^ { 2 } -2x } { x-1 },$ đường thẳng $d:y=x-1$ và $x=a,$ $x=2a$ $(a>1)$ bằng $ln3$?

Lời giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $(P):y=\frac { x ^ { 2 } -2x } { x-1 },$ đường thẳng $d:y=x-1$ và $x=a,$ $x=2a$ $(a>1)$ là

.

Do $a>1$ nên $a=2$.

Dạng 4. Thể tích vật thể tính theo mặt cắt vuông góc trục hoành

• Gọi $B$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a$ và $b,$ $S\left ( { x } \right. )$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x,$ $\left ( { a≤x≤b } \right. )$

  

Giả sử $S\left ( { x } \right. )$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ Khi đó, thể tích của vật thể $B$ được xác định: . Phương pháp

Ví dụ 4.1. Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3,$ biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1≤x≤3)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $3x$ và $x ^ { 2 }$

Lời giải:

Ta có diện tích thiết diện:$S\left ( { x } \right. )=3x.x ^ { 2 } =3x ^ { 3 }$.

Khi đó .

Ví dụ 4.2. Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=π$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left ( { 0≤x≤π } \right. )$ là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{ sinx }$.

Lời giải:

Ta có diện tích thiết diện:$$S\left ( { x } \right. )=\left ( { 2\sqrt{ sinx } } \right. ) ^ { 2 } .\frac { \sqrt{ 3 } } { 4 }=\sqrt{ 3 }sinx.$$

.

Ví dụ 4.3. Cho phần vật thể $\left ( { ℑ } \right. )$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=0$ và $x=2$. Cắt phần vật thể $\left ( { ℑ } \right. )$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left ( { 0≤x≤2 } \right. )$, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x\sqrt{ 2-x }$. Tính thể tích $V$ của phần vật thể $\left ( { ℑ } \right. )$.

Lời giải:

Ta có diện tích thiết diện:$S\left ( { x } \right. )=\frac { x ^ { 2 } \left ( { 2-x } \right. )\sqrt{ 3 } } { 4 }$.

$=\left | { \frac { \sqrt{ 3 } } { 4 }\left ( { \frac { 2 } { 3 }x ^ { 3 } -\frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { \sqrt{ 3 } } { 3 }$.

Ví dụ 4.4. Cho hình phẳng $\left ( { H } \right. )$ được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{ m ^ { 2 } -x ^ { 2 } }$ ($m$ là tham số khác $0$) và trục hoành. Khi $\left ( { H } \right. )$ quay xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích $V$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $V < 1000π$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là:

$\sqrt{ m ^ { 2 } -x ^ { 2 } }=0⇔x=±m$

Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:

Ta có:$V < 1000π$ $⇔\frac { 4πm ^ { 2 } \left | { m } \right. | } { 3 } < 1000π$ $⇔\left | { m } \right. | ^ { 3 } < 750$ $⇔-\sqrt[3] { 750 } < m < \sqrt[3] { 750 }$.

Ta có $\sqrt[3] { 750 }\simeq 9,08$ và $m≠0$.

Suy ra, các giá trị $m$ nguyên là $m∈\left\{ \begin{array}{l} -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \end{array} \right\}$

Vậy có $18$ giá trị nguyên của m.

Dạng 5. Thể tích khối tròn xoay

Xoay miền hình phẳng giới hạn:$\left\{ \begin{array}{l} y=f\left ( { x } \right. )Ox;x=a;x=b \end{array} \right.$ quanh trục $Ox$.

• Bước 1: Giải $f\left ( { x } \right. )=0⇔x=c\,;\,c∈\left[ a;b \right]$.
• Bước 2: Tính Phương pháp

Ví dụ 5.1. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục $Ox$:$y=2x-x ^ { 2 } ,\,y=0,\,x=0,\,x=2$.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay $=\frac { 16π } { 15 }$.

Ví dụ 5.2. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{ tanx }$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$,$x=\frac { { \rm{ π } } } { 4 }$ quanh trục hoành là

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay cần tính là $=-{ \rm{ π } }\left | { ln\left | { cosx } \right. | } \right. ._{ 0 } ^{ \frac { { \rm{ π } } } { 4 } }$ $=\frac { { \rm{ π } }ln2 } { 2 }$.

Ví dụ 5.3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left ( { H } \right. )$ giới hạn bởi các đường cong quay quanh trục hoành⑴$y=\sqrt{ 2+sinx }$, Ox và $x=0$,$x=π$. ;⑵$y=x ^ { 2 } +3,{ \rm{ } }y=0,{ \rm{ } }x=0,{ \rm{ } }x=2$.

Lời giải:

⑴$y=\sqrt{ 2+sinx }$, Ox và $x=0$,$x=π$. ;

Ta có:$=π\left | { \left ( { 2x-cosx } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ π }=2π\left ( { π+1 } \right. )$.

⑵$y=x ^ { 2 } +3,{ \rm{ } }y=0,{ \rm{ } }x=0,{ \rm{ } }x=2$.

Ta có:

Ví dụ 5.4. Khối chỏm cầu có bán kính $R$ và chiều cao $h$ $\left ( { 0 < h≤R } \right. )$ sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{ R ^ { 2 } -x ^ { 2 } }$, trục hoành và hai đường thẳng $x=R-h$,$x=R$ xung quanh trục $Ox$. Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Lời giải:

Ta có thể tích của khối chỏm cầu là

$=π\left ( { Rh ^ { 2 } -\frac { h ^ { 3 } } { 3 } } \right. )$.

Dạng 6. Từ đồ thị tính diện tích hình phẳng

• **Trường hợp 1:**$\left\{ \begin{array}{l} y=f\left ( { x } \right. )y=g\left ( { x } \right. ) \end{array} \right.→$ diện tích hình phẳng cần tìm là .

• Bước 1: Quan sát đồ thị thấy $f\left ( { x } \right. )-g\left ( { x } \right. )=0⇔x=c\,;\,c∈\left[ a;b \right]$.
• Bước 2: Xét hiệu $f\left ( { x } \right. )-g\left ( { x } \right. )$ trên các đoạn $\left[ a;c \right];\left[ c;b \right]$. Giả sử trên $\left\{ \begin{array}{l} \left[ a;c \right]:f\left ( { x } \right. )-g\left ( { x } \right. )>0\left[ c;b \right]:f\left ( { x } \right. )-g\left ( { x } \right. ) < 0 \end{array} \right.$.
• Bước 3: Khi đó
• **Trường hợp 2:**$\left\{ \begin{array}{l} y=f\left ( { x } \right. )Ox:y=0 \end{array} \right.→$ diện tích hình phẳng cần tìm là .

• Bước 1: Quan sát đồ thị thấy $f\left ( { x } \right. )-0=0⇔x=c\,;\,c∈\left[ a;b \right]$.
• Bước 2: Xét hiệu $f\left ( { x } \right. )-0$ trên các đoạn $\left[ a;c \right];\left[ c;b \right]$. Giả sử trên $\left\{ \begin{array}{l} \left[ a;c \right]:f\left ( { x } \right. )-0>0\left[ c;b \right]:f\left ( { x } \right. )-0 < 0 \end{array} \right.$.
• Bước 3: Khi đó . Phương pháp

Ví dụ 6.1. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $\left ( { H } \right. )$ giới hạn bởi các đường $y=f\left ( { x } \right. )$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$,$x=2$. Đặt ,, Khi đó tính $S$ theo $a;b$.

Lời giải:

Ta có: .

Ta thấy $$f\left ( { x } \right. )≥0\, ∀x∈\left[ 0;2 \right];f\left ( { x } \right. )≤0 \,∀x∈\left[ -1;0 \right]$$

Ví dụ 6.2. Cho các hàm số $y=x ^ { 2 } -2x-1$ và $y=-x ^ { 2 } +3$ có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định công thức và tính diện tích miền được gạch sọc ở hình bên.

Lời giải:

Ta có:$\left ( { H } \right. ):\left\{ \begin{array}{l} y=-x ^ { 2 } +3y=x ^ { 2 } -2x-1 \end{array} \right.$ và $-x ^ { 2 } +3=x ^ { 2 } -2x-1⇔\left[ x=-1x=2 \right.$

Ta có: .

Ví dụ 6.3. Cho hình thang cong $\left ( { H } \right. )$ giới hạn bởi các đường $y=e ^ { x }$,$y=0$,$x=0$,$x=ln4$. Đường thẳng $x=k\left ( { 0 < k < ln4 } \right. )$ chia $\left ( { H } \right. )$ thành hai phần có diện tích là ${ \rm{ S } }_{ { \rm{ 1 } } }$ và ${ \rm{ S } }_{ { \rm{ 2 } } }$ như hình vẽ bên. Tìm ${ \rm{ k } }$ để $S_{ 1 } =2S_{ 2 }$.

Lời giải:

Ta có và

Ta có $$S_{ 1 } =2S_{ 2 } ⇔e ^ { k } -1=2\left ( { 4-e ^ { k } } \right. )⇔k=ln3.$$

Dạng 7. Từ diện tích hình phẳng tính giá trị hàm

Áp dụng định nghĩa tích phân: . Thì lúc này đề bài yêu cầu so sánh $F\left ( { b } \right. )$;$F\left ( { a } \right. )$.

Bài toán: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục có đồ thị như hình.$F\left ( { x } \right. )$ là nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên $\left[ a;c \right]$ So sánh $$F\left ( { a } \right. );F\left ( { c } \right. );F\left ( { x_{ i } } \right. )\,\,x_{ i } ∈\left[ a;c \right].$$

• Bước 1: So sánh $F\left ( { a } \right. );F\left ( { b } \right. )$. Trên $\left[ a;b \right]:f\left ( { x } \right. )>0→$ Mà .
• Bước 2: Tương tự so sánh $F\left ( { b } \right. );F\left ( { c } \right. )$.
• Bước 3: Ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \begin{array}{l} y=f\left ( { x } \right. )Oxx=a;x=b \end{array} \right.$ lớn hơn $\left\{ \begin{array}{l} y=f\left ( { x } \right. )Oxx=b;x=c \end{array} \right.$.$⇒F\left ( { b } \right. )-F\left ( { a } \right. )>-F\left ( { c } \right. )+F\left ( { b } \right. )⇔-F\left ( { a } \right. )>-F\left ( { c } \right. )→F\left ( { a } \right. ) < F\left ( { c } \right. )$. Phương pháp

Ví dụ 7.1. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ xác định, liên tục và có một nguyên hàm là $F\left ( { x } \right. )$ trên $\left[ -2;1 \right]$ đồng thời $f\left ( { x } \right. )$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi các số sau:$F\left ( { 2 } \right. )-F\left ( { -2 } \right. )$;$F\left ( { -2 } \right. )-F\left ( { 1 } \right. )$;$F\left ( { 2 } \right. )-F\left ( { 1 } \right. )$;$F\left ( { 2 } \right. )-F\left ( { 0 } \right. )$ có bao nhiêu số dương?

Lời giải:

$$⇔F\left ( { 1 } \right. )-F\left ( { 0 } \right. )=F\left ( { 1 } \right. )-F\left ( { 2 } \right. )⇔F\left ( { 0 } \right. )=F\left ( { 2 } \right. )$$

Mặt khác ta có

$⇔F\left ( { 1 } \right. )-F\left ( { -2 } \right. )>F\left ( { 1 } \right. )-F\left ( { 2 } \right. )$ $⇔F\left ( { -2 } \right. ) < F\left ( { 2 } \right. )⇔F\left ( { 2 } \right. )-F\left ( { -2 } \right. )>0$

Vậy $F\left ( { 2 } \right. )-F\left ( { -2 } \right. )$ là số dương.

Ví dụ 7.2. Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số $y=f'\left ( { x } \right. )$ như trong hình vẽ bên. Hãy so sánh các số $$f\left ( { a } \right. );f\left ( { b } \right. );f\left ( { c } \right. ).$$

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left ( { b } \right. )>f\left ( { c } \right. )$,$f\left ( { a } \right. ) < f\left ( { b } \right. )$ nên loại phương án B, C

Mặt khác

$⇒\left | { f\left ( { x } \right. ) } \right. ._{ a } ^{ b }>-\left | { f\left ( { x } \right. ) } \right. ._{ b } ^{ c }⇔f\left ( { b } \right. )-f\left ( { a } \right. )>-f\left ( { c } \right. )+f\left ( { b } \right. )⇔f\left ( { a } \right. ) < f\left ( { c } \right. )$

Vậy $f\left ( { a } \right. ) < f\left ( { c } \right. ) < f\left ( { b } \right. )$.

Ví dụ 7.3. Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ có đồ thị trên đoạn $\left[ -4;4 \right]$ như hình vẽ. Gọi $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left ( { x } \right. )$, tính giá trị của $S=F\left ( { 4 } \right. )-F\left ( { -4 } \right. )$.

Lời giải:

; ;

Vậy $S=14+2π$.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.

IV. Bài tập trắc nghiệm Đúng / Sai (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh trả lời từ câu hỏi dưới đây. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\left[ a;\,d \right]$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết đồ thị $f\left ( { x } \right. )$ cắt trục hoành tại 4 điểm $a,\,b,\,c,\,d$, đồng thời tạo với trục hoành và 2 đường thẳng $x=a,\,x=d$ thành một hình phẳng $\left ( { H } \right. )$ gồm 3 phần có diện tích lần lượt là $S_{ 1 } ,\,S_{ 2 } ,\,S_{ 3 }$ như hình vẽ.

Câu 2: Cho hai hàm số $f\left ( { x } \right. )=-x ^ { 2 } +4$ và $g\left ( { x } \right. )=x-1$. Khi đó:

Câu 3: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên $\left[ -3;\,3 \right]$ có đồ thị như hình vẽ, Biết rằng $f\left ( { x } \right. )$ tạo với trục hoành và 2 đường thẳng $x=-3,\,x=3$ một hình phẳng $\left ( { H } \right. )$ gồm 2 phần có diện tích lần lượt là $S_{ 1 } ,\,S_{ 2 }$.