Bài tập Toán 12: Phương trình mặt cầu trong không gian $Oxyz$

Tóm tắt chuyên đề: Dạng phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính, vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng trong Oxyz Toán 12 có hướng dẫn giải chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu:LOẠI 1LOẠI 2Phương Trình $\left ( { x-a } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-c } \right. ) ^ { 2 } =R ^ { 2 }$ $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2ax-2by-2cz+d=0$ Xác ĐịnhTâmLấy hệ số tự do trong ngoặc $÷-1$. Lấy hệ số trước $x\,;\,y\,;\,z$ $÷-2$. Bán KínhLấy căn bậc 2 vế phải.$R=\sqrt{ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d }$. Điều kiện tồn tại:$a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d>0$.

2. Vị trí tương đối

Giữa mặt cầu và điểm:Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ và $S\left ( { I\,;\,R } \right. )$. Khi đó:ĐiểmMặt cầuNằm ngoài $⇔IM∩\left ( { S } \right. )=H$ Nằm trên $⇔IM∩\left ( { S } \right. )=M≡H$ Nằm trong $⇔IM∩\left ( { S } \right. )=∅$ $IM>R$ $IM=R$ $IM < R$

Giữa mặt cầu và mặt phẳng:Trong không gian $Oxyz$, cho $\left ( { α } \right. ):Ax+By+Cz+D=0$ và $S\left ( { I\,;\,R } \right. )$. Khi đó:Mặt phẳngMặt cầuKhông cắt $⇔\left ( { α } \right. )∩\left ( { S } \right. )=∅$ Tiếp xúc $⇔\left ( { α } \right. )∩\left ( { S } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} M \end{array} \right\}$ Cắt theo giao tuyến là đường tròn $⇔\left ( { α } \right. )∩\left ( { S } \right. )=C\left ( { I'\,;r } \right. )$ $d\left ( { I\,;\,\left ( { α } \right. ) } \right. )>R$ $d\left ( { I\,;\,\left ( { α } \right. ) } \right. )=R$ $⇔$ Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại điểm $M$.$d\left ( { I\,;\,\left ( { α } \right. ) } \right. ) < R$ $⇔$ $\left ( { α } \right. )$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm $I'$ và bán kính $r$.$R=\sqrt{ r ^ { 2 } +d ^ { 2 } \left ( { I\,;\,\left ( { α } \right. ) } \right. ) }$.

Giữa mặt cầu và mặt phẳng:Trong không gian $Oxyz$, cho $$\Delta :\frac { x-x_{ 0 } } { a }=\frac { y-y_{ 0 } } { b }=\frac { z-z_{ 0 } } { c }$$ và $S\left ( { I\,;\,R } \right. )$. Khi đó:Đường thẳngMặt cầuKhông cắt $⇔\Delta ∩\left ( { S } \right. )=∅$ Tiếp xúc $⇔\Delta ∩\left ( { S } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} H \end{array} \right\}$ Cắt tại hai điểm A;B $⇔\Delta ∩\left ( { S } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} A\,;\,B \end{array} \right\}$ $d\left ( { I\,;\,\Delta } \right. )>R$ $d\left ( { I\,;\,\Delta } \right. )=R$ $⇔$Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu tại điểm $H$ $d\left ( { I\,;\,\Delta } \right. ) < R$ $⇔$ $R=\sqrt{ \frac { AB } { 4 } ^ { 2 } +d ^ { 2 } \left ( { I\,;\,\Delta } \right. ) }$

Dạng 1. Xác định tâm – bán kính – nhận biết phương trình mặt cầu

LOẠI 1LOẠI 2Phương Trình $\left ( { x-a } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-c } \right. ) ^ { 2 } =R ^ { 2 }$ $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2ax-2by-2cz+d=0$ Nhận xét⑴ Hệ số trước $x,y,z$ bằng nhau và bằng 1.⑵ Hệ số trước các ngoặc bằng nhau và bằng 1.⑶ Vế phải là hằng số dương.⑴ Hệ số trước $x ^ { 2 } ,y ^ { 2 } ,z ^ { 2 }$ bằng nhau và bằng 1.⑵ Phương trình đầy đủ $x ^ { 2 } ,y ^ { 2 } ,z ^ { 2 }$⑶ Thỏa mãn điều kiện tồn tại $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d>0$ Xác ĐịnhTâmLấy hệ số tự do trong ngoặc $÷-1$. Lấy hệ số trước $x\,;\,y\,;\,z$ $÷-2$. Bán KínhLấy căn bậc 2 vế phải.$R=\sqrt{ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d }$. Điều kiện tồn tại:$a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d>0$. Định nghĩa $S\left ( { I;\,R } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} M\|IM=R>0 \end{array} \right\}$. Cho hai điểm $A,\,B$ cố định. Nếu $MA⊥MB$ thì tập hợp điểm $M$ là mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ có tâm $I$ là trung điểm $AB$ và bán kính $R=\frac { AB } { 2 }$ Phương pháp

Ví dụ 1.1. Trong không gian $Oxyz$,xác định tọa độ tâm và bán kính các mặt cầu sau:⑴$\left ( { S } \right. ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+4y-6z-2=0.$⑵$\left ( { S } \right. ):\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y+2 } \right. ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =9$

Lời giải:

⑴$\left ( { S } \right. ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+4y-6z-2=0.$

Mặt cầu $\left ( { S } \right. ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+4y-6z-2=0$ là $I\left ( { 1;-2;3 } \right. )$ và $R=\sqrt{ 1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } +3 ^ { 2 } -\left ( { -2 } \right. ) }=4$

⑵$\left ( { S } \right. ):\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y+2 } \right. ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =9$

Mặt cầu $\left ( { S } \right. ):\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y+2 } \right. ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =9$ có tọa độ tâm $I\left ( { 1\,;\,-2\,;\,0 } \right. )$ và $R=3$.

Ví dụ 1.2. Trong không gian $Oxyz$,cho các phương trình sau:⑴$2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2xxy$⑵$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+2y=0$⑶$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2x-2y+1=0$⑷$\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } =2xy-z ^ { 2 } +1-4x$ Có bao nhiêu phương trình mặt cầu và mặt cầu đấy nhận $I\left ( { -1\,;\,1\,;\,0 } \right. )$ làm tâm?

Lời giải:

⑴$2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2xxy$

$2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2xxy$ $⇔2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2xy-z ^ { 2 } +2xxy$

$$⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+1=0⇔\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =0$$ không là phương trình mặt cầu.

⑵$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+2y=0$

$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+2y=0$

Kiểm tra:$1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } =2>0$ là phương trình mặt cầu, có tâm $I\left ( { 1\,;\,-1\,;\,0 } \right. )$.

⑶$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2x-2y+1=0$

$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2x-2y+1=0$.

Kiểm tra:$\left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } -1=1>0$ là phương trình mặt cầu, có tâm $I\left ( { -1\,;\,1\,;\,0 } \right. )$.

⑷$\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } =2xy-z ^ { 2 } +1-4x$

$\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } =2xy-z ^ { 2 } +1-4x$ $$⇔x ^ { 2 } +2xy+y ^ { 2 } -2xy+z ^ { 2 } -1+4x=0⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +4x-1=0$$

Kiểm tra:$\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } -\left ( { -1 } \right. )=5>0$ là phương trình mặt cầu, có tâm $I\left ( { -2\,;\,0\,;\,0 } \right. )$.

Vậy, phương trình là phương trình mặt cầu và nhận

Ví dụ 1.3. Trong không gian $Oxyz$,cho các phương trình sau:⑴$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x=0$⑵$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2x-y+1=0$⑶$2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2x-1$⑷$\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } =2xy-z ^ { 2 } -1$ Có bao nhiêu phương trình mặt cầu?

Lời giải:

⑴$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x=0$

$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x=0$ có tâm $I\left ( { 1\,;\,0\,;\,0 } \right. )$ và $R=\sqrt{ 1 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=1$ là phương trình mặt cầu.

⑵$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2x-y+1=0$

$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2x-y+1=0$ không là phương trình mặt cầu vì hệ số trước $z ^ { 2 }$ khác hệ số trước $x ^ { 2 }$ và $y ^ { 2 }$.

⑶$2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2x-1$

$2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } -z ^ { 2 } +2x-1$ $⇔2x ^ { 2 } +2y ^ { 2 } =x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2xy-z ^ { 2 } +2x-1$

$⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2xy-2x+1=0$ không là phương trình mặt cầu.

⑷$\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } =2xy-z ^ { 2 } -1$

$\left ( { x+y } \right. ) ^ { 2 } =2xy-z ^ { 2 } -1$ $⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2xy=2xy-z ^ { 2 } -1$

$⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +1=0$ không là phương trình mặt cầu vì $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +1>0\,∀x\,;\,y\,;\,z$.

Ví dụ 1.4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { 0;\,0;\,-1 } \right. )$ và $B\left ( { 0;\,6;\,0 } \right. )$. Chứng minh rằng nếu điểm $M\left ( { x;\,y;\,z } \right. )$ thỏa mãn $\left. \overrightarrow { MA }.\,\overrightarrow { MB }=0 \right.$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $\left ( { S } \right. )$. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $\left ( { S } \right. )$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow { MA }=\left ( { -x;\,-y;\,-1-z } \right. )$ và $\overrightarrow { MB }=\left ( { -x;\,6-y;\,-z } \right. )$.

$\left. \overrightarrow { MA }.\,\overrightarrow { MB }=0⇔\,x ^ { 2 } -6y+y ^ { 2 } +z+z ^ { 2 } =0⇔\,x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -6y+z=0 \right.$.

Khi đó theo dạng mặt cầu thì ta có:$a=0,\,b=3,\,c=-\frac { 1 } { 2 }$ và $d=0$.

Xét $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=\frac { 37 } { 4 }>0$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là mặt cầu có tâm $I\left ( { 0;\,3;\,-\frac { 1 } { 2 } } \right. )$, bán kính $$R=\sqrt{ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d }=\frac { \sqrt{ 37 } } { 2 }.$$

Ví dụ 1.5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { -2;2;-2 } \right. )$;$B\left ( { 3;-3;3 } \right. )$. Điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $\frac { MA } { MB }=\frac { 2 } { 3 }$. Tính độ dài $OM$ lớn nhất.

Lời giải:

Gọi $M\left ( { x;y;z } \right. )$.

Ta có $\frac { MA } { MB }=\frac { 2 } { 3 }$ $⇔3MA=2MB$ $⇔9MA ^ { 2 } =4MB ^ { 2 }$

$⇔9\left[ \left ( { x+2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z+2 } \right. ) ^ { 2 } \right]=4\left[ \left ( { x-3 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y+3 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right. ) ^ { 2 } \right]$

$⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +12x-12y+12z=0$ $⇔\left ( { x+6 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-6 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z+6 } \right. ) ^ { 2 } =108$.

Như vậy, điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ tâm $I\left ( { -6;6;-6 } \right. )$ và bán kính $R=\sqrt{ 108 }=6\sqrt{ 3 }$.

Do đó $OM$ lớn nhất bằng $OI+R=\sqrt{ \left ( { -6 } \right. ) ^ { 2 } +6 ^ { 2 } +\left ( { -6 } \right. ) ^ { 2 } }+6\sqrt{ 3 }=12\sqrt{ 3 }$.

Dạng 2. Mặt cầu có tâm và đi qua một điểm

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ LoạiPhương phápTâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R$. Từ giả thiết ta đã có sẵn tâm $I$ và bán kính $R$. Phương trình $\left ( { S } \right. ):\left ( { x-a } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-c } \right. ) ^ { 2 } =R ^ { 2 }$. Tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và qua điểm $M\left ( { x_{ 0 } \,;\,y_{ 0 } \,;\,z_{ 0 } } \right. )$.≫ Bán kính mặt cầu $\left. R=IM=\left | { \overrightarrow { IM } } \right. |=\sqrt{ \left ( { x_{ 0 } -a } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ 0 } -b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z_{ 0 } -c } \right. ) ^ { 2 } } \right.$.≫ Mặt cầu có tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R=IM$. Phương pháp

Ví dụ 2.1. Trong không gian $Oxyz$,viết phương trình các mặt cầu sau:⑴ Tâm $I\left ( { -1\,;\,2\,;\,-3 } \right. )$, bán kính $R=3$⑵ Tâm $I\left ( { 0;-4;1 } \right. )$ đường kính bằng $4.$

Lời giải:

⑴ Tâm $I\left ( { -1\,;\,2\,;\,-3 } \right. )$, bán kính $R=3$

Phương trình mặt cầu tâm $I\left ( { -1\,;\,2\,;\,-3 } \right. )$, bán kính $R=3$ là:$\left ( { x+1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z+3 } \right. ) ^ { 2 } =9$

⑵ Tâm $I\left ( { 0;-4;1 } \right. )$ đường kính bằng $4.$

Đường kính của mặt cầu bằng 4 nên bán kính $R=2$

Phương trình của mặt cầu tâm $I\left ( { 0;-4;1 } \right. )$ là $x ^ { 2 } +\left ( { y+4 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-1 } \right. ) ^ { 2 } =4$.

Ví dụ 2.2. Trong không gian $Oxyz$,viết phương trình các mặt cầu sau:⑴ Tâm $I\left ( { -1;2;1 } \right. )$ đi qua gốc tọa độ.⑵ Tâm $I\left ( { 1;2;3 } \right. )$ đi qua điểm $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$.

⑴ Tâm $I\left ( { -1;2;1 } \right. )$ đi qua gốc tọa độ.

Bán kính của mặt cầu là $R=IO=\sqrt{ 1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } }=\sqrt{ 6 }$.

Phương trình của mặt cầu tâm $I\left ( { -1;2;1 } \right. )$ qua $O$ là $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =6$.

⑵ Tâm $I\left ( { 1;2;3 } \right. )$ đi qua điểm $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$.

Bán kính của mặt cầu là $R=IA=\sqrt{ 0 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } }=\sqrt{ 2 }$.

Phương trình của mặt cầu tâm $I\left ( { 1;2;3 } \right. )$ qua $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$ là $\left ( { x-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right. ) ^ { 2 } =2$.

Dạng 3. Mặt cầu có đường kính

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ LoạiPhương phápNhận $M\left ( { x_{ M } \,;\,y_{ M } \,;\,z_{ M } } \right. )$ và $N\left ( { x_{ N } \,;\,y_{ N } \,;\,z_{ N } } \right. )$ làm đường kính≫ Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ $⇒I$ là trung điểm của $MN$ $⇒I\left ( { \frac { x_{ M } +x_{ N } } { 2 }\,;\,\frac { y_{ M } +y_{ N } } { 2 }\,;\,\frac { z_{ M } +z_{ N } } { 2 } } \right. )$.≫ Bán kính mặt cầu $R=\frac { MN } { 2 }=IM$. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { 1;0;-3 } \right. )$ và $B\left ( { 3;2;1 } \right. ).$ Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là?

Lời giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB=\sqrt{ \left ( { 3-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 2-0 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 1+3 } \right. ) ^ { 2 } }=2\sqrt{ 6 }$ $⇒R=\frac { AB } { 2 }=\sqrt{ 6 }.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} x_{ I } =\frac { x_{ A } +x_{ B } } { 2 }=\frac { 1+3 } { 2 }=2y_{ I } =\frac { y_{ A } +y_{ B } } { 2 }=\frac { 0+2 } { 2 }=1z_{ I } =\frac { z_{ A } +z_{ B } } { 2 }=\frac { -3+1 } { 2 }=-1 \end{array} \right.⇒I\left ( { 2;1;-1 } \right. ).$

Phương trình mặt cầu cần tìm:$x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -4x-2y+2z=0$.

Ví dụ 3.2. Trong không gian $Oxyz$,cho hai vecto $\overrightarrow { AO }=\left ( { -1;-2;3 } \right. )$ và $\overrightarrow { BO }=\left ( { -7;-4;-5 } \right. ).$ Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là?

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow { AO }\left ( { -1;-2;3 } \right. )$ $⇒A\left ( { 1;2;-3 } \right. )$;$\overrightarrow { BO }\left ( { -7;-4;-5 } \right. ).$ $⇒B\left ( { 7;4;5 } \right. ).$

Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ thì tâm là trung điểm của $AB$ $⇒I\left ( { 4;3;1 } \right. )$

Bán kính $$R=\frac { AB } { 2 }=\frac { \sqrt{ \left ( { 7-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 4-2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 5+3 } \right. ) ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { \sqrt{ 104 } } { 2 }$$

Phương trình mặt cầu $\left ( { x-4 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-1 } \right. ) ^ { 2 } =26$

Vậy phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. ){ \rm{ } }\left ( { x-4 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z-1 } \right. ) ^ { 2 } =26$

Dạng 4. Mặt cầu qua 4 điểm không đồng phẳng

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ LoạiPhương phápĐi qua 4 điểm $A\,;\,B\,;\,C\,;\,D$ không đồng phẳng≫ Gọi $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ là tọa độ tâm mặt cầu cần tìm.≫ Mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ đi qua 4 điểm $⇔IA=IB=IC=ID⇔\left\{ \begin{array}{l} IA ^ { 2 } =IB ^ { 2 } IA ^ { 2 } =IC ^ { 2 } IA ^ { 2 } =ID ^ { 2 } \end{array} \right.⇒$ tọa độ $I$.≫ Mặt cầu có tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R=IA$. Phương pháp

Ví dụ 4.1. Trong không gian $Oxyz$, nếu mặt cầu .$\left ( { S } \right. )$. đi qua bốn điểm $M\left ( { 2;2;2 } \right. ),N\left ( { 4;0;2 } \right. ),P\left ( { 4;2;0 } \right. )$ và $Q\left ( { 4;2;2 } \right. )$ thì tâm $I$ của $\left ( { S } \right. )$ có tọa độ là?

Lời giải:

Gọi phương trình mặt cầu:$\left ( { S } \right. ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2ax+2by+2cz+d=0$ $\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d>0 } \right. )$.

Vì $M,N,P,Q∈\left ( { S } \right. )$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +4a+4b+4c+d=04 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +8a+4c+d=04 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +8a+4b+d=04 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +8a+4b+4c+d=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} a=-3b=-1c=-1d=8 \end{array} \right.⇒I\left ( { 3;1;1 } \right. )$ là tâm mặt cầu $\left ( { S } \right. )$.

Ví dụ 4.2. Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A\left ( { 2;0;0 } \right. )\,$,$B\left ( { 0;2;0 } \right. )$,$C\left ( { 0;0;2 } \right. )$,$D\left ( { 2;2;2 } \right. )$. Viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ ngoại tiếp tứ diệnABCD.

Lời giải:

Gọi phương trình mặt cầu có dạng $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2ax+2by+2cz+d=0$.

Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCDnên tọa độ các điểm $A,B,C,D∈\left ( { S } \right. )$.

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l} 4+4a+d=04+4b+d=04+4c+d=012+4a+4b+4c+d=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} a=-1b=-1c=-1d=0 \end{array} \right.$

Suy ra phương trình mặt cầu là $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x-2y-2z=0$.

Dạng 5. Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng/mặt phẳng

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ LoạiPhương phápTâm $I∈\left ( { P } \right. )$ và đi qua $A\,;\,B\,;\,C$. Với $\left ( { P } \right. ):α.x+β.y+γ.z+δ=0$ hoặc $\left ( { P } \right. )$ là các mặt phẳng $\left ( { Oxy } \right. ),\left ( { Oxz } \right. ),\left ( { Oyz } \right. )$.⌘ Nhận xét:Trong trường hợp $I∈$ một trong các mặt phẳng $\left ( { Oxy } \right. ),\left ( { Oxz } \right. ),\left ( { Oyz } \right. )$ bài toán sẽ đơn giản hơn.≫ Gọi $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ là tâm mặt cầu≫ Ta có $I∈\left ( { P } \right. )⇒α.a+β.b+γ.c+δ=0\,\,\left ( { 1 } \right. )$.≫ Mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ đi qua ba điểm $A\,;\,B\,;\,C$ $⇔IA=IB=IC⇔\left\{ \begin{array}{l} IA ^ { 2 } =IB ^ { 2 } \,\,\left ( { 2 } \right. )IA ^ { 2 } =IC ^ { 2 } \,\,\left ( { 3 } \right. ) \end{array} \right.$.≫ Từ $\left ( { 1 } \right. )\,;\,\left ( { 2 } \right. )$ và $\left ( { 3 } \right. )⇒I$ là thỏa hệ:$\left\{ \begin{array}{l} α.a+β.b+γ.c+δ=0IA ^ { 2 } =IB ^ { 2 } IA ^ { 2 } =IC ^ { 2 } \end{array} \right.⇒$ tọa độ $I$.≫ Mặt cầu có tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R=IA$. Tâm $I∈d$ và đi qua $A\,;\,B$. Với $$d:\frac { x-x_{ 0 } } { a }=\frac { y-y_{ 0 } } { b }=\frac { z-z_{ 0 } } { c }$$ hoặc $d$ là các trục $Ox\,;\,Oy\,;\,Oz$.⌘ Nhận xét:Trong trường hợp $I∈$ một trong các trục $Ox\,;\,Oy\,;\,Oz$ bài toán sẽ đơn giản hơn.≫ Gọi $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ là tâm mặt cầu≫ Ta có $I∈d⇒I\left ( { x_{ 0 } +at;y_{ 0 } +bt;z_{ 0 } +ct } \right. )$.≫ Viết $\left. \overrightarrow { IA }\,;\overrightarrow { IB } \right.$ theo $t$ và tính độ dài $\left. \left. \left | { \overrightarrow { IA } } \right. |\,;\left | { \overrightarrow { IB } } \right. | \right. \right.$≫ Mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ đi qua hai điểm $A\,;\,B$ $\left. \left. ⇔IA=IB⇔\left | { \overrightarrow { IA } } \right. |=\left | { \overrightarrow { IB } } \right. |⇒t=? \right. \right.$.≫ Từ $t=?$ $⇒$ tọa độ $I$.≫ Mặt cầu có tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R=IA$. Phương pháp

Ví dụ 5.1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ đi qua 2 điểm $A\left ( { 1;2;3 } \right. ),\,B\left ( { 2;0;-2 } \right. ),\,$ và có tâm nằm trên trục $Ox$. Viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$?

Lời giải:

Vì mặt cầu có tâm $I$ thuộc trục $Ox$ nên tâm có dạng $I\left ( { x;0;0 } \right. )$.

Vì mặt cầu đi qua $A\left ( { 1;2;3 } \right. ),\,B\left ( { 2;0;-2 } \right. ),\,$ nên $IA=IB⇔IA ^ { 2 } =IB ^ { 2 }$

$$⇔\left ( { 1-x } \right. ) ^ { 2 } +4+9=\left ( { 2-x } \right. ) ^ { 2 } +4⇔2x=-6⇔x=-3$$ $⇒IA=\sqrt{ 4 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } }=\sqrt{ 29 }$.

Do đó phương trình mặt cầu là $\left ( { x+3 } \right. ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =29$.

Ví dụ 5.2. Trong không gian $Oxyz$, tìm bán kính mặt cầu qua 2 điểm $A\left ( { 3;-1;2 } \right. )\,$,$B\left ( { 1;1;-2 } \right. )$ và có tâm $I$ thuộc $\Delta :\frac { x } { 2 }=\frac { y-1 } { 1 }=\frac { z } { -1 }$?

Lời giải:

Vì mặt cầu có tâm $I$ thuộc $\Delta$ nên $\left. \left. I\left ( { 2t;1+t;-t } \right. )⇒\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow { IA }=\left ( { 2t;1+t;-t } \right. )\overrightarrow { IB }=\left ( { 1-2t;t;-2+t } \right. ) \end{array} \right. \right. \right.$.

Vì mặt cầu đi qua hai điểm $A\left ( { 3;-1;2 } \right. ),\,B\left ( { 1;1;-2 } \right. ),\,$ nên $IA=IB$

$⇔\left ( { 2t } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 1+t } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -t } \right. ) ^ { 2 } =\left ( { 1-2t } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { t } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -2+t } \right. ) ^ { 2 }$ $$⇔4t+12=0⇔t=-3⇒IA=\sqrt{ \left ( { -6 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 3 } \right. ) ^ { 2 } }=7.$$

Ví dụ 5.3. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm $A\left ( { -2;3;3 } \right. ),\,B\left ( { -1;1;2 } \right. ),\,C\left ( { 4;2;2 } \right. )\,$ và có tâm nằm thuộc mặt phẳng $\left ( { Oyz } \right. )$.

Lời giải:

Vì mặt cầu có tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left ( { Oyz } \right. )$ nên tâm có dạng $I\left ( { 0;b;c } \right. )$.

Vì mặt cầu đi qua ba điểm $A\left ( { -2;3;3 } \right. ),\,B\left ( { -1;1;2 } \right. ),\,C\left ( { 4;2;2 } \right. )\,$ nên ta có:

$IA=IB=IC=R⇔IA ^ { 2 } =IB ^ { 2 } =IC ^ { 2 } =R ^ { 2 }$

$⇔\left\{ \begin{array}{l} 4+\left ( { 3-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 3-c } \right. ) ^ { 2 } =1+\left ( { 1-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 2-c } \right. ) ^ { 2 } 1+\left ( { 1-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 2-c } \right. ) ^ { 2 } =16+\left ( { 2-b } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 2-c } \right. ) ^ { 2 } \end{array} \right.$

$⇔\left\{ \begin{array}{l} 40+9-6c+c ^ { 2 } =65+4-4c+c ^ { 2 } b=9 \end{array} \right.$

$⇔\left\{ \begin{array}{l} -2c=20b=9 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} c=-10b=9 \end{array} \right.⇒I\left ( { 0;9;-10 } \right. ),\,R=IA=\sqrt{ 4+36+169 }=\sqrt{ 209 }$.

Phương trình mặt cầu là $x ^ { 2 } +\left ( { y-9 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z+10 } \right. ) ^ { 2 } =209$.

Dạng 6. Mặt cầu tiếp xúc đường thẳng/mặt phẳng

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $\left ( { S } \right. )$ LoạiPhương phápTâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và tiếp xúc với $\left ( { P } \right. )$. Với $\left ( { P } \right. ):Ax+By+Cz+D=0$ hoặc $\left ( { P } \right. )$ là các mặt phẳng $\left ( { Oxy } \right. ),\left ( { Oxz } \right. ),\left ( { Oyz } \right. )$.⌘ Nhận xét:Trong trường hợp $I$ tiếp xúc một trong các mặt phẳng $\left ( { Oxy } \right. ),\left ( { Oxz } \right. ),\left ( { Oyz } \right. )$ bài toán sẽ đơn giản hơn.≫ Bán kính mặt cầu $R=\left[ d\left ( { I\,;\,\left ( { α } \right. ) } \right. )=\frac { \left | { Aa+Bb+Cc+D } \right. | } { \sqrt{ A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } } }\,\,Tiep\,\,xuc\,\,\left ( { α } \right. )d\left ( { I\,;\,\left ( { Oxy } \right. ) } \right. )=\sqrt{ z_{ I } ^{ 2 } }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,\left ( { Oxy } \right. )d\left ( { I\,;\,\left ( { Oxz } \right. ) } \right. )=\sqrt{ y_{ I } ^{ 2 } }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,\left ( { Oxz } \right. )d\left ( { I\,;\,\left ( { Oyz } \right. ) } \right. )=\sqrt{ x_{ I } ^{ 2 } }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,\left ( { Oyz } \right. ) \right.$.≫ Mặt cầu tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R=d\left ( { I\,;\,\left ( { α } \right. ) } \right. )$. Tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và tiếp xúc với $\Delta$. Với $$\Delta :\frac { x-x_{ 0 } } { a }=\frac { y-y_{ 0 } } { b }=\frac { z-z_{ 0 } } { c }$$ hoặc $\Delta$ là các trục $Ox\,;\,Oy\,;\,Oz$.⌘ Nhận xét:Trong trường hợp $I$ tiếp xúc một trong các trục $Ox\,;\,Oy\,;\,Oz$ bài toán sẽ đơn giản hơn.≫ Bán kính mặt cầu $\left. R=\left[ d\left ( { I\,;\,\Delta } \right. )=\frac { \left | { \left[ u\,;\,\overrightarrow { MI } \right] } \right. | } { \left | { u } \right. | }\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,\Delta d\left ( { I\,;\,Ox } \right. )=\sqrt{ y_{ I } ^{ 2 }+z_{ I } ^{ 2 } }\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,Oxd\left ( { I\,;\,Oy } \right. )=\sqrt{ x_{ I } ^{ 2 }+z_{ I } ^{ 2 } }\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,Oyd\left ( { I\,;\,Oz } \right. )=\sqrt{ x_{ I } ^{ 2 }+y_{ I } ^{ 2 } }\,\,\,\,Tiep\,\,xuc\,\,Oz \right. \right.$.≫ Mặt cầu tâm $I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ và bán kính $R=d\left ( { I\,;\,\Delta } \right. )$. Phương pháp