Bài tập Toán 12: Phương trình đường thẳng trong không gian $Oxyz$

Tóm tắt chuyên đề: Phương trình chính tắc và tham số của đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, khoảng cách và góc trong không gian $Oxyz$ Toán 12 có bài tập và đáp án chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:Cho đường thẳng $\Delta$ và vectơ $u$ khác $\overrightarrow { 0 }$. Vectơ $u$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $u$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Nhận xét:

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương của nó.

• Nếu $u$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì $k.u{ \rm{ } }\left ( { k≠0 } \right. )$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Phương trình tham số của đường thẳng:Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ qua điểm $M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right. )$ và nhận $u=\left ( { a;b;c } \right. )$ làm vectơ chỉ phương có dạng:$\left\{ \begin{array}{l} x=x_{ 0 } +aty=y_{ 0 } +btz=z_{ 0 } +ct \end{array} \right.$ với $t∈\mathbb{R}$ ($t$ được gọi là tham số và $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } ≠0$)

Phương trình chính tắc của đường thẳng:Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ qua điểm $M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right. )$ và nhận $u=\left ( { a;b;c } \right. )$ làm vectơ chỉ phương có dạng:$$\frac { x-x_{ 0 } } { a }=\frac { y-y_{ 0 } } { b }=\frac { z-z_{ 0 } } { c }$$ ($a.b.c≠0$)

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước:Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left ( { x_{ A } ;y_{ A } ;z_{ A } } \right. ),B\left ( { x_{ B } ;y_{ B } ;z_{ B } } \right. )$ và nhận $\overrightarrow { AB }=\left ( { x_{ B } -x_{ A } ;y_{ B } -y_{ A } ;z_{ B } -z_{ A } } \right. )$ làm vectơ chỉ phương có: Phương trình tham số :$\left\{ \begin{array}{l} x=x_{ A } +\left ( { x_{ B } -x_{ A } } \right. )ty=y_{ A } +\left ( { y_{ B } -y_{ A } } \right. )tz=z_{ A } +\left ( { z_{ B } -z_{ A } } \right. )t \end{array} \right.$ với $t∈\mathbb{R}$ Phương trình chính tắc:$$\frac { x-x_{ A } } { x_{ B } -x_{ A } }=\frac { y-y_{ A } } { y_{ B } -y_{ A } }=\frac { z-z_{ A } } { z_{ B } -z_{ A } }$$ (với $x_{ B } ≠x_{ A } ,y_{ B } ≠y_{ A } ,z_{ B } ≠z_{ A }$)

2. Vị trí tương đối hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Sự cùng phương – Sự đồng phẳng:Trong không gian $Oxyz$,

• Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng cùng song song với một đường thẳng.

• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Trong không gian $Oxyz$, cho ba vecto $\left. a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. ),\overrightarrow { b }=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. ) \right.$ và $c=\left ( { c_{ 1 } ;c_{ 2 } ;c_{ 3 } } \right. )$ Hai $a,\,\,b$ cùng phương $\left. ⇔\left[ a,\,\,b \right]=\overrightarrow { 0 } \right.$. Hai $a,\,\,b$ không cùng phương $\left. ⇔\left[ a,\,\,b \right]≠\overrightarrow { 0 } \right.$. Ba vectơ $a,\,\,b,\,\,c$ đồng phẳng $⇔\left[ a,\,\,b \right].\,c=0$. Ba vectơ $a,\,\,b,\,\,c$ không đồng phẳng $⇔\left[ a,\,\,b \right].\,c≠0$.

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ lần lượt đi qua các điểm $M_1(x_1; y_1; z_1), M_2(x_2; y_2; z_2)$ và có các vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1), \vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$.

Phương pháp vectơ:

• $\Delta_1 \parallel \Delta_2$: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \vec{0}$ và $[\vec{u_1}, \vec{M_1M_2}] \ne \vec{0}$ (hai VTCP cùng phương và $M_1 \notin \Delta_2$).
• $\Delta_1 \equiv \Delta_2$: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \vec{0}$ và $[\vec{u_1}, \vec{M_1M_2}] = \vec{0}$ (hai VTCP cùng phương và $M_1 \in \Delta_2$).
• $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \ne \vec{0}$ và $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0$ (hai VTCP không cùng phương và 3 vectơ đồng phẳng).
• $\Delta_1, \Delta_2$ chéo nhau: $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} \ne 0$ (ba vectơ không đồng phẳng).

Phương pháp xét hệ phương trình: Từ phương trình tham số của $\Delta_1$ (tham số $t_1$) và $\Delta_2$ (tham số $t_2$), xét hệ phương trình hai ẩn $t_1, t_2$:

• $\Delta_1 \parallel \Delta_2$: $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương và hệ $(*)$ vô nghiệm.
• $\Delta_1 \equiv \Delta_2$: Hệ $(*)$ có vô số nghiệm.
• $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$: Hệ $(*)$ có nghiệm duy nhất $(t_1; t_2)$.
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau: $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ không cùng phương và hệ $(*)$ vô nghiệm.

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc:Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta _{ 1 } ,\Delta _{ 2 }$ tương ứng có $u_{ 1 } =\left ( { a_{ 1 } ;b_{ 1 } ;c_{ 1 } } \right. )$ và $u_{ 2 } =\left ( { a_{ 2 } ;b_{ 2 } ;c_{ 2 } } \right. )$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:$\Delta _{ 1 } ⊥\Delta _{ 2 } ⇔u_{ 1 } ⊥u_{ 2 } ⇔u_{ 1 } .u_{ 2 } =0⇔a_{ 1 } a_{ 2 } +b_{ 1 } b_{ 2 } +c_{ 1 } c_{ 2 } =0$

3. Góc

Góc giữa hai đường thẳng:Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta _{ 1 } ,\Delta _{ 2 }$ tương ứng có $u_{ 1 } =\left ( { a_{ 1 } ;b_{ 1 } ;c_{ 1 } } \right. )$ và $u_{ 2 } =\left ( { a_{ 2 } ;b_{ 2 } ;c_{ 2 } } \right. )$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:$$cos\left ( { \Delta _{ 1 } ,\Delta _{ 2 } } \right. )=\left | { cos\left ( { u_{ 1 } .u_{ 2 } } \right. ) } \right. |=\frac { \left | { u_{ 1 } .u_{ 2 } } \right. | } { \left | { u_{ 1 } } \right. |.\left | { u_{ 2 } } \right. | }=\frac { \left | { a_{ 1 } a_{ 2 } +b_{ 1 } b_{ 2 } +c_{ 1 } c_{ 2 } } \right. | } { \sqrt{ a_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 1 } ^{ 2 }+c_{ 1 } ^{ 2 } }.\sqrt{ a_{ 2 } ^{ 2 }+b_{ 2 } ^{ 2 }+c_{ 2 } ^{ 2 } } }$$

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $u=\left ( { a;b;c } \right. )$ và mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có vectơ pháp tuyến $\,n=\left ( { A;\,B;\,C } \right. )$. Khi đó, ta có:$sin\left ( { \Delta ,\left ( { P } \right. ) } \right. )=\left | { cos\left ( { u.\,n } \right. ) } \right. |=\frac { \left | { u.\,n } \right. | } { \left | { u } \right. |.\left | { \,n } \right. | }=\frac { \left | { aA+bB+cC } \right. | } { \sqrt{ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } }.\sqrt{ A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } } }$

Góc giữa hai mặt phẳng:Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left ( { P_{ 1 } } \right. ),\left ( { P_{ 2 } } \right. )$ có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\,n_{ 1 } =\left ( { A_{ 1 } ;\,B_{ 1 } ;\,C_{ 1 } } \right. )$ và $n_{ 2 } =\left ( { A_{ 2 } ;\,B_{ 2 } ;\,C_{ 2 } } \right. )$. Khi đó, ta có:$cos\left ( { \left ( { P_{ 1 } } \right. ),\left ( { P_{ 2 } } \right. ) } \right. )=\left | { cos\left ( { \,n_{ 1 } .\,n_{ 2 } } \right. ) } \right. |$ $=\frac { \left | { n_{ 1 } .\,n_{ 2 } } \right. | } { \left | { n_{ 1 } } \right. |.\left | { n_{ 2 } } \right. | }=\frac { \left | { A_{ 1 } A_{ 2 } +B_{ 1 } B_{ 2 } +C_{ 1 } C_{ 2 } } \right. | } { \sqrt{ A_{ 1 } ^{ 2 }+B_{ 1 } ^{ 2 }+C_{ 1 } ^{ 2 } }.\sqrt{ A_{ 2 } ^{ 2 }+B_{ 2 } ^{ 2 }+C_{ 2 } ^{ 2 } } }$

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng

• Trong không gian $Oxyz$, vectơ $u=\left ( { a;b;c } \right. )≠0$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì vecto $m=k.u$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

• Phương trình tham số $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=x_{ 0 } +aty=y_{ 0 } +btz=z_{ 0 } +ct \end{array} \right.\,\,\left ( { t∈\mathbb{R} } \right. )$ có VTCP $u=\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ (hệ số trước t).

• Phương trình chính tắc $$\Delta :\frac { x-x_{ 0 } } { a }=\frac { y-y_{ 0 } } { b }=\frac { z-z_{ 0 } } { c }$$ có VTCP $u=\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$ (hệ số ở mẫu).≫ Nhận xét: Với phương trình tham số lấy đúng thứ tự hệ số trước tham số t. Với phương trình chính tắc lấy hệ số dưới mẫu. Nếu giả thiết chưa đúng cấu trúc, ta phải sắp xếp lại rồi mới lấy hệ số. Phương pháp

Ví dụ 1.1. Trong không gian $Oxyz$,xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng dưới đây:⑴$d:\left\{ \begin{array}{l} x=2-ty=1+2tz=3+t \end{array} \right.$⑵$d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-2 } { 1 }=\frac { z+1 } { 2 }$⑶$d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { 2-z } { 1 }$

Lời giải:

⑴$d:\left\{ \begin{array}{l} x=2-ty=1+2tz=3+t \end{array} \right.$

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $u=\left ( { -1;2;1 } \right. )$.

⑵$d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-2 } { 1 }=\frac { z+1 } { 2 }$

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $v=\left ( { 2;1;2 } \right. )$.

⑶$d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { 2-z } { 1 }$

Ta viết lại $$d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { 2-z } { 1 }⇔d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-1 } { 2 }=\frac { z-2 } { -1 }$$ $⇒u_{ 1 } =\left ( { 2;2;-1 } \right. )$.

Dạng 2. Đường thẳng qua điểm & có sẵn VTCP

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ LoạiPhương phápQua $M$, có véctơ chỉ phương $a=\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )$

  

≫ Phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=x_{ 0 } +aty=y_{ 0 } +btz=z_{ 0 } +ct \end{array} \right.$ hoặc $$\frac { x-x_{ 0 } } { a }=\frac { y-y_{ 0 } } { b }=\frac { z-z_{ 0 } } { c }$$ nếu $\left\{ \begin{array}{l} a\,;\,b\,;\,c \end{array} \right\}≠0$.

• Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm traPhương pháp

Ví dụ 2.1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm ⑴$M\left ( { 2;0;-1 } \right. )$ và có véctơ chỉ phương $a=\left ( { 2;-3;1 } \right. )$⑵$N\left ( { 1;0;-2 } \right. )$ và có vectơ chỉ phương $u=\left ( { 2;3;1 } \right. )$

Lời giải:

⑴$M\left ( { 2;0;-1 } \right. )$ và có véctơ chỉ phương $a=\left ( { 2;-3;1 } \right. )$

Đường thẳng đi qua điểm $M\left ( { 2;0;-1 } \right. )$ và có VTCP $a=\left ( { 2;-3;1 } \right. )$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=2+2ty=-\,3tz=-1+t \end{array} \right..$

Và phương trình chính tắc là $\frac { x-2 } { 2 }=\frac { y } { -3 }=\frac { z+1 } { 1 }.$

⑵$N\left ( { 1;0;-2 } \right. )$ và có vectơ chỉ phương $u=\left ( { 2;3;1 } \right. )$

Đường thẳng đi qua điểm $N\left ( { 1;0;-2 } \right. )$ và có VTCP $u=\left ( { 2;3;1 } \right. )$ là $d:\left\{ \begin{array}{l} x=1+2ty=0+3tz=-2+t \end{array} \right.$.

Và phương trình chính tắc là $\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y } { 3 }=\frac { z+2 } { 1 }.$

Ví dụ 2.2. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ qua điểm bất kỳ thuộc $d$ và có vectơ chỉ phương tương ứng. Biết đường thẳng $d$⑴ Đi qua điểm $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$ và có véctơ chỉ phương $b=\left ( { 1;2;-3 } \right. )$⑵ Đi qua điểm $C\left ( { 3;2;1 } \right. )$ và có vectơ chỉ phương $u=\left ( { 1;2;3 } \right. )$

Lời giải:

⑴ Đi qua điểm $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$ và có véctơ chỉ phương $b=\left ( { 1;2;-3 } \right. )$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left ( { 1;1;2 } \right. )$ và có VTCP $b=\left ( { 1;2;-3 } \right. )$ là $d:\left\{ \begin{array}{l} x=1+ty=1+2tz=2-3t \end{array} \right.$.

Xét $t=1⇒\left\{ \begin{array}{l} x=1+1y=1+2.1z=2-3.1 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} x=2y=3z=-1 \end{array} \right.⇒M\left ( { 2;3;-1 } \right. )$

Khi đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left ( { 2;3;-1 } \right. )$ có VTCP $b=\left ( { 1;2;-3 } \right. )$ là $d:\left\{ \begin{array}{l} x=2+ty=3+2tz=t \end{array} \right.$.

⑵ Đi qua điểm $C\left ( { 3;2;1 } \right. )$ và có vectơ chỉ phương $u=\left ( { 1;2;3 } \right. )$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left ( { 3;2;1 } \right. )$ và có VTCP $u=\left ( { 1;2;3 } \right. )$ là $d:\left\{ \begin{array}{l} x=3+ty=2+2tz=1+3t \end{array} \right.$.

Xét $t=-1⇒\left\{ \begin{array}{l} x=3+\left ( { -1 } \right. )y=2+2.\left ( { -1 } \right. )z=1+3.\left ( { -1 } \right. ) \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} x=2y=0z=-2 \end{array} \right.⇒N\left ( { 2;0;-2 } \right. )$

Khi đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left ( { 2;0;-2 } \right. )$ có VTCP $u=\left ( { 1;2;3 } \right. )$ là $d:\left\{ \begin{array}{l} x=2+ty=0+2tz=-2+3t \end{array} \right.$.

Dạng 3. Đường thẳng qua hai điểm

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ LoạiPhương phápQua hai điểm $A$ và $B$.

≫ Chọn $A$ hoặc $B$ là điểm mà $\Delta$ đi qua.≫ Nhận $\overrightarrow { AB }$ làm VTCP $\left. →u=\overrightarrow { AB } \right.$.

• Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm tra. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình chính tắc của đường thẳng ⑴ Đi qua gốc tọa độ và $H\left ( { 1;4;-2 } \right. )$.⑵ Đi qua hai điểm $M\left ( { 2;0;-1 } \right. )$ và $N\left ( { 2;-3;1 } \right. )$

Lời giải:

⑴ Đi qua gốc tọa độ và $H\left ( { 1;4;-2 } \right. )$.

Ta có:$\overrightarrow { OH }=\left ( { 1;4;-2 } \right. )$.

Đường thẳng $OH$ qua $H$ nhận $\overrightarrow { OH }=\left ( { 1;4;-2 } \right. )$ làm VTCP:$\frac { x } { 1 }=\frac { y } { 4 }=\frac { z } { -2 }$.

⑵ Đi qua hai điểm $M\left ( { 2;0;-1 } \right. )$ và $N\left ( { 2;-3;1 } \right. )$

Ta có:$\overrightarrow { MN }=\left ( { -1;\ 3;\ 2 } \right. )$.

Đường thẳng $MN$ qua $N$ nhận $\overrightarrow { MN }=\left ( { -1;\ 3;\ 2 } \right. )$ làm VTCP:$\frac { x } { -1 }=\frac { y-1 } { 3 }=\frac { z-3 } { 2 }$.

Ví dụ 3.2. Trong không gian $Oxyz$, choΔABCcó $A\left ( { -1;3;2 } \right. ),\,\,B\left ( { 2;0;5 } \right. ),\,\,C\left ( { 0;-2;1 } \right. )$. Viết phương trình đường trung tuyến $AM$ củatam giác $ABC$

Lời giải:

Gọi $M\left ( { x;y;z } \right. )$ là trung điểm $BC$. Khi đó $M\left ( { 1;-1;3 } \right. )$

Ta có $\overrightarrow { AM }=u=\left ( { 2;-4;1 } \right. )$

Khi đó phương trình đường trung tuyến $AM:\,\frac { x+1 } { 2 }=\frac { y-3 } { -4 }=\frac { z-2 } { 1 }$

Dạng 4. Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ LoạiPhương phápGiao tuyến của hai mặt phẳng $\left ( { α } \right. ):Ax+By+Cz+D=0$ và $\left ( { β } \right. ):A'x+B'y+C'z+D'=0$

  

≫ Cho 1 trong 3 ẩn $x;y;z$ $=0$ để tìm 2 ẩn còn lại $x=0$ $\left. \rightarrow \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} By+Cz+D=0B'y+C'z+D'=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} y=?z=? \end{array} \right.⇒M\left ( { 0;?;? } \right. )$≫ Vecto chỉ phương $u=\left[ n_{ α } ;n_{ β } \right]$.

• Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm traPhương pháp

Ví dụ 4.1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left ( { P } \right. ):2x+y-z-1=0$,$\left ( { Q } \right. ):x-2y+z-5=0$. Giao tuyến hai mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ và $\left ( { Q } \right. )$ có một vectơ chỉ phương là?

Lời giải:

Gọi $d=\left ( { P } \right. )∩\left ( { Q } \right. )$.

Khi đó một vectơ chỉ phương của $d$ là $u=\left[ n_{ P } ,n_{ Q } \right]=\left ( { -1;-3;-5 } \right. )$.

Vậy $u=\left ( { 1;3;5 } \right. )$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$.

Ví dụ 4.2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left ( { α } \right. ):2x+y-z+3=0$ và $\left ( { β } \right. ):x+y+z-1=0$. Phương trình chính tắc đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left ( { α } \right. )$ và $\left ( { β } \right. )$ là?

Lời giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} n_{ \left ( { α } \right. ) } =\left ( { 2\,;1\,;-1 } \right. )n_{ \left ( { β } \right. ) } =\left ( { 1\,;1\,;1 } \right. ) \end{array} \right.⇒\left[ n_{ \left ( { α } \right. ) } ,n_{ \left ( { β } \right. ) } \right]=\left ( { 2\,;-3\,;1 } \right. )⇒u_{ \Delta } =\left[ n_{ α } ,n_{ β } \right]=\left ( { 2\,;-3\,;1 } \right. ).$.

Gọi $M=\left ( { α } \right. )∩\left ( { β } \right. )$, thì $M∈\Delta$ và $M$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l} 2x+y-z+3=0x+y+z-1=0 \end{array} \right.\xrightarrow {\mathrm{ x=0 }}\left\{ \begin{array}{l} x=0y=-1z=2 \end{array} \right.⇒M\left ( { 0\,;-1\,;2 } \right. )$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left ( { 0\,;-1\,;2 } \right. )$ và nhận $u_{ \Delta } =\left ( { 2\,;-3\,;1 } \right. )$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac { x } { 2 }=\frac { y+1 } { -3 }=\frac { z-2 } { 1 }$.

Ví dụ 4.3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( { P } \right. )\,:\,x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $$d\,\,:\,\,\frac { x+1 } { 2 }=\frac { y+1 } { 1 }=\frac { z+5 } { 6 }.$$ Gọi $\left ( { Q } \right. )$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left ( { P } \right. )$. Xác định phương trình giao tuyến $d'$ của $\left ( { Q } \right. )$ và $\left ( { P } \right. )$?

Lời giải:

Gọi đường thẳng $d'$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên $\left ( { P } \right. )$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left ( { -1\,;\,-1\,;\,-5 } \right. )$ và có $u_{ d } =\,\left ( { 2\,;\,1\,;\,6 } \right. )$.

$\left ( { P } \right. )$ có vectơ pháp tuyến $n_{ P } =\,\left ( { 1\,;\,1\,;\,-5 } \right. )$.

$\left ( { Q } \right. )$ chứa $d$ và vuông góc với $\left ( { P } \right. )$ $⇒\,\left ( { P } \right. )\,∩\,\left ( { Q } \right. )\,=d'$.

Vectơ pháp tuyến của $\left ( { Q } \right. )$ là $$n_{ Q } =\left[ n_{ P } ,u_{ d } \right]\,\,=\,\,\left ( { 11\,;\,-16\,;\,-1 } \right. ).$$

Phương trình của mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ là :$11x-16y-z-10=0$.

Do $\,\left ( { P } \right. )\,∩\,\left ( { Q } \right. )\,=d'$ nên VTCP của đường thẳng $d'$ là $$u_{ d' } =\left[ n_{ Q } ,n_{ P } \right]\,\,=\,-27\left ( { 3\,;\,2\,;\,1 } \right. ),$$

$\left. \rightarrow d' \right.$ có vectơ chỉ phương là $u_{ 1 } =\,\left ( { 3\,;\,2\,;\,1\, } \right. )$.

Gọi $I=d∩\left ( { P } \right. )$, khi đó tọa độ $I$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} x+y-5z+4=0\frac { x+1 } { 2 }=\frac { y+1 } { 1 }=\frac { z+5 } { 6 } \end{array} \right.$.

Giải hệ ta được $\left ( { x;y;z } \right. )=\left ( { 1;0;1 } \right. )$.

Do đó $d':\left\{ \begin{array}{l} x=1+3ty=2tz=1+t \end{array} \right.$, suy ra đường thẳng $d'$ đi qua điểm $P\left ( { 4;2;2 } \right. )$.

Dạng 5. Đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

• Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ LoạiPhương phápLà đường vuông góc chung của $d_{ 1 }$ và $d_{ 2 }$

  

≫ Gọi $\left. \left\{ \begin{array}{l} M∈d_{ 1 } N∈d_{ 2 } \end{array} \right.⇒\overrightarrow { MN }\left ( { ? } \right. ) \right.$ (tọa độ theo $t\,;\,k$).≫$MN$ là đường vuông góc chung $\left. \left. ⇔\left\{ \begin{array}{l} u_{ 1 } .\overrightarrow { MN }=0u_{ 2 } .\overrightarrow { MN }=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} t=?k=? \end{array} \right.⇒\left\{ \begin{array}{l} M\left ( { ? } \right. )N\left ( { ? } \right. ) \end{array} \right. \right. \right.$.≫ Khi đó đường thẳng $\left. \Delta :\left\{ \begin{array}{l} qua\,\left[ MN \right. u_{ \Delta } =\overrightarrow { MN } \end{array} \right. \right.$.

• Lưu ý: Phương trình tìm được không nằm trong các phương án, ta có thể thay tọa độ điểm mà đường thẳng đi qua để kiểm traPhương pháp

Ví dụ 5.1. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_{ 1 } :\left\{ \begin{array}{l} x=1+2ty=2+tz=-2+5t \end{array} \right.$ và $d_{ 2 } :\left\{ \begin{array}{l} x=1+sy=2+sz=1+3s \end{array} \right.$. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d_{ 1 } ;d_{ 2 }$.

Lời giải:

Gọi $\Delta$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d_{ 1 } ;d_{ 2 }$.

Đường thẳng $d_{ 1 }$ có VTCP là $u_{ 1 } =\left ( { 2;1;5 } \right. )$;$d_{ 2 }$ có VTCP là $u_{ 2 } =\left ( { 1;1;3 } \right. )$.

Gọi $A=\Delta ∩d_{ 1 } ⇒A\left ( { 1+2t;2+t;-2+5t } \right. )$;$B=\Delta ∩d_{ 2 } ⇒B\left ( { 1+s;2+s;1+3s } \right. )$.

$\overrightarrow { AB }=\left ( { s-2t;s-t;3+3s-5t } \right. )$.

Ta có:$\left. \left. \left. \left. \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow { AB }.\overrightarrow { u_{ 1 } }=0\overrightarrow { AB }.\overrightarrow { u_{ 2 } }=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} 2\left ( { s-2t } \right. )+s-t+5\left ( { 3+3s-5t } \right. )=0s-2t+s-t+3\left ( { 3+3s-5t } \right. )=0 \end{array} \right. \right. \right. \right. \right.$ $⇔\left\{ \begin{array}{l} 18s-30t=-1511s-18t=-9 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} s=0t=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right.$.

Suy ra $B\left ( { 1;2;1 } \right. )$ và $\overrightarrow { AB }=\left ( { -1;-\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right. )$.

Phương trình đường thẳng đi qua $B$ và có VTCP $\overrightarrow { u }=\left ( { -2;-1;1 } \right. )$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=1-2ty=2-tz=1+t \end{array} \right.$.

Dạng 6. Góc

• Trong không gian $Oxyz$, LoạiHình vẽHai đường thẳng $\Delta _{ 1 } ,\Delta _{ 2 }$ tương ứng có $u_{ 1 } =\left ( { a_{ 1 } ;b_{ 1 } ;c_{ 1 } } \right. )$ và $u_{ 2 } =\left ( { a_{ 2 } ;b_{ 2 } ;c_{ 2 } } \right. )$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:$$cos\left ( { \Delta _{ 1 } ,\Delta _{ 2 } } \right. )=\left | { cos\left ( { u_{ 1 } .u_{ 2 } } \right. ) } \right. |=\frac { \left | { u_{ 1 } .u_{ 2 } } \right. | } { \left | { u_{ 1 } } \right. |.\left | { u_{ 2 } } \right. | }=\frac { \left | { a_{ 1 } a_{ 2 } +b_{ 1 } b_{ 2 } +c_{ 1 } c_{ 2 } } \right. | } { \sqrt{ a_{ 1 } ^{ 2 }+b_{ 1 } ^{ 2 }+c_{ 1 } ^{ 2 } }.\sqrt{ a_{ 2 } ^{ 2 }+b_{ 2 } ^{ 2 }+c_{ 2 } ^{ 2 } } }$$

  

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $u=\left ( { a;b;c } \right. )$ và mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có vectơ pháp tuyến $\,n=\left ( { A;\,B;\,C } \right. )$. Khi đó, ta có:$sin\left ( { \Delta ,\left ( { P } \right. ) } \right. )=\left | { cos\left ( { u.\,n } \right. ) } \right. |=\frac { \left | { u.\,n } \right. | } { \left | { u } \right. |.\left | { \,n } \right. | }=\frac { \left | { aA+bB+cC } \right. | } { \sqrt{ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } }.\sqrt{ A ^ { 2 } +B ^ { 2 } +C ^ { 2 } } }$

Hai mặt phẳng $\left ( { P_{ 1 } } \right. ),\left ( { P_{ 2 } } \right. )$ có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\,n_{ 1 } =\left ( { A_{ 1 } ;\,B_{ 1 } ;\,C_{ 1 } } \right. )$ và $n_{ 2 } =\left ( { A_{ 2 } ;\,B_{ 2 } ;\,C_{ 2 } } \right. )$. Khi đó, ta có:$cos\left ( { \left ( { P_{ 1 } } \right. ),\left ( { P_{ 2 } } \right. ) } \right. )=\left | { cos\left ( { \,n_{ 1 } .\,n_{ 2 } } \right. ) } \right. |=\frac { \left | { n_{ 1 } .\,n_{ 2 } } \right. | } { \left | { n_{ 1 } } \right. |.\left | { n_{ 2 } } \right. | }=\frac { \left | { A_{ 1 } A_{ 2 } +B_{ 1 } B_{ 2 } +C_{ 1 } C_{ 2 } } \right. | } { \sqrt{ A_{ 1 } ^{ 2 }+B_{ 1 } ^{ 2 }+C_{ 1 } ^{ 2 } }.\sqrt{ A_{ 2 } ^{ 2 }+B_{ 2 } ^{ 2 }+C_{ 2 } ^{ 2 } } }$

Phương pháp

Ví dụ 6.1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{ 1 } :\left\{ \begin{array}{l} x=ty=5-2tz=14-3t \end{array} \right.$ và $d_{ 2 } :\left\{ \begin{array}{l} x=1-4t'y=2+t'z=-1+5t' \end{array} \right.$. Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Lời giải:

Đường thẳng $d_{ 1 }$ có một VTCP $u_{ 1 } =\left ( { 1;-2;-3 } \right. )$.

Đường thẳng $d_{ 2 }$ có một VTCP $u_{ 2 } =\left ( { -4;1;5 } \right. )$.

Ta có:$$cos\left ( { \widehat { d_{ 1 } ,d_{ 2 } } } \right. )=\frac { \left | { u_{ 1 } .u_{ 2 } } \right. | } { \left | { u_{ 1 } } \right. |.\left | { u_{ 2 } } \right. | }=\frac { \left | { 1.\left ( { -4 } \right. )+\left ( { -2 } \right. ).1+\left ( { -3 } \right. ).5 } \right. | } { \sqrt{ 1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -3 } \right. ) ^ { 2 } }.\sqrt{ \left ( { -4 } \right. ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt{ 3 } } { 2 }⇒\left ( { d_{ 1 } ,d_{ 2 } } \right. )=30 ^ { { \rm{ o } } }$$

Ví dụ 6.2. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $$\Delta :\frac { x-3 } { 1 }=\frac { y-4 } { 2 }=\frac { z+3 } { -1 }$$ và mặt phẳng $\left ( { P } \right. ):2x+y+z-1=0$. Tính góc giữa $\Delta$ và $\left ( { P } \right. )$

Lời giải:

Đường thẳng $\Delta$ có một VTCP $u=\left ( { 1;2;-1 } \right. )$.

Mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có một VTPT $n=\left ( { 2;1;1 } \right. )$.

Ta có:$sin\left ( { \widehat { \Delta ,\left ( { P } \right. ) } } \right. )=\frac { \left | { u.n } \right. | } { \left | { u } \right. |.\left | { n } \right. | }=\frac { \left | { 1.2+2.1+\left ( { -1 } \right. ).1 } \right. | } { \sqrt{ 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } }.\sqrt{ 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 2 }⇒\left ( { \widehat { \Delta ,\left ( { P } \right. ) } } \right. )=30 ^ { { \rm{ o } } }$

Ví dụ 6.3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $\left ( { P } \right. ):x+2y+z+10=0$ và $\left ( { Q } \right. ):-x+y+2z+13=0$.

Lời giải:

Mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$ có một VTPT là $n_{ 1 } =\left ( { 1;2;1 } \right. )$.

Mặt phẳng $\left ( { Q } \right. )$ có một VTPT là $n_{ 2 } =\left ( { -1;1;2 } \right. )$.

Ta có:$cos\left ( { \widehat { \left ( { P } \right. ),\left ( { Q } \right. ) } } \right. )=\frac { \left | { n_{ 1 } .n_{ 2 } } \right. | } { \left | { n_{ 1 } } \right. |.\left | { n_{ 2 } } \right. | }=\frac { \left | { 1.\left ( { -1 } \right. )+2.1+1.2 } \right. | } { \sqrt{ 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } }.\sqrt{ \left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { 2 }⇒\left ( { \widehat { \left ( { P } \right. ),\left ( { Q } \right. ) } } \right. )=60 ^ { { \rm{ o } } }$