Bài tập Toán 12: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Tóm tắt chuyên đề: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ: cộng trừ vectơ, tích vô hướng, góc giữa hai vectơ, vectơ cùng phương trong không gian $Oxyz$ Toán 12 có bài tập và đáp án chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

Định nghĩa: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. )$ và $b=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. )$ và số $k$. Khi đó:

• $a+b=\left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } ;a_{ 2 } +b_{ 2 } ;a_{ 3 } +b_{ 3 } } \right. )$
• $a-b=\left ( { a_{ 1 } -b_{ 1 } ;a_{ 2 } -b_{ 2 } ;a_{ 3 } -b_{ 3 } } \right. )$
• $ka=\left ( { ka_{ 1 } ;ka_{ 2 } ;ka_{ 3 } } \right. )$⁂ Nhận xét: Hai vectơ $a;b$ với $b≠0$ cùng phương $a=k.b⇔\left\{ \begin{array}{l} a_{ 1 } =k.b_{ 1 } a_{ 2 } =k.b_{ 2 } a_{ 3 } =k.b_{ 3 } \end{array} \right.$
• Từ nay, các bài tập liên quan đến toạ độ đều được xét trong không gian $Oxyz$. Chú ý

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định nghĩa: Trong không gian $Oxyz$, tích vô hướng của hai vectơ $a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. )$ và $b=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. )$ được xác định bởi công thức $a⋅b=a_{ 1 } b_{ 1 } +a_{ 2 } b_{ 2 } +a_{ 3 } b_{ 3 } .$

3. Vận dụng

Tọa độ điểm đầu cuối:Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { x_{ A } ;y_{ A } ;z_{ A } } \right. ),B\left ( { x_{ B } ;y_{ B } ;z_{ B } } \right. )$. Ta có:$\overrightarrow { AB }=\left ( { x_{ B } -x_{ A } ;y_{ B } -y_{ A } ;z_{ B } -z_{ A } } \right. ).$

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { x_{ A } ;y_{ A } ;z_{ A } } \right. ),B\left ( { x_{ B } ;y_{ B } ;z_{ B } } \right. )$. Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là:$M\left ( { \frac { x_{ A } +x_{ B } } { 2 };\frac { y_{ A } +y_{ B } } { 2 };\frac { z_{ A } +z_{ B } } { 2 } } \right. )$

Tọa độ trọng tâm tâm giácTrong không gian $Oxyz$, choΔABCcó $A\left ( { x_{ A } ;y_{ A } ;z_{ A } } \right. ),B\left ( { x_{ B } ;y_{ B } ;z_{ B } } \right. )$ và $C\left ( { x_{ C } ;y_{ C } ;z_{ C } } \right. )$. Tọa độ trọng tâm $G$ củaΔABClà:$G\left ( { \frac { x_{ A } +x_{ B } +x_{ C } } { 3 };\frac { y_{ A } +y_{ B } +y_{ C } } { 3 };\frac { z_{ A } +z_{ B } +z_{ C } } { 3 } } \right. ).$

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Tọa độ tổng hiệu vectơ

Trong không gian $Oxyz$, hai vectơ $a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. )$ và $b=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. )$ và số thực $k$.⑴$a+b=\left ( { a_{ 1 } +b_{ 1 } ;a_{ 2 } +b_{ 2 } ;a_{ 3 } +b_{ 3 } } \right. )$⑵$a-b=\left ( { a_{ 1 } -b_{ 1 } ;a_{ 2 } -b_{ 2 } ;a_{ 3 } -b_{ 3 } } \right. )$⑶$ka=\left ( { ka_{ 1 } ;ka_{ 2 } ;ka_{ 3 } } \right. )$⑷$a$ và $b$ cùng phương $⇔\left\{ \begin{array}{l} a_{ 1 } =kb_{ 1 } a_{ 2 } =kb_{ 2 } a_{ 3 } =kb_{ 3 } \end{array} \right.$ Phương pháp

Ví dụ 1.1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $a=\left ( { 2;-1;5 } \right. )$ và $b=\left ( { 0;-2;-4 } \right. )$. Tìm tọa độ của các vectơ sau:$a+b$,$a-b$,$5a$,$2a-\frac { 1 } { 2 }b$.

Lời giải:

Ta có:

$a+b=\left ( { 2+0;\left ( { -1 } \right. )+\left ( { -2 } \right. );5+\left ( { -4 } \right. ) } \right. )=\left ( { 2;-3;1 } \right. )$.

$a-b=\left ( { 2-0;\left ( { -1 } \right. )-\left ( { -2 } \right. );5-\left ( { -4 } \right. ) } \right. )=\left ( { 2;1;9 } \right. )$.

$5a=\left ( { 5.2;5.\left ( { -1 } \right. );5.5 } \right. )=\left ( { 10;-5;25 } \right. )$.

$2a=\left ( { 4;-2;10 } \right. )$,$\frac { 1 } { 2 }b=\left ( { 0;-1;-2 } \right. )$. Do đó:$2a-\frac { 1 } { 2 }b=\left ( { 4;-1;12 } \right. )$.

Ví dụ 1.2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left ( { -1;-3;-2 } \right. )$,$B\left ( { 2;3;4 } \right. )$ và $C\left ( { 3;5;7 } \right. )$. Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ tạo thành tam giác.

Lời giải:

Ta có:$\overrightarrow { AB }=\left ( { 3;6;6 } \right. )$;$\overrightarrow { AC }=\left ( { 4;8;9 } \right. )$.

Vì $\frac { 3 } { 4 }=\frac { 6 } { 8 }≠\frac { 6 } { 9 }$ nên $\overrightarrow { AB }$ và $\overrightarrow { AC }$ không cùng phương.

Vậy ba điểm $A,B,C$ tạo thành tam giác.

Dạng 2. Tọa độ điểm – vectơ thỏa điều kiện

⑴ Tích vô hướng của hai vectơ:$a.b=a_{ 1 } a_{ 2 } +b_{ 1 } b_{ 2 } +c_{ 1 } c_{ 2 }$.⑵$a$ và $b$ vuông góc $⇔a.b=0⇔a_{ 1 } a_{ 2 } +b_{ 1 } b_{ 2 } +c_{ 1 } c_{ 2 } =0$⑶$I$ là trung điểm $AB$:$I\left ( { \frac { x_{ A } +x_{ B } } { 2 }\,;\,\frac { y_{ A } +y_{ B } } { 2 }\,;\,\frac { z_{ A } +z_{ B } } { 2 } } \right. )$ $\left. \left. \left. \left. \left. →\overrightarrow { IA }+\overrightarrow { IB }=0⇒∀M:\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }=2\overrightarrow { MI } \right. \right. \right. \right. \right.$⑷$G$ là trọng tâmtam giác $ABC$:$G\left ( { \frac { x_{ A } +x_{ B } +x_{ C } } { 3 }\,;\,\frac { y_{ A } +y_{ B } +y_{ C } } { 3 }\,;\,\frac { z_{ A } +z_{ B } +z_{ C } } { 3 } } \right. )$ $\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. →\overrightarrow { GA }+\overrightarrow { GB }+\overrightarrow { GC }=0⇒∀M:\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }=3\overrightarrow { MG } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$⑸$G$ là trọng tâm chópABCD:$G\left ( { \frac { x_{ A } +x_{ B } +x_{ C } +x_{ D } } { 4 }\,;\,\frac { y_{ A } +y_{ B } +y_{ C } +y_{ D } } { 4 }\,;\,\frac { z_{ A } +z_{ B } +z_{ C } +z_{ D } } { 4 } } \right. )$ $\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. →\overrightarrow { GA }+\overrightarrow { GB }+\overrightarrow { GC }+\overrightarrow { GD }=0⇒∀M:\overrightarrow { MA }+\overrightarrow { MB }+\overrightarrow { MC }+\overrightarrow { MD }=4\overrightarrow { MG } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$ Phương pháp

Ví dụ 2.1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left ( { 3;2;1 } \right. )$,$B\left ( { 1;-1;2 } \right. )$ và $C\left ( { 1;2;-1 } \right. )$. Tìm tọa độ vectơ $u$ thỏa $\left. \left. u=\overrightarrow { BC }-3\overrightarrow { AO } \right. \right.$.

Lời giải:

Ta có:$\overrightarrow { BC }=\left ( { 0;3;-3 } \right. )$,$\overrightarrow { AO }=\left ( { -3;-2;-1 } \right. )$.

Do đó:$\left. \left. u=\overrightarrow { BC }-3\overrightarrow { AO }=\left ( { 0-3.\left ( { -3 } \right. );3-3.\left ( { -2 } \right. );.\left ( { -1 } \right. ) } \right. )=\left ( { 9;9;0 } \right. ) \right. \right.$.

Ví dụ 2.2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left ( { 1;2;-1 } \right. )$,$B\left ( { 2;-1;3 } \right. )$ và $C\left ( { -3;5;1 } \right. )$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $\left. \overrightarrow { AB }=2\overrightarrow { DC } \right.$.

Lời giải:

Gọi $D\left ( { x;y;z } \right. )$ là điểm cần tìm.

Ta có:$\overrightarrow { AB }=\left ( { 1;-3;4 } \right. )$,$\overrightarrow { DC }=\left ( { -3-x;5-y;1-z } \right. )$.

Tứ giácABCDlà hình bình hành $\left. \left. ⇔\overrightarrow { AB }=2\overrightarrow { DC }⇔\left\{ \begin{array}{l} 1=2\left ( { -3-x } \right. )-3=2\left ( { 5-y } \right. )4=2\left ( { 1-z } \right. ) \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} x=-\frac { 7 } { 2 }y=\frac { 13 } { 2 }z=-1 \end{array} \right. \right. \right.$.

Vậy $D\left ( { -\frac { 7 } { 2 };\frac { 13 } { 2 };-1 } \right. )$.

Ví dụ 2.3. Trong không gian $Oxyz$,cho bốn điểm $A\left ( { 2;0;0 } \right. )$,$B\left ( { 0;2;0 } \right. )$,$C\left ( { 0;0;2 } \right. )$ và $D\left ( { 2;2;2 } \right. )$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD$. Xác định Tọa độ trung điểm $I$ của $MN$

Lời giải:

Ta có $M$ là trung điểm $AB⇒M\left ( { \frac { 2+0 } { 2 };\frac { 0+2 } { 2 };\frac { 0+0 } { 2 } } \right. )⇒M\left ( { 1;\ 1;\ 0 } \right. )$

Và $N$ là trung điểm $CD⇒N\left ( { \frac { 0+2 } { 2 };\frac { 0+2 } { 2 };\frac { 2+2 } { 2 } } \right. )⇒N\left ( { 1;\ 1;\ 2 } \right. )$

Vậy $I$ là trung điểm $MN⇒I\left ( { \frac { 1+1 } { 2 };\frac { 1+1 } { 2 };\frac { 0+2 } { 2 } } \right. )⇒I\left ( { 1;1;1 } \right. )$.

Ví dụ 2.4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { 1;2;-1 } \right. )$ và $B\left ( { 0;-2;3 } \right. )$. Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh $O$ của tam giác $OAB$.

Lời giải:

Gọi $K\left ( { x;y;z } \right. )$ là điểm cần tìm.

Ta có:$\overrightarrow { AK }=\left ( { x-1;y-2;z+1 } \right. )$,$\overrightarrow { AB }=\left ( { -1;-4;4 } \right. )$.

Vì $A,K,B$ thẳng hàng nên $\left. \overrightarrow { AK }=k\overrightarrow { AB }⇔\left\{ \begin{array}{l} x-1=k.\left ( { -1 } \right. )y-2=k.\left ( { -4 } \right. )z+1=k.4 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} x=-k+1y=-4k+2z=4k-1. \end{array} \right. \right.$ $⇒K\left ( { -k+1;-4k+1;4k-1 } \right. )$ $\left. ⇒\overrightarrow { OK }=\left ( { -k+1;-4k+2;4k-1 } \right. ) \right.$.

Vì $OK⊥AB$ nên $\left. \overrightarrow { OK }.\overrightarrow { AB }=0⇔\left ( { -k+1 } \right. ).\left ( { -1 } \right. )+\left ( { -4k+2 } \right. ).\left ( { -4 } \right. )+\left ( { 4k-1 } \right. ).4=0⇔k=\frac { 13 } { 33 }. \right.$

Vậy $K\left ( { \frac { 20 } { 33 };\frac { 14 } { 33 };\frac { 19 } { 33 } } \right. )$.

Ví dụ 2.5. Trong không gian $Oxyz$, choΔABCbiết $A\left ( { { \rm{ 2 } }\,{ \rm{ ; } }\,{ \rm{ 4 } }\,{ \rm{ ; } }-{ \rm{ 3 } } } \right. )$ có trọng tâm $G\left ( { { \rm{ 2 } }\,{ \rm{ ; } }\,{ \rm{ 1 } }\,{ \rm{ ; } }\,{ \rm{ 0 } } } \right. )$. Khi đó xác định tọa độ $\left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AC } \right.$

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BC$,$G$ là trọng tâmtam giác $ABC$

Ta có $\left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AC }=2\overrightarrow { AM } \right. \right.$ (quy tắc hình bình hành)

Và $\left. \overrightarrow { AM }=\frac { 3 } { 2 }\overrightarrow { AG } \right.$

Do đó $\left. \left. \left. \overrightarrow { AB }+\overrightarrow { AC }=2\overrightarrow { AM }=2.\frac { 3 } { 2 }\overrightarrow { AG }=3\left ( { 0\,;-3\,;3 } \right. )=\left ( { 0\,;-9\,;\,9 } \right. ) \right. \right. \right.$.

Dạng 3. Độ dài vectơ

⑴$\overrightarrow { AB }=\left ( { x_{ B } -x_{ A } ;y_{ B } -y_{ { \rm{ A } } } ;z_{ B } -z_{ A } } \right. )$ $\left. →AB=\left | { \overrightarrow { AB } } \right. |=\sqrt{ \left ( { x_{ B } -x_{ A } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ B } -y_{ { \rm{ A } } } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { z_{ B } -z_{ A } } \right. ) ^ { 2 } } \right.$⑵ Độ dài véctơ $a$:$\left | { a } \right. |=\sqrt{ \left ( { a_{ 1 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { a_{ 2 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { a_{ 3 } } \right. ) ^ { 2 } }$ $\left. \rightarrow \left | { a } \right. | ^ { 2 } =a ^ { 2 } =\left ( { a_{ 1 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { a_{ 2 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { a_{ 3 } } \right. ) ^ { 2 } \right.$ Phương pháp

Ví dụ 3.1. Trong không gian $Oxyz$,cho $A\left ( { 1;2;-1 } \right. )$ và $B\left ( { 0;3;1 } \right. ).$ Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow { AB }=\left ( { -1;1;2 } \right. )$ $⇒AB=\sqrt{ \left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }=\sqrt{ 6 }$

Ví dụ 3.2. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A\left ( { 1\,;0\,;\,-2 } \right. )\,,\,B\left ( { 2\,;\,1\,;\,-1 } \right. )$,$C\left ( { 1\,;\,-2\,;\,2 } \right. )$. Tìm chu vi củatam giác $ABC$.

Lời giải:

Theo công thức tính độ dài ta được

$AB=\sqrt{ \left ( { 2-1 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { 1-0 } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { -1+2 } \right. ) ^ { 2 } }=\sqrt{ 3 }$;

$BC=\sqrt{ 1+9+9 }=\sqrt{ 10 }$;

$AC=\sqrt{ 0+4+16 }=2\sqrt{ 5 }$.

Chu vi của $ABC:$ $\sqrt{ 3 }+\sqrt{ 10 }+2\sqrt{ 5 }$.

Ví dụ 3.3. Trong không gian $Oxyz$,cho $A\left ( { 1;2;-1 } \right. ),\,\,B\left ( { 0;3;1 } \right. );\,\,C\left ( { 3;2;0 } \right. ).$ Tính diện tíchtam giác $ABC$(nếu có).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow { AB }=\left ( { -1;1;2 } \right. )$ và $\overrightarrow { AC }=\left ( { 2;0;1 } \right. )$ không cùng phương nên ba điểm $A;B;C$ lập thành tam giác.

Và $\left. \overrightarrow { AB }.\overrightarrow { AC }=-1.2+1.0+2.1=0 \right.$ $\left. \left. ⇒\overrightarrow { AB }⊥\overrightarrow { AC }⇒AB⊥AC \right. \right.$ nênΔABCvuông tại $A.$

Mặt khác $AB=\sqrt{ \left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }=\sqrt{ 6 }$ và $AC=\sqrt{ 2 ^ { 2 } +0+1 ^ { 2 } }=\sqrt{ 5 }$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $$S=\frac { 1 } { 2 }AB.AC=\frac { 1 } { 2 }\sqrt{ 6 }.\sqrt{ 5 }=\frac { \sqrt{ 30 } } { 2 }.$$

Ví dụ 3.4. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left ( { 2\,;0\,;0 } \right. ),\,\,B\left ( { 0\,;3\,;1 } \right. ),\,\,C\left ( { -3\,;6\,;4 } \right. )$. Tìm điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$. Tìm độ dài đoạn $AM$.

Lời giải:

Giả sử $\left. M\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right. )\,\,⇒\,\,\overrightarrow { BM }=\left ( { a\,;\,b-3\,;\,c-1 } \right. ) \right.$ và $\overrightarrow { BC }=\left ( { -3\,;\,3\,;\,3 } \right. )$.

Điểm $M∈BC$:$$MC=2MB\,\,⇒\,\,\overrightarrow BM =\frac 1 3 \overrightarrow BC ⇔\,\,$$ $⇔\,\,⇒\,\,M\left ( { -1\,;\,4\,;\,2 } \right. )$.

Vậy $AM=\sqrt{ 9+16+4 }=\sqrt{ 29 }$.

Dạng 4. Sự cùng phương của hai vectơ

Xét hai véctơ $a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. )$ và $b=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. )$ ta có:⑴ Hai véctơ bằng nhau:$a=b⇔\left\{ \begin{array}{l} a_{ 1 } =b_{ 1 } a_{ 2 } =b_{ 2 } a_{ 3 } =b_{ 3 } \end{array} \right.$⑵ Véctơ $a$ cùng phương véctơ $b$:$a=k.b⇔\left\{ \begin{array}{l} a_{ 1 } =k.b_{ 1 } a_{ 2 } =k.b_{ 2 } a_{ 3 } =k.b_{ 3 } \end{array} \right.$ Phương pháp

Ví dụ 4.1. Trong không gian $Oxyz$,cho các vectơ $a=\left ( { 4;1;-2 } \right. )$;$b=\left ( { 1;-2;-1 } \right. )$;$c=\left ( { 8;2;-4 } \right. )$;$d=\left ( { -4;-1;2 } \right. )$. Vectơ $a=\left ( { 4;1;-2 } \right. )$ cùng phương với vectơ nào đã cho?

Lời giải:

Xét $\left\{ \begin{array}{l} a=\left ( { 4;1;-2 } \right. )b=\left ( { 1;-2;-1 } \right. ) \end{array} \right.⇒\frac { 4 } { 1 }≠\frac { 1 } { -2 }≠\frac { -2 } { -1 }$ nên $a$ không cùng phương $b$.

Xét $\left\{ \begin{array}{l} a=\left ( { 4;1;-2 } \right. )c=\left ( { 8;2;-4 } \right. ) \end{array} \right.⇒\frac { 4 } { 8 }=\frac { 1 } { 2 }=\frac { -2 } { -4 }$ nên $a$ cùng phương $c$.

Xét $\left\{ \begin{array}{l} a=\left ( { 4;1;-2 } \right. )d=\left ( { -4;-1;2 } \right. ) \end{array} \right.⇒\frac { 4 } { -4 }=\frac { 1 } { -1 }=\frac { -2 } { 2 }$ nên $a$ cùng phương $d$.

Vậy vectơ $a$ cùng phương với vectơ $c$ và $d$.

Ví dụ 4.2. Trong không gian $Oxyz$,cho hai vectơ $a=\left ( { 1;1;5 } \right. )$ và $b=\left ( { m+1;2n;10 } \right. ).$ Tìm $m,\,n$ để hai vectơ $a$ và $b$ cùng phương.

Lời giải:

Để hai vectơ $a$ và $b$ cùng phương khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} a_{ 1 } =kb_{ 1 } a_{ 2 } =kb_{ 1 } a_{ 3 } =kb_{ 3 } \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} 1=k\left ( { m+1 } \right. )1=k\left ( { 2n } \right. )5=k.10 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} k=\frac { 1 } { 2 }m=1n=1 \end{array} \right.$

Vậy:$m=1;\,\,n=1.$

Ví dụ 4.3. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm ${ \rm{ A } }\left ( { 2;-1;5 } \right. )$,$B\left ( { 5;-5;7 } \right. )$,$\,M\left ( { x;y;1 } \right. )$. Với giá trị nào của $x$,$\,y$ thì $A$,$B$,$M$ thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow { AB }=\left ( { 3;-4;2 } \right. )$,$\left. \,\overrightarrow { AM }=\left ( { x-2;y+1;-4 } \right. ) \right.$.

$A$,$B$,$M$ thẳng hàng.$\left. ⇔\overrightarrow { AB } \right.$,$\left. \,\overrightarrow { AM } \right.$ cùng phương $⇔\frac { x-2 } { 3 }=\frac { y+1 } { -4 }=\frac { -4 } { 2 }$ $⇔\left\{ \begin{array}{l} x=-4y=7 \end{array} \right.$.

Ví dụ 4.4. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { -2;3;1 } \right. )$ và $B\left ( { 5;{ \rm{ } }6;{ \rm{ } }2 } \right. )$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $\left ( { Oxz } \right. )$ tại điểm $M$. Tính tỉ số $\frac { AM } { BM }$.

Lời giải:

$M∈\left ( { Oxz } \right. )$ $⇒M\left ( { x{ \rm{ ; } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ ; } }z } \right. )$;$\overrightarrow { AB }=\left ( { 7{ \rm{ ; } }3{ \rm{ ; } }1 } \right. )$ $⇒AB=\sqrt{ 59 }$;$\overrightarrow { AM }=\left ( { x+2{ \rm{ ; } }-3{ \rm{ ; } }z-1 } \right. )$

$A,B,M$ thẳng hàng $\left. \left. ⇒\overrightarrow { AM }=k.\overrightarrow { AB } \right. \right.$ $⇔\left\{ \begin{array}{l} x+2=7k-3=3kz-1=k \end{array} \right.$ $⇔\left\{ \begin{array}{l} x==kz=0 \end{array} \right.$ $⇒M\left ( { -9{ \rm{ ; } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ ; } }0 } \right. ).$

$\overrightarrow { BM }=\left ( { -14{ \rm{ ; } }-6{ \rm{ ; } }-2 } \right. )$,$\overrightarrow { AM }=\left ( { -7{ \rm{ ; } }-3{ \rm{ ; } }-1 } \right. )$ $⇒AM=\sqrt{ 59 }$,$BM=2\sqrt{ 59 }$ $⇒\frac { AM } { BM }=\frac { 1 } { 2 }$.

Dạng 5. Tích vô hướng và ứng dụng

Xét hai véctơ $a=\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;a_{ 3 } } \right. )$ và $b=\left ( { b_{ 1 } ;b_{ 2 } ;b_{ 3 } } \right. )$ ta có:⑴ Tích vô hướng hai véctơ:$\left[ a.b=\left | { a } \right. |.\left | { b } \right. |.cos\left ( { a\,;\,b } \right. )a.b=a_{ 1 } .b_{ 1 } +a_{ 2 } .b_{ 2 } +a_{ 3 } .b_{ 3 } \right.$ $\left. \rightarrow \right.$ Góc giữa 2 véctơ:$$cos\left ( { a\,;\,b } \right. )=\frac { a.b } { \left | { a } \right. |.\left | { b } \right. | }=\frac { a_{ 1 } .b_{ 1 } +a_{ 2 } .b_{ 2 } +a_{ 3 } .b_{ 3 } } { \sqrt{ \left ( { a_{ 1 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { a_{ 2 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { a_{ 3 } } \right. ) ^ { 2 } }.\sqrt{ \left ( { b_{ 1 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { b_{ 2 } } \right. ) ^ { 2 } +\left ( { b_{ 3 } } \right. ) ^ { 2 } } }$$ Chú ý: Khi $a\,.\,b>0$ thì $cos\left ( { a;\,b } \right. )>0$ $⇒\left ( { a;\,b } \right. )$ là góc nhọn, Khi $a\,.\,b < 0$ thì $cos\left ( { a\,;\,b } \right. ) < 0$ $⇒\left ( { a\,;\,b } \right. )$ là góc tù.⑵ Véctơ $a$ vuông góc véctơ $b$:$a.b=0⇔a_{ 1 } .b_{ 1 } +a_{ 2 } .b_{ 2 } +a_{ 3 } .b_{ 3 } =0$

• Bài toán liên quan giữa độ dài và tích vô hướng: Cho hai vectơ $u$ và $v$ có $\left | { u } \right. |=m;\,\,\left | { v } \right. |=n$ và tạo với nhau một góc $α$. Tính $\left | { u+v } \right. |$ hoặc $\left | { u-v } \right. |$ hoặc tùy vào yêu cầu bài toán. Hướng giải quyết
• Bước 1: Biến đổi $\left ( { \left | { u+v } \right. | } \right. ) ^ { 2 } =\left ( { u+v } \right. ) ^ { 2 } =u ^ { 2 } +2u.v+v ^ { 2 }$
• Bước 2: Áp dụng:$\left\{ \begin{array}{l} u ^ { 2 } =\left | { u } \right. | ^ { 2 } a.b=\left | { a } \right. |.\left | { b } \right. |.cos\left ( { a\,;\,b } \right. ) \end{array} \right.$Để biến đổi:$u ^ { 2 } +2u.v+v ^ { 2 } =\left | { u } \right. | ^ { 2 } +2\left | { u } \right. |.\left | { v } \right. |cos\left ( { u;\,v } \right. )+\left | { v } \right. | ^ { 2 } \,\,\,\,\left ( { * } \right. )$
• Bước 3: Lắp các dữ kiện giả thiết vào $\left ( { * } \right. )⇒\left | { u+v } \right. |=?$ Phương pháp

Ví dụ 5.1. Trong không gian $Oxyz$, cho $a=\left ( { -3;4;0 } \right. ),b=\left ( { 5;0;12 } \right. )$. Tính côsin của góc giữa $a$;$b$.

Lời giải:

Ta có:$$cos\left ( { a;b } \right. )=\frac { a⋅b } { \left | { a } \right. |⋅\left | { b } \right. | }=\frac { -3.5+4.0+0.12 } { \sqrt{ \left ( { -3 } \right. ) ^ { 2 } +4 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }⋅\sqrt{ 5 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +12 ^ { 2 } } }=-\frac { 3 } { 13 }.$$

Ví dụ 5.2. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left ( { -1;-2;3 } \right. )$,$B\left ( { 0;3;1 } \right. )$,$C\left ( { 4;2;2 } \right. )$. Côsin của $\widehat { BAC }$ bằng

Lời giải:

Ta có $cos \widehat { BAC }=$ $\left. \left. \left. \left. \left. \left. cos\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } } \right. )=\frac { \overrightarrow { AB }.\overrightarrow { AC } } { \left | { \overrightarrow { AB } } \right. |\left | { \overrightarrow { AC } } \right. | } \right. \right. \right. \right. \right. \right.$ mà:$\overrightarrow { AB }=\left ( { 1;5;-2 } \right. )$,$\overrightarrow { AC }=\left ( { 5;4;-1 } \right. )$.

$\left. \left. cos\left ( { \overrightarrow { AB },\overrightarrow { AC } } \right. )=\frac { 1.5+5.4+\left ( { -2 } \right. )\left ( { -1 } \right. ) } { \sqrt{ 1 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } }\sqrt{ 5 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right. ) ^ { 2 } } } \right. \right.$ $=\frac { 27 } { \sqrt{ 30 }\sqrt{ 42 } }$ $=\frac { 9 } { 2\sqrt{ 35 } }$.

Ví dụ 5.3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $a=\left ( { 2;1;-2 } \right. )$,$b=\left ( { 0;-\sqrt{ 2 };\sqrt{ 2 } } \right. )$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hai vectơ $u=2a+3mb$ và $v=ma-b$ vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l} u=2a+3mb=\left ( { 2;2-3m\sqrt{ 2 };-4+3m\sqrt{ 2 } } \right. )v=ma-b=\left ( { 2m;m+\sqrt{ 2 };-2m-\sqrt{ 2 } } \right. ) \end{array} \right.$.

Khi đó:$u.v=0⇔4m+\left ( { 2-3m\sqrt{ 2 } } \right. )\left ( { m+\sqrt{ 2 } } \right. )+\left ( { -4+3m\sqrt{ 2 } } \right. )\left ( { -2m-\sqrt{ 2 } } \right. )=0$.

$⇔9m ^ { 2 } \sqrt{ 2 }-6m-6\sqrt{ 2 }=0$ $⇔m=\frac { ±\sqrt{ 26 }+\sqrt{ 2 } } { 6 }$.

Ví dụ 5.4. Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $u=\left ( { 1; 1; -2 } \right. )$,$v=\left ( { 1; 0; m } \right. )$. Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $u,\ v$ bằng $45°$.

Lời giải:

Ta có:$$cos\left ( { u, v } \right. )=cos45°⇔\frac { u.v } { \left | { u } \right. |.\left | { v } \right. | }=\frac { 1 } { \sqrt{ 2 } }$$ $⇔\frac { 1-2m } { \sqrt{ 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right. ) ^ { 2 } }.\sqrt{ 1 ^ { 2 } +m ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt{ 2 } }$

$⇔\frac { 1-2m } { \sqrt{ 6 }.\sqrt{ 1+m ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt{ 2 } }$ $⇔1-2m=\sqrt{ 3+3m ^ { 2 } }⇔\left\{ \begin{array}{l} 1-2m≥0\left ( { 1-2m } \right. ) ^ { 2 } =3+3m ^ { 2 } \end{array} \right.$.

$⇔\left\{ \begin{array}{l} m≤\frac { 1 } { 2 }m ^ { 2 } -4m-2=0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} m≤\frac { 1 } { 2 }m=2±\sqrt{ 6 } \end{array} \right.⇔m=2-\sqrt{ 6 }$.

Ví dụ 5.5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $u$ và $v$ tạo với nhau một góc $120°$ và $\left | { u } \right. |=2$,$\left | { v } \right. |=5$. Tính $\left | { u+v } \right. |$.

Lời giải:

Ta có :$\left ( { \left | { u+v } \right. | } \right. ) ^ { 2 } =\left ( { u+v } \right. ) ^ { 2 }$

$$=u ^ { 2 } +2u.v+v ^ { 2 } =\left | { u } \right. | ^ { 2 } +2\left | { u } \right. |.\left | { v } \right. |cos\left ( { u;\,v } \right. )+\left | { v } \right. | ^ { 2 }$$ $=2 ^ { 2 } +2.2.5.\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right. )+5 ^ { 2 } =19$.

Suy ra $\left | { u+v } \right. |=\sqrt{ 19 }$.

Dạng 6. Tâm tỷ cự

• Bài toán cực trị độ dài vecto: Cho $n$ điểm $A_{ 1 } \,;\,A_{ 2 } \,;\,\,\ldots \,;\,A_{ n }$ và các hệ số $k_{ 1 } \,;\,k_{ 2 } \,;\,\ldots \,;\,k_{ n }$ sao cho $k=k_{ 1 } \,+\,k_{ 2 } \,+\ldots \,+\,k_{ n } ≠0$ và đường thẳng $d$ hoặc mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $d$ hoặc mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$, sao cho $\left. \left. \left. \left | { k_{ 1 } .\overrightarrow { MA_{ 1 } }+k_{ 2 } .\overrightarrow { MA_{ 2 } }+\ldots +k_{ n } .\overrightarrow { MA_{ n } } } \right. | \right. \right. \right.$ nhỏ nhất. Hướng giải quyết
• Bước 1: Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\left. \left. \left. k_{ 1 } .\overrightarrow { IA_{ 1 } }+k_{ 2 } .\overrightarrow { IA_{ 2 } }+\ldots +k_{ n } .\overrightarrow { IA_{ n } }=0 \right. \right. \right.$.
• Bước 2: Áp dụng quy tắc ba điểm biến đổi:$\left. \left. \left. \left. \left. \left | { k_{ 1 } .\overrightarrow { MA_{ 1 } }+k_{ 2 } .\overrightarrow { MA_{ 2 } }+\ldots +k_{ n } .\overrightarrow { MA_{ n } } } \right. |=\left | { \left ( { k_{ 1 } +k_{ 2 } +...k_{ n } } \right. )\overrightarrow { MI } } \right. |=\left | { k } \right. |\left | { \overrightarrow { MI } } \right. | \right. \right. \right. \right. \right.$
• Bước 3: Tìm độ dài nhỏ nhất của các vecto đã cho xảy ra khi $M$ xảy ra ở vị trí nào?
• Bài toán cực trị độ dài bình phương vecto: Cho đa giác $A_{ 1 } A_{ 2 } \ldots A_{ n }$ và các hệ số $k_{ 1 } \,;\,k_{ 2 } \,;\,\ldots \,;\,k_{ n }$ sao cho $k=k_{ 1 } \,+\,k_{ 2 } \,+\ldots \,+\,k_{ n } >0$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $d$ hoặc mặt phẳng $\left ( { P } \right. )$, sao cho tổng $S=k_{ 1 } ⋅MA_{ 1 } ^{ 2 }+k_{ 2 } ⋅MA_{ 2 } ^{ 2 }+...+k_{ n } ⋅MA_{ n } ^{ 2 }$ đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng giải quyết
• Bước 1: Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\left. \left. \left. k_{ 1 } .\overrightarrow { IA_{ 1 } }+k_{ 2 } .\overrightarrow { IA_{ 2 } }+\ldots +k_{ n } .\overrightarrow { IA_{ n } }=0 \right. \right. \right.$.
• Bước 2: Thấy rằng $\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. MA_{ 1 } ^{ 2 }=\left | { \overrightarrow { MA_{ 1 } } } \right. | ^ { 2 } =\left ( { \overrightarrow { MA_{ 1 } } } \right. ) ^ { 2 } =\left ( { \overrightarrow { MI }+\overrightarrow { IA_{ 1 } } } \right. ) ^ { 2 } =\left ( { \overrightarrow { MI } } \right. ) ^ { 2 } +2\left ( { \overrightarrow { MI }.\overrightarrow { IA_{ 1 } } } \right. )+\left ( { \overrightarrow { IA_{ 1 } } } \right. ) ^ { 2 } \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$Áp dụng quy tắc ba điểm biến đổi:$S=k_{ 1 } ⋅MA_{ 1 } ^{ 2 }+k_{ 2 } ⋅MA_{ 2 } ^{ 2 }+...+k_{ n } ⋅MA_{ n } ^{ 2 }$ $\left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. \left. =k_{ 1 } \left[ \left ( { \overrightarrow { MI } } \right. ) ^ { 2 } +2\left ( { \overrightarrow { MI }.\overrightarrow { IA_{ 1 } } } \right. )+\left ( { \overrightarrow { IA_{ 1 } } } \right. ) ^ { 2 } \right]+...+k_{ n } \left[ \left ( { \overrightarrow { MI } } \right. ) ^ { 2 } +2\left ( { \overrightarrow { MI }.\overrightarrow { IA_{ n } } } \right. )+\left ( { \overrightarrow { IA_{ n } } } \right. ) ^ { 2 } \right] \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right. \right.$ $=\left ( { k_{ 1 } +k_{ 2 } +...+k_{ n } } \right. )MI ^ { 2 } +\left ( { k_{ 1 } ⋅IA_{ 1 } ^{ 2 }+...+k_{ n } ⋅IA_{ n } ^{ 2 } } \right. )$
• Bước 3: Do $k>0$, để $S=k_{ 1 } ⋅MA_{ 1 } ^{ 2 }+k_{ 2 } ⋅MA_{ 2 } ^{ 2 }+...+k_{ n } ⋅MA_{ n } ^{ 2 }$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ta xác định vị trí điểm $M$ cần tìm.
• Chú ý: Cho đa giác $A_{ 1 } A_{ 2 } \ldots A_{ n }$ và các hệ số $k_{ 1 } \,;\,k_{ 2 } \,;\,\ldots \,;\,k_{ n }$ sao cho $k=k_{ 1 } \,+\,k_{ 2 } \,+\ldots \,+\,k_{ n } < 0$. Tìm điểm $M$ trên $d$ hoặc $\left ( { P } \right. )$, sao cho tổng $S=k_{ 1 } ⋅MA_{ 1 } ^{ 2 }+k_{ 2 } ⋅MA_{ 2 } ^{ 2 }+...+k_{ n } ⋅MA_{ n } ^{ 2 }$ đạt giá trị lớn nhất. Ta cũng thực hiện tương tự. Phương pháp