Tóm tắt lý thuyết Phương trình đường thẳng lớp 10

Lập phương trình đường thẳng là một bài toán quan trọng của chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thuộc chương trình hình học lớp 10. Có hai bài toán cơ bản cần ghi nhớ là lập phương trình tổng quát của đường thẳng, lập phương trình tham số của đường thẳng.

Ngoài ra còn có phương trình chính tắc của đường thẳng, cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc…

Xem thêm 100 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1. Phương trình tham số của đường thẳng

Một véc-tơ $\overrightarrow{u}\ne \vec{0}$ được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

• Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_{0},y_{0})$ và có một véc-tơ chỉ phương $\vec{u}(a,b)$ là:

  $$\begin{cases} x =x_{0}+at\\ y =y_{0}+bt \end{cases}, (t\in \mathbb{R})$$

Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u}(3;4)$ và đi qua điểm $M(7;2).$

**Hướng dẫn. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u}(3;4)$ và đi qua điểm $M(7;2)$ là

**Nhận xét

• Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và tất cả chúng đều cùng phương với nhau.

• Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì $k.\overrightarrow{u}$ cũng là vectơ chỉ phương của $d.$

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Một véc-tơ $\overrightarrow{n}\ne \vec{0}$ được gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng đó.

2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

• Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

  $$ax+by+c=0$$

  với $a,b$ không đồng thời bằng $0$ (có thể viết tắt là $a^2+b^2 \ne 0$).

• Khi đó, một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n}(a;b).$

• Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng ta có thể cho $x$ nhận một giá trị tùy ý rồi tìm giá trị của $y$ tương ứng, hoặc cho $y$ một giá trị tùy ý rồi tìm $x$ tương ứng.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2x+3y-5=0$ thì chúng ta có:

• Một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;3).$

• Lấy một điểm thuộc $\Delta.$ Cho $x=2$ thì có $2\cdot 2+3y-5=0$, do đó tìm được $y=\frac{1}{3}.$ Vậy tọa độ một điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là $\left (2;\frac{1}{3}\right).$

2.2. Cách lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}$ và tìm tọa độ của một điểm $M$ thuộc đường thẳng. Sau đó sử dụng kết quả:

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ có một véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}(a,b)$ và đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ là:

Ví dụ 3. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biết nó có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}(3;4)$ và đi qua điểm $M(0;7).$

Hướng dẫn. Đường thẳng $\Delta$ có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}(3;4)$ và đi qua điểm $M(0;7)$ nên có phương trình tổng quát:

hay chính là $3x+4y-28=0.$

Ví dụ 4. Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ với $E(1;9)$ và $F(3;-3)$

**Hướng dẫn.

• Gọi đường trung trực của $EF$ là $d$ thì đường thẳng $d$ vuông góc với $EF$ và đi qua trung điểm của $EF.$

• Vì $d$ vuông góc với $EF$ nên đường thẳng $d$ có véc-tơ pháp tuyến chính là $\overrightarrow{EF}(2;-12).$

• Gọi trung điểm của $EF$ là $M$ thì tìm được $M(2;3).$

• Đường thẳng $d$ có véc-tơ pháp tuyến chính là $\overrightarrow{EF}(2;-12)$ và đi qua điểm $M(2;3)$ nên có phương trình tổng quát:

  $$2x-12y+32=0.$$

2.3. Mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phương và véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng

• Véctơ chỉ phương và véc-tơ pháp tuyến của một đường thẳng thì vuông góc với nhau, do đó nếu véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a,b)$ thì có thể chọn véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(-b,a)$ hoặc $\vec{u}=(b,-a);$ và ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}=(p,q)$ là một vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì đường thẳng đó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(q,-p)$ hoặc $\overrightarrow{n’}=(-q,p).$

• Hai đường thẳng song song thì có cùng các véc-tơ chỉ phương, cùng các véc-tơ pháp tuyến.

• Hai đường thẳng vuông góc thì véc-tơ chỉ phương của đường thẳng này là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.

Nếu đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì đường thẳng $\Delta’$

• vuông góc với $\Delta$ là $\Delta’:-bx+ay+c’=0$ hoặc $\Delta’:bx-ay+c’=0.$

• song song với $\Delta$ là $\Delta’:ax+by+c’=0$ với $c\ne c’.$

Ví dụ 5. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ với $A(1;2)$ và $B(-3;5).$

**Hướng dẫn.

• Đường thẳng $AB$ chứa $\overrightarrow{AB}(-4;3)$ nên $\overrightarrow{AB}(-4;3)$ chính là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $AB.$

• Suy ra, đường thẳng $AB$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;4).$

• Như vậy, đường thẳng $AB$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;4)$ và đi qua điểm $A(1;2)$ nên có phương trình tổng quát:

  $$3x+4y-11=0.$$

3. Góc và khoảng cách lớp 10

• Khoảng cách từ điểm $M(x_0,y_0)$ đến đường thẳng $\Delta:ax+by+c=0$ là

  $$d(M,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

• Góc giữa hai véc-tơ $\vec{a},\vec{b}$ có

  $$\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=\frac{\text{tích vô hướng}}{\text{tích độ dài}}$$

• Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta’$ có

  $$\cos(\Delta,\Delta’)=\left|\cos(\vec{n},\vec{n’})\right|=\frac{|\vec{n}.\vec{n’}|}{|\vec{n}|.|\vec{n’}|}$$

Góc giữa hai đường thẳng có cosin bằng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài các véc-tơ pháp tuyến của hai đường thẳng.

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm $A(1 , 3)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x – 4y + 4 = 0$

Hướng dẫn. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$ là

Ví dụ 7. Tính khoảng cách từ điểm $P(3 , 12)$ đến đường thẳng $\Delta:\begin{cases} x=2+t\\y=5-3t \end{cases}$

Hướng dẫn. Trước tiên, chúng ta cần chuyển phương trình đường thẳng $\Delta$ từ dạng tham số về dạng tổng quát. Từ phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có $t=x-2.$ Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y=5-3(x-2)$ hay chính là

Đây chính là phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta.$ Từ đó, khoảng cách cần tìm là

Ví dụ 8. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $d : 5x + 3y – 5 = 0$ và $d’ : 5x + 3y + 8 = 0.$

Hướng dẫn. Vì hai đường thẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa chúng chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này tới đường thẳng còn lại.

Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng $d$, chẳng hạn $M(1;0)$ thì khoảng cách cần tìm là

Ví dụ 9. Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta: x-3y+5=0$ và $\Delta’:2x-3y+7=0.$

**Hướng dẫn.

• Đường thẳng $\Delta$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}(1;-3)$, đường thẳng $\Delta’$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}'(2;-3)$ nên góc giữa hai đường thẳng có

  $$\begin{aligned} \cos(\Delta,\Delta’)&=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{n}’|}{\big|\vec{n}|\cdot|\vec{n}’\big|}\\ &=\frac{\big|1\cdot 2+(-3)\cdot (-3)\big|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-3)^2}}\\ &= \frac{11}{\sqrt{130}}. \end{aligned}$$

• Suy ra, góc giữa hai đường thẳng là $(\Delta,\Delta’)\approx 15.26^\circ.$

4. Các dạng phương trình đường thẳng lớp 10 khác

4.1. Phương trình chính tắc của đường thẳng

• Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M(x_0,y_0)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}(a,b)$ mà $ab\ne0$ là

  $$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}$$

4.2. Phương trình đường thẳng biết hệ số góc

• Đường thẳng đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và có hệ số góc $k$ có phương trình:

  $$y-y_{0}=k(x-x_{0})$$

4.3. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

• Nếu hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$ mà có $x_B-x_A\ne 0$ và $y_B-y_A\ne 0$ thì có phương trình

  $$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-yA}$$

4.4. PT đường thẳng cắt hai trục tọa độ

• Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại $A(a,0)$ và $B(0,b)$ có phương trình:

  $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$

• Phương trình này được gọi là phương trình đoạn chắn.

5. Bài tập phương trình đường thẳng lớp 10

Quý thầy cô và các em học sinh tham khảo trong bài Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng