Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: 100 bài tập chọn lọc có lời giải chi tiết

Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

1. Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng

Hệ trục tọa độ và tọa độ của điểm, tọa độ của vecto

• Hệ trục tọa độ Descartes trong mặt phẳng. Hệ trục gồm hai đường thẳng $x’Ox,y’Oy$ vuông góc với nhau; trên các đường thẳng đó chọn lần lượt các véc-tơ đơn vị $\vec{i},\vec{j}.$

• Tọa độ của một điểm:

  $$M(x,y) \Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$$

• Tọa độ của một véc-tơ:

  $$\vec{v}=(x,y) \Leftrightarrow \vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}$$

• Các phép toán và công thức. Cho ba điểm $A(x_A,y_A) ,B(x_B,y_B)$, và các véc-tơ $\vec{v}_1(x_1,y_1), \vec{v}_2(x_2,y_2)$ thì ta có:

Hai véc-tơ bằng nhau $\vec{v}_1=\vec{v}_2 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=x_2\\y_1=y_2\end{cases}$

• Tọa độ của $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$

• Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ $M(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$

• Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ $G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3})$

• Phép cộng, trừ các véc-tơ $\vec{v}_1\pm \vec{v}_2= (x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)$

• Nhân véc-tơ với một số $k\vec{v}_1=(kx_1,kx_2)$ với mọi số thực $k.$

• Điểm chia đoạn thẳng

  $$\overrightarrow{MA}+\lambda \overrightarrow{MB}=\vec{0} \Leftrightarrow \begin{cases} x_M=\frac{x_A+\lambda x_B}{1+\lambda}\\ y_M=\frac{y_A+\lambda y_B}{1+\lambda} \end{cases}$$

  Đặc biệt khi $\lambda=-1$ thì $M$ là trung điểm của $AB.$

• Hai véc-tơ cùng phương: $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ cùng phương $\Leftrightarrow \vec{v}_1=k \vec{v}_2.$  Có thể sử dụng điều kiện $\frac{x_1 }{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$, với quy ước rằng mẫu bằng không thì tử bằng không.

Tích vô hướng của hai véc-tơ.

Cho hai véc-tơ $\vec{v}_1(x_1,y_1),\vec{v}_2(x_2,y_2)$ thì ta có:

• Định nghĩa. $\vec{v}_1\cdot \vec{v}_2= |\vec{v}_1|\cdot |\vec{v}_2|\cdot \cos(\vec{v}_1,\vec{v}_2)$

• Biểu thức tọa độ: $\vec{v}_1\cdot \vec{v}_2= x_1 x_2+y_1 y_2$

• Hệ quả:

$\vec{v}_1\perp \vec{v}_2 \Leftrightarrow \vec{v}_1\cdot \vec{v}_2= 0$

• $$|\vec{v}_1|= \sqrt{x_1^2+y_1 ^2},\; AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

• $\displaystyle \cos(\vec{v}_1,\vec{v}_2)=\frac{\vec{v}_1\cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_1|\cdot |\vec{v}_2|}=\frac{\text{tích vô hướng}}{\text{tích độ dài}}$

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho điểm $M(x, y).$ Tìm tọa độ các điểm:

• $M_1$ đối xứng với $M$ qua $Ox.$

• $M_2$ đối xứng với $M$ qua $Oy$

• $M_3$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O.$

Bài 2. Cho ba điểm $A(2,5),B(1,1),C(3,3).$ Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm $I$ của hình bình hành đó?

Đáp số $D(4,7),I(5/2,4)$

Bài 3. Cho hình bình hành $ABDC$ có $A(-1, 3), B(2, 4), C(0, 1).$ Tìm tọa độ đỉnh $D.$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có các điểm $M(1, 0), N(2, 2), P(-1, 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB.$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

Bài 5. Cho $A(3, 4), B(2, 5).$ Tìm $x$ để điểm $C(-7, x)$ thuộc đường thẳng $AB.$

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, thực hiện các yêu cầu sau:

• Cho ba điểm $A(-1, 1), B(1, 3), C(-2, 0).$ Chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

• Cho $A(-1, 8), B(1, 6), C(3, 4).$ Chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

• Cho $A(1, 1), B(3, 2), C(m + 4, 2m + 1).$ Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng

• Cho bốn điểm $A(0, 1), B(1, 3), C(2, 7), D(0, 3).$ Chứng minh đường thẳng $AB$ và $CD$ song song.

• Cho bốn điểm $A(-2, -3), B(3, 7), C(0, 3), D(-4, -5).$ Chứng minh rằng hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ với $A (3, 2), B (- 11, 0), C (5, 4).$ Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$

Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có $A (1, – 1), B (5, – 3)$ đỉnh $C$ thuộc $Oy$ và trọng tâm $G$ thuộc $Ox.$ Tìm tọa độ đỉnh $C.$

Bài 9. Cho $A (- 2, 1), B (4, 5).$ Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và tìm tọa độ của điểm $C$ sao cho tứ giác $OACB$ là hình bình hành với $O$ là gốc tọa độ.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(-1, 3), B(4, 2), C(3, 5).$

• Chứng minh rằng ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

• Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD}=-3\overrightarrow{BC}.$

• Tìm tọa độ điểm $E$ sao cho $O$ là trọng tâm của tam giác $ABE.$

Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A(3,4),B(-1,2),I(4,-1).$ Xác định tọa độ các điểm $C, D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành với $I$ là trung điểm cạnh $CD.$ Tìm tọa độ tâm $O$ của hình bình hành $ABCD.$

Đáp số. $C(2,-2),D(6,0)$

Bài 12. Trong hệ trục $Oxy$ cho điểm $A(-1, 2)$ và $B(4, 5).$

• Tìm tọa độ của diểm $A’$ đối xứng của $A$ qua $Ox.$

• Tìm tọa độ của $M$ trên $Ox$ sao cho $A’,M ,B$ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Điểm $A(-1, 2)$ thì đối xứng của $A$ qua $Ox$ là $A(-1 , -2).$

Điểm $M$ trên $Ox$ nên có tọa độ dạng $M(x_0, 0).$ Từ $\overrightarrow{A’B}$ và $\overrightarrow{A’M}$ cùng phương tìm được $x_0=3/7.$

Bài 13. [Đề thi Toán khối D năm 2010] Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3,-7),$ trực tâm là $H(3,-1),$ tâm đường tròn ngoại tiếp là $I(-2,0).$ Xác định toạ độ đỉnh $C$, biết $C$ có hoành độ dương.

Đáp số. $C(-2+\sqrt{65},3)$

2. Phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng

• Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_{0},y_{0})$ và có một véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}(a,b)$:

  $$ax+by-(ax_{0}+by_{0})=0$$

• Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_{0},y_{0})$ và có một véc-tơ chỉ phương $\vec{u}(a,b)$ là:

  $$\begin{cases} x =x_{0}+at\\ y =y_{0}+bt \end{cases}, (t\in \mathbb{R})$$

• Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M(x_0,y_0)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}(a,b)$ mà $ab\ne0$ là

  $$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}$$

• Đường thẳng đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và có hệ số góc $k$ có phương trình:

  $$y-y_{0}=k(x-x_{0})$$

• Véctơ chỉ phương và véc-tơ pháp tuyến vuông góc với nhau, do đó nếu véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a,b)$ thì có thể chọn véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(-b,a)$ hoặc $\vec{u}=(b,-a);$ và ngược lại.

• Hai đường thẳng song song thì có cùng các véc-tơ chỉ phương, cùng các véc-tơ pháp tuyến, hai đường thẳng vuông góc thì véc-tơ chỉ phương của đường thẳng này là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Tức là, nếu đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì đường thẳng $\Delta’$

vuông góc với $\Delta$ là $\Delta’:-bx+ay+c’=0$ hoặc $\Delta’:bx-ay+c’=0.$

• song song với $\Delta$ là $\Delta’:ax+by+c’=0$ với $c\ne c’.$

Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại $A(a,0)$ và $B(0,b)$ có phương trình:

Phương trình này được gọi là phương trình đoạn chắn. Lấy một điểm thuộc đường thẳng ta có thể rút tọa độ $x$ theo $y$ hoặc ngược lại, nếu cần thì chuyển về phương trình tham số.

Góc – Khoảng cách

• Khoảng cách từ điểm $M(x_0,y_0)$ đến đường thẳng $\Delta:ax+by+c=0$ là

  $$d(M,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

• Góc giữa hai véc-tơ $\vec{a},\vec{b}$ có $\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=\frac{\text{tích vô hướng}}{\text{tích độ dài}}$

• Góc giữa hai đường thẳng (Bằng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia tích độ dài các véc-tơ pháp tuyến của hai đường thẳng.) $\Delta$ và $\Delta’$ có

  $$\cos(\Delta,\Delta’)=|\cos(\vec{n},\vec{n’})|=\frac{|\vec{n}.\vec{n’}|}{|\vec{n}|.|\vec{n’}|}$$

2.1. Các bài tập cơ bản viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài 1. Cho $\Delta ABC$ với $A(3,2),B(1,1),C(5,6).$

• Viết phương trình tổng quát các cạnh của $\Delta ABC.$

• Viết phương trình tổng quát của đường cao $AH$, đường trung tuyến$AM.$

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng $d$ biết nó

• Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng $d_{1}:2x-3y-15=0,d_{2}:x-12y+3=0$ và $d$ đi qua điểm $A(2,0).$

• Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng $d_{1}:3x-5y+2=0,d_{2}:5x-2y+4=0$ và song song với đường thẳng $d_{3}:2x-y+4=0.$

• Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng $d_{1}:2x-3y+5=0,d_{2}:x-2y-3=0$ và vuông góc với đường thẳng $d_{3}:x-7y-1=0.$

Bài 3. Tìm $m$ để hai đường thẳng: $x+(2m-3)y-3=0$ và $\begin{cases} x & =1-t\\ y & =2-t \end{cases}$ vuông góc với nhau.

Bài 4. Lập phương trình tổng quát của 3 đường trung trực và 3 cạnh của $\Delta ABC$ biết các trung điểm của $BC,CA$ và $AB$ là $M(4,2),N(0,-1),P(1,4).$

Bài 5. Cho đường thẳng $d:3x+4y-12=0.$

• Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của gốc $O$ trên $d.$

• Tìm điểm đối xứng $O’$ của gốc $O$ qua $d.$

• Viết phương trình đường thẳng $d’$ đối xứng của $d$ qua $O.$

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ có trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ $(- 1/2, 0)$, đường cao$CH$ với $H(- 1, 1)$, đường cao $BK$ với $K(1 , 3)$ và biết $B$ có hoành độ dương.

• Viết phương trình $AB.$

• Tìm tọa độ $B, A$ và $C.$

Hướng dẫn. Đường thẳng $AB$ đi qua $H$ và $M$ nên có phương trình $2x+y+1=0.$

Điểm $B\in AB$ nên có tọa độ dạng $B(b,-1-2b).$ Có $A$ đối xứng với $B$ qua $M\Leftrightarrow A(-1-b,1+2b).$ Mà $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BK}=0 \Leftrightarrow b=1.$ Từ đó tìm được $A(-2,3),B(1,-3)$ và $C(3,3).$

2.2. Sử dụng điểm thuộc đường thẳng (tham số hóa)

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho các điểm $A(1,0),B(-2,4),C(-1,4),D(3,5)$ và đường thẳng $d:3x-y-5=0.$ Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho hai tam giác $MAB, MCD$ có diện tích bằng nhau.

Hướng dẫn. Phương trình đường thẳng $AB:4x+3y-4=0,$ đường thẳng $CD:x-4y-17=0.$

Vì $M\in d$ nên có tọa độ dạng $M(t,3t-5).$ Do đó $d(M,AB)=…, d(M,CD)=…$

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x-3y-6=0$ và điểm $N(3,4).$ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho tam giác $OMN$ có diện tích bằng $\frac{15}{2}.$

Hướng dẫn. Đáp số $M(3,-1)$ và $M(-7,-\frac{13}{3}).$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng 2. Biết tọa độ $A(1,0), B(0,2)$ và trung điểm $I$ của $AC$ nằm trên đường thẳng $y = x.$ Tìm toạ độ đỉnh $C.$

Hướng dẫn. Vì $I$ thuộc đường thẳng $y=x$ nên có tọa độ dạng $I(t,t).$ Từ $I$ là trung điểm $AC$ suy ra $C(2t-1,2t).$

Mặt khác, từ $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.d(C,AB)=2$ suy ra $d(C,AB)=$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có trung điểm của $AB$ là $I(1 , 3) ,$ trung điểm $AC$ là $J(- 3, 1).$ Điểm $A$ thuộc trục $Oy$ và đường $BC$ qua gốc tọa độ $O.$ Tìm tọa độ điểm $A$, phương trình $BC$ và đường cao vẽ từ $B.$

Hướng dẫn. Vì $A$ thuộc trục $Oy$ nên có tọa độ $A(0,a),$ suy ra $B(2,6-a)$ và $C(-6,2-a).$ Ta có đường thẳng $BC$ đi qua $O\Leftrightarrow \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ cùng phương $\Leftrightarrow a=5.$

Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d_1:x+y-3=0,d_2:x+y-9=0$ và điểm $A(1, 4).$ Tìm điểm $B\in d_1,C\in d_2$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$

Hướng dẫn. Gọi $B(b,3-b)$ và $C(c,9-c).$ Lập hệ, từ phương trình $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ rút ra $b-1=\frac{(b+1)(5-c)}{c-1}$ thay vào phương trình còn lại được $(b+1)^2=(c-1)^2.$ Đáp số $B(2,1),C(4,5)$ hoặc $B(-2,5),C(2,7).$

Bài 6. Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình thoi $ABCD$ cạnh $AC$ có phương trình là: $x+7y-31=0,$ hai đỉnh $B,D$ lần lượt thuộc các đường thẳng $d_1:x+y-8=0,d_2:x-2y+3=0.$ Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh $A$ có hoành độ âm.

Hướng dẫn. Đáp số $A(-11,6),B(0,8),C(10,3),D(-1,1).$

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(1,1)$ và đường thẳng $\Delta:2x+3y+4=0.$Tìm tọa độ điểm $B$ thuộc $\Delta$ sao cho đường thẳng $AB$ và $\Delta$ hợp với nhau góc $45^\circ.$

Đáp số. $B(-\frac{32}{13},\frac{4}{13}),B(\frac{22}{13},-\frac{32}{13})$

Bài 8 . Cho đường thẳng $\Delta:x-2y-2=0$ và hai điểm điểm $A(-1,2),B(3,4).$ Tìm điểm $M\in \Delta$ sao cho $2MA^2+MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Sử dụng hàm số. Đáp số $M(\frac{26}{15},-\frac{2}{15})$

Bài 9. Cho điểm $C(2,-5)$ và đường thẳng $\Delta:3x-4y+4=0.$ Tìm trên $\Delta$ hai điểm $A,B$ đối xứng nhau qua $I(2,\frac{5}{2})$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng 15.

Hướng dẫn. $(0,1),(4,4).$

Bài 10. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-y+3=0$ và hai điểm $A(1,0),B(2,1).$ Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Nhận xét $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d.$ Tìm được $A'(-3,2)$ đối xứng với $A$ qua $d$ và phương trình $A’B:x+5y-7=0.$

Ta có $MA+MB= MA’+MB\ge A’B$ nên $MA+MB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M,A’,B$ thẳng hàng hay $M$ là giao điểm của $A’B$ với $d.$ Đáp số $M(-\frac{8}{11},\frac{17}{11}).$

2.3. Sử dụng véc-tơ pháp tuyến

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:x-\sqrt{3} y-2=0,$ điểm $A(1,\sqrt{3})$ và điểm $B$ không thuộc đường thẳng $d.$ Lập phương trình đường thẳng $AB$ biết khoảng cách từ điểm $B$ đến giao điểm của đường thẳng $d$ và $AB$ bằng hai lần khoảng cách từ $B$ đến $d.$

Hướng dẫn. Gọi $C$ là giao điểm của $d$ và $AB, H$ là hình chiếu của $B$ lên $d$ thì $\sin(d,AB)=\frac{BH}{BC}=\frac{1}{2}.$

Bài 2. [HVKTQS 2001] Tam giác $ABC$ cân đỉnh $A$, cạnh đáy $BC$ có phương trình $x-3y-1=0$, cạnh bên $AB$ có phương trình $x-y-5=0$, đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M(-4;1).$ Tìm toạ độ đỉnh $C?$

Hướng dẫn. Giả sử đường thẳng $AC$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( a,b \right)$, dùng điều kiện $\cos \left( AB,BC \right)=\cos \left( AC,BC \right)$, lập được phương trình hai ẩn: $7{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+6ab=0.$

Suy ra phương trình $AC: x+7y-3=0$ (Chú ý loại trường hợp song song với $AB$). Từ đó tìm được toạ độ điểm $C\left( \frac{8}{5};\frac{1}{5} \right)$

2.4. Sử dụng phương trình đoạn chắn

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng qua $M(3 , 2)$ và cắt tia $Ox$ tại $A$, tia $Oy$ tại $B$ sao cho

1. $OA + OB = 12$;

2. tạo với hai trục một tam giác có diện tích là 12.

Hướng dẫn. 1. $x +3y-9 =0, 2x+y-8=0.$ 2. $2x+3y-12=0.$

Bài 2. Cho điểm $M(3 , 3).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và $AB$ qua điểm $I(2 , 1).$

Hướng dẫn. Gọi tọa độ $A(a,0),B(0,b)$ với $ab\ne0$ thì $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 \Leftrightarrow a+b=6.$ Mặt khác phương trình đường thẳng $AB: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,$ mà $I(2,1)\in AB \Leftrightarrow a+2b=ab.$

Từ đó tìm được $a=4, b=2$ hoặc $a=3,b=3.$

Bài 3. Trên mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(2,-2).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(3,1)$ và cắt trục $Ox,Oy$ tại $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ cân.

**Hướng dẫn.**$\frac{x}{2}+\frac{y}{-2}=1$

Bài 4. Cho điểm $M(9 , 4).$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$, cắt hai tia $Ox$ và tia $Oy$ tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Gọi tọa độ $A(a,0),B(0,b)$ với $a,b>0$ thì phương trình đường thẳng $\Delta$ cần tìm là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$ Đường thẳng $\Delta$ qua $M(9,4) \Leftrightarrow \frac{9}{a}+\frac{4}{b}=1.$ Áp dụng Cauchy có

Suy ra $\sqrt{ab}\ge 12\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}ab\ge 72.$

Vậy tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất là 72 khi $\frac{9}{a}=\frac{4}{b}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow a=18,b=8.$ Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta$ là $4x+9y-72=0.$

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $M(1,2).$ Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A, B$ khác $O$ sao cho $\frac{9}{OA^2}+\frac{4}{OB^2}$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Sử dụng Bunhia. Đáp số $2x+9y-20=0.$

2.5. Các bài toán liên quan đến tam giác

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $A(2;2).$ Hai đường cao xuất phát từ đỉnh $B$ và $C$ lần lượt có phương trình là: $9x-3y-4=0;x+y-2=0.$ Viết phương trình đường các cạnh và tính diện tích của tam giác.

Bài 2. Lập phương trình các cạnh của $\Delta ABC$ nếu cho $B(-4,5)$ và hai đường cao của tam giác có phương trình: $5x+3y-4=0$và $3x+8y+13=0.$

Bài 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ có đỉnh $C(4,-1)$, đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ có phương trình lần lượt là ${{d}_{1}}:2x-3y+12=0$ và ${{d}_{2}}:2x+3y=0.$

Bài 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có $A(2,1).$ Đường cao qua đỉnh $B$ có phương trình $x-3y-7=0.$ Đường trung tuyến qua đỉnh $C$ có phương trình $x+y+1=0.$ Xác định tọa độ $B$ và $C.$ Tính diện tích tam giác $ABC.$

**Hướng dẫn.**$C(4,-5), B(1,-2), S=6.$

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BH:x+2y-3=0,$ trung tuyến $AM:3x+3y-8=0.$ Cạnh $BC$ đi qua $N(3,-2)$ và $C$ thuộc đường thẳng $d:x-y+2=0.$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn. Gọi tọa độ $B(3-2b,b)$ và $C(c,c+2)$ và biểu diễn tọa độ $M$ theo $b,c.$ Mà $M\in AM$ nên $3b-6c+1=0.$ Từ $B,N,C$ thẳng hàng tìm được $3bc+5b+2c-6=0.$ Từ đó tìm được tọa độ $B,C.$

Bài 6. [ĐHBK 1994] Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng toạ độ là: ${{d}_{1}}:5x-2y+6=0$ và ${{d}_{2}}:4x+7y-21=0.$ Viết phương trình cạnh thứ ba biết rằng trực tâm của tam giác trùng với gốc toạ độ.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ có $A(1,5).$ Điểm $B$ nằm trên đường thẳng $d_1:2x+y+1=0$ và chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ xuống $AC$ nằm trên đường thẳng $d_2:2x+y-8=0.$ Biết $M(3,0)$ là trung điểm của $BC.$ Tìm tọa độ các đỉnh $B,C.$

Hướng dẫn. Gọi $B(m,-2m-1)$ và $H(n,8-2n)$ suy ra $C(6-m,2m+1).$ Từ $A,H,C$ thẳng hàng tìm được $m=11-6n.$ Mặt khác $AH\perp BH$ nên tìm được $n=2$ hoặc $n=\frac{52}{35}.$

Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G(-2,-1)$ và các cạnh $AB:4x+y+15=0$, $AC:2x+5y+3=0$

• Tìm đỉnh $A$ và trung điểm $M$ của cạnh $BC.$

• Tìm đỉnh $B$ và viết phương trình đường thẳng $BC.$

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(-1;-3)$, đường trung trực của đoạn $AB$ là: $3x+2y-4=0.$ Trọng tâm $G(4;-2).$ Tìm tọa độ $B, C.$

**Hướng dẫn.**$B(5;1),C(8;-4).$

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ thuộc $d: x-4y-2=0.$ Cạnh $BC$ song song với đường thẳng $d$, đường cao $BH:x+y+3=0$ và $M(1;1)$ là trung điểm của $AC.$ Tìm tọa độ của các đỉnh $A, B, C.$

**Hướng dẫn.**$$A\left( { – \frac{2}{3}; – \frac{2}{3}} \right),B(-4;2),C(\frac{8}{3},\frac{8}{3}).$$

Bài 11. Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho các điểm $A(1,0),B(-2,4),C(-1,4),D(3,5)$ và đường thẳng $d:3x-y-5=0.$ Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho hai tam giác $MAB, MCD$ có diện tích bằng nhau.

**Hướng dẫn.**$M(8,9)$ hoặc $M(\frac{11}{12},-\frac{27}{12})$

Bài 12. Cho hình tam giác $ABC$ có diện tích bằng 2. Biết $A(1,0),B(0,2)$ và trung điểm $I$ của $AC$nằm trên đường thẳng $d:y=x.$ Tìm toạ độ đỉnh $C.$

**Hướng dẫn.**$C(\frac{1+\pm \sqrt{3}}{2},\frac{1+\pm \sqrt{3}}{2})$

Bài 13. Cho tam giác $ABC$ với $A(1,1),B(-2,5)$ và đỉnh $C$ nằm trên đường thẳng $x-4=0,$ trọng tâm $G$ của tam giác nằm trên đường thẳng $2x-3y+6=0.$ Tính diện tích tam giác $ABC.$

**Hướng dẫn.**$S=\frac{15}{2}$

Bài 14. Cho tam giác $ABC$ có $A(2,-1),B(1,-2),$ trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $d:x+y-2=0.$ Tìm tọa độ tỉnh $C$ biết diện tích tam giác bằng $\frac{27}{2}.$

**Hướng dẫn.**$C(-6,12),C(\frac{38}{3},-\frac{20}{3})$

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $C(-1,-1)$; phương trình cạnh $AB:x+2y-5=0$ và $AB=\sqrt{5}.$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d:x+y-2=0$. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác?