Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Bạn có bao giờ tự hỏi làm thế nào một nhà ảo thuật toán học có thể tính nhẩm $101^2$ hoặc $99 \times 101$ chỉ trong 1 giây mà không cần bấm máy tính? Bí mật không nằm ở việc ghi nhớ từng con số, mà nằm ở các Hằng đẳng thức đáng nhớ (Special Algebraic Identities) — những công thức đại số luôn đúng với mọi giá trị của biến.

Trong Chương 2, chúng ta sẽ khám phá 7 hằng đẳng thức kinh điển của nhân loại. Bài học đầu tiên này sẽ mở cánh cửa với 3 hằng đẳng thức cơ bản và phổ biến nhất:

1. Bình phương của một tổng: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Bình phương của một hiệu: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. Hiệu hai bình phương: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Chúng không chỉ giúp ta rút gọn các biểu thức cồng kềnh, phân tích thành nhân tử mà còn ẩn chứa những bức tranh hình học tuyệt đẹp về sự phân chia diện tích từ thời Hy Lạp cổ đại.

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Nhân đa thức: Khai triển biểu thức $(x + 3)(x + 3)$ theo quy tắc nhân đa thức đã học ở Bài 4.
2. Quy tắc dấu: Cho biết $(-y)^2$ bằng bao nhiêu? Kết quả của $(y - 5)^2$ có bằng $(5 - y)^2$ không?
3. Tính nhẩm: Bạn có nhận xét gì về tích $(50 - 1)(50 + 1)$ với $50^2 - 1$?
4. Phát hiện lỗi sai: Học sinh Nam viết $(x + 4)^2 = x^2 + 16$. Bạn Nam đã quên điều gì?
5. Khai triển nhanh: Tính kết quả của biểu thức $(2x)^2$. Đáp án là $2x^2$ hay $4x^2$?

Mẹo hay

Gợi ý phản xạ:

1. $(x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$.
2. $(-y)^2 = y^2$. Có, $(y - 5)^2 = (5 - y)^2$ vì $(-(5 - y))^2 = (5 - y)^2$.
3. $(50 - 1)(50 + 1) = 49 \times 51 = 2499$, đúng bằng $50^2 - 1 = 2500 - 1 = 2499$.
4. Nam quên hạng tử hai lần tích: $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Kết quả đúng là $x^2 + 8x + 16$.
5. Lũy thừa của một tích: $(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$.

I. Lý thuyết trọng tâm & Bản chất hình học

1. Hằng đẳng thức là gì?

• Đẳng thức là hai biểu thức được nối với nhau bởi dấu bằng "$=$".
• Hằng đẳng thức là đẳng thức luôn luôn đúng với mọi giá trị của các biến xuất hiện trong đẳng thức đó.
• Ví dụ:
  • $x + y = y + x$ là một hằng đẳng thức (tính chất giao hoán).
  • $2x = 6$ chỉ là một phương trình (chỉ đúng khi $x = 3$, không đúng với mọi $x$).
  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ là một hằng đẳng thức.

2. Bình phương của một tổng

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$, ta luôn có:

• Quy tắc bằng lời: Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất, cộng với hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng với bình phương biểu thức thứ hai.

Chứng minh bằng đại số:

Minh họa hình học trực quan:

Xét hình vuông lớn có cạnh dài $a + b$. Diện tích hình vuông này là $(a + b)^2$. Ta chia hình vuông lớn thành 4 phần nhỏ:

• Một hình vuông diện tích $a^2$.
• Một hình vuông diện tích $b^2$.
• Hai hình chữ nhật, mỗi hình có diện tích là $a \cdot b$. Tổng diện tích 4 phần là $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Bình phương của một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$, ta luôn có:

• Quy tắc bằng lời: Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất, trừ đi hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng với bình phương biểu thức thứ hai.

Nhận xét quan trọng:

• Ta có thể coi $(A - B)^2 = [A + (-B)]^2 = A^2 + 2A(-B) + (-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
• Do $(A - B) = -(B - A)$, mà bình phương của hai số đối nhau luôn bằng nhau nên:$$(A - B)^2 = (B - A)^2$$Ví dụ: $(x - 3)^2 = (3 - x)^2$.

4. Hiệu hai bình phương

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$, ta luôn có:

• Quy tắc bằng lời: Hiệu hai bình phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức với tổng của chúng.

Chứng minh bằng đại số:

Cảnh báo sai lầm thường gặp:

• Tuyệt đối không nhầm lẫn giữa Hiệu hai bình phương ($A^2 - B^2$) và Bình phương của một hiệu ($(A - B)^2$):$$A^2 - B^2 \neq (A - B)^2$$Ví dụ: $5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. Trong khi $(5 - 3)^2 = 2^2 = 4$. Rõ ràng $16 \neq 4$.

II. 4 Dạng toán trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức

Phương pháp giải:

1. Xác định rõ biểu thức thứ nhất $A$ và biểu thức thứ hai $B$.
2. Nếu $A$ hoặc $B$ là một đơn thức có hệ số hoặc nhiều biến (ví dụ $3x$, $2xy$), luôn đặt trong dấu ngoặc đơn: $(3x)^2 = 9x^2$, tránh viết $3x^2$.
3. Áp dụng đúng công thức: chú ý dấu của hạng tử hai lần tích ($+2AB$ hay $-2AB$).

Bài toán 1:

Khai triển các biểu thức sau: a) $(2x + 3y)^2$ b) $\left(3x - \frac{1}{2}\right)^2$ c) $(4x^2 - 5y)(4x^2 + 5y)$

Lời giải:

a) Ta có $A = 2x$ và $B = 3y$:

b) Ta có $A = 3x$ và $B = \frac{1}{2}$:

c) Biểu thức có dạng $(A - B)(A + B)$ với $A = 4x^2$ và $B = 5y$:

Dạng 2: Viết một đa thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu

Phương pháp giải:

1. Đưa đa thức về dạng có 3 hạng tử: trong đó có 2 hạng tử là bình phương của hai biểu thức ($A^2$ và $B^2$).
2. Kiểm tra xem hạng tử còn lại có đúng bằng $2AB$ hoặc $-2AB$ hay không.
3. Nếu thỏa mãn, gom về dạng $(A + B)^2$ hoặc $(A - B)^2$.

Bài toán 2:

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: a) $x^2 + 10x + 25$ b) $4x^2 - 12xy + 9y^2$ c) $25x^2 - 20x + 4$

Lời giải:

a) Ta nhận thấy:

• $x^2 = (x)^2 \implies A = x$.
• $25 = 5^2 \implies B = 5$.
• Hạng tử giữa: $10x = 2 \cdot x \cdot 5 = 2AB$. Vậy:$$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$$

b) Ta có:

• $4x^2 = (2x)^2 \implies A = 2x$.
• $9y^2 = (3y)^2 \implies B = 3y$.
• Hạng tử giữa: $-12xy = -2 \cdot (2x) \cdot (3y) = -2AB$. Vậy:$$4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2$$(hoặc viết là $(3y - 2x)^2$ đều chính xác).

c) Ta có:

• $25x^2 = (5x)^2 \implies A = 5x$.
• $4 = 2^2 \implies B = 2$.
• Hạng tử giữa: $-20x = -2 \cdot (5x) \cdot 2 = -2AB$. Vậy:$$25x^2 - 20x + 4 = (5x - 2)^2$$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Khai triển các hằng đẳng thức rồi tiến hành thu gọn các hạng tử đồng dạng. Chú ý đổi dấu toàn bộ các hạng tử bên trong khi đằng trước ngoặc là dấu trừ "$-$".

Bài toán 3:

Rút gọn các biểu thức sau: a) $P = (x + 4)^2 - (x - 3)(x + 3) - 8x$ b) $Q = (2x + 1)^2 + (2x - 1)^2 - 2(2x + 1)(2x - 1)$

Lời giải:

a) Khai triển từng phần:

• $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$
• $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 \implies -(x - 3)(x + 3) = -(x^2 - 9) = -x^2 + 9$ Thay vào $P$:$$P = (x^2 + 8x + 16) - x^2 + 9 - 8x$$$$P = (x^2 - x^2) + (8x - 8x) + (16 + 9)$$$$P = 25$$(Giá trị của biểu thức $P$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ và luôn bằng $25$!)

b) Cách 1 (Khai triển thông thường):

• $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
• $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
• $2(2x + 1)(2x - 1) = 2(4x^2 - 1) = 8x^2 - 2$ Thay vào $Q$:$$Q = (4x^2 + 4x + 1) + (4x^2 - 4x + 1) - (8x^2 - 2)$$$$Q = 8x^2 + 2 - 8x^2 + 2 = 4$$

Cách 2 (Nhìn nhanh cấu trúc hằng đẳng thức): Đặt $A = 2x + 1$ và $B = 2x - 1$. Biểu thức $Q$ có dạng: $A^2 + B^2 - 2AB = (A - B)^2$. Do đó:

(Cách 2 cực kỳ ngắn gọn và thể hiện tư duy đại số sắc bén!)

Dạng 4: Tính nhanh giá trị số học và tìm giá trị lớn nhất / nhỏ nhất

Phương pháp giải:

• Tách một số thành tổng hoặc hiệu của số tròn chục/trăm: $101 = 100 + 1$, $99 = 100 - 1$, $48 \times 52 = (50 - 2)(50 + 2)$.
• Đưa tam thức bậc hai về dạng $a(x - x_0)^2 + m$ để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN). Vì $(x - x_0)^2 \ge 0$ với mọi $x$.

Bài toán 4:

a) Tính nhanh: $103^2$; $98^2$; $67 \times 73$. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = x^2 - 6x + 15$. c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $N = 7 - 4x - x^2$.

Lời giải:

a) Tính nhanh:

• $$103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609.$$
• $$98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604.$$
• $67 \times 73 = (70 - 3)(70 + 3) = 70^2 - 3^2 = 4900 - 9 = 4891$.

b) Biến đổi $M$ bằng cách thêm bớt hạng tử để tạo thành bình phương một hiệu:

Vì $(x - 3)^2 \ge 0$ với mọi số thực $x$, nên:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x - 3 = 0 \iff x = 3$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $6$, đạt được khi $x = 3$.

c) Đặt dấu trừ ra ngoài để đưa về bình phương:

Vì $(x + 2)^2 \ge 0 \implies -(x + 2)^2 \le 0$ với mọi $x$. Do đó:

Đẳng thức xảy ra khi $x + 2 = 0 \iff x = -2$. Vậy giá trị lớn nhất của $N$ là $11$, đạt được khi $x = -2$.

III. 5 Chuyên đề ứng dụng thực tế & Mở rộng chuyên sâu

1. Kiến trúc & Xây dựng: Thiết kế giếng trời cho nhà phố

Một ngôi nhà vuông có kích thước nền đất $x \times x$ mét. Để ngôi nhà thông thoáng và lấy ánh sáng tự nhiên, kiến trúc sư chừa một khoảng sân giếng trời hình vuông ở giữa nhà có cạnh $y$ mét ($y < x$).

• Diện tích mặt sàn xây dựng còn lại chính là hiệu hai bình phương:$$S = x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$Biểu thức này cho phép kỹ sư xây dựng nhanh chóng ước lượng vật tư lát sàn bằng cách nhân hiệu kích thước với tổng kích thước.

2. Kinh tế vi mô: Bài toán phân bổ lợi nhuận

Một xưởng sản xuất bán sản phẩm với giá $p = (100 - x)$ nghìn đồng khi sản xuất $x$ nghìn sản phẩm. Doanh thu của xưởng là:

Bằng cách dùng hằng đẳng thức:

Vì $(x - 50)^2 \ge 0$ nên $R(x) \le 2500$. Doanh thu cực đại là $2500$ triệu đồng đạt được khi sản xuất đúng $x = 50$ nghìn sản phẩm. Đây là ứng dụng tìm cực trị kinh tế bằng hằng đẳng thức!

3. Mật mã học & Giải thuật phân tích số Fermat (Fermat Factorization)

Nhà toán học Pierre de Fermat đã phát minh ra thuật toán phân tích một số nguyên lẻ $N$ thành tích hai thừa số bằng cách biểu diễn $N$ dưới dạng hiệu của hai số chính phương:

Ví dụ, để phân tích số $N = 2021$, ta nhận thấy $45^2 = 2025$:

Chỉ trong vài giây nhờ hiệu hai bình phương, ta tìm ra ngay hai ước nguyên tố của $2021$ là $43$ và $47$!

4. Vật lý & Động năng: Va chạm và bảo toàn cơ năng

Trong cơ học cổ điển, độ biến thiên động năng của một vật khối lượng $m$ khi vận tốc thay đổi từ $v_1$ lên $v_2$ được tính bởi:

Công thức này liên hệ trực tiếp giữa gia tốc vận tốc $(v_2 - v_1)$ và vận tốc trung bình $\frac{v_2 + v_1}{2}$.

5. Thuật toán nhân nhanh Schönhage–Strassen trong khoa học máy tính

Khi máy tính cần nhân hai số cực lớn có hàng triệu chữ số (trong các hệ thống bảo mật RSA), máy tính biến đổi phép nhân $A \times B$ thành:

Thuật toán này chỉ cần thực hiện phép bình phương thay vì phép nhân hai số khác nhau, giúp giảm thiểu đáng kể số chu kỳ xử lý của CPU.

IV. 10 Câu hỏi trắc nghiệm tương tác tự chấm

V. Đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận & Barem điểm chi tiết

Ma trận đề kiểm tra 45 phút

Đề bài tự luận (7.0 điểm)

Bài 1 (2.5 điểm): Khai triển các biểu thức sau: a) $(3x + 2)^2$ (1.0 điểm) b) $\left(2x - \frac{1}{3}y\right)^2$ (1.0 điểm) c) $(5x - 4)(5x + 4)$ (0.5 điểm)

Bài 2 (1.5 điểm): Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: a) $x^2 + 12x + 36$ (0.75 điểm) b) $16x^2 - 24xy + 9y^2$ (0.75 điểm)

Bài 3 (2.0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: $A = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 - 20x$ (1.0 điểm) b) Tìm $x$, biết: $(x + 5)^2 - x(x - 2) = 49$ (1.0 điểm)

Bài 4 (1.0 điểm): Cho biểu thức $K = x^2 - 8x + y^2 + 4y + 25$. a) Chứng minh rằng giá trị của $K$ luôn dương với mọi giá trị của $x$ và $y$. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K$ và các giá trị tương ứng của $x, y$.

Barem điểm chi tiết & Hướng dẫn chấm tự luận