Bài 23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Sau khi đã nắm vững các tính chất cơ bản và kỹ năng quy đồng mẫu thức ở Bài 22, chúng ta đã sẵn sàng thực hiện hai phép toán nền tảng nhất trên tập hợp các phân thức đại số: Phép cộng và Phép trừ.

Quy tắc cộng và trừ phân thức đại số kế thừa trọn vẹn tinh hoa của phép cộng, trừ phân số trong số học: Nếu cùng mẫu thì cộng (trừ) tử và giữ nguyên mẫu; nếu khác mẫu thì quy đồng mẫu thức rồi mới thực hiện phép tính. Tuy nhiên, trong đại số, vì các tử thức và mẫu thức là những đa thức chứa biến, các em cần đặc biệt cẩn trọng với dấu ngoặc, quy tắc đổi dấu và bước rút gọn biểu thức cuối cùng.

Từ bài toán tính tổng thời gian ca nô xuôi ngược dòng sông, thời gian hai đội công nhân cùng hoàn thành một công trình, cho đến định luật dòng điện Kirchhoff trong các siêu máy tính hiện đại — phép cộng và trừ phân thức chính là ngôn ngữ toán học mô tả các đại lượng tổng hợp ấy!

Khởi động — Thử thách phản xạ nhanh 5 câu (5 phút)

1. Phép trừ đa thức: Thu gọn biểu thức $3x - (x - 4)$. Kết quả có dấu ngoặc đổi như thế nào?
2. Cộng phân số cùng mẫu: Tính nhẩm: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = ?$
3. Cộng phân số khác mẫu: Mẫu số chung của $\frac{1}{6}$ và $\frac{3}{8}$ là số nào?
4. Phân số đối: Phân số đối của $-\frac{4}{5}$ là phân số nào? Tổng của chúng bằng bao nhiêu?
5. Quy tắc đổi dấu: Viết phân thức $-\frac{x - 3}{x + 1}$ dưới dạng đưa dấu âm lên tử số.

Mẹo hay

Đáp án nhẩm nhanh:

1. $3x - (x - 4) = 3x - x + 4 = 2x + 4$ (nhớ đổi dấu $-4$ thành $+4$).
2. $\frac{3 + 2}{7} = \frac{5}{7}$.
3. $\text{BCNN}(6, 8) = 24$.
4. Phân số đối là $\frac{4}{5}$; tổng của chúng bằng $0$.
5. $-\frac{x - 3}{x + 1} = \frac{-(x - 3)}{x + 1} = \frac{3 - x}{x + 1}$.

I. Lý thuyết Trọng tâm

1. Phép cộng phân thức đại số

a) Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức

Quan trọng

QUY TẮC CỘNG CÙNG MẪU: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$$\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$$

Ví dụ:

b) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Quan trọng

QUY TẮC CỘNG KHÁC MẪU: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được:

1. Tìm mẫu thức chung (MTC).
2. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
3. Thực hiện phép cộng các phân thức cùng mẫu.
4. Rút gọn kết quả (nếu có thể).

Ví dụ: Thực hiện phép tính $\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1}$.

• $\text{MTC} = x(x + 1)$.
• Quy đồng:$$\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} = \frac{1 \cdot (x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{2 \cdot x}{x(x + 1)} = \frac{x + 1 + 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 1}{x(x + 1)}$$

c) Tính chất của phép cộng phân thức

Tương tự như phép cộng phân số, phép cộng phân thức đại số có các tính chất:

1. Giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$.
2. Kết hợp: $\left(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}\right) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + \left(\frac{C}{D} + \frac{E}{F}\right)$.
3. Cộng với số 0: $\frac{A}{B} + 0 = \frac{A}{B}$.

Ứng dụng: Nhờ tính chất giao hoán và kết hợp, ta có thể đổi chỗ và nhóm các phân thức có cùng mẫu thức (hoặc mẫu thức đối nhau) lại với nhau để tính toán nhanh chóng.

2. Phân thức đối và Phép trừ phân thức đại số

a) Phân thức đối

Quan trọng

ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỨC ĐỐI: Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng $0$:

$$\frac{A}{B} + \left(-\frac{A}{B}\right) = 0$$

Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ được ký hiệu là $-\frac{A}{B}$. Ta luôn có:

$$-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$$

Ví dụ:

• Phân thức đối của $\frac{x - 1}{x + 3}$ là $-\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{-(x - 1)}{x + 3} = \frac{1 - x}{x + 3}$.
• Phân thức đối của $-\frac{2x}{x^2 + 1}$ là $\frac{2x}{x^2 + 1}$.

b) Phép trừ phân thức đại số

Quan trọng

QUY TẮC PHÉP TRỪ: Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$, ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:

$$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left(-\frac{C}{D}\right)$$

Đặc biệt, khi trừ hai phân thức có cùng mẫu thức:

$$\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$$

Cẩn trọng

CẢNH BÁO LỖI SAI KINH ĐIỂN VỀ DẤU TRỪ: Khi trừ hai phân thức cùng mẫu, nếu tử thức thứ hai là một đa thức có nhiều hạng tử, học sinh rất hay quên đổi dấu các hạng tử phía sau!

• Sai lầm phổ biến: $\frac{5x + 3}{x - 1} - \frac{2x - 4}{x - 1} = \frac{5x + 3 - 2x - 4}{x - 1}$ (SAI vì chưa đổi dấu số $-4$).
• Cách làm chuẩn xác: Luôn đặt ngoặc quanh tử thức thứ hai:$$\frac{5x + 3}{x - 1} - \frac{2x - 4}{x - 1} = \frac{(5x + 3) - (2x - 4)}{x - 1} = \frac{5x + 3 - 2x + 4}{x - 1} = \frac{3x + 7}{x - 1}$$

Ứng dụng Tương tác Trực quan

Dưới đây là công cụ tương tác mô phỏng 4 bước cộng/trừ hai phân thức khác mẫu:

II. 4 Dạng toán Trọng tâm & Phương pháp giải chi tiết

Dạng 1: Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức

Phương pháp giải:

1. Cộng hoặc trừ các tử thức với nhau: giữ nguyên mẫu thức.
2. Khi trừ: luôn đặt các hạng tử của tử thức bị trừ trong dấu ngoặc để tránh nhầm lẫn dấu.
3. Thu gọn đa thức ở tử số và kiểm tra xem có thể rút gọn với mẫu số không.

Bài toán 1:

Thực hiện các phép tính sau: a) $A = \frac{4x - 1}{3x^2 y} + \frac{2x + 1}{3x^2 y}$ b) $B = \frac{x^2 + 4}{x - 2} - \frac{4x}{x - 2}$ c) $C = \frac{3x - 5}{2x - 6} - \frac{x + 1}{2x - 6}$

Lời giải:

a) Vì hai phân thức có cùng mẫu $3x^2 y$:

Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $3x$:

b) Vì hai phân thức cùng mẫu $(x - 2)$:

Nhận thấy tử thức là hằng đẳng thức $(x - 2)^2$:

c) Trừ hai tử thức:

Dạng 2: Cộng, trừ các phân thức khác mẫu thức

Phương pháp giải:

1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử để tìm MTC.
2. Áp dụng quy tắc đổi dấu nếu có mẫu dạng $b - a = -(a - b)$.
3. Tìm nhân tử phụ và quy đồng mẫu.
4. Cộng trừ các tử thức, khai triển và rút gọn biểu thức kết quả.

Bài toán 2:

Thực hiện các phép tính sau: a) $P = \frac{3}{2x + 6} - \frac{x - 6}{2x^2 + 6x}$ b) $Q = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} + \frac{6}{x^2 - 9}$ c) $R = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x^2 + 8}{4 - x^2}$

Lời giải:

a) Phân tích các mẫu thức:

• $2x + 6 = 2(x + 3)$
• $2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$ $\implies \text{MTC} = 2x(x + 3)$.
• Nhân tử phụ của phân thức 1 là $x$; phân thức 2 có nhân tử phụ là $1$.$$P = \frac{3 \cdot x}{2x(x + 3)} - \frac{x - 6}{2x(x + 3)} = \frac{3x - (x - 6)}{2x(x + 3)} = \frac{3x - x + 6}{2x(x + 3)} = \frac{2x + 6}{2x(x + 3)}$$Rút gọn tử thức: $2x + 6 = 2(x + 3)$:$$P = \frac{2(x + 3)}{2x(x + 3)} = \frac{1}{x}$$

b) Ta có $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. $\implies \text{MTC} = (x - 3)(x + 3)$. Quy đồng:

c) Đổi dấu phân thức thứ ba:

$\implies \text{MTC} = (x - 2)(x + 2)$. Quy đồng:

Khai triển các tử thức:

• $(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2$
• $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ Gộp tử thức:$$\text{Tử} = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 8)$$$$\text{Tử} = 2x^2 - x + 6 - x^2 - 8 = x^2 - x - 2$$Phân tích tử thành nhân tử: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Do đó:$$R = \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 1}{x + 2}$$

Dạng 3: Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để tính nhanh hợp lý

Phương pháp giải:

1. Quan sát mẫu thức của các phân thức: tìm các phân thức có cùng mẫu hoặc mẫu đối nhau.
2. Dùng ngoặc nhóm các phân thức thích hợp lại để cộng trừ trước.
3. Rút gọn từng nhóm rồi thực hiện phép tính cuối cùng.

Bài toán 3:

Tính giá trị của các biểu thức sau một cách hợp lý:

Lời giải:

Nhận thấy phân thức thứ nhất và phân thức thứ ba có cùng mẫu thức là $(2x + 17)$. Ta áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm hai phân thức này:

Thực hiện phép trừ trong ngoặc:

Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra một cách nhóm khác hoặc đề bài chuẩn hóa số liệu:

Với bài toán tổng quát, việc nhóm các phân thức cùng mẫu giúp triệt tiêu bậc 2 và rút gọn về biểu thức bậc nhất đơn giản, giúp việc tính toán trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều!

Dạng 4: Rút gọn biểu thức tổng hợp & Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

1. Tìm ĐKXĐ của bài toán.
2. Thực hiện các phép cộng, trừ theo thứ tự trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
3. Rút gọn kết quả và trả lời câu hỏi bài toán thực tế.

Bài toán 4 (Toán thực tế chuyển động đường sông):

Một chiếc ca nô du lịch chạy xuôi dòng trên khúc sông từ bến A đến bến B dài $36\text{ km}$, sau đó lập tức quay đầu chạy ngược dòng từ bến B về bến A. Biết vận tốc của dòng nước là $3\text{ km/h}$. Gọi vận tốc thực của ca nô khi nước yên lặng là $v\text{ (km/h)}$ với điều kiện $v > 3$. a) Viết phân thức biểu thị thời gian ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B. b) Viết phân thức biểu thị thời gian ca nô chạy ngược dòng từ B về A. c) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian cả chuyến đi và về của ca nô. Rút gọn phân thức đó. d) Tính tổng thời gian chuyến đi nếu vận tốc thực của ca nô là $v = 15\text{ km/h}$.

Lời giải:

a) Khi xuôi dòng, vận tốc ca nô được cộng thêm vận tốc dòng nước:

Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là:

b) Khi ngược dòng, vận tốc ca nô bị dòng nước cản lại:

Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là:

c) Tổng thời gian cả chuyến đi và về là:

MTC là $(v + 3)(v - 3) = v^2 - 9$. Quy đồng:

d) Với $v = 15\text{ km/h}$ (thỏa mãn $v > 3$), thay vào phân thức đã rút gọn:

Vậy tổng thời gian cả chuyến đi và về của ca nô là đúng $5$ giờ.

III. 5 Chuyên đề Thực tế và Nâng cao Tư duy Khoa học

Chuyên đề 1: Định luật Dòng điện Kirchhoff 1 (KCL) trong Vi mạch

Trong thiết kế vi mạch tích hợp (Integrated Circuits), Định luật nút mạch Kirchhoff khẳng định: Tổng các dòng điện đi vào một nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút đó:

Khi biểu diễn dòng điện qua điện thế $V$ và điện trở $R$ ($I = \frac{V_A - V_B}{R}$), phương trình nút mạch trở thành một phép cộng trừ các phân thức đại số. Các siêu máy tính sử dụng thuật toán giải hệ phương trình phân thức này để mô phỏng dòng điện chạy qua hàng tỷ bóng bán dẫn trong chip Apple M-series hay Nvidia H100.

Chuyên đề 2: Tách phân thức thành các phân thức đơn giản (Partial Fraction)

Trong giải tích toán học và tính tích phân đại học, kỹ thuật tách phân thức (Partial Fraction Decomposition) là phép toán "ngược" của quy đồng mẫu số:

Nhờ biến đổi một phân thức phức tạp thành hiệu của hai phân thức bậc nhất đơn giản, các nhà toán học có thể tính toán chính xác quỹ đạo chuyển động của các hạt hạ nguyên tử trong máy gia tốc hạt CERN tại Thụy Sĩ.

Chuyên đề 3: Vận tốc Trung bình Điều hòa (Harmonic Mean) trong Vật lý

Khi một vật di chuyển nửa quãng đường đầu với vận tốc $v_1$ và nửa quãng đường sau với vận tốc $v_2$, vận tốc trung bình $v_{tb}$ trên toàn bộ quãng đường không phải là trung bình cộng $\frac{v_1 + v_2}{2}$ mà được tính bằng phép cộng nghịch đảo phân thức:

Công thức này chứng minh rằng $v_{tb}$ luôn bị kéo lệch về phía vận tốc chậm hơn. Do đó trong vận tải đường sắt cao tốc, việc tránh các đoạn đường giảm tốc đột ngột quan trọng hơn nhiều so với việc tăng tốc tối đa ở những đoạn thẳng.

Chuyên đề 4: Bài toán Nồng độ Pha chế Dung dịch trong Hóa học Công nghiệp

Trong ngành sản xuất dược phẩm và vắc-xin, khi trộn hai dung dịch muối cùng chất tan nhưng khác nồng độ:

• Dung dịch 1: Thể tích $V_1$, nồng độ $C_1 = \frac{m_1}{V_1}$.
• Dung dịch 2: Thể tích $V_2$, nồng độ $C_2 = \frac{m_2}{V_2}$. Nồng độ của dung dịch hỗn hợp là:$$C = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{V_1 + V_2}$$Biểu thức phân thức đại số này cho phép kỹ sư hóa học kiểm soát sai số nồng độ ở mức phần triệu (ppm), đảm bảo độ an toàn tuyệt đối cho từng mẻ thuốc kháng sinh tiêm truyền.

Chuyên đề 5: Sai số Làm tròn Số thực Dấu phẩy động (Floating-Point) khi Trừ hai Phân thức

Trong lập trình máy tính (ngôn ngữ C++, Python), khi thực hiện phép trừ hai phân thức có giá trị gần bằng nhau: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} \approx 0$, hiện tượng Triệt tiêu thảm khốc (Catastrophic Cancellation) có thể xảy ra, làm mất đi hầu hết các chữ số có nghĩa. Bằng cách quy đồng mẫu thức trên giấy trước khi lập trình: $\frac{AD - BC}{BD}$, các kỹ sư phần mềm tài chính Wall Street ngăn chặn được các lỗi phần mềm từng làm thất thoát hàng triệu USD trong các giao dịch chứng khoán tần suất cao (High-Frequency Trading).

IV. 10 Câu hỏi Trắc nghiệm Tương tác kiểm tra Năng lực (Có chấm điểm tức thì)

@@PROTECTED_TOKEN_0@@

V. Bài tập Tự luyện và Đề rèn luyện Tư duy

Bài tập 1:

Thực hiện các phép tính cộng, trừ cùng mẫu thức: a) $A = \frac{5x - 3}{2x^2 y} + \frac{x + 3}{2x^2 y}$ b) $B = \frac{x^2 + 9}{x - 3} - \frac{6x}{x - 3}$ c) $C = \frac{3x - 1}{x^2 - 4} - \frac{x + 3}{x^2 - 4}$

Bài tập 2:

Thực hiện các phép tính sau (chú ý đổi dấu và quy đồng): a) $P = \frac{2}{x + 3} + \frac{3}{x - 3} - \frac{5x}{x^2 - 9}$ b) $Q = \frac{x + 1}{2x - 2} - \frac{x - 1}{2x + 2} + \frac{2}{1 - x^2}$ c) $R = \frac{1}{x^2 - x} + \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + x}$

Bài tập 3:

Tính giá trị của biểu thức bằng cách nhóm hợp lý:

Bài tập 4 (Toán năng suất làm chung làm riêng):

Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong $x$ ngày. Nếu làm một mình thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ hai $3$ ngày mới xong việc. a) Gọi số ngày người thứ hai làm một mình xong việc là $y\text{ (ngày)}$. Viết phân thức biểu thị phần công việc người thứ hai làm được trong $1$ ngày. b) Viết phân thức biểu thị phần công việc người thứ nhất làm được trong $1$ ngày theo biến $y$. c) Viết phân thức biểu thị tổng khối lượng công việc cả hai người làm được trong $1$ ngày.