Câu 1. Điền kí hiệu thích hợp: a) $55\ \vdots\ 5$ (vì $55 : 5 = 11$). b) $36 \not\vdots\ 5$ (vì $36 : 5 = 7$ dư $1$). c) $74\ \vdots\ 2$ (vì $74 : 2 = 37$).

Câu 2. a) Tổng $54 + 42$ chia hết cho $6$ vì $54\ \vdots\ 6$ và $42\ \vdots\ 6.$ b) Tổng $60 + 17$ không chia hết cho $5$ vì $60\ \vdots\ 5$ nhưng $17 \not\vdots\ 5.$

Câu 3. Viết mỗi số thành tổng giá trị các chữ số theo hàng: a) $708 = 7 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 8.$ b) $2564 = 2 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 4.$

Câu 4. Tính tổng các chữ số: a) $453$: $4 + 5 + 3 = 12.$ b) $2358$: $2 + 3 + 5 + 8 = 18.$ c) $3042$: $3 + 0 + 4 + 2 = 9.$

Câu 5. Số $1540$ có tận cùng là chữ số $0$, tương tự như các số tròn chục $10; 20; 30; \dots$ đều chia hết cho $5.$ Đây chính là dấu hiệu chia hết cho $5$ mà chúng ta sẽ tìm hiểu ngay dưới đây.

Chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số: a) $136$ tận cùng là $6$ và $1290$ tận cùng là $0$ (đều là chữ số chẵn) nên $136\ \vdots\ 2$ và $1290\ \vdots\ 2.$ Còn $385$ tận cùng $5$ và $2027$ tận cùng $7$ nên $385 \not\vdots\ 2$ và $2027 \not\vdots\ 2.$

b) $385$ tận cùng là $5$ và $1290$ tận cùng là $0$ nên $385\ \vdots\ 5$ và $1290\ \vdots\ 5.$

c) Chỉ có số $1290$ tận cùng là $0$ nên $1290$ chia hết cho cả $2$ và $5.$

Tính tổng các chữ số của từng số:

• Số $324$ có tổng các chữ số: $3 + 2 + 4 = 9.$ Vì $9\ \vdots\ 9$ nên $324\ \vdots\ 9,$ do đó $324$ cũng chia hết cho $3.$
• Số $642$ có tổng các chữ số: $6 + 4 + 2 = 12.$ Vì $12\ \vdots\ 3$ nhưng $12 \not\vdots\ 9$ nên $642\ \vdots\ 3$ và $642 \not\vdots\ 9.$
• Số $805$ có tổng các chữ số: $8 + 0 + 5 = 13.$ Vì $13 \not\vdots\ 3$ nên $805 \not\vdots\ 3$ và $805 \not\vdots\ 9.$

Kết luận:

• Chia hết cho $3$: $324$ và $642.$
• Chia hết cho $9$: $324.$
• Chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$: $642.$

a) Các số có chữ số tận cùng là số chẵn: $90;\; 420;\; 144;\; 84;\; 2016;\; 2034.$ b) Các số có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$: $90;\; 35;\; 115;\; 420.$ c) Các số có chữ số tận cùng là $0$: $90;\; 420.$ d) Tổng các chữ số của các số lần lượt là:

• $90 \to 9$
• $35 \to 8$ (không chia hết cho 3)
• $115 \to 7$ (không chia hết cho 3)
• $420 \to 6$
• $621 \to 9$
• $144 \to 9$
• $84 \to 12$
• $2016 \to 9$
• $2034 \to 9$ Các số chia hết cho $3$ là: $90;\; 420;\; 621;\; 144;\; 84;\; 2016;\; 2034.$ e) Các số có tổng các chữ số chia hết cho $9$: $90;\; 621;\; 144;\; 2016;\; 2034.$ f) Các số chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$ (tổng chữ số bằng $6$ hoặc $12$): $420;\; 84.$

a) Tận cùng chẵn: $40;\; 306;\; 714.$ b) Tận cùng $0$ hoặc $5$: $40;\; 85.$ c) Tận cùng $0$: $40.$ d) Tổng các chữ số lần lượt là: $4;\; 13;\; 9;\; 9;\; 12;\; 6;\; 12;\; 12;\; 9.$ Các số chia hết cho $3$ là: $306;\; 603;\; 714;\; 303;\; 93;\; 2019;\; 2043.$ e) Tổng các chữ số bằng $9$: $306;\; 603;\; 2043.$ f) Chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$: $714;\; 303;\; 93;\; 2019.$

Tổng các chữ số:

• $1220 \to 5$ (tận cùng 0)
• $1845 \to 18$ (tận cùng 5)
• $2376 \to 18$ (tận cùng 6)
• $3285 \to 18$ (tận cùng 5)
• $5820 \to 15$ (tận cùng 0)

a) Số chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $5$ (tận cùng là số chẵn khác $0$): Chỉ có số $2376.$ b) Số chia hết cho cả $5$ và $9$ (tận cùng là $0$ hoặc $5$ và tổng chữ số chia hết cho $9$): Gồm $1845$ và $3285.$ c) Số chia hết cho cả $2;\; 3$ và $5$ (tận cùng là $0$ và tổng chữ số chia hết cho $3$): Chỉ có số $5820.$

a)

• Chia hết cho $2$: Vì $114\ \vdots\ 2$ và $26\ \vdots\ 2$ nên $A\ \vdots\ 2.$
• Chia hết cho $5$: Vì $114$ và $26$ đều không chia hết cho $5,$ ta xét tổng: $A = 114 + 26 = 140$ (tận cùng là $0$) nên $A\ \vdots\ 5.$

b)

• Chia hết cho $2$: Vì $175 \not\vdots\ 2$ nhưng $40\ \vdots\ 2$ nên $B \not\vdots\ 2.$
• Chia hết cho $5$: Vì $175\ \vdots\ 5$ và $40\ \vdots\ 5$ nên $B\ \vdots\ 5.$

c)

• Chia hết cho $2$: Nhóm $129 + 31 = 160\ \vdots\ 2$ và $180\ \vdots\ 2$ nên $C\ \vdots\ 2.$
• Chia hết cho $5$: Nhóm $129 + 31 = 160\ \vdots\ 5$ và $180\ \vdots\ 5$ nên $C\ \vdots\ 5.$

d) Tính $D = 2025 + 63 - 38 = 2050.$ Số $2050$ có tận cùng là chữ số $0$ nên $D$ chia hết cho cả $2$ và $5.$

a)

• Số $126$ có tổng chữ số là $9\ \vdots\ 9$ và $36\ \vdots\ 9$ nên $A\ \vdots\ 9,$ kéo theo $A\ \vdots\ 3.$

b)

• Số $141$ có tổng chữ số $6\ \vdots\ 3;$ số $432$ có tổng chữ số $9\ \vdots\ 3 \implies B\ \vdots\ 3.$
• Tuy nhiên $141 \not\vdots\ 9$ trong khi $432\ \vdots\ 9$ nên $B \not\vdots\ 9.$

c)

• Các số $135$ và $504$ đều có tổng chữ số là $9$ nên chia hết cho cả $3$ và $9.$
• Số $43$ có tổng chữ số là $7 \not\vdots\ 3$ và $\not\vdots\ 9.$ Do đó $C \not\vdots\ 3$ và $C \not\vdots\ 9.$

d)

• Các số $603;\; 201;\; 6$ đều chia hết cho $3$ nên $D\ \vdots\ 3.$
• Với số $9$: Ta có $603\ \vdots\ 9$ (tổng chữ số 9). Nhóm $201 + 6 = 207$ có tổng chữ số là $9\ \vdots\ 9.$ Do đó $D = 603 + 207\ \vdots\ 9.$

a) Cả $153$ (tổng 9) và $45$ (tổng 9) đều chia hết cho $9$ nên $A\ \vdots\ 9$ và $A\ \vdots\ 3.$ b) $231$ (tổng 6) chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9;$ $846$ (tổng 18) chia hết cho $9.$ Do đó $B\ \vdots\ 3$ nhưng $B \not\vdots\ 9.$ c) $702$ và $54$ đều chia hết cho $3$ và cho $9;$ còn $37$ (tổng 10) không chia hết cho $3.$ Vậy $C \not\vdots\ 3$ và $C \not\vdots\ 9.$ d) Nhóm $104 + 1 = 105$ có tổng chữ số $6\ \vdots\ 3$ nhưng $105 \not\vdots\ 9.$ Số $513$ (tổng 9) chia hết cho $9$ và cho $3.$ Vậy $D = 513 + 105\ \vdots\ 3$ nhưng $D \not\vdots\ 9.$

a) Chia hết cho $2$: Chữ số tận cùng phải là $2$ hoặc $4.$

• Tận cùng là $2$: Chọn hai chữ số đầu từ $\{3; 4; 5\}$ được $342;\; 352;\; 432;\; 452;\; 532;\; 542$ ($6$ số).
• Tận cùng là $4$: Chọn hai chữ số đầu từ $\{2; 3; 5\}$ được $234;\; 254;\; 324;\; 354;\; 524;\; 534$ ($6$ số). Tổng cộng có $12$ số.

b) Chia hết cho $5$: Chữ số tận cùng phải là $5.$ Chọn hai chữ số đầu trong $\{2; 3; 4\}$: Ta được: $235;\; 245;\; 325;\; 345;\; 425;\; 435$ ($6$ số).

c) Chia hết cho $9$: Tổng 3 chữ số phải chia hết cho $9.$ Xét các bộ ba chữ số:

• $\{2; 3; 4\} \to 9$ (thỏa mãn)
• $\{2; 3; 5\} \to 10$
• $\{2; 4; 5\} \to 11$
• $\{3; 4; 5\} \to 12$ Chỉ có bộ $\{2; 3; 4\}$ thỏa mãn. Hoán vị 3 chữ số này được: $234;\; 243;\; 324;\; 342;\; 423;\; 432$ ($6$ số).

d) Chia hết cho cả $3$ và $5$: Tận cùng phải là $5$ và tổng 3 chữ số chia hết cho $3.$ Bộ $\{3; 4; 5\}$ có tổng bằng $12\ \vdots\ 3$ và chứa chữ số $5.$ Cố định chữ số tận cùng là $5,$ ta được $2$ số: $345$ và $435.$

a) Chia hết cho $2$: Chữ số tận cùng là $0$ hoặc $2.$

• Tận cùng là $0$: $250;\; 270;\; 520;\; 570;\; 720;\; 750$ ($6$ số).
• Tận cùng là $2$ (chữ số đầu khác 0): $502;\; 572;\; 702;\; 752$ ($4$ số). Tổng cộng có $10$ số.

b) Chia hết cho $5$: Chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5.$

• Tận cùng là $0$: $6$ số như câu a.
• Tận cùng là $5$ (chữ số đầu khác 0): $205;\; 275;\; 705;\; 725$ ($4$ số). Tổng cộng có $10$ số.

c) Chia hết cho $9$: Tổng ba chữ số chia hết cho $9.$ Chỉ có bộ $\{0; 2; 7\}$ (tổng bằng 9). Bỏ các số bắt đầu bằng $0,$ ta lập được $4$ số: $207;\; 270;\; 702;\; 720.$

d) Chia hết cho cả $3$ và $5$:

• Bộ $\{0; 2; 7\}$ (tổng 9): Tận cùng $0$ được $270;\; 720.$ Vậy có $2$ số thỏa mãn: $270$ và $720.$

a) Chia hết cho cả $2$ và $5$: Tận cùng phải là chữ số $0.$ Hai chữ số đầu chọn từ $\{1; 3; 5\}$: Ta được: $130;\; 150;\; 310;\; 350;\; 510;\; 530$ ($6$ số).

b) Chia hết cho $9$: Bộ ba có tổng chia hết cho $9$ chỉ có $\{1; 3; 5\}$ (tổng bằng 9). Ta được: $135;\; 153;\; 315;\; 351;\; 513;\; 531$ ($6$ số).

c) Chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$: Tổng chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $9.$ Chỉ có bộ $\{0; 1; 5\}$ (tổng bằng 6). Loại các số có $0$ đứng đầu, ta được $4$ số: $105;\; 150;\; 501;\; 510.$

Tổng các chữ số của $A$ là: $4 + 5 + x = 9 + x.$ a) $A\ \vdots\ 2 \iff x \in \{0; 2; 4; 6; 8\}.$ b) $A\ \vdots\ 5 \iff x \in \{0; 5\}.$ c) $A\ \vdots\ 9 \iff (9 + x)\ \vdots\ 9 \iff x \in \{0; 9\}.$ d) $A\ \vdots\ 3 \iff (9 + x)\ \vdots\ 3 \iff x\ \vdots\ 3 \iff x \in \{0; 3; 6; 9\}.$

Tổng các chữ số của $A$ là: $2 + x + 7 + y = 9 + x + y.$ Vì $A\ \vdots\ 5$ nên $y \in \{0; 5\}.$

a) Để $A\ \vdots\ 9$:

• Trường hợp 1: $y = 0 \implies (9 + x + 0)\ \vdots\ 9 \implies x \in \{0; 9\}.$ Ta có các số $2070;\; 2970.$
• Trường hợp 2: $$y = 5 \implies (9 + x + 5)\ \vdots\ 9 \implies (14 + x)\ \vdots\ 9 \implies x = 4.$$ Ta có số $2475.$ Vậy các cặp $(x; y)$ thỏa mãn là: $(0; 0);\; (9; 0);\; (4; 5).$

b) Để $A\ \vdots\ 3$:

• Trường hợp 1: $y = 0 \implies (9 + x)\ \vdots\ 3 \implies x \in \{0; 3; 6; 9\}.$
• Trường hợp 2: $y = 5 \implies (14 + x)\ \vdots\ 3 \implies x \in \{1; 4; 7\}.$ Vậy có $7$ cặp $(x; y)$ thỏa mãn: $(0; 0);\; (3; 0);\; (6; 0);\; (9; 0);\; (1; 5);\; (4; 5);\; (7; 5).$

Tổng các chữ số: $5 + x + 3 + y = 8 + x + y.$ Vì $A\ \vdots\ 5$ nên $y \in \{0; 5\}.$

a) Để $A\ \vdots\ 9$:

• Với $y = 0 \implies (8 + x)\ \vdots\ 9 \implies x = 1$ (số $5130$).
• Với $y = 5 \implies (13 + x)\ \vdots\ 9 \implies x = 5$ (số $5535$). Vậy $(x; y) \in \{(1; 0);\; (5; 5)\}.$

b) Để $A\ \vdots\ 3$:

• Với $y = 0 \implies (8 + x)\ \vdots\ 3 \implies x \in \{1; 4; 7\}$ (các số $5130;\; 5430;\; 5730$).
• Với $y = 5 \implies (13 + x)\ \vdots\ 3 \implies x \in \{2; 5; 8\}$ (các số $5235;\; 5535;\; 5835$). Vậy có $6$ cặp $(x; y)$ thỏa mãn như trên.

Số học sinh phải chia hết cho cả $4$ và $6.$ Trong khoảng từ $32$ đến $38,$ số chia hết cho $6$ là số $36.$ Kiểm tra: $36 = 4 \cdot 9$ nên $36\ \vdots\ 4.$ Vậy đội văn nghệ có đúng $36$ học sinh.

Số người phải chia hết cho cả $5;\; 6$ và $9.$

• Trong khoảng từ $80$ đến $100,$ các số chia hết cho $9$ là: $81;\; 90;\; 99.$
• Trong 3 số này, số chia hết cho $5$ (tận cùng là $0$ hoặc $5$) chỉ có duy nhất số $90.$
• Kiểm tra lại: $90 = 6 \cdot 15\ \vdots\ 6$ (thỏa mãn). Vậy đoàn thiện nguyện cần đúng $90$ người.

Số học sinh chia hết cho cả $2$ và $5$ nên chữ số tận cùng phải là $0.$ Trong khoảng từ $430$ đến $460,$ các số có tận cùng bằng $0$ là: $440;\; 450.$ Kiểm tra điều kiện chia hết cho $9$:

• $440$ có tổng các chữ số là: $4 + 4 + 0 = 8 \not\vdots\ 9.$
• $450$ có tổng các chữ số là: $4 + 5 + 0 = 9\ \vdots\ 9.$ Vậy khối 6 của trường đó có đúng $450$ học sinh.

Tổng các chữ số của từng số: $$50 \to 5;\; 85 \to 13;\; 312 \to 6;\; 144 \to 9;\; 2016 \to 9;\; 2043 \to 9.$$ a) Chia hết cho $2$: $50;\; 312;\; 144;\; 2016.$ b) Chia hết cho $5$: $50;\; 85.$ c) Chia hết cho cả $2$ và $5$: $50.$ d) Chia hết cho $3$: $312;\; 144;\; 2016;\; 2043.$ e) Chia hết cho $9$: $144;\; 2016;\; 2043.$ f) Chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$: $312.$

a)

• Vì $315 \not\vdots\ 2$ (số lẻ) nhưng $180\ \vdots\ 2$ nên $A \not\vdots\ 2.$
• Vì cả $315$ và $180$ đều có chữ số tận cùng là $5$ hoặc $0$ nên $315\ \vdots\ 5$ và $180\ \vdots\ 5 \implies A\ \vdots\ 5.$

b)

• Tổng các chữ số: $$315 \to 9\ \vdots\ 3;\; 54 \to 9\ \vdots\ 3;\; 21 \to 3\ \vdots\ 3 \implies B\ \vdots\ 3.$$
• Với số $9$: $315\ \vdots\ 9$ và $54\ \vdots\ 9,$ nhưng $21 \not\vdots\ 9$ nên $B \not\vdots\ 9.$

a) Cả $86$ và $44$ đều chẵn nên $A\ \vdots\ 2.$ Tính $A = 130$ (tận cùng 0) nên $A\ \vdots\ 5.$ b) $185 \not\vdots\ 2$ nhưng $50\ \vdots\ 2 \implies B \not\vdots\ 2.$ Cả hai số đều chia hết cho $5 \implies B\ \vdots\ 5.$ c) Cả ba số đều là số chẵn nên $C\ \vdots\ 2.$ Nhóm $138 + 32 = 170\ \vdots\ 5$ và $120\ \vdots\ 5 \implies C\ \vdots\ 5.$ d) Cả ba số đều có tận cùng là $0$ hoặc $5$ nên $D\ \vdots\ 5.$ Nhóm $2035 + 55 = 2090\ \vdots\ 2$ và $60\ \vdots\ 2 \implies D\ \vdots\ 2.$

a) Tận cùng phải là chữ số $0.$ Hai chữ số đầu chọn từ $\{3; 5; 6\}$: Ta được: $350;\; 360;\; 530;\; 560;\; 630;\; 650$ ($6$ số).