Bài 28. Số thập phân

Trong đời sống hằng ngày, chúng ta liên tục bắt gặp các số có dấu phẩy: bản tin dự báo thời tiết đưa tin nhiệt độ ban đêm tại đỉnh Fansipan xuống tới $-2{,}5^\circ\text{C}$, bảng theo dõi thị lực ghi mắt phải cận $-1{,}75\text{ diop}$, mực nước hồ chứa thấp hơn mực nước dâng bình thường $-0{,}45\text{ m}$, hay chiều cao của bạn Minh là $1{,}56\text{ m}$.

Những con số quen thuộc đó chính là số thập phân. Nếu ở bậc Tiểu học, các em mới chỉ làm quen với số thập phân dương (như $1{,}56$ hay $3{,}75$), thì trong chương trình Toán 6, tập hợp số thập phân được mở rộng hoàn chỉnh bao gồm cả số thập phân âm và số $0$, gắn liền trực tiếp với tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z}$ và phân số $\mathbb{Q}$ đã học.

Bài học này sẽ cung cấp hệ thống lý thuyết chuẩn mực, quy tắc so sánh không bao giờ nhầm lẫn, các mẹo tránh bẫy kinh điển và $5$ chuyên đề nâng cao học sinh giỏi độc bản $100\%$ có lời giải chi tiết.

Khởi động — Kết nối kiến thức (5–7 phút)

Hãy kiểm tra nhanh kiến thức nền tảng của em qua 5 câu hỏi tư duy sau:

Câu 1 (Đọc và xác định phần số): Đọc các số sau và chỉ ra phần số nguyên, phần thập phân của mỗi số: $18{,}35;\; 0{,}408;\; 7{,}9.$

• Trả lời:
  • Số $18{,}35$: Đọc là "mười tám phẩy ba mươi lăm". Phần nguyên là $18,$ phần thập phân là $35.$
  • Số $0{,}408$: Đọc là "không phẩy bốn trăm linh tám". Phần nguyên là $0,$ phần thập phân là $408.$
  • Số $7{,}9$: Đọc là "bảy phẩy chín". Phần nguyên là $7,$ phần thập phân là $9.$

Câu 2 (Chuyển đổi phân số ở Tiểu học): Ở Tiểu học ta đã biết $\dfrac{1}{10} = 0{,}1.$ Hãy viết các phân số sau dưới dạng số thập phân: $\dfrac{9}{10};\; \dfrac{27}{100};\; \dfrac{5}{1\,000}.$

• Trả lời:$$\dfrac{9}{10} = 0{,}9;\quad \dfrac{27}{100} = 0{,}27;\quad \dfrac{5}{1\,000} = 0{,}005.$$

Câu 3 (So sánh hai số thập phân dương): So sánh $4{,}6$ và $4{,}58.$ Số nào lớn hơn?

• Trả lời: Viết $4{,}6 = 4{,}60.$ Vì phần nguyên bằng nhau ($4 = 4$) và ở hàng phần mười có $6 > 5$ (hoặc $60 > 58$) nên $4{,}6 > 4{,}58.$ Vậy $4{,}6$ lớn hơn.

Câu 4 (Nhắc lại số âm ở Chương III): Trong hai số nguyên $-7$ và $-4,$ số nào lớn hơn? Số đối của $-15$ là số nào?

• Trả lời: Trên trục số, $-4$ nằm bên phải $-7$ nên $-4 > -7$ (số $-4$ lớn hơn). Số đối của $-15$ là $15.$

Câu 5 (Quan sát đời sống): Một phòng thí nghiệm bảo quản mẫu sinh học ở nhiệt độ $-18{,}5^\circ\text{C}.$ Con số này có ý nghĩa gì và lớn hơn hay nhỏ hơn $0^\circ\text{C}$?

• Trả lời: Nhiệt độ $-18{,}5^\circ\text{C}$ mang dấu âm biểu thị mức nhiệt độ dưới $0^\circ\text{C}$ (rất lạnh). Số này nhỏ hơn $0.$

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Số thập phân — Phần nguyên và phần thập phân

a) Khái niệm số thập phân dương và số thập phân âm

• Các số như $2{,}4;\; 15{,}08;\; 0{,}375;\dots$ là các số thập phân dương.
• Các số như $-2{,}4;\; -15{,}08;\; -0{,}375;\dots$ là các số thập phân âm.
• Số $0$ vừa là số nguyên, vừa có thể viết dưới dạng số thập phân là $0{,}0$ hoặc $0{,}00;\dots$ Số $0$ không phải là số thập phân dương, cũng không phải là số thập phân âm.

b) Cấu tạo của một số thập phân

Mỗi số thập phân gồm hai phần ngăn cách nhau bởi dấu phẩy ",":

• Phần số nguyên: Được viết ở bên trái dấu phẩy.
• Phần thập phân: Được viết ở bên phải dấu phẩy.

Ghi nhớ

Đối với số thập phân âm, dấu trừ "-" được đặt ở trước phần nguyên. Ví dụ: Với số $-34{,}125,$ dấu "-" thuộc về toàn bộ số; phần số nguyên là $34,$ phần thập phân là $125$ (hoặc nói số đó gồm dấu âm, phần số nguyên $34$ và phần thập phân $125$).

Ví dụ 1: Trong các số sau: $8{,}25;\; -0{,}64;\; -19{,}03;\; 105{,}7;$ số nào là số thập phân dương, số nào là số thập phân âm? Chỉ rõ phần nguyên và phần thập phân của từng số.

• Lời giải:
  • Số thập phân dương: $8{,}25$ và $105{,}7.$
  • Số thập phân âm: $-0{,}64$ và $-19{,}03.$
  • Bảng cấu tạo:
    • Số $8{,}25$: Phần nguyên là $8,$ phần thập phân là $25.$
    • Số $-0{,}64$: Phần nguyên là $0,$ phần thập phân là $64.$
    • Số $-19{,}03$: Phần nguyên là $19,$ phần thập phân là $03.$
    • Số $105{,}7$: Phần nguyên là $105,$ phần thập phân là $7.$

2. Phân số thập phân và đổi qua lại với số thập phân — Số đối

a) Phân số thập phân

Định nghĩa: Phân số thập phân là phân số có mẫu số là lũy thừa của $10$ với số mũ tự nhiên khác $0$ (tức là mẫu số là $10;\; 100;\; 1\,000;\; 10\,000;\dots$).

Ví dụ:

b) Quy tắc chuyển đổi giữa phân số thập phân và số thập phân

1. Từ phân số thập phân sang số thập phân:
   • Số chữ số ở phần thập phân đúng bằng số chữ số $0$ ở mẫu số.
   • Nếu mẫu là $10$ (có $1$ số $0$): phần thập phân có $1$ chữ số.
   • Nếu mẫu là $100$ (có $2$ số $0$): phần thập phân có $2$ chữ số.
   • Nếu mẫu là $1\,000$ (có $3$ số $0$): phần thập phân có $3$ chữ số.
   • Nếu tử số không đủ chữ số, ta viết thêm các chữ số $0$ vào trước tử số rồi đặt dấu phẩy.
   • Phân số dương cho số thập phân dương, phân số âm cho số thập phân âm.

2. Từ số thập phân sang phân số thập phân:
   • Tử số là số nguyên nhận được bằng cách bỏ dấu phẩy khỏi số thập phân (giữ nguyên dấu âm nếu có).
   • Mẫu số là số $1$ kèm theo số chữ số $0$ bằng đúng số chữ số của phần thập phân.

c) Số đối của số thập phân

• Hai số thập phân có cùng phần nguyên, cùng phần thập phân nhưng mang dấu trái ngược nhau được gọi là hai số thập phân đối nhau.
• Số đối của số thập phân $a$ kí hiệu là $-a.$
• Tổng của hai số thập phân đối nhau luôn bằng $0$:$$a + (-a) = 0.$$
• Cụ thể:
  • Số đối của số dương $3{,}75$ là số âm $-3{,}75.$
  • Số đối của số âm $-8{,}2$ là số dương $-(-8{,}2) = 8{,}2.$
  • Số đối của số $0$ là chính nó: $-0 = 0.$

3. Biểu diễn số thập phân trên trục số

Trên trục số nằm ngang có gốc là điểm $0,$ chiều dương từ trái sang phải:

• Mỗi đoạn đơn vị nối hai số nguyên liên tiếp (chẳng hạn từ $0$ đến $1,$ hoặc từ $-1$ đến $0$) được chia thành $10$ phần bằng nhau, mỗi đoạn nhỏ tương ứng với độ dài $0{,}1$ đơn vị.
• Số thập phân dương được biểu diễn bởi một điểm nằm ở bên phải điểm $0$.
• Số thập phân âm được biểu diễn bởi một điểm nằm ở bên trái điểm $0$.
• Hai số đối nhau (như $-0{,}4$ và $0{,}4$) nằm về hai phía đối diện của điểm $0$ và có khoảng cách bằng nhau đến điểm $0.$

• Điểm biểu diễn số $-0{,}6$: Từ điểm $0$ đếm sang trái $6$ vạch nhỏ.
• Điểm biểu diễn số $0{,}4$: Từ điểm $0$ đếm sang phải $4$ vạch nhỏ.

4. Quy tắc so sánh hai số thập phân

Để so sánh hai số thập phân bất kì $a$ và $b,$ ta thực hiện theo các bước chuẩn mực sau:

                      [So sánh hai số thập phân a và b]
                                      │
            ┌─────────────────────────┴─────────────────────────┐
      [Khác dấu]                                            [Cùng dấu]
            │                                                   │
  Số âm < 0 < Số dương                        ┌─────────────────┴─────────────────┐
(Số âm luôn nhỏ hơn số dương)             [Cùng dương]                        [Cùng âm]
                                              │                                   │
                                    1. So sánh phần nguyên.             1. Xét số đối: a -> -a, b -> -b.
                                    2. Nếu bằng nhau: so sánh           2. Số nào có số đối LỚN HƠN
                                       từng hàng thập phân từ              thì số đó NHỎ HƠN:
                                       trái sang phải (thêm 0 nếu cần).    -a > -b <=> a < b.

a) So sánh hai số khác dấu hoặc với số $0$

• Mọi số thập phân âm đều nhỏ hơn $0$ và nhỏ hơn mọi số thập phân dương.
• Ví dụ:$$-15{,}8 < 0;\quad 0 < 0{,}02;\quad -99{,}99 < 0{,}1.$$

b) So sánh hai số thập phân dương

1. Bước 1: So sánh phần số nguyên trước. Số nào có phần nguyên lớn hơn thì số đó lớn hơn.
   • Ví dụ: $7{,}12 > 6{,}98$ vì $7 > 6.$
2. Bước 2: Nếu phần nguyên bằng nhau, ta so sánh từng chữ số ở cùng một hàng của phần thập phân kể từ trái sang phải:
   • So sánh hàng phần mười: số nào có chữ số hàng phần mười lớn hơn thì lớn hơn.
   • Nếu hàng phần mười bằng nhau, so sánh tiếp hàng phần trăm,...
   • Mẹo cực hữu ích: Viết thêm các chữ số $0$ vào tận cùng bên phải phần thập phân để hai số có số chữ số ở phần thập phân bằng nhau rồi so sánh.
   • Ví dụ: So sánh $5{,}4$ và $5{,}385$: Viết $5{,}4 = 5{,}400.$ Vì $400 > 385$ nên $5{,}4 > 5{,}385.$

c) So sánh hai số thập phân âm

• Muốn so sánh hai số thập phân âm, ta so sánh số đối của chúng:$$\text{Số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.}$$
• Kí hiệu: Nếu $x > y > 0$ thì $-x < -y.$
• Ví dụ: So sánh $-3{,}8$ và $-3{,}72$:
  • Số đối của $-3{,}8$ là $3{,}8 = 3{,}80.$
  • Số đối của $-3{,}72$ là $3{,}72.$
  • Vì $3{,}80 > 3{,}72$ nên ta có kết luận:$$-3{,}8 < -3{,}72.$$

Lưu ý / Cảnh báo

Các cạm bẫy học sinh thường mắc phải khi so sánh số thập phân:

1. Cạm bẫy "phần thập phân dài hơn thì lớn hơn": Nhiều bạn ngộ nhận $2{,}18 > 2{,}4$ vì nghĩ rằng $18 > 4.$ Điều này hoàn toàn SAI! Phải viết $2{,}4 = 2{,}40,$ rõ ràng $2{,}40 > 2{,}18.$
2. Cạm bẫy "nghịch đảo trực giác số âm": Đối với số âm, phần nhìn thấy "càng to" thì giá trị thực "càng nhỏ". Ví dụ $-5{,}1 < -5{,}08$ (vì $5{,}1 > 5{,}08$).
3. Nhầm lẫn giá trị các chữ số $0$ ở giữa: Số $0{,}07$ khác hoàn toàn $0{,}7.$ Số $0{,}7 = 0{,}70 > 0{,}07.$

B. Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải

Dạng 1: Viết phân số thập phân thành số thập phân và ngược lại — Cấu tạo số

Phương pháp giải:

• Phân số $\to$ Số thập phân: Đếm số chữ số $0$ ở mẫu số để đặt dấu phẩy tương ứng. Thêm $0$ vào trước nếu tử số thiếu chữ số.
• Số thập phân $\to$ Phân số thập phân: Tử số là số nguyên bỏ dấu phẩy; mẫu số gồm chữ số $1$ kèm theo số chữ số $0$ bằng số chữ số phần thập phân.
• Luôn giữ nguyên dấu âm nếu phân số hoặc số thập phân mang dấu âm.

Ví dụ 1: a) Viết các phân số thập phân sau dưới dạng số thập phân:

b) Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số thập phân tối giản:

Lời giải: a) Đổi sang số thập phân:

• $\dfrac{83}{10} = 8{,}3$ (mẫu $10$ có $1$ chữ số $0$, phần thập phân có $1$ chữ số).
• $\dfrac{-247}{100} = -2{,}47$ (mẫu $100$ có $2$ chữ số $0$).
• $\dfrac{9}{100} = 0{,}09$ (thiếu chữ số nên thêm $0$ phía trước).
• $\dfrac{-31}{1\,000} = -0{,}031$ (mẫu $1\,000$ có $3$ chữ số $0$).
• $\dfrac{5\,012}{1\,000} = 5{,}012.$

b) Đổi sang phân số thập phân rồi rút gọn tối giản:

• $3{,}6 = \dfrac{36}{10} = \dfrac{36 : 2}{10 : 2} = \dfrac{18}{5}.$
• $$-0{,}45 = \dfrac{-45}{100} = \dfrac{-45 : 5}{100 : 5} = \dfrac{-9}{20}.$$
• $$-2{,}125 = \dfrac{-2\,125}{1\,000} = \dfrac{-2\,125 : 125}{1\,000 : 125} = \dfrac{-17}{8}.$$
• $$0{,}064 = \dfrac{64}{1\,000} = \dfrac{64 : 8}{1\,000 : 8} = \dfrac{8}{125}.$$

Dạng 2: Tìm số đối và xác định tọa độ trên trục số

Phương pháp giải:

• Số đối của $x$ là $-x.$ Để tìm số đối của một số thập phân, ta chỉ cần đổi dấu của nó (dương thành âm, âm thành dương; số đối của $0$ là $0$).
• Để biểu diễn số thập phân $x$ trên trục số:
  • Nếu $x > 0$: Điểm nằm bên phải $0,$ cách gốc $0$ một đoạn bằng $x.$
  • Nếu $x < 0$: Điểm nằm bên trái $0,$ cách gốc $0$ một đoạn bằng $|x| = -x.$

Ví dụ 2: a) Tìm số đối của các số thập phân sau: $6{,}4;\; -0{,}85;\; -12{,}09;\; 0;\; 100{,}01.$ b) Điền số thích hợp vào bảng đối xứng sau:

Lời giải: a)

• Số đối của $6{,}4$ là $-6{,}4.$
• Số đối của $-0{,}85$ là $-(-0{,}85) = 0{,}85.$
• Số đối của $-12{,}09$ là $12{,}09.$
• Số đối của $0$ là $0.$
• Số đối của $100{,}01$ là $-100{,}01.$

b) Hoàn thành bảng:

• Dòng 1: Với $x = 4{,}25 \implies -x = -4{,}25.$
• Dòng 2: Với $-x = -15{,}7 \implies x = -(-15{,}7) = 15{,}7.$
• Dòng 3: Với $x = -0{,}08 \implies -x = -(-0{,}08) = 0{,}08.$
• Dòng 4: Với $-x = 3{,}14 \implies x = -3{,}14.$

Dạng 3: So sánh hai hoặc nhiều số thập phân

Phương pháp giải:

• Tách nhóm: Số âm $< 0 <$ Số dương.
• Nhóm số dương: So sánh phần nguyên $\to$ phần thập phân từng hàng.
• Nhóm số âm: So sánh số đối (số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn).

Ví dụ 3: a) Điền dấu ($>, <, =$) thích hợp vào chỗ trống:

• $12{,}3 \quad \dots \quad 12{,}289$
• $-5{,}75 \quad \dots \quad -5{,}8$
• $-0{,}6 \quad \dots \quad -0{,}600$
• $-10{,}2 \quad \dots \quad 0{,}01$
• $0 \quad \dots \quad -0{,}009$

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

Lời giải: a)

• $12{,}3$ và $12{,}289$: Viết $12{,}3 = 12{,}300.$ Vì $12 = 12$ và $300 > 289$ nên $12{,}3 > 12{,}289.$
• $-5{,}75$ và $-5{,}8$: Số đối là $5{,}75$ và $5{,}80.$ Vì $5{,}75 < 5{,}80$ nên $-5{,}75 > -5{,}8.$
• $-0{,}6$ và $-0{,}600$: Vì viết thêm các số $0$ ở cuối phần thập phân giá trị không đổi nên $-0{,}6 = -0{,}600.$
• $-10{,}2 < 0{,}01$ (số âm luôn nhỏ hơn số dương).
• $0 > -0{,}009$ (số $0$ luôn lớn hơn mọi số âm).

b) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

• Tách nhóm:
  • Nhóm các số âm: $-4{,}35;\; -4{,}4;\; -0{,}5.$
    • Xét số đối: $4{,}4 > 4{,}35 > 0{,}5 \implies -4{,}4 < -4{,}35 < -0{,}5.$
  • Số $0$: $-0{,}5 < 0.$
  • Nhóm các số dương: $2{,}8$ và $2{,}785.$
    • Viết $2{,}8 = 2{,}800 > 2{,}785 \implies 2{,}785 < 2{,}8.$
• Thứ tự tăng dần là:$$-4{,}4 < -4{,}35 < -0{,}5 < 0 < 2{,}785 < 2{,}8.$$

Dạng 4: Bài toán ứng dụng thực tế — Đo lường, nhiệt độ và kinh doanh

Phương pháp giải:

• Chuyển các thông tin thực tế sang số thập phân mang dấu thích hợp:
  • Nhiệt độ dưới $0^\circ\text{C}$ mang dấu âm, trên $0^\circ\text{C}$ mang dấu dương.
  • Vị trí dưới mực nước biển mang dấu âm, trên mực nước biển mang dấu dương.
  • Lỗ kinh doanh mang dấu âm, lãi mang dấu dương.
• Vận dụng so sánh số thập phân để trả lời câu hỏi: vị trí nào cao nhất/thấp nhất, nơi nào lạnh nhất/ấm nhất, công ty nào lãi nhiều nhất/lỗ nhiều nhất.

Ví dụ 4: Bản tin quan trắc khí tượng lúc $6$ giờ sáng tại $5$ trạm vùng cao ghi nhận nhiệt độ như sau:

a) Sắp xếp các trạm theo thứ tự nhiệt độ từ lạnh nhất đến ấm nhất. b) Trạm nào có nhiệt độ thấp nhất và trạm nào có nhiệt độ cao nhất?

Lời giải: a) Nhiệt độ "lạnh nhất đến ấm nhất" tương ứng với sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn (tăng dần).

• Nhóm nhiệt độ âm: $-1{,}6;\; -0{,}8;\; -2{,}4.$
  • So sánh các số đối: $2{,}4 > 1{,}6 > 0{,}8 \implies -2{,}4 < -1{,}6 < -0{,}8.$
• Nhóm nhiệt độ dương: $0{,}5 < 3{,}2.$
• Dãy nhiệt độ sắp xếp tăng dần:$$-2{,}4^\circ\text{C} < -1{,}6^\circ\text{C} < -0{,}8^\circ\text{C} < 0{,}5^\circ\text{C} < 3{,}2^\circ\text{C}.$$Thứ tự các trạm: Pha Đin $\to$ Mẫu Sơn $\to$ Sa Pa $\to$ Đồng Văn $\to$ Tam Đảo.

b)

• Trạm có nhiệt độ thấp nhất (lạnh nhất) là: Pha Đin ($-2{,}4^\circ\text{C}$).
• Trạm có nhiệt độ cao nhất (ấm nhất) là: Tam Đảo ($3{,}2^\circ\text{C}$).

Dạng 5: Tìm số thập phân hoặc số nguyên thỏa mãn điều kiện kẹp giữa

Phương pháp giải:

• Quy đồng số chữ số phần thập phân bằng cách thêm chữ số $0$ vào tận cùng bên phải.
• Tìm các số nguyên hoặc số thập phân nằm trong khoảng đã cho.

Ví dụ 5: a) Tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn:

b) Tìm ba số thập phân $y$ có hai chữ số ở phần thập phân sao cho:

Lời giải: a) Ta có $-3{,}7 < x < 2{,}15.$ Các số nguyên nằm giữa $-3{,}7$ và $2{,}15$ là các số nguyên lớn hơn $-3{,}7$ và nhỏ hơn hoặc bằng $2$:

Vậy có $6$ số nguyên thỏa mãn.

b) Viết $0{,}4 = 0{,}40$ và $0{,}5 = 0{,}50.$ Điều kiện trở thành $0{,}40 < y < 0{,}50.$ Các số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân nằm giữa $0{,}40$ và $0{,}50$ có thể chọn là:

C. Phiếu bài tập tự luyện toàn diện (Có lời giải chi tiết)

Đề bài tự luyện

Bài 1 (Cấu tạo và đổi phân số): a) Viết các phân số thập phân sau dưới dạng số thập phân:

b) Đổi các số thập phân sau thành phân số thập phân tối giản:

Bài 2 (Tìm số đối): Tìm số đối của mỗi số thập phân sau:

Bài 3 (So sánh): Điền dấu thích hợp ($>, <, =$) vào chỗ chấm: a) $-7{,}19 \quad \dots \quad -7{,}2$ b) $4{,}08 \quad \dots \quad 4{,}080$ c) $-0{,}05 \quad \dots \quad -0{,}5$ d) $-15{,}6 \quad \dots \quad 0{,}001$

Bài 4 (Sắp xếp): Cho tập hợp các số sau:

a) Sắp xếp các số trong $S$ theo thứ tự tăng dần. b) Sắp xếp các số trong $S$ theo thứ tự giảm dần.

Bài 5 (Phát hiện và sửa lỗi sai): Bạn An giải một bài toán so sánh như sau:

• Câu a: "Vì $48 > 5$ nên $-3{,}48 > -3{,}5$."
• Câu b: "Số $0{,}07$ lớn hơn $0{,}7$ vì có nhiều chữ số hơn." Em hãy nhận xét câu trả lời của bạn An và giải thích vì sao.

Bài 6 (Bài toán thực tế kinh doanh): Kết quả kinh doanh trong $4$ quý của một công ty thương mại điện tử (đơn vị: tỉ đồng) được ghi nhận:

• Quý I: Lãi $2{,}85$ tỉ đồng.
• Quý II: Lỗ $1{,}4$ tỉ đồng (ghi nhận $-1{,}4$).
• Quý III: Lỗ $1{,}75$ tỉ đồng (ghi nhận $-1{,}75$).
• Quý IV: Lãi $3{,}2$ tỉ đồng. a) Sắp xếp các quý theo kết quả kinh doanh từ thấp nhất đến cao nhất. b) Trong hai quý bị lỗ, quý nào có kết quả kinh doanh kém hơn?

Bài 7 (Bài toán độ cao địa lý): Độ cao của các địa điểm so với mực nước biển (đơn vị: mét) lần lượt là:

• Đỉnh Bạch Mã: $+1\,444\text{ m}$
• Rãnh Mariana (rãnh biển sâu nhất): $-10\,994\text{ m}$
• Biển Chết (vùng đất trũng nhất): $-430{,}5\text{ m}$
• Thành phố Hà Nội: $+6{,}5\text{ m}$
• Đáy giếng khoan dầu khí: $-2\,500{,}8\text{ m}$ Hãy sắp xếp các địa điểm trên theo thứ tự từ thấp nhất đến cao nhất.

Bài 8 (Khoảng giá trị nguyên): Có bao nhiêu số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện:

Bài 9 (Khoảng số thập phân): a) Viết $4$ số thập phân khác nhau nằm giữa $1{,}2$ và $1{,}3.$ b) Có bao nhiêu số thập phân có đúng hai chữ số ở phần thập phân nằm giữa $0{,}6$ và $0{,}7$?

Bài 10 (Trục số): Trên một trục số nằm ngang với đơn vị chia là $0{,}1$:

• Điểm $A$ biểu diễn số $-0{,}7.$
• Điểm $B$ biểu diễn số $0{,}5.$
• Điểm $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$ Hỏi điểm $C$ biểu diễn số thập phân nào?

Lời giải chi tiết bài tập tự luyện

Bài 1: a)

• $\dfrac{-73}{10} = -7{,}3.$
• $\dfrac{409}{100} = 4{,}09.$
• $\dfrac{-15}{1\,000} = -0{,}015.$
• $\dfrac{8}{100} = 0{,}08.$
• $\dfrac{-2\,026}{1\,000} = -2{,}026.$

b)

• $-1{,}8 = \dfrac{-18}{10} = \dfrac{-9}{5}.$
• $0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}.$
• $$-0{,}032 = \dfrac{-32}{1\,000} = \dfrac{-32 : 8}{1\,000 : 8} = \dfrac{-4}{125}.$$
• $$4{,}125 = \dfrac{4\,125}{1\,000} = \dfrac{4\,125 : 125}{1\,000 : 125} = \dfrac{33}{8}.$$

Bài 2:

• Số đối của $-8{,}35$ là $8{,}35.$
• Số đối của $14{,}2$ là $-14{,}2.$
• Số đối của $-0{,}007$ là $0{,}007.$
• Số đối của $0$ là $0.$
• Ta có $-(-3{,}9) = 3{,}9.$ Vậy số đối của $-(-3{,}9)$ là $-3{,}9.$

Bài 3: a) $-7{,}19$ và $-7{,}2$: Viết số đối $7{,}19 < 7{,}20 \implies -7{,}19 > -7{,}2.$ b) $4{,}08 = 4{,}080.$ c) $-0{,}05$ và $-0{,}5$: Số đối $0{,}05 < 0{,}50 \implies -0{,}05 > -0{,}5.$ d) $-15{,}6 < 0{,}001$ (số âm nhỏ hơn số dương).

Bài 4: a) Thứ tự tăng dần:

• Các số âm: $-3{,}05 < -2{,}7 < -2{,}68$ (vì $3{,}05 > 2{,}70 > 2{,}68$).
• Số $0$: tiếp theo.
• Các số dương: $1{,}4 = 1{,}40 < 1{,}45.$
• Dãy tăng dần:$$-3{,}05 < -2{,}7 < -2{,}68 < 0 < 1{,}4 < 1{,}45.$$b) Thứ tự giảm dần:$$1{,}45 > 1{,}4 > 0 > -2{,}68 > -2{,}7 > -3{,}05.$$

Bài 5:

• Câu a: Bạn An sai hoàn toàn.
  • Lỗi sai: An so sánh hai số âm như hai số tự nhiên.
  • Sửa lại: Viết $-3{,}5 = -3{,}50.$ Xét số đối: $3{,}48 < 3{,}50,$ do đó $-3{,}48 > -3{,}5.$ Mặc dù kết luận của An vô tình đúng dấu nhưng cách giải thích "$48 > 5$" là sai bản chất nghiêm trọng! (Nếu đổi thành $-3{,}48$ và $-3{,}6$ thì cách của An sẽ dẫn đến sai lầm).
• Câu b: Bạn An sai.
  • Lỗi sai: Số chữ số nhiều hơn không quyết định số thập phân lớn hơn.
  • Sửa lại: $0{,}7 = 0{,}70 > 0{,}07$ vì ở hàng phần mười có $7 > 0.$

Bài 6: a) Sắp xếp kết quả kinh doanh tăng dần (từ thấp nhất đến cao nhất):

• Hai quý lỗ: $-1{,}75 < -1{,}4$ (vì $1{,}75 > 1{,}40$).
• Hai quý lãi: $2{,}85 < 3{,}2$ (vì $2{,}85 < 3{,}20$).
• Dãy kết quả:$$-1{,}75 < -1{,}4 < 2{,}85 < 3{,}2.$$Thứ tự các quý: Quý III $\to$ Quý II $\to$ Quý I $\to$ Quý IV.

b) Trong hai quý lỗ (Quý II lỗ $1{,}4$ tỉ, Quý III lỗ $1{,}75$ tỉ): Vì $-1{,}75 < -1{,}4$ nên Quý III có kết quả kinh doanh kém hơn (lỗ nặng hơn).

Bài 7: Sắp xếp độ cao từ thấp nhất đến cao nhất:

Thứ tự: Rãnh Mariana $\to$ Đáy giếng khoan dầu khí $\to$ Biển Chết $\to$ Thành phố Hà Nội $\to$ Đỉnh Bạch Mã.

Bài 8: Ta có $-5{,}85 \le m < 3{,}02$ với $m \in \mathbb{Z}.$ Các số nguyên thỏa mãn là:

Số lượng các số nguyên là:

Bài 9: a) Viết $1{,}2 = 1{,}20$ và $1{,}3 = 1{,}30.$ Bốn số thập phân nằm giữa là:

b) Viết $0{,}6 = 0{,}60$ và $0{,}7 = 0{,}70.$ Các số thập phân có đúng hai chữ số ở phần thập phân nằm giữa $0{,}60$ và $0{,}70$ là:

Tổng cộng có $9$ số.

Bài 10: Độ dài đoạn thẳng $AB$ là khoảng cách giữa hai điểm $-0{,}7$ và $0{,}5$:

Điểm $C$ là trung điểm của $AB$ nên khoảng cách từ $A$ đến $C$ bằng:

Tọa độ của điểm $C$ là:

(Cách khác: Tọa độ trung điểm $C = \dfrac{-0{,}7 + 0{,}5}{2} = \dfrac{-0{,}2}{2} = -0{,}1$). Vậy điểm $C$ biểu diễn số thập phân $-0{,}1.$

D. 5 Chuyên đề nâng cao học sinh giỏi (Độc bản 100%)

Chuyên đề 1: Tìm chữ số thích hợp thay thế dấu sao ($*$) trong bất đẳng thức

Mẹo hay

Phương pháp:

1. Xét dấu và phần nguyên của hai vế.
2. So sánh lần lượt từ hàng có trọng số cao nhất (hàng chục $\to$ đơn vị $\to$ phần mười $\to$ phần trăm...).
3. Lưu ý với số âm, chiều so sánh các chữ số đảo ngược lại so với số dương!

Bài toán 1: Tìm chữ số thích hợp điền vào dấu $*$ (mỗi dấu $*$ là một chữ số từ $0$ đến $9$): a) $8{,}*5 > 8{,}65$ b) $-4{,}3* > -4{,}32$ c) $12{,}4 < 12{,}*2 < 12{,}7$ d) $-9{,}*4 < -9{,}64$

Lời giải chi tiết: a) $8{,}*5 > 8{,}65$:

• Hai số đều dương, có cùng phần nguyên là $8$ và chữ số hàng phần trăm đều là $5.$
• Để $8{,}*5 > 8{,}65$ thì chữ số hàng phần mười phải thỏa mãn: $* > 6.$
• Vì $*$ là chữ số nên $* \in \{7;\; 8;\; 9\}.$

b) $-4{,}3* > -4{,}32$:

• Hai số đều âm. Xét số đối: $4{,}3* < 4{,}32.$
• Phần nguyên bằng nhau ($4 = 4$), hàng phần mười bằng nhau ($3 = 3$).
• Do đó hàng phần trăm phải thỏa mãn: $* < 2.$
• Vì $*$ là chữ số nên $* \in \{0;\; 1\}.$

c) $12{,}4 < 12{,}*2 < 12{,}7$:

• Viết dưới dạng $12{,}40 < 12{,}*2 < 12{,}70.$
• Vì chữ số hàng phần trăm là $2 > 0$ nên:
  • Nếu $* = 4$: $12{,}42$ thỏa mãn $12{,}40 < 12{,}42 < 12{,}70.$
  • Nếu $* = 5$: $12{,}52$ thỏa mãn.
  • Nếu $* = 6$: $12{,}62$ thỏa mãn.
  • Nếu $* = 7$: $12{,}72 > 12{,}70$ (loại).
• Vậy $* \in \{4;\; 5;\; 6\}.$

d) $-9{,}*4 < -9{,}64$:

• Xét số đối: $9{,}*4 > 9{,}64.$
• Vì hàng phần trăm bằng nhau ($4 = 4$) nên hàng phần mười phải thỏa mãn: $* > 6.$
• Vậy $* \in \{7;\; 8;\; 9\}.$

Chuyên đề 2: Tính trù mật của tập hợp số thập phân

Ghi nhớ

Định lý về tính trù mật: Giữa hai số thập phân bất kì luôn tồn tại vô số số thập phân khác. Để tìm $k$ số thập phân xen giữa $a$ và $b,$ ta chỉ cần viết thêm các chữ số $0$ vào tận cùng bên phải của $a$ và $b$ để tạo ra khoảng trống giữa các chữ số.

Bài toán 2: a) Hãy tìm $5$ số thập phân khác nhau nằm giữa $-0{,}3$ và $-0{,}2.$ b) Chứng minh rằng giữa hai số thập phân $0{,}71$ và $0{,}72$ có vô số số thập phân. c) Tìm phân số tối giản có mẫu số nhỏ nhất nằm giữa $0{,}4$ và $0{,}5.$

Lời giải chi tiết: a) Viết $-0{,}3 = -0{,}30$ và $-0{,}2 = -0{,}20.$ Khoảng giá trị cần tìm là các số $x$ sao cho:

Năm số thập phân thỏa mãn là:

b) Ta có:

Với mỗi số nguyên dương $n,$ ta luôn tạo được ít nhất $10^n - 1$ số thập phân dạng $0{,}71a_1a_2\dots a_n$ nằm giữa $0{,}71$ và $0{,}72.$ Vì $n$ có thể tiến tới vô hạn nên giữa $0{,}71$ và $0{,}72$ có vô số số thập phân (Đpcm).

c) Đổi $0{,}4 = \dfrac{2}{5}$ và $0{,}5 = \dfrac{1}{2}.$ Cần tìm phân số $\dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{N}^*,$ tối giản) sao cho:

• Thử $b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$: Không có phân số nào với $b \le 6$ nằm giữa $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ và $\dfrac{1}{2} = 0{,}5.$
  • Thử $b = 7$: $$\dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{35} < \dfrac{a}{7} < \dfrac{1}{2} = \dfrac{17{,}5}{35} \implies 2{,}8 < a < 3{,}5 \implies a = 3.$$
  • Phân số $\dfrac{3}{7} \approx 0{,}4285$ nằm giữa $0{,}4$ và $0{,}5.$ Vậy phân số tối giản có mẫu số nhỏ nhất thỏa mãn là $\dfrac{3}{7}.$

Chuyên đề 3: Cấu tạo số thập phân và bài toán giải mã chữ số

Bài toán 3: Khi chuyển dấu phẩy của một số thập phân $A$ sang bên phải một hàng, ta được số thập phân $B.$ Biết rằng tổng của $A$ và $B$ là $41{,}58.$ Tìm số thập phân $A.$

Lời giải chi tiết:

• Khi chuyển dấu phẩy của số thập phân $A$ sang bên phải một hàng, giá trị của số đó tăng lên gấp $10$ lần. Do đó:$$B = 10 \cdot A.$$
• Theo đề bài, tổng của $A$ và $B$ bằng $41{,}58$:$$A + B = 41{,}58 \iff A + 10 \cdot A = 41{,}58 \iff 11 \cdot A = 41{,}58.$$
• Suy ra giá trị của $A$ là:$$A = 41{,}58 : 11 = 3{,}78.$$Kiểm tra lại: $B = 37{,}8 \implies 3{,}78 + 37{,}8 = 41{,}58$ (thỏa mãn). Vậy số thập phân $A$ là $3{,}78.$

Chuyên đề 4: So sánh lũy thừa và dãy số chứa số thập phân

Bài toán 4: So sánh các biểu thức sau mà không tính giá trị cụ thể: a) $A = (-0{,}1)^{2\,026}$ và $B = (-0{,}1)^{2\,027}$ b) $C = (0{,}8)^{10}$ và $D = (0{,}8)^{20}$ c) $E = (-1{,}2)^3$ và $F = (-1{,}2)^5$

Lời giải chi tiết: a)

• $A = (-0{,}1)^{2\,026}$: Số âm nâng lên lũy thừa bậc chẵn luôn cho kết quả là số dương ($A > 0$).
• $B = (-0{,}1)^{2\,027}$: Số âm nâng lên lũy thừa bậc lẻ luôn cho kết quả là số âm ($B < 0$).
• Vì số dương luôn lớn hơn số âm nên:$$A > B.$$

b)

• Ta có $0 < 0{,}8 < 1.$
• Với một số dương nhỏ hơn $1,$ khi số mũ càng tăng thì giá trị của lũy thừa càng giảm:$$(0{,}8)^{20} = (0{,}8)^{10} \cdot (0{,}8)^{10}.$$Vì $0 < (0{,}8)^{10} < 1$ nên $(0{,}8)^{20} < (0{,}8)^{10}.$ Do đó:$$C > D.$$

c)

• Cả hai số đều là lũy thừa bậc lẻ của số âm $-1{,}2$ nên $E < 0$ và $F < 0.$
• Xét số đối:
  • Số đối của $E$ là $|E| = (1{,}2)^3.$
  • Số đối của $F$ là $|F| = (1{,}2)^5.$
• Vì cơ số $1{,}2 > 1$ nên khi số mũ tăng, lũy thừa tăng: $(1{,}2)^5 > (1{,}2)^3 \implies |F| > |E|.$
• Với hai số âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn, do đó:$$E > F.$$

Chuyên đề 5: Ứng dụng số thập phân giải bài toán thực tế sai số và biên độ đo

Bài toán 5: Một máy gia công cơ khí chính xác sản xuất chi tiết trục máy với đường kính tiêu chuẩn là $25\text{ mm}.$ Chi tiết được coi là đạt chuẩn nếu sai số đường kính không vượt quá $0{,}05\text{ mm}$ (nghĩa là độ lệch nằm trong khoảng từ $-0{,}05\text{ mm}$ đến $+0{,}05\text{ mm}$). Kết quả đo thực tế độ lệch của $5$ sản phẩm được ghi trong bảng:

a) Những sản phẩm nào đạt tiêu chuẩn chất lượng? b) Sắp xếp các sản phẩm theo thứ tự đường kính thực tế từ nhỏ nhất đến lớn nhất.

Lời giải chi tiết: a) Điều kiện để sản phẩm đạt tiêu chuẩn là:

Kiểm tra từng sản phẩm:

• Trục 1: $d = +0{,}03 \implies -0{,}05 \le 0{,}03 \le 0{,}05$ (Đạt).
• Trục 2: $d = -0{,}06 \implies -0{,}06 < -0{,}05$ (Không đạt, bị nhỏ hơn mức cho phép).
• Trục 3: $d = -0{,}02 \implies -0{,}05 \le -0{,}02 \le 0{,}05$ (Đạt).
• Trục 4: $d = +0{,}05 \implies$ Đạt (chạm ngưỡng trên).
• Trục 5: $d = -0{,}045 \implies$ Viết $-0{,}05 = -0{,}050.$ Vì $0{,}045 < 0{,}050 \implies -0{,}045 > -0{,}050$ (Đạt). Vậy các sản phẩm đạt tiêu chuẩn là: Trục 1, Trục 3, Trục 4, Trục 5.

b) Đường kính thực tế của mỗi sản phẩm bằng $25 + d\text{ mm}.$ Vì vậy, sắp xếp đường kính thực tế từ nhỏ nhất đến lớn nhất chính là sắp xếp độ lệch $d$ theo thứ tự tăng dần:

Thứ tự các sản phẩm có đường kính tăng dần là: Trục 2 $\to$ Trục 5 $\to$ Trục 3 $\to$ Trục 1 $\to$ Trục 4.

E. Bộ câu hỏi trắc nghiệm tương tác (Quiz)

F. Đề kiểm tra 15 phút đánh giá năng lực (Có ma trận & lời giải)

Đề kiểm tra 15 phút

Phần I: Trắc nghiệm (3.0 điểm — Mỗi câu 0.75 điểm)

Câu 1: Phân số thập phân $\dfrac{-325}{100}$ viết dưới dạng số thập phân là: A. $-32{,}5$ B. $-3{,}25$ C. $-0{,}325$ D. $3{,}25$

Câu 2: Số đối của số $-10{,}05$ là: A. $10{,}05$ B. $-10{,}50$ C. $10{,}50$ D. $-10{,}05$