Tổng ôn tập cuối năm Toán 10: Cẩm nang toàn diện & Đề thi thử chuẩn

Năm học lớp 10 là bước ngoặt quan trọng nhất của bậc Trung học phổ thông, đặt nền tảng tư duy toán học hiện đại theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018. Toàn bộ chương trình Toán 10 bao quát 4 nhánh kiến thức trụ cột:

1. Đại số & Giải tích: Mệnh đề & Tập hợp, Bất phương trình hai ẩn, Hàm số bậc hai, Dấu tam thức bậc hai, Đại số tổ hợp (quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton).
2. Hình học & Đo lường: Hệ thức lượng trong tam giác, Vectơ và các phép toán, Tích vô hướng.
3. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Tọa độ vectơ và điểm, phương trình đường thẳng, góc và khoảng cách, phương trình đường tròn và ba đường conic (elip, hypebol, parabol).
4. Thống kê & Xác suất: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và độ phân tán của mẫu số liệu không ghép nhóm, biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất.

Bài tổng ôn tập này sẽ giúp các em hệ thống hóa toàn bộ công thức tinh hoa của cả năm học và thực chiến đề kiểm tra cuối học kỳ 2 / khảo sát chất lượng cuối năm đạt điểm 9-10.

1. Đại lộ kiến thức: Bảng tra cứu 9 chương Toán 10

2. Ma trận đề kiểm tra cuối năm Toán 10 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Tỉ lệ phân bổ: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm). Thời gian làm bài chuẩn: 90 phút.

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 câu)

Đề bài tự luận

Câu 1 (1,5 điểm - Đại số & Hàm số)

Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = x^2 - 4x + 3$.

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số.
2. Giải phương trình chứa căn:$$\sqrt{x^2 - 4x + 3} = x - 2$$

Câu 2 (2,0 điểm - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

1. Cho điểm $A(1; 2)$ và đường thẳng $\Delta: 3x - 4y + 15 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $\Delta$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $d$ và $\Delta$.
2. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4; 6) \in (C)$.
3. Cho elip $(E): \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và tâm sai của elip $(E)$.

Câu 3 (1,5 điểm - Đại số tổ hợp)

1. Từ các chữ số thuộc tập hợp $S = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau?
2. Khai triển biểu thức $P(x) = (2x - 1)^5$. Tìm tổng tất cả các hệ số của khai triển.

Câu 4 (2,0 điểm - Vận dụng cao & Xác suất thực tế)

Một hộp chứa $12$ quả cầu gồm $5$ quả cầu đỏ, $4$ quả cầu xanh và $3$ quả cầu vàng (các quả cầu đôi một khác nhau).

1. Người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu. Tính xác suất để lấy được $3$ quả cầu có đủ cả ba màu khác nhau.
2. Một trạm biến áp trung tâm cung cấp điện cho hai phân xưởng độc lập A và B. Xác suất để phân xưởng A gặp sự cố mất điện trong ngày là $0,15$ và của phân xưởng B là $0,20$. Giả sử sự cố của hai phân xưởng là độc lập. Tính xác suất để trong ngày đó:
   • Cả hai phân xưởng đều hoạt động bình thường (không bị mất điện).
   • Có ít nhất một phân xưởng bị mất điện.

Hướng dẫn chấm & Thang điểm chi tiết (Barem 0,25đ)

Lời giải Câu 1 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Hệ số $a = 1 > 0, b = -4, c = 3$. Tọa độ đỉnh $I$: $x_I = -\frac{b}{2a} = 2, y_I = 2^2 - 4(2) + 3 = -1 \implies I(2; -1)$ (0,25đ).
  • Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ và đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ (0,25đ).
  • Đồ thị: Parabol có đỉnh $I(2; -1)$, trục đối xứng $x = 2$, cắt trục tung tại $(0; 3)$, cắt trục hoành tại các điểm $(1; 0)$ và $(3; 0)$. Vẽ đồ thị chính xác (0,25đ).
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • Phương trình $\sqrt{x^2 - 4x + 3} = x - 2$. Điều kiện: $x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$ (0,25đ).
  • Bình phương hai vế:$$x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 \iff x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 4$$$$\iff 3 = 4$$(vô nghiệm) (0,25đ).
  • Kết luận: Phương trình đã cho vô nghiệm (tập nghiệm $S = \emptyset$) (0,25đ).

Lời giải Câu 2 (2,0 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Đường thẳng $d \parallel \Delta \implies d$ có dạng $3x - 4y + C = 0$ ($C \ne 15$) (0,25đ).
  • Điểm $A(1; 2) \in d \implies 3(1) - 4(2) + C = 0 \iff -5 + C = 0 \implies C = 5$. Phương trình đường thẳng $d: 3x - 4y + 5 = 0$ (0,25đ).
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ điểm $A(1; 2) \in d$ đến $\Delta$:$$d(d, \Delta) = d(A, \Delta) = \frac{|3(1) - 4(2) + 15|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|10|}{5} = 2$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • Đường tròn $(C)$ có $a = 1, b = 2, c = -20 \implies$ Tâm $I(1; 2)$, bán kính $R = \sqrt{1 + 4 - (-20)} = 5$ (0,25đ).
  • Thay tọa độ $M(4; 6)$: $(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = R^2 \implies M \in (C)$ (0,25đ).
  • Tiếp tuyến tại $M(4; 6)$ nhận $\vec{IM} = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$ làm vectơ pháp tuyến:$$3(x - 4) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x + 4y - 36 = 0$$(0,25đ)
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Elip $(E)$ có $a^2 = 16 \implies a = 4; b^2 = 7 \implies b = \sqrt{7}$. $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 7} = 3$ (0,25đ).
  • Tọa độ tiêu điểm: $F_1(-3; 0), F_2(3; 0)$. Tọa độ các đỉnh: $A_1(-4; 0), A_2(4; 0), B_1(0; -\sqrt{7}), B_2(0; \sqrt{7})$. Tâm sai: $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{4} = 0,75$ (0,25đ).

Lời giải Câu 3 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Gọi số tự nhiên chẵn là $\overline{abcd}$ với $a, b, c, d \in S, a \ne 0$ và đôi một khác nhau.
    • Trường hợp 1: Chữ số tận cùng $d = 0$. Chọn $d$: $1$ cách. Chọn 3 chữ số $a, b, c$ từ 6 chữ số còn lại có $A_6^3 = 120$ cách. Số các số trường hợp 1: $1 \times 120 = 120$ số (0,25đ).
    • Trường hợp 2: Chữ số tận cùng $d \in \{2; 4; 6\} \implies 3$ cách chọn cho $d$. Chọn $a \ne 0$ và $a \ne d$: có 5 cách chọn. Chọn $b \in S \setminus \{a; d\}$: có 5 cách chọn. Chọn $c \in S \setminus \{a; b; d\}$: có 4 cách chọn. Số các số trường hợp 2: $3 \times 5 \times 5 \times 4 = 300$ số (0,25đ).
  • Theo quy tắc cộng, tổng số các số chẵn là:$$120 + 300 = 420 \quad \text{số}$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton bậc 5 cho $(a - b)^5$ với $a = 2x, b = 1$:$$(2x - 1)^5 = (2x)^5 - 5(2x)^4 + 10(2x)^3 - 10(2x)^2 + 5(2x) - 1$$$$= 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1$$(0,5đ)
  • Để tính tổng tất cả các hệ số của khai triển, ta cho $x = 1$:$$S = P(1) = (2 \cdot 1 - 1)^5 = 1^5 = 1$$(0,25đ)

Lời giải Câu 4 (2,0 điểm)

• Ý 1 (1,0 điểm):
  • Số phần tử của không gian mẫu khi lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 12 quả:$$n(\Omega) = C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220$$(0,25đ)
  • Gọi biến cố $E$: "Lấy được 3 quả cầu có đủ cả ba màu khác nhau". Để có đủ 3 màu, cần lấy 1 đỏ, 1 xanh và 1 vàng:
    • Chọn 1 đỏ từ 5 đỏ: $C_5^1 = 5$ cách.
    • Chọn 1 xanh từ 4 xanh: $C_4^1 = 4$ cách.
    • Chọn 1 vàng từ 3 vàng: $C_3^1 = 3$ cách. Số kết quả thuận lợi: $n(E) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ (0,5đ).
  • Xác suất biến cố $E$:$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$$(0,25đ)
• Ý 2 (1,0 điểm):
  • Gọi biến cố $A$: "Phân xưởng A bị mất điện" $\implies P(A) = 0,15 \implies P(\overline{A}) = 1 - 0,15 = 0,85$. Gọi biến cố $B$: "Phân xưởng B bị mất điện" $\implies P(B) = 0,20 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0,20 = 0,80$ (0,25đ).
  • Biến cố "Cả hai phân xưởng đều hoạt động bình thường" là $\overline{A} \cap \overline{B}$. Vì hai phân xưởng hoạt động độc lập nên:$$P(\text{bình thường}) = P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) = 0,85 \times 0,80 = 0,68 \quad (68\%)$$(0,25đ)
  • Biến cố "Có ít nhất một phân xưởng bị mất điện" chính là biến cố đối của "Cả hai phân xưởng đều hoạt động bình thường" (0,25đ).
  • Xác suất có ít nhất một phân xưởng bị mất điện:$$P(\text{ít nhất một lỗi}) = 1 - 0,68 = 0,32 \quad (32\%)$$(0,25đ)