Ôn tập Chương 9. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Lý thuyết xác suất ra đời từ thế kỷ 17 qua những bức thư trao đổi giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal về các trò chơi may rủi, ngày nay đã trở thành công cụ toán học tối thượng điều hành các hệ thống tài chính, trí tuệ nhân tạo, khí tượng thủy văn và y học lượng tử. Chương 9 là chặng kết hoàn hảo của chương trình Toán 10, kết nối trực tiếp Đại số tổ hợp với thực nghiệm ngẫu nhiên. Bài ôn tập tổng hợp này giúp các em hệ thống hóa trọn vẹn kiến thức và chinh phục điểm số cao nhất trong bài kiểm tra định kỳ 45 phút.

1. Bảng tra cứu toàn diện công thức Chương 9

2. Ma trận đề kiểm tra 45 phút Chương 9 (Chuẩn Bộ GD&ĐT)

Tỉ lệ chuẩn cấu trúc: 30% Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm) và 70% Tự luận phân hóa (7,0 điểm).

3. Phần I: Trắc nghiệm khách quan (3,0 điểm - 12 câu, mỗi câu 0,25 điểm)

4. Phần II: Tự luận phân hóa (7,0 điểm - 4 câu)

Đề bài tự luận

Câu 1 (1,5 điểm - Vận dụng thấp)

Gieo đồng thời hai con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất.

1. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chia hết cho $5$.
2. Tính xác suất để ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt $6$ chấm.

Câu 2 (1,5 điểm - Vận dụng trung bình)

Một hộp đựng $8$ viên bi đỏ, $6$ viên bi xanh và $4$ viên bi vàng (các viên bi có kích thước giống nhau nhưng được đánh số phân biệt). Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên bi từ hộp.

1. Tính xác suất để lấy được $3$ viên bi cùng màu đỏ.
2. Tính xác suất để trong $3$ viên bi lấy ra có đủ cả ba màu khác nhau.
3. Tính xác suất để lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ.

Câu 3 (2,0 điểm - Vận dụng)

Một nhóm bạn gồm $5$ học sinh nam và $3$ học sinh nữ (trong đó có hai bạn An và Bình) xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang để tham gia trò chơi teambuilding.

1. Tính xác suất để hai bạn An và Bình đứng cạnh nhau.
2. Tính xác suất để các bạn nữ luôn đứng cạnh nhau thành một khối.
3. Tính xác suất để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau trong hàng.

Câu 4 (2,0 điểm - Vận dụng cao & Ứng dụng thực tế)

Một nhà máy sản xuất bóng đèn LED kiểm định một lô hàng gồm $100$ chiếc đèn. Qua phân tích lịch sử dây chuyền, lô hàng có tỉ lệ $6\%$ bị lỗi mạch ngầm (nghĩa là có đúng $6$ bóng đèn bị hỏng, $94$ bóng đèn đạt chuẩn). Bộ phận kiểm soát chất lượng (KCS) lấy ngẫu nhiên ra $4$ chiếc bóng đèn để kiểm tra độc lập.

1. Tính xác suất để cả $4$ chiếc bóng đèn lấy ra đều đạt tiêu chuẩn chất lượng.
2. Nếu trong mẫu $4$ chiếc lấy ra phát hiện có ít nhất một bóng đèn bị hỏng, lô hàng sẽ bị từ chối nhập kho và trả về nhà máy để hiệu chuẩn lại. Tính xác suất để lô hàng này bị từ chối nhập kho.
3. Giả sử nhà máy cải tiến dây chuyền sản xuất khiến tỉ lệ bóng hỏng trong lô hàng $100$ chiếc giảm xuống chỉ còn $2$ bóng hỏng. Khi đó, xác suất lô hàng bị từ chối nhập kho theo quy trình kiểm tra trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn chấm & Thang điểm chi tiết (Barem 0,25đ)

Lời giải Câu 1 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Số phần tử của không gian mẫu khi gieo 2 con xúc xắc là:$$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$$(0,25đ)
  • Gọi $A$ là biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện chia hết cho 5". Vì tổng số chấm $S \in [2; 12]$ nên $S$ chia hết cho 5 khi $S = 5$ hoặc $S = 10$ (0,25đ).
    • Tổng bằng 5: $(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) \implies 4$ kết quả.
    • Tổng bằng 10: $(4; 6), (5; 5), (6; 4) \implies 3$ kết quả. Số kết quả thuận lợi là $n(A) = 4 + 3 = 7$.
  • Xác suất biến cố $A$:$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{7}{36}$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • Gọi $B$ là biến cố: "Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm". Biến cố đối $\overline{B}$: "Cả hai con xúc xắc đều không xuất hiện mặt 6 chấm" (0,25đ).
  • Mỗi con xúc xắc có 5 mặt không phải mặt 6 chấm (từ 1 đến 5). Số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là:$$n(\overline{B}) = 5 \times 5 = 25$$(0,25đ)
  • Xác suất biến cố đối: $P(\overline{B}) = \frac{25}{36}$. Xác suất biến cố $B$ là:$$P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$(0,25đ)

Lời giải Câu 2 (1,5 điểm)

• Ý 1 (0,5 điểm):
  • Tổng số viên bi trong hộp là $8 + 6 + 4 = 18$ viên bi. Số phần tử của không gian mẫu:$$n(\Omega) = C_{18}^3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 816$$(0,25đ)
  • Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được 3 viên bi cùng màu đỏ". Số kết quả thuận lợi: $n(A) = C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$. Xác suất:$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{56}{816} = \frac{7}{102}$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Gọi $B$ là biến cố: "Lấy được 3 viên bi có đủ cả ba màu". Để có đủ 3 màu, cần lấy 1 đỏ, 1 xanh và 1 vàng. Số kết quả thuận lợi:$$n(B) = C_8^1 \times C_6^1 \times C_4^1 = 8 \times 6 \times 4 = 192$$(0,25đ)
  • Xác suất:$$P(B) = \frac{192}{816} = \frac{4}{17}$$(0,25đ)
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Gọi $C$ là biến cố: "Lấy được ít nhất một viên bi màu đỏ". Biến cố đối $\overline{C}$: "Không lấy được viên bi màu đỏ nào" (tức cả 3 viên lấy từ $6 + 4 = 10$ viên bi xanh và vàng) (0,25đ).
  • Số cách chọn:$$n(\overline{C}) = C_{10}^3 = 120 \implies P(\overline{C}) = \frac{120}{816} = \frac{5}{34}$$
  • Xác suất biến cố $C$:$$P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{5}{34} = \frac{29}{34}$$(0,25đ)

Lời giải Câu 3 (2,0 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Tổng số người là $5 + 3 = 8$ học sinh. Số phần tử của không gian mẫu khi xếp 8 người vào hàng ngang:$$n(\Omega) = 8! = 40.320$$(0,25đ)
  • Gọi biến cố $E$: "An và Bình đứng cạnh nhau". Buộc An và Bình thành khối $X$. Xếp khối $X$ cùng 6 bạn còn lại: có $7! = 5.040$ cách. Hoán vị 2 bạn An và Bình trong khối $X$: có $2! = 2$ cách (0,25đ).
  • Số kết quả thuận lợi: $n(E) = 7! \times 2! = 10.080$. Xác suất:$$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{7! \times 2!}{8!} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,5 điểm):
  • Gọi biến cố $F$: "3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau". Buộc 3 bạn nữ thành khối $Y$. Xếp khối $Y$ cùng 5 bạn nam: có $6! = 720$ cách. Hoán vị 3 bạn nữ trong khối $Y$: có $3! = 6$ cách (0,25đ).
  • Số kết quả thuận lợi: $n(F) = 6! \times 3! = 4.320$. Xác suất:$$P(F) = \frac{6! \times 3!}{8!} = \frac{6}{8 \times 7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$$(0,25đ)
• Ý 3 (0,75 điểm):
  • Gọi biến cố $G$: "Không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau". Phương pháp vách ngăn: Đầu tiên xếp 5 bạn nam thành một hàng ngang: có $5! = 120$ cách (0,25đ).
  • Năm bạn nam tạo ra 6 khoảng trống (vách ngăn). Để các bạn nữ không cạnh nhau, ta xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 6 khoảng trống này:$$A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120 \quad \text{cách}$$(0,25đ)
  • Số kết quả thuận lợi: $n(G) = 5! \times A_6^3 = 120 \times 120 = 14.400$. Xác suất:$$P(G) = \frac{14.400}{40.320} = \frac{5}{14}$$(0,25đ)

Lời giải Câu 4 (2,0 điểm)

• Ý 1 (0,75 điểm):
  • Lô hàng có $100$ bóng đèn, chọn ngẫu nhiên $4$ bóng đèn. Số phần tử của không gian mẫu:$$n(\Omega) = C_{100}^4 = \frac{100 \times 99 \times 98 \times 97}{24} = 3.921.225$$(0,25đ)
  • Số bóng đèn đạt chuẩn là $100 - 6 = 94$ bóng đèn. Gọi $A$ là biến cố: "Cả 4 bóng đèn lấy ra đều đạt chuẩn". Số cách chọn 4 bóng đèn đạt chuẩn:$$n(A) = C_{94}^4 = \frac{94 \times 93 \times 92 \times 91}{24} = 3.049.795$$(0,25đ)
  • Xác suất:$$P(A) = \frac{C_{94}^4}{C_{100}^4} = \frac{3.049.795}{3.921.225} \approx 0,7778 \quad (77,78\%)$$(0,25đ)
• Ý 2 (0,75 điểm):
  • Gọi $B$ là biến cố: "Lô hàng bị từ chối nhập kho" (tức trong 4 bóng lấy ra có ít nhất một bóng bị hỏng) (0,25đ).
  • Biến cố đối của $B$ chính là biến cố $A$ ("Cả 4 bóng lấy ra đều đạt chuẩn"):$$\overline{B} = A$$(0,25đ)
  • Áp dụng công thức biến cố đối, xác suất lô hàng bị từ chối nhập kho là:$$P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,7778 = 0,2222 \quad (22,22\%)$$(0,25đ)
• Ý 3 (0,5 điểm):
  • Khi lô hàng chỉ còn 2 bóng hỏng thì có $100 - 2 = 98$ bóng đạt chuẩn. Xác suất để cả 4 bóng lấy ra đều tốt là:$$P(\text{tốt}) = \frac{C_{98}^4}{C_{100}^4} = \frac{98 \times 97 \times 96 \times 95}{100 \times 99 \times 98 \times 97} = \frac{96 \times 95}{100 \times 99} = \frac{9120}{9900} = \frac{76}{82,5} \approx 0,9212$$(0,25đ)
  • Xác suất lô hàng bị từ chối lúc này là:$$P(\text{từ chối}) = 1 - P(\text{tốt}) = 1 - \frac{9120}{9900} = \frac{780}{9900} = \frac{13}{165} \approx 0,0788 \quad (7,88\%)$$(0,25đ)