Để so sánh một số với hai nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai .
1. So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai
Cho tam thức bậc hai f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f ( x ) = a x 2 + bx + c a ≠ 0 a\ne 0 a = 0 x 1 < x 2 x_1<x_2 x 1 < x 2 α . \alpha. α .
1.1. Số α nằm trong khoảng hai nghiệm
1.2. Số α nằm ngoài khoảng hai nghiệm
Số α \alpha α x 1 , x 2 x_1,x_2 x 1 , x 2 α \alpha α α < x 1 < x 2 \alpha<x_1<x_2 α < x 1 < x 2
{ Δ > 0 a ⋅ f ( α ) > 0 α < S 2 \begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \alpha<\frac{S}{2} \end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 a ⋅ f ( α ) > 0 α < 2 S Số α \alpha α x 1 , x 2 x_1,x_2 x 1 , x 2 α \alpha α x 1 < x 2 < α x_1<x_2<\alpha x 1 < x 2 < α
{ Δ > 0 a ⋅ f ( α ) > 0 S 2 < α \begin{cases}
\Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \frac{S}{2}<\alpha \end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 a ⋅ f ( α ) > 0 2 S < α
1.3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0
Đặc biệt, khi α = 0 \alpha=0 α = 0
Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: Tức là x 1 < 0 < x 2 x_1<0<x_2 x 1 < 0 < x 2 f ( α ) = f ( 0 ) = c f(\alpha) = f(0) =c f ( α ) = f ( 0 ) = c
a c < 0 ac<0
ac < 0 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
{ Δ > 0 a c > 0 − b a > 0 \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}>0\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 a c > 0 − a b > 0 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
{ Δ > 0 a c > 0 − b a < 0 \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}<0\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 a c > 0 − a b < 0
Đôi khi, người ta còn đặt tổng 2 nghiệm là x 1 + x 2 = S = − b a x_1+x_2=S=-\frac{b}{a} x 1 + x 2 = S = − a b x 1 x 2 = P = c a x_1 x_2=P=\frac{c}{a} x 1 x 2 = P = a c
Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0. P<0. P < 0.
Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi
{ Δ > 0 P > 0 \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\end{cases}
{ Δ > 0 P > 0 Phương trình bậc 2 có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
{ Δ > 0 P > 0 S > 0 \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 P > 0 S > 0 Phương trình bậc 2 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
{ Δ > 0 P > 0 S < 0 \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S<0\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 P > 0 S < 0
2. So sánh nghiệm với hai số cho trước α < β
Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x 1 < α < β < x 2 ⇔ { a f ( α ) < 0 a f ( β ) < 0 {{x}_{1}}<\alpha <\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{aligned} \right. x 1 < α < β < x 2 ⇔ { a f ( α ) < 0 a f ( β ) < 0
Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x 1 < α < x 2 < β ⇔ { a f ( α ) < 0 a f ( β ) > 0 {{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )>0 \\ \end{aligned} \right. x 1 < α < x 2 < β ⇔ { a f ( α ) < 0 a f ( β ) > 0
Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn α < x 1 < β < x 2 ⇔ { a f ( α ) > 0 a f ( β ) < 0 \alpha <{{x}_{1}}<\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & af(\alpha )>0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{aligned} \right. α < x 1 < β < x 2 ⇔ { a f ( α ) > 0 a f ( β ) < 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc khoảng ( α ; β ) (\alpha;\beta) ( α ; β )
f ( α ) . f ( β ) < 0 f(\alpha).f(\beta) < 0
f ( α ) .f ( β ) < 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt và α < x 1 < x 2 < β ⇔ { Δ > 0 a f ( α ) > 0 a f ( β ) > 0 S 2 − α > 0 S 2 − β < 0 \alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \Delta >0 \\ & af(\alpha )>0 \\ & af(\beta )>0 \\ & \frac{S}{2}-\alpha >0 \\ & \frac{S}{2}-\beta <0 \\ \end{aligned} \right. α < x 1 < x 2 < β ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 a f ( α ) > 0 a f ( β ) > 0 2 S − α > 0 2 S − β < 0
3. Ví dụ về so sánh nghiệm phương trình bậc hai với một số
Ví dụ 1. Tìm m m m x 2 − 2 m x + m + 2 = 0 {{x}^{2}}-2mx+m+2=0 x 2 − 2mx + m + 2 = 0
Hướng dẫn.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
P = c a = m + 2 < 0 ⇔ m < − 2 P=\frac{c}{a}=m+2<0\Leftrightarrow m<-2
P = a c = m + 2 < 0 ⇔ m < − 2 Vậy m < − 2 m<-2 m < − 2
Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 {{x}_{1}},{{x}_{2}} x 1 , x 2
{ Δ > 0 a . f ( 1 ) > 0 − b 2 a > 0 \begin{cases} \Delta >0\\ a.f(1)>0\\
{-b}{2a}>0 \end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ Δ > 0 a . f ( 1 ) > 0 − b 2 a > 0 Giải hệ này ta tìm được đáp số 2 ⩽ m < 3. 2\leqslant m<3. 2 ⩽ m < 3.
Cách khác, không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, mà chúng ta sử dụng định lí Viète:
Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 x_1,x_2 x 1 , x 2
Δ ’ = m 2 − m − 2 ⩾ 0 ⇔ m ∈ ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) \Delta’={{m}^{2}}-m-2\geqslant 0\Leftrightarrow m\in (-\infty,-1]\cup[2,+\infty)
Δ’ = m 2 − m − 2 ⩾ 0 ⇔ m ∈ ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) Khi đó, cả hai nghiệm của phương trình đều lớn hơn 1 1 1 x 1 − 1 > 0 x_1-1>0 x 1 − 1 > 0 x 2 − 1 > 0. x_2-1>0. x 2 − 1 > 0.
{ x 1 − 1 > 0 x 2 − 1 > 0 ⇔ { ( x 1 − 1 ) ( x 2 − 1 ) > 0 ( x 1 − 1 ) + ( x 2 − 1 ) > 0 \begin{aligned}
\begin{cases} x_1-1>0\\ x_2-1>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x_1-1)(x_2-1)>0\\ (x_1-1)+(x_2-1)>0
\end{cases}
\end{aligned}
{ x 1 − 1 > 0 x 2 − 1 > 0 ⇔ { ( x 1 − 1 ) ( x 2 − 1 ) > 0 ( x 1 − 1 ) + ( x 2 − 1 ) > 0 Nhân ra và sử dụng Viète, thay x 1 x 2 = m + 2 x_1x_2=m+2 x 1 x 2 = m + 2 x 1 + x 2 = 2 m x_1+x_2=2m x 1 + x 2 = 2m
{ m + 2 − 2 m + 1 > 0 2 m − 2 > 0 ⇔ 1 < m < 3 \begin{aligned}
\begin{cases} m+2-2m+1>0\\2m-2>0 \end{cases} \Leftrightarrow 1<m<3
\end{aligned}
{ m + 2 − 2 m + 1 > 0 2 m − 2 > 0 ⇔ 1 < m < 3 Kết hợp với điều kiện ta có 2 ⩽ m < 3 2\leqslant m<3 2 ⩽ m < 3
Ví dụ 2. Cho phương trình x 2 + 2 m x – 3 m 2 = 0. {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0. x 2 + 2mx–3 m 2 = 0. m m m x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 x 1 < 1 < x 2 . {x1} < 1 < {x_2}. x1 < 1 < x 2 .
Hướng dẫn. Đặt f ( x ) = x 2 + 2 m x – 3 m 2 . f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}. f ( x ) = x 2 + 2mx–3 m 2 .
a f ( 1 ) < 0 ⇔ 1 ⋅ f ( 1 ) < 0 ⇔ 1 2 + 2 m – 3 m 2 < 0 ⇔ – 3 m 2 + 2 m + 1 < 0 ⇔ [ m > 1 m < – 1 3 af\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow 1 \cdot f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow {1^2} + 2m – 3{m^2} < 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < – \frac{1}{3} \end{array} \right.
af ( 1 ) < 0 ⇔ 1 ⋅ f ( 1 ) < 0 ⇔ 1 2 + 2m–3 m 2 < 0 ⇔ –3 m 2 + 2m + 1 < 0 ⇔ [ m > 1 m < – 3 1 .
Ví dụ 3. Cho phương trình x 2 + 2 m x – 3 m 2 = 0. {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0. x 2 + 2mx–3 m 2 = 0. x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 α = 1 \alpha =1 α = 1
Hướng dẫn. Đặt f ( x ) = x 2 + 2 m x – 3 m 2 . f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}. f ( x ) = x 2 + 2mx–3 m 2 . Δ ‘ = m 2 – ( – 3 m 2 ) = 4 m 2 . \Delta ‘ = {m^2} – \left( { – 3{m^2}} \right) = 4{m^2}. Δ‘ = m 2 – ( –3 m 2 ) = 4 m 2 .
Yêu cầu bài toán tương đương
{ Δ ‘ > 0 a f ( α ) > 0 ⇔ { 4 m 2 > 0 – 3 m 2 + 2 m + 1 > 0 ⇔ { m ≠ 0 – 1 3 < m < 1 \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ af\left( \alpha \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} > 0\\ – 3{m^2} + 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ – \frac{1}{3} < m < 1 \end{array} \right.
{ Δ‘ > 0 a f ( α ) > 0 ⇔ { 4 m 2 > 0 –3 m 2 + 2 m + 1 > 0 ⇔ { m = 0 – 3 1 < m < 1 .
4. Bài tập so sánh nghiệm phương trình bậc hai
Bài 1. Tìm giá trị của m m m
Bài 2. Tìm m m m ( m + 1 ) x 2 + 2 ( m + 4 ) x + m + 1 = 0 (m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0 ( m + 1 ) x 2 + 2 ( m + 4 ) x + m + 1 = 0
Bài 3. Tìm m m m ( m − 4 ) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 1 = 0 (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0 ( m − 4 ) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 1 = 0
Bài 4. Tìm m m m m x 2 − 2 ( m − 3 ) x + m − 4 = 0 mx^2-2(m-3)x+m-4=0 m x 2 − 2 ( m − 3 ) x + m − 4 = 0
Bài 5. Tìm m m m ( m + 1 ) x 2 − 2 x + m − 1 = 0 (m+1)x^2-2x+m-1=0 ( m + 1 ) x 2 − 2x + m − 1 = 0
Bài 6. So sánh số 1 1 1 2 x 2 – 18 x + 17 = 0 2x^2 – 18x + 17 = 0 2 x 2 –18x + 17 = 0
Bài 7. So sánh số − 2 - 2 − 2 f ( x ) = ( m 2 + 1 ) x 2 – 5 ( m 2 + 1 ) x – m 2 + m – 1 = 0 f(x) = (m^2 + 1)x^2 – 5(m^2 + 1)x – m^2 + m – 1 = 0 f ( x ) = ( m 2 + 1 ) x 2 –5 ( m 2 + 1 ) x– m 2 + m–1 = 0
Bài 8. Tìm m m m
m x 2 + ( m – 1 ) x + 3 – 4 m = 0 mx^2 + (m – 1)x + 3 – 4m = 0 m x 2 + ( m–1 ) x + 3–4m = 0 x 1 < 2 < x 2 x_1 < 2 < x_2 x 1 < 2 < x 2
( m + 1 ) x 2 – ( m – 3 ) x + m + 1 = 0 (m + 1)x^2 – (m – 3)x + m + 1 = 0 ( m + 1 ) x 2 – ( m–3 ) x + m + 1 = 0 − 1 < x 1 ⩽ x 2 -1 < x_1 \leqslant x_2 − 1 < x 1 ⩽ x 2
( m + 1 ) x 2 + m x + 3 = 0 (m + 1)x^2 + mx + 3 = 0 ( m + 1 ) x 2 + mx + 3 = 0 x 1 < – 2 < 1 < x 2 x_1 < – 2 < 1 < x_2 x 1 < –2 < 1 < x 2
x 2 – 2 m x + m = 0 x^2 – 2mx + m = 0 x 2 –2mx + m = 0 x 1 , x 2 ∈ ( − 1 ; 3 ) x_1, x_2\in (-1;3) x 1 , x 2 ∈ ( − 1 ; 3 )
x 2 – 2 x – 3 m = 0 x^2 – 2x – 3m = 0 x 2 –2x–3m = 0 m 2 ⩽ x 1 < 1 < x 2 \frac{m}{2}\le {{x}_{1}}<1<{{x}_{2}} 2 m ⩽ x 1 < 1 < x 2
Bài 9. Tìm m m m
Bài 10. Tìm m m m ( m + 1 ) x 2 – 3 m x + 4 m = 0 (m + 1)x^2 – 3mx + 4m = 0 ( m + 1 ) x 2 –3mx + 4m = 0 1. 1. 1.
Bài 11. Cho phương trình x 2 – ( 2 m – 3 ) x + m 2 – 3 m = 0. x^2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. x 2 – ( 2m–3 ) x + m2–3m = 0. m m m x 1 ; x 2 x_1 ; x_2 x 1 ; x 2 1 < x 1 < x 2 < 6. 1 < x_1 < x_2 < 6. 1 < x 1 < x 2 < 6.
Bài 12. Cho phương trình 2 x 2 + ( 2 m – 1 ) x + m – 1 = 0. 2x^2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. 2 x 2 + ( 2m–1 ) x + m–1 = 0. m m m x 1 ; x 2 x_1 ; x_2 x 1 ; x 2 – 1 < x 1 < x 2 < 1. – 1 < x_1 < x_2 < 1. –1 < x 1 < x 2 < 1.
Bài 13. Cho f ( x ) = x 2 – 2 ( m + 2 ) x + 6 m + 1. f(x) = x^2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. f ( x ) = x 2 –2 ( m + 2 ) x + 6m + 1.
Chứng minh rằng phương trình f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0 m . m. m.
Đặt x = t + 2. x = t + 2. x = t + 2. f ( x ) f(x) f ( x ) t t t m m m f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0 2. 2. 2.
Bài 14. Cho phương trình bậc hai: x 2 + 2 ( a + 3 ) x + 4 ( a + 3 ) = 0. x^2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. x 2 + 2 ( a + 3 ) x + 4 ( a + 3 ) = 0.
Với giá trị nào của tham số a a a
Xác định a a a – 1. – 1. –1.
Bài 15. Cho phương trình: x 2 + 2 ( m – 1 ) x – ( m + 1 ) = 0. x^2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. x 2 + 2 ( m–1 ) x– ( m + 1 ) = 0.
Bài 16. Tìm m m m x 2 – m x + m = 0 x^2 – mx + m = 0 x 2 –mx + m = 0 x 1 ⩽ – 2 ⩽ x 2 x_1 \leqslant – 2 \leqslant x_2 x 1 ⩽ –2 ⩽ x 2
Bài 17. Cho biểu thức
A = ( 1 − x x + 1 ) : ( x + 3 x − 2 + x + 2 3 − x + x + 2 x − 5 x + 6 ) . A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right).
A = ( 1 − x + 1 x ) : ( x − 2 x + 3 + 3 − x x + 2 + x − 5 x + 6 x + 2 ) . Tìm m m m x x x A ( x + 1 ) = m ( x + 1 ) − 2. A(\sqrt{x}+1)=m(x+1)-2. A ( x + 1 ) = m ( x + 1 ) − 2.
Bài 18. Tìm m m m x < 0 x<0 x < 0
m = x ( 1 − x 2 ) 2 1 + x 2 : [ ( 1 − x 3 1 − x + x ) ( 1 + x 3 1 + x − x ) ] . m=\frac{x(1-x^2)^2}{1+x^2}:\left[\left(\frac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\frac{1+x^3}{1+x}-x\right)\right].
m = 1 + x 2 x ( 1 − x 2 ) 2 : [ ( 1 − x 1 − x 3 + x ) ( 1 + x 1 + x 3 − x ) ] . Bài 19. Tìm m m m x < 0 x<0 x < 0
m = x − 4 x − 9 x − 5 x + 6 + 2 x + 1 3 − x + x + 3 x − 2 . m=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{4x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}.
m = x − x − 5 x + 6 4x − 9 + 3 − x 2 x + 1 + x − 2 x + 3 . THỬ · DỰ ĐOÁN · KHÁM PHÁ Tự khám phá đồ thị bậc hai Thay đổi a, b, c và quan sát đồ thị y = ax² + bx + c. Thử đoán hướng mở trước khi xem kết quả.
Bật JavaScript để thay đổi số liệu và thực hiện thí nghiệm. NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP
Tự kiểm tra kiến thức Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.
← Thẻ trước Thẻ tiếp → Làm lại
Bật JavaScript để ôn tập với thẻ nhớ lại và câu điền khuyết. 