Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a và b không thay đổi.

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Xem thêm:

• Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11

• Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:

• Nếu $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a và $\overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng b và $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha$ thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $\alpha$ nếu $0\le \alpha \le 90^\circ$ và bằng $180^\circ -\alpha$ nếu $90^\circ <\alpha \le 180^\circ.$

• Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0^\circ.$ Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo $0\le \alpha \le 90^\circ.$

3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu xác định (dựng) được góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác cụ thể thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tìm số đo của góc đó:

• Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

• Tương tự ta có: $\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}$ và $\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}$

  Chú ý: $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)$$

Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ $\vec{u}, \vec{v}$ chúng ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng:

.

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ dựa vào công thức $\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}$ từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

4. Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh là $a.$ Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

1. AB và A’D’.

2. AD và A’C’.

3. BC’ và B’D’.

Lời giải.

1. Ta có $A^{\prime} D^{\prime} / / A D$ nên $$\left(A B, A^{\prime} D^{\prime}\right)=(A B, A D)=\widehat{B A D}=90^{\circ}.$$

2. Ta có $A^{\prime} C^{\prime} / / A C$ nên $$\left(A D, A^{\prime} C^{\prime}\right)=(A D, A C)=\widehat{D A C}=45^{\circ}.$$

3. Ta có $B^{\prime} D^{\prime} / / B D$ nên $$\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=\left(B C^{\prime}, B D\right)=\widehat{D B C^{\prime}}.$$

   Ta có $B D=B C^{\prime}=C^{\prime} D=A B \sqrt{2}$ nên $\triangle B D C^{\prime}$ dều, suy ra $\widehat{D B C^{\prime}}=60^{\circ}.$

   Vậy $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=60^{\circ}.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A=S B=S C=A B=A C=a \sqrt{2}$ và $B C=2 a.$ Tính góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B.$

Lời giải.

Ta có $S A B$ và $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N P / / A C$ nên $(A C, S B)=(N P, M N).$

\begin{aligned} &M N=\frac{S B}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}, N P=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2} . \ &A P=S P=\frac{B C}{2}=a, S A=a \sqrt{2} \end{aligned}

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SA=a\sqrt{3}.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra $AM=CE=\frac{a}{2}.$

Khi đó $$AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .$$

Mặt khác $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow$ độ dài đường trung tuyến AN là $AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Do $\Delta ABC$ đều nên $CM\bot AM\Rightarrow$ AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó $CE\bot AE$ mà $CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.$

$\Delta SEC$ vuông tại E có đường trung tuyến $EN=\frac{1}{2}SC=a.$

Ta có: $$\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

Khi đó $$\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.$$

Lại có: $$AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}$ và $BC=a\sqrt{3}.$ Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó $\left{ \begin{align}

& MP//SC \

& N//AB \

\end{align} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).$

Ta có: $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.$

Mặt khác $\Delta SAC$ vuông tại S $\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

$B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Suy ra $P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Khi đó $$\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .$$

Cách 2: Ta có: $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$$

$=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.$

Suy ra $$\cos \left( SC;AB \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( SC;AB \right)=60{}^\circ .$$