Gia Sư Thông Minhgia sư thông minh.Chấm thitrắc nghiệmFree
← Trở về thư viện

1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

GIA SƯ THÔNG MINH xin giới thiệu các bài toán Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 qua các năm trên cả nước. Hiện tại chúng tôi đã sưu tầm được các đề

#Bất đẳng thức#Vào lớp 10#Toán 9

Mục lục bài viết3 mục

GIA SƯ THÔNG MINH xin giới thiệu các bài toán Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 qua các năm trên cả nước. Hiện tại chúng tôi đã sưu tầm được các đề thi từ năm 2011 đến nay và đang cập nhật dần đề thi cùng lời giải lên website. Quý Thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm dạng toán Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2022

Bài 1. (KHTN HN 2022) Cho a,b,ca,b,c là những số thực dương. Chứng minh rằng:

2aa+b+a+ba+c+6a+2c3b+c+4a+3b+cb+c≥32a2a+b+c.\frac{2 a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{6 a+2 c}{3 b+c}+\frac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \frac{32 a}{2 a+b+c}.

Bài 2. (Chuyên Tin Lam Sơn Thanh Hóa) Xét ba số thực dưong x,y,zx, y, z thỏa mãn x2+y2+z2≤14.x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 14. Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=2x+y+48(1x+z+1y+2).P=2 x+y+48\left(\frac{1}{\sqrt{x+z}}+\frac{1}{\sqrt{y+2}}\right).

Bài 3. (Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét hai số thực x,yx, y thay đổi luôn thoả mân điều kiện x+y≥2.x+y \geq 2. Timm giá trị nhó nhất của biếu thức

P=42(x2+y2)+8x+y+1.P=4 \sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}+\frac{8}{x+y}+1.

Bài 4. (Chuyên Toán Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét các số thực không âm x,y,zx, y, z thoả mãn x+y+z≥6.x+y+z \geq 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x2yz+1+x3+y2zx+1+y3+z2xy+1+z3.P=\frac{x^{2}}{y z+\sqrt{1+x^{3}}}+\frac{y^{2}}{z x+\sqrt{1+y^{3}}}+\frac{z^{2}}{x y+\sqrt{1+z^{3}}}.

Bài 5. (SGD Hải Dương) Cho a,b,ca, b, c là các số thực dương thay đối thỏa mãn abc+bca+cab=3.\sqrt{\frac{a b}{c}}+\sqrt{\frac{b c}{a}}+\sqrt{\frac{c a}{b}}=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T=a+b+c+2022a+b+c.T=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\frac{2022}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.

Bài 6. (SGD Vĩnh Phúc)Cho x,y,zx, y, z là các số thực ḍương thỏa mẫn điều kiện x+y+z=1.x+y+z=1. Chứng minh rằng

yzx2+xyz+zxy2+xyz+xyz2+xyz≥14x+14y+14z.\frac{y z}{x^{2}+x y z}+\frac{z x}{y^{2}+x y z}+\frac{x y}{z^{2}+x y z} \geq \frac{1}{4 x}+\frac{1}{4 y}+\frac{1}{4 z} .

Bài 7. (SGD Hà Tĩnh) 7. (1,0 điểm) Cho a,ba, b là các số thực thỏa mãn a≥1,b≥1a \geq 1, b \geq 1 và a+b+3=ab.a+b+3=ab. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

F=a2−1a+b2−1b+1a2+b2.\mathrm{F}=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{1}{a^2+b^2}.

Bài 8. (SGD Hoà Bình)

  1. Cho các số thực không âm x,y,zx, y, z thỏa mãn:

    {2x−3y−8z=−94x+y+12z=17\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-8 z=-9 \\ 4 x+y+12 z=17\end{array}\right.

    Chứng minh rằng:

    25≤5x+2y+26z≤35.25 \leq 5 x+2 y+26 z \leq 35.

  2. Cho các số thực a,b,ca, b, c thỏa mãn: a2+b2+c2=2022.a^{2}+b^{2}+c^{2}=2022. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    P=ab+2bc+ac.P=a b+2 b c+a c.

Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2021

Bài 1. (Hà Nội 2021) Với các số thực aa và bb thỏa mãn a2+b2=2,a^2+b^2=2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=3(a+b)+ab.P=3(a+b)+ab.

**Hướng dẫn. Đặt x=a+b,y=abx=a+b, y=ab thì ta có x2−2y=2.x^2-2y=2. Suy ra y=x2−22.y=\frac{x^2-2}{2}. Biểu thức đã cho trở thành

P=3x+x2−22=x2+6x−22P=3x+\frac{x^2-2}{2}=\frac{x^2+6x-2}{2}

Chúng ta lại luôn có bất đẳng thức sau

a2+b2⩾(a+b)22a^2+b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2}

nên suy ra (a+b)2⩽4(a+b)^2 \leqslant 4 hay x∈[−2;2]x\in [-2;2].Chúng ta đi chứng minh P⩾−5.P \geqslant -5. Thật vậy, có P⩾−5P \geqslant -5 tương đương với

x2+6x−2⩾−10⇔(x+2)(x+4)⩾0x^2+6x-2 \geqslant -10 \Leftrightarrow (x+2)(x+4) \geqslant 0

Bất đẳng thức cuối cùng này luôn đúng do x∈[−2;2]x\in [-2;2].Như vậy, P⩾−5P \geqslant -5 và dấu bằng xảy ra tại x=−2,y=1x=-2,y=1 hay a=b=−1a=b=-1.Tóm lại, giá trị nhỏ nhất cần tìm là −5-5 khi a=b=−1.a=b=-1.

Bài 2. (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2021) Cho x,yx, y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x+y=2.x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=(5x2+7y)(5y2+7x)+151xy.P = (5x^2+7y)(5y^2+7x) + 151xy.

Hướng dẫn. Đặt t=xyt=xy và sử dụng điều kiện  x+y=2x+y=2 ta tính được PP theo tt là

P=25t2−10t+280=(5t−1)2+279.P=25t^2-10t+280=(5t-1)^2+279.

Bài 3. (Quảng Bình 2021) Cho x,y,z∈[5,7].x, y, z \in [5, 7]. Chứng minh rằng

xy+1+yz+1+zx+1>x+y+z.\sqrt{xy+1} + \sqrt{yz+1} + \sqrt{zx+1} > x + y + z.

Hướng dẫn. Vì x,y∈[5;7]x,y\in [5;7] nên ∣x−y∣⩽5.\big|x-y\big| \leqslant 5. Từ đó suy ra

1+xy⩾(x−y)24+xy=(x+y)241+xy \geqslant \frac{(x-y)^2}{4}+xy=\frac{(x+y)^2}{4}

Bài 4. (Tây Ninh 2021) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0⩽x,y,z⩽1.0 \leqslant x, y, z \leqslant 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T=2(x3+y3+z3)–(x2y+y2z+z2x)T = 2(x^3 + y^3 + z^3) – (x^2y + y^2z + z^2x)

Bài 5. (Bình Dương 2021) Cho x,y,z>0x, y, z > 0 thỏa mãn xy+yz+zx=1.xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:

10x2+10y2+z2⩾410x^2 + 10y^2 + z^2 \geqslant 4

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 6. (Cần Thơ 2021) Cho x,y,zx, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

(x+2)2y+z+(y+2)2z+x+(z+2)2x+y⩾12.\frac{(x+2)^2}{y+z}+ \frac{(y+2)^2}{z+x}+ \frac{(z+2)^2}{x+y} \geqslant 12.

Bài 7. (Quảng Trị 2021) Cho a,b,ca,b,c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

  1. a2−ab+b2⩾14(a+b)2a^2-ab+b^2 \geqslant \frac{1}{4}(a+b)^2

  2. 4(a2+b2)(b2−bc+c2)(3c2+2ca+3a2)⩾(a+b)2(b+c)2(c+a)24(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2

Bài 8. (Thanh Hóa 2021) Cho ba số thực x,y,zx,y,z thay đổi thỏa mãn x>14,y>13,z>12x>\frac{1}{4},y>\frac{1}{3},z>\frac{1}{2} và

44x+3+33y+2+z2z+1⩾2\frac{4}{4x+3}+\frac{3}{3y+2}+\frac{z}{2z+1} \geqslant 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q=(4x−1)(3y−1)(2z−1).Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1).

Bài 9. (Quốc học Huế 2021) Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.x+y+z=3. Chứng minh rằng

1x(2y+3z)+1y(2z+3x)+1z(2x+3y)geeq355\frac{1}{\sqrt{x(2 y+3 z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(2 z+3 x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(2 x+3 y)}} geeq \frac{3 \sqrt{5}}{5}

Bài 10. (Tiền Giang 2021) Cho a,b,ca, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc=1.abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M=1(a2+2b2+3)+1b2+2c2+3+1c2+2a2+3M = \frac{1}{(a^2+2b^2+3)} + \frac{1}{b^2+2c^2+3} + \frac{1}{c^2+2a^2+3}

Bài 11. (Quảng Nam) Cho ba số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=xyz.xy + yz + zx = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

H=x29z+zx2+y29x+xy2+z29y+yz2H = \frac{x^2}{9z+zx^2} + \frac{y^2}{9x+xy^2} + \frac{z^2}{9y+yz^2}

Bài 12. (Ninh Thuận) Cho các số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn xyz=18.xyz = \frac{1}{8}. Chứng minh rằng

1xy+yz+zx–1x+y+z⩽23.\frac{1}{xy+yz+zx} – \frac{1}{x+y+z} \leqslant \frac{2}{3}.

Bài 13. (Nghệ An) Cho các số dương a,b,ca, b, c thỏa mãn ab+bc+ca⩽3abc.ab + bc + ca \leqslant 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=a+b+b+c+c+a–a2+b22a+2b–b2+c22b+2c–c2+a22c+2aP = \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} – \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2a+2b}} – \sqrt{\frac{b^2+c^2}{2b+2c}} – \sqrt{\frac{c^2+a^2}{2c+2a}}

Bài 14. (Chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu) Xét các số thực không âm a,b,ca, b, c thỏa mãn a2+b2+c2=1.a^2 + b^2 + c^2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S=a1+bc+b1+ca+c1+ab.S = \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab}.

Bài 15. (Quảng Trị) Cho a,b,ca, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

  1. a2–ab+b2⩾(a+b)24a^2 – ab + b^2 \geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4};

  2. 4(a2+b2)(b2−bc+c2)(3c2+2ca+3a2)⩾(a+b)2(b+c)2(c+a)2.4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2.

Bài 16. (Thái Bình) Cho a,b,ca, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=3abc.a^2 + b^2 + c^2 = 3abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T=a3a2+2b2+c2+b3b2+2c2+a2+c3c2+2a2+b2T = \frac{a}{3a^2+2b^2+c^2} + \frac{b}{3b^2+2c^2+a^2} + \frac{c}{3c^2 + 2a^2 + b^2}

Bài 17. (Quảng Ninh) Cho hai số thực x,yx, y thỏa mãn 0<x<y⩽80 < x < y \leqslant 8 và xy⩽4x+3y.xy \leqslant 4x + 3y. Chứng minh x2+y2⩽100.x^2 + y^2 \leqslant 100.

Bài 18. (Lào Cai)

  1. Cho hai số thực dương x,yx, y thỏa mãn x+y⩽2/3.x + y \leqslant 2/3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

    A=53x+53y+1/x2+1/y2.A = 53x + 53y + 1/x^2 + 1/y^2.

  2. Cho ba số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn x2+y2+z2⩾3.x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 3. Chứng minh rằng

    x4+y4+z4+x3+y3+z3⩾3+x+y+z.x^4 + y^4 + z^4 + x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3 + x + y + z.

Bài 19. (Khánh Hòa) Cho các số thực x1,x2,…,x21x_1, x_2, …, x_{21} thỏa mãn x1,x2,…,x21⩾–2x_1, x_2, …, x_{21} \geqslant – 2 và x13+x23+…x213=12.x_1^3+ x_2^3+ … x_{21}^3= 12. Chứng minh rằng

x1+x2+…+x21⩽18.x_1 + x_2 + … + x_{21} \leqslant 18.

Bài 20. (PTNK, ĐHQG TP HCM) Cho dãy nn số thực x1,x2,…,xn(n⩾5)x_1, x_2, …, x_n (n \geqslant 5) thỏa mãn điều kiện x1⩽x2⩽…⩽xnx_1 \leqslant x_2 \leqslant … \leqslant x_n và x1+x2+…+xn=1.x_1 + x_2 + … + x_n = 1.

  1. Chứng minh rằng nếu xn⩾13x_n \geqslant \frac{1}{3} thì x1+x2⩽xn.x_1 + x_2 \leqslant x_n.

  2. Chứng minh rằng nếu thì tồn tại số nguyên dương k<nk < n sao cho

    13⩽x1+…+xk⩽23.\frac{1}{3} \leqslant x_1 + … + x_k \leqslant \frac{2}{3}.

Bài 21. (Lâm Đồng) Cho a,b,ca, b, c là các số dương và a+b+c=6.a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=a3a2+4ab+b2+b3b2+4bc+c2+c3c2+4ca+a2P = \frac{a^3}{a^2+4ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+4bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+4ca+a^2}

Bài 22. (Hà Nam) Cho ba số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn x+y+z⩽1.x + y + z \leqslant 1. Chứng minh rằng

(1x2–1)(1y2–1)(1x2–1)⩾512.\left(\frac{1}{x^2} – 1\right)\left(\frac{1}{y^2} – 1\right)\left(\frac{1}{x^2} – 1\right) \geqslant 512.

Bài 23. (Daklak) Cho các số thực dương a,b,ca, b, c thỏa mãn a+b+c⩽2.a + b + c \leqslant 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=b(a2+1)2a2(b2+1)+c(b2+1)2b2(c2+1)+a(c2+1)2c2(a2+1)P = \frac{b(a^2+1)^2}{a^2(b^2+1)} + \frac{c(b^2+1)^2}{b^2(c^2+1)} + \frac{a(c^2+1)^2}{c^2(a^2+1)}

Bài 24. (Bình Phước) Cho a,b,ca, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

  1. a3a2+b2⩾a–b2\dfrac{a^3}{a^2+b^2} \geqslant a – \dfrac{b}{2}

  2. a3a2+ab+b2+b3b2+bc+c2+c3c2+ca+a2⩾a+b+c3\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geqslant \dfrac{a+b+c}{3}

Bài 25. (Quảng Ngãi) Cho các số thực a,b,ca, b, c đôi một khác nhau và thỏa mãn (c+a)(c+b)=4.(c+a)(c+b) = 4. Chứng minh rằng

1(a−b)2+1(c+a)2+1(c+b)2⩾1.\frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(c+a)^2} + \frac{1}{(c+b)^2} \geqslant 1.

Bài 26. (Daknong) Cho hai số thực a,ba, b thỏa mãn 2021⩽a⩽20222021 \leqslant a \leqslant 2022, 2021⩽b⩽2022.2021 \leqslant b \leqslant 2022. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A=(a+b)(2021a+2021b).A = (a+b)(\frac{2021}{a} + \frac{2021}{b}).

Bài 27. (Hòa Bình) Cho các số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn x+y+z=4.x + y + z = 4. Chứng minh rằng

1xy+1xz⩾1.\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \geqslant 1.

Bài 28. (Vĩnh Long) Cho số thực x thỏa mãn 1⩽x⩽2.1 \leqslant x \leqslant 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T=3+xx+6–x3−x.T = \frac{3+x}{x} + \frac{6 – x}{3-x}.

Bài 29. (Kiên Giang) Cho x,y,zx, y, z là các số thực lớn hơn 20212021 và thỏa mãn

1x+1y+1z=22021.\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} = \frac{2}{2021}.

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau

x+y+z⩾x−2021+y−2021+z−2021\sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt{x-2021} + \sqrt{y-2021} + \sqrt{z-2021}

Bài 30. (Bình Định) Cho các số thực x,y.x, y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T=x–yx4+y4+6T = \frac{x – y}{x^4+y^4+6}

Bài 31. (Bình Định) Cho x,y,zx, y, z là ba số dương thỏa x+y+z=1.x + y + z = 1. Chứng minh rằng

P=1−x2x+yz+1−y2y+zx+1−z2z+xy⩾6.P = \frac{1-x^2}{x+yz} + \frac{1-y^2}{y+zx} + \frac{1-z^2}{z+xy} \geqslant 6.

Bài 32. (Cà Mau) Cho a,ba, b là hai số thực dương sao cho a+b=1.\sqrt{a} + \sqrt{b} = 1. Chứng minh rằng

3a+b+3b+a⩽23a+b3b+a\sqrt{3a+b} + \sqrt{3b+a} \leqslant 2\sqrt{3a+b}\sqrt{3b+a}

Bài 33. (Bình Định, chuyên Tin) Cho a,ba, b là các số dương thỏa mãn a+2b⩾3.a + 2b \geqslant 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=3a2+a2b+9ab22+(8+a)b3abP = \frac{3a^2 + a^2b + \frac{9ab^2}{2} + (8+a)b^3}{ab}

Bài 34. (Thanh Hóa, chuyên tin) Cho ba số thực dương x,y,zx, y, z thỏa mãn x+y+z=1.x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=153(x4+y4+z4)+xy+yz+zxx2y+y2z+z2xP = 15\sqrt{3(x^4+y^4+z^4)} + \frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x}

Bài 35. (Hải Phòng) Cho các số thực dương x,y,z.x, y, z. Chứng minh rằng

xxy2x+y+yyz2y+z+zzx2z+x⩾3xyz\frac{x\sqrt{xy}}{\sqrt{2x+y}} + \frac{y\sqrt{yz}}{\sqrt{2y+z}} + \frac{z\sqrt{zx}}{\sqrt{2z+x}} \geqslant \sqrt{3xyz}

Bài 36. (Yên Bái) Cho a,b,ca, b, c là các số thực dương thỏa mãn 18abc=a+2b+3c.18abc = a + 2b + 3c. Chứng minh

(1+a2)(1+4b2)(1+9c2)⩾8.(1+a^2)(1+4b^2)(1+9c^2) \geqslant 8.

Bài 37. (Ninh Bình) Cho x,y,zx, y, z là các số thực dương thỏa mãn

1x+y+1y+z+1z+x=12\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x}= 12

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=12x+3y+3z+13x+2y+3z+13x+3y+2zP = \frac{1}{2x+3y+3z} + \frac{1}{3x+2y+3z} + \frac{1}{3x+3y+2z}

Bài 38. (Phú Thọ) Cho ba số dương x,y,z.x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=xzy2+yz+y2xz+yz+x+z2xP = \frac{xz}{y^2+yz}+ \frac{y^2}{xz+yz} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{2\sqrt{x}}

Bài 39. (Bình Thuận) Cho x,y,zx, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=3.x + y + z = 3. Chứng minh rằng

2xzx2+2yz+3+2yxy2+2zx+3+2zyz2+2xy+3⩽1.\frac{2xz}{x^2+2yz+3} + \frac{2yx}{y^2+2zx+3} + \frac{2zy}{z^2+2xy+3} \leqslant 1.

Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2017

Bài 1. (Hòa Bình 2017) Cho các số dương a,b,ca,b,c thỏa mãn a+b+c=1.a+b+c=1. Chứng minh rằng

a1−a+b1−b+c1−c>2.\sqrt{\frac{a}{1-a}} +\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}>2.

Bài 2. (Lạng Sơn 2017) Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương và thỏa mãn xy+yz+zx=xyz.xy+yz+zx=xyz. Chứng minh rằng

xyz3(1+x)(1+y)+yzx3(1+y)(1+z)+zxy3(1+z)(1+x)⩾116\frac{xy}{z^3(1+x)(1+y)}+\frac{yz}{x^3(1+y)(1+z)}+\frac{zx}{y^3(1+z)(1+x)} \geqslant \frac{1}{16}

Bài 3. (Bắc Giang 2017) Cho hai số thực dương a,ba, b thỏa mãn 2a+3b⩽4.2a + 3b \leqslant 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q=2002dena+2017b+2996a−5501b.Q=\frac{2002}{den}a +\frac{2017}{b}+2996a-5501b.

Bài 4. (Hà Nội 2017) Cho các số thực dương a,b,ca,b,c thay đổi luôn thỏa mãn a⩾1,b⩾1,c⩾1a \geqslant 1, b \geqslant 1, c \geqslant 1 và ab+bc+ca=9.ab+bc+ca=9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P=a2+b2+c2.P=a^2+b^2+c^2.

Bài 5. (Hải Dương 2017) Cho các số thực dương x,y,zx,y,z thỏa mãn x+y+z=3.x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q=x+11+y2+y+11+z2+z+11+x2Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}

Bài 6. (Vĩnh Phúc 2017) Cho các số thực x,y.x,y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=(x2−y2)(1−x2y2)(1+x2)2(1+y2)2P=\frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}

Bài 7. (Bắc Ninh 2017) Cho bốn số thực dương x,y,z,tx,y,z,t thỏa mãn x+y+z+t=2.x+y+z+t=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=(x+y+z)(x+y)xyztA=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}

Bài 8. (Hưng Yên 2017) Cho hai số thực dương x,yx,y thỏa mãn x+y⩽4.x+y \leqslant 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=2x2+y2+35xy+2xy.P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy.

Bài 9. (Hà Nam 2017) Cho các số thực a,b,ca,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3ab+bc+ca=3 và a⩾c.a \geqslant c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=1(a+1)2)+1(b+1)2+1(c+1)2.P=\frac{1}{(a+1)^2)}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}.

Bài 10. (Hải Phòng 2017)

  1. Cho hai số dương x,y.x,y. Chứng minh rằng

    1x+y⩾14(1x+1y)\frac{1}{x+y} \geqslant \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)

  2. Cho ba số a,b,ca,b,c thỏa mãn 1a+1b+1c=16.\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16. Chứng minh rằng

    13a+2b+c+1a+3b+2c+12a+b+3c⩽83\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\leqslant \frac{8}{3}

Bài 11. (Hải Phòng 2017)

  1. Cho hai số thực x⩾1,y⩾1.x \geqslant 1, y \geqslant 1. Chứng minh rằng

    11+x2+11+y2⩾21+xy\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geqslant \frac{2}{1+xy}

  2. Cho hai số thực x⩾1,y⩾0x \geqslant 1, y \geqslant 0 và 6xy+2x−3y⩽2.6xy+2x-3y \leqslant 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    A=1x2−4x+2+19y2+6y+2A=\frac{1}{x^2-4x+2}+\frac{1}{9y^2+6y+2}
✦ Mẹo học tập

Học từng chút một, nghỉ ngơi đều đặn.

✦ KIẾN THỨC CÙNG CHUYÊN MỤC

Bài viết cùng chủ đề

Khám phá thêm các bài học và bài tập liên quan để ôn luyện vững vàng hơn.

Toán họcBài học

Ôn tập Chương 2: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn - Toàn diện Lý thuyết, Ma trận Phương pháp và Đề kiểm tra 45 phút

Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương 2 Toán 9: Phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn kèm widget mô phỏng tương tác, 10 quiz và đề kiểm tra 45 phút chuẩn ma trận barem điểm.

Đọc bài học