Bất đẳng thức CôSi (Cauchy) hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.
1. Bất đẳng thức Cô-si là gì?
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau.
Với a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\ldots,a_n a 1 , a 2 , … , a n
a 1 + a 2 + ⋯ + a n ⩾ n a 1 a 2 … a n n . a_1+a_2+\cdots +a_{n}\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.
a 1 + a 2 + ⋯ + a n ⩾ n n a 1 a 2 … a n . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ⋯ = a n . a_1=a_2=\cdots =a_n. a 1 = a 2 = ⋯ = a n .
Chứng minh bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm bằng hình học
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
Các trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cosi:
Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm a a a b b b
a + b 2 ⩾ a b \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}
2 a + b ⩾ ab Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bất đẳng thức Cô si với 3 số thực không âm a , b a,b a , b c c c
a + b + c 3 ⩾ a b c 3 \frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}
3 a + b + c ⩾ 3 abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =c.
Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.
2. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si
a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si
Cho x 1 , x 2 , x 3 , … , x n x_1, x_2, x_3,…,x_n x 1 , x 2 , x 3 , … , x n
– Dạng 1: x 1 + x 2 + … + x n n ⩾ x 1 x 2 x 3 … x n n \dfrac{x_1+x_2+…+x_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_1 x_2 x_3…x_n} n x 1 + x 2 + … + x n ⩾ n x 1 x 2 x 3 … x n
– Dạng 2: x 1 + x 2 + … + x n ⩾ n x 1 x 2 x 3 … x n n {x_1+x_2+…+x_n} \geqslant n\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3…x_n} x 1 + x 2 + … + x n ⩾ n n x 1 x 2 x 3 … x n
– Dạng 3: ( x 1 + x 2 + … + x n n ) n ⩾ x 1 x 2 x 3 … x n \left(\dfrac{x_1+x_2+…+x_n}{n}\right)^n \geqslant x_1 x_2 x_3…x_n ( n x 1 + x 2 + … + x n ) n ⩾ x 1 x 2 x 3 … x n
– Dạng 4: ( x 1 + x 2 + … + x n ) ( 1 x 1 + 1 x 2 + … 1 x n ) ⩾ n 2 \left(x_1+x_2+…+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+…\frac{1}{x_n} \right) \geqslant n^2 ( x 1 + x 2 + … + x n ) ( x 1 1 + x 2 1 + … x n 1 ) ⩾ n 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = x 3 = … = x n . x_1= x_2= x_3=…=x_n. x 1 = x 2 = x 3 = … = x n .
b. Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Cô-si
Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát ở trên khi n=2, n=3.
c. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
d. Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM
Khi áp dụng bất đẳng thức Cô si thì các số phải là những số không âm;
Bất đẳng thức Côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích;
Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau;
Bất đẳng thức Côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng.
3. Hệ quả của bất đẳng thức Cô-si
x 2 + y 2 ≥ 2 x y ; 2 ( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y ) 2 ; 2 ( x + y ) ≥ x + y x^{2}+y^{2} \geq 2 x y ; 2\left(x^{2}+y^{2}\right) \geq(x+y)^{2} ; \sqrt{2(x+y)} \geq \sqrt{x}+\sqrt{y} x 2 + y 2 ≥ 2 x y ; 2 ( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y ) 2 ; 2 ( x + y ) ≥ x + y
x 2 + y 2 − x y ≥ 3 ( x + y ) 2 4 x^{2}+y^{2}-x y \geq \frac{3(x+y)^{2}}{4} x 2 + y 2 − xy ≥ 4 3 ( x + y ) 2
x 2 + y 2 + z 2 ≥ x y + y z + z x x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq x y+y z+z x x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx
3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 ≥ 3 ( x y + y z + z x ) 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq(x+y+z)^{2} \geq 3(x y+y z+z x) 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 ≥ 3 ( xy + yz + zx )
x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 y 2 ≥ x y z ( x + y + z ) + 3 ( x 4 + y 4 + z 4 ) ≥ ( x y + y z + z x ) 2 ≥ 3 x y z ( x + y + z ) x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} y^{2} \geq x y z(x+y+z)+3\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right) \geq(x y+y z+z x)^{2} \geq 3 x y z(x+y+z) x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 y 2 ≥ xyz ( x + y + z ) + 3 ( x 4 + y 4 + z 4 ) ≥ ( xy + yz + zx ) 2 ≥ 3xyz ( x + y + z )
4. Các dạng bài tập bất đẳng thức Cô-si
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + 7 x A=x+\frac{7}{x} A = x + x 7
**Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:
x + 7 x ≥ 2 x ⋅ 7 x = 2 7 x+\frac{7}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{7}{x}}=2 \sqrt{7}
x + x 7 ≥ 2 x ⋅ x 7 = 2 7 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 7 x ⇔ x 2 = 7 ⇔ x = 7 x=\frac{7}{x} \Leftrightarrow x^{2}=7 \Leftrightarrow x=\sqrt{7} x = x 7 ⇔ x 2 = 7 ⇔ x = 7
Vậy min A = 2 7 ⇔ x = 7 . \min A=2 \sqrt{7} \Leftrightarrow x=\sqrt{7}. min A = 2 7 ⇔ x = 7 .
Bài 2: Cho x > 0 , y > 0 x>0, y>0 x > 0 , y > 0 1 x + 1 y = 1 2 . \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}. x 1 + y 1 = 2 1 . A = x + y . A=\sqrt{x}+\sqrt{y}. A = x + y .
Lời giải: Áp dụng bdt Cosi ta có
1 x + 1 y ≥ 2 1 x ⋅ 1 y ⇔ 1 2 ≥ 2 x y ⇔ x y ≥ 4 \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \geq \frac{2}{\sqrt{x y}} \Leftrightarrow \sqrt{x y} \geq 4
x 1 + y 1 ≥ 2 x 1 ⋅ y 1 ⇔ 2 1 ≥ xy 2 ⇔ xy ≥ 4 Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số (x>0, y>0) ta có:
x + y ≥ 2 x y = 2 4 = 4 \sqrt{x}+\sqrt{y} \geq 2 \sqrt{\sqrt{x y}}=2 \sqrt{4}=4
x + y ≥ 2 xy = 2 4 = 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
{ x = y 1 x + 1 y = 1 2 ⇔ x = y = 4. \left\{\begin{array}{l} x=y \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x=y=4.
{ x = y x 1 + y 1 = 2 1 ⇔ x = y = 4. Vậy min A = 4 \min A = 4 min A = 4 x = y = 4. x = y = 4. x = y = 4.
Bài 3: Ví dụ: Cho a a a b b b a 2 + b 2 = 2. a^{2}+b^{2}=2. a 2 + b 2 = 2.
( a + b ) 5 ≥ 16 a b ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) (a+b)^{5} \geq 16 a b \sqrt{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}
( a + b ) 5 ≥ 16ab ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) Lời giải: Ta có ( a + b ) 5 = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a 3 + 3 a b 2 + 3 a 2 b + b 3 ) (a+b)^{5}=\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)\left(a^{3}+3 a b^{2}+3 a^{2} b+b^{3}\right) ( a + b ) 5 = ( a 2 + 2ab + b 2 ) ( a 3 + 3a b 2 + 3 a 2 b + b 3 )
Áp dụng bdt Côsi ta có
a 2 + 2 a b + b 2 ≥ 2 2 a b ( a 2 + b 2 ) = 4 a b v a ˋ ( a 3 + 3 a b 2 ) + ( 3 a 2 b + b 3 ) ≥ 2 ( a 3 + 3 a b 2 ) ( 3 a 2 b + b 3 ) = 4 a b ( 1 + b 2 ) ( a 2 + 1 ) \begin{aligned} &a^{2}+2 a b+b^{2} \geq 2 \sqrt{2 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}=4 \sqrt{a b} \text { và } \\ &\left(a^{3}+3 a b^{2}\right)+\left(3 a^{2} b+b^{3}\right) \geq 2 \sqrt{\left(a^{3}+3 a b^{2}\right)\left(3 a^{2} b+b^{3}\right)}=4 \sqrt{a b\left(1+b^{2}\right)\left(a^{2}+1\right)} \end{aligned}
a 2 + 2 ab + b 2 ≥ 2 2 ab ( a 2 + b 2 ) = 4 ab v a ˋ ( a 3 + 3 a b 2 ) + ( 3 a 2 b + b 3 ) ≥ 2 ( a 3 + 3 a b 2 ) ( 3 a 2 b + b 3 ) = 4 ab ( 1 + b 2 ) ( a 2 + 1 ) Suy ra ( a 2 + 2 a b + b 2 ) ( a 3 + 3 a b 2 + 3 a 2 b + b 3 ) ≥ 16 a b ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) \left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)\left(a^{3}+3 a b^{2}+3 a^{2} b+b^{3}\right) \geq 16 a b \sqrt{\left(a^{2}+1\right)\left(b^{2}+1\right)} ( a 2 + 2ab + b 2 ) ( a 3 + 3a b 2 + 3 a 2 b + b 3 ) ≥ 16ab ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 )
Do đó ( a + b ) 5 ≥ 16 a b ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) (a+b)^{5} \geq 16 a b \sqrt{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)} ( a + b ) 5 ≥ 16ab ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) a = b = 1. a=b=1. a = b = 1.
Bài 4: Tìm GTLN của: y = x 2 ( 1 − x ) , x ∈ ( 0 , 1 ) y=x^{2}(1-x) \quad, x \in(0,1) y = x 2 ( 1 − x ) , x ∈ ( 0 , 1 )
Lời giải: Do x , 1 − x > 0 x, 1-x>0 x , 1 − x > 0
2 y = x 2 ( 1 − 2 x ) = x ⋅ x ⋅ ( 1 − 2 x ) ≤ ( x + x + 1 − 2 x 3 ) 3 = 1 27 ⇒ y ≤ 1 54 2 y=x^{2}(1-2 x)=x \cdot x \cdot(1-2 x) \leq\left(\frac{x+x+1-2 x}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27} \Rightarrow y \leq \frac{1}{54}
2 y = x 2 ( 1 − 2 x ) = x ⋅ x ⋅ ( 1 − 2 x ) ≤ ( 3 x + x + 1 − 2 x ) 3 = 27 1 ⇒ y ≤ 54 1 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x = 1 − 2 x ⇔ x = 1 3 . \Leftrightarrow x=1-2 x \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}. ⇔ x = 1 − 2x ⇔ x = 3 1 .
Vậy Max y = 1 27 y=\frac{1}{27} y = 27 1 x = 1 3 x=\frac{1}{3} x = 3 1
Bài 5 : Tìm GTNN của: y = x + 1 x − 1 , x > 1. y=x+\frac{1}{x-1}, x>1. y = x + x − 1 1 , x > 1.
Lời giải: Do x − 1 > 0 x-1>0 x − 1 > 0
y = ( x − 1 ) + 1 x − 1 + 1 ≥ 2 ( x − 1 ) ⋅ 1 x − 1 + 1 = 3 ⇒ y ≥ 3 y=(x-1)+\frac{1}{x-1}+1 \geq 2 \sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}}+1=3 \Rightarrow y \geq 3
y = ( x − 1 ) + x − 1 1 + 1 ≥ 2 ( x − 1 ) ⋅ x − 1 1 + 1 = 3 ⇒ y ≥ 3 Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ x − 1 = 1 x − 1 ⇔ x = 2. \Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1} \Leftrightarrow x=2. ⇔ x − 1 = x − 1 1 ⇔ x = 2.
Vậy Min y = 3 y=3 y = 3 x = 2. x=2. x = 2.
Xem thêm Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi (Cauchy) .
Bài 6: Cho 3 số dương a , b a, b a , b
( a + 1 b ) ( b + 1 c ) ( c + 1 a ) ≥ 8 \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right) \geq 8
( a + b 1 ) ( b + c 1 ) ( c + a 1 ) ≥ 8 Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT Cosi, ta có:
a + 1 b ≥ 2 a b ; b + 1 c ≥ 2 b c ; c + 1 a ≥ 2 c a \begin{aligned} a+\frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}};\\ b+\frac{1}{c} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{c}};\\ c+\frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{c}{a}} \end{aligned}
a + b 1 ≥ 2 b a ; b + c 1 ≥ 2 c b ; c + a 1 ≥ 2 a c Nhân theo vế 3 bdt này ta được
( a + 1 b ) ( b + 1 c ) ( c + 1 a ) ≥ 8 a b ⋅ b c c a = 8 \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right) \geq 8 \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{c}} \sqrt{\frac{c}{a}}=8
( a + b 1 ) ( b + c 1 ) ( c + a 1 ) ≥ 8 b a ⋅ c b a c = 8 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . a=b=c. a = b = c.
Bài 7: Cho a , b , c > 0. a, b, c>0. a , b , c > 0.
a) a 2 + b 2 + 4 ⩾ 2 a + 2 b + a b a^2+b^2+4 \geqslant 2a+2b+ab a 2 + b 2 + 4 ⩾ 2a + 2b + ab a ( 1 + b ) + b ( 1 + c ) + c ( 1 + a ) ≥ 3 a b c 3 ( 1 + a b c 3 ) a(1+b)+b(1+c)+c(1+a) \geq 3 \sqrt[3]{a b c}(1+\sqrt[3]{a b c}) a ( 1 + b ) + b ( 1 + c ) + c ( 1 + a ) ≥ 3 3 abc ( 1 + 3 abc ) a b − 1 + b a − 1 ≤ a b a \sqrt{b-1}+b \sqrt{a-1} \leq a b a b − 1 + b a − 1 ≤ ab a , b ≥ 1 a, b \geq 1 a , b ≥ 1
**Lời giải:
a) Áp dụng bât đẳng thức Cauchy ta có:
a 2 + 4 ≥ 4 a b 2 + 4 ≥ 4 b a 2 + b 2 ≥ 2 a b . \begin{aligned} &a^{2}+4 \geq 4 a \\ &b^{2}+4 \geq 4 b \\ &a^{2}+b^{2} \geq 2 a b. \end{aligned}
a 2 + 4 ≥ 4 a b 2 + 4 ≥ 4 b a 2 + b 2 ≥ 2 ab . Cộng lại ta được:
2 a 2 + 2 b 2 + 8 ≥ 4 a + 4 b + 2 a b 2 a^{2}+2 b^{2}+8 \geq 4 a+4 b+2 a b
2 a 2 + 2 b 2 + 8 ≥ 4a + 4b + 2ab Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ a = b = 2 \Leftrightarrow a=b=2 ⇔ a = b = 2
b) Ta có :
a ( 1 + b ) + b ( 1 + c ) + c ( 1 + a ) = ( a + b + c ) + ( a b + b c + c a ) a(1+b)+b(1+c)+c(1+a)=(a+b+c)+(a b+b c+c a)
a ( 1 + b ) + b ( 1 + c ) + c ( 1 + a ) = ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
a + b + c ≥ 3 a b c 3 a b + b c + c a ≥ 3 a 2 b 2 c 2 3 \begin{aligned} &a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c} \\ &a b+b c+c a \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \end{aligned}
a + b + c ≥ 3 3 ab c ab + b c + c a ≥ 3 3 a 2 b 2 c 2 Cộng lại ta được đpcm.
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ a = b = c . \Leftrightarrow a=b=c. ⇔ a = b = c.
c) Ta có:
a b − 1 = a a b − a ≤ a + a b − a 2 = a b 2 a \sqrt{b-1}=\sqrt{a} \sqrt{a b-a} \leq \frac{a+a b-a}{2}=\frac{a b}{2}
a b − 1 = a ab − a ≤ 2 a + ab − a = 2 ab Tương tự:
b a − 1 ≤ a b 2 b \sqrt{a-1} \leq \frac{a b}{2}
b a − 1 ≤ 2 ab Cộng lại ta được điều phải chứng minh.
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ a = b = 2. \Leftrightarrow a=b=2. ⇔ a = b = 2.
Bài 8: Chứng minh với ba số a , b , c a, b, c a , b , c a + b + c = 3 a + b + c = 3 a + b + c = 3
a b + c + b c + a + c a + b ≥ 3 2 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
b + c a + c + a b + a + b c ≥ 2 3 Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 1. a = b = c = 1. a = b = c = 1.
Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:
a b + c + b + c 4 + 1 2 a ≥ 3 a b + c ⋅ b + c 4 ⋅ 1 2 a 3 = 3 1 8 3 = 3 2 \frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{1}{2 a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{b+c} \cdot \frac{b+c}{4} \cdot \frac{1}{2 a}}=3 \sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}
b + c a + 4 b + c + 2a 1 ≥ 3 3 b + c a ⋅ 4 b + c ⋅ 2a 1 = 3 3 8 1 = 2 3 Tương tự ta có b c + a + c + a 4 + 1 2 b ≥ 3 2 \frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{1}{2 b} \geq \frac{3}{2} c + a b + 4 c + a + 2b 1 ≥ 2 3 c a + b + a + b 4 + 1 2 c ≥ 3 2 . \frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{1}{2 c} \geq \frac{3}{2}. a + b c + 4 a + b + 2c 1 ≥ 2 3 .
Cộng vế với vế ta có:
a b + c + b + c 4 + 1 2 a + b c + a + c + a 4 + 1 2 b + c a + b + a + b 4 + 1 2 c ≥ 3 ⋅ 3 2 = 9 2 ⇔ a b + c + b c + a + c a + b + 2 ( a + b + c ) 4 + a b + b c + c a 2 a b c ≥ 9 2 ⇔ a b + c + b c + a + c a + b + a + b + c 2 + a + b + c 2 ≥ 9 2 ⇔ a b + c + b c + a + c a + b ≥ 9 2 − 3 = 3 2 \begin{aligned}
\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{1}{2 a}+\frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{1}{2 b}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{1}{2 c} & \geq 3 \cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2} \\
\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{2(a+b+c)}{4}+\frac{a b+b c+c a}{2 a b c} & \geq \frac{9}{2} \\
\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}+\frac{a+b+c}{2} & \geq \frac{9}{2} \\
\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} &\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}
\end{aligned}
b + c a + 4 b + c + 2 a 1 + c + a b + 4 c + a + 2 b 1 + a + b c + 4 a + b + 2 c 1 ⇔ b + c a + c + a b + a + b c + 4 2 ( a + b + c ) + 2 ab c ab + b c + c a ⇔ b + c a + c + a b + a + b c + 2 a + b + c + 2 a + b + c ⇔ b + c a + c + a b + a + b c ≥ 3 ⋅ 2 3 = 2 9 ≥ 2 9 ≥ 2 9 ≥ 2 9 − 3 = 2 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. a = b = c = 1. a = b = c = 1.
NHỚ LẠI · ĐỐI CHIẾU · ÔN TẬP
Tự kiểm tra kiến thức Các thẻ lấy từ nội dung bài học. Với câu điền khuyết, bấm vào dấu “…” để chọn cụm từ phù hợp; với thẻ nhớ lại, em tự đối chiếu và đánh giá.
← Thẻ trước Thẻ tiếp → Làm lại
Bật JavaScript để ôn tập với thẻ nhớ lại và câu điền khuyết. 
