Bài tập Toán 12: Ứng dụng đạo hàm giải bài toán thực tiễn

Tóm tắt chuyên đề: Các bài toán tối ưu thực tế, kinh tế, vật lý, hình học ứng dụng đạo hàm Toán 12 chương trình mới có hướng dẫn giải chi tiết và trắc nghiệm tự luyện.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1.TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG.

Một số ứng dụng của đạo hàm đối với vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế

• Nếu $s=s\left ( { t } \right. )$ là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì $v\left ( { t } \right. )=s'\left ( { t } \right. )$ biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời $a\left ( { t } \right. )$ của vật, như vậy $a\left ( { t } \right. )=v'\left ( { t } \right. )=s'$.
• Nếu $C=C\left ( { t } \right. )$ là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm $t$, thì $C'\left ( { t } \right. )$ là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm $t$.
• Nếu $P=P\left ( { t } \right. )$ là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm $t$, thì $P'\left ( { t } \right. )$ biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm $t$.
• Nếu $C=C\left ( { x } \right. )$ là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị hang hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời $C'\left ( { x } \right. )$ của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.
• Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên $C'\left ( { x } \right. )$ xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hang hóa thứ $x+1$.

2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỚI ƯU HÓA ĐƠN GIẢN.

Quy trình giải một số bài toán tối ưu hóa:

• Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua đại lượng khác trong bài toán.

• Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là $x$, và biểu diễn của các đại lượng khác ở bước 1 theo $x$, khi đó, đại lượng $Q$ sẽ là hàm số của một biến $x$. Tìm tập xác định của hàm số $Q=Q\left ( { x } \right. )$.

• Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q=Q\left ( { x } \right. )$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

BDạng bài tập

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1: Tốc độ thay đổi của một đại lượng biến thiên trong vật lý

I. PHƯƠNG PHÁP

• Bước 1: Xác định mối quan hệ các đại lượng

• Bước 2: Đưa bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để xét tính tăng giảm $y'$ theo biến $x$, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước.

❀ Bài toán chuyển động: Tính vận tốc tức thời, tính gia tốc tại thời điểm vận tốc lớn nhất;

→ Nếu $s=s\left ( { t } \right. )$ là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì $v\left ( { t } \right. )=s'\left ( { t } \right. )$ biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian).

→ Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật:$a\left ( { t_{ 0 } } \right. )=v'\left ( { t_{ 0 } } \right. )=s'$.

→ Khi $v\left ( { t } \right. )=0$ là vận tốc bị triệt tiêu.

→ Nếu $v'\left ( { t } \right. )>0$ là vận tốc tăng,$v'\left ( { t } \right. ) < 0$ là vận tốc giảm.

→ Để xác định vận tốc lớn nhất hoặc nhỏ nhất lập bảng biến thiên của hàm số $v\left ( { t } \right. )$. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. (Có thể dùng bất đẳng thức đánh giá).

❀ Bài toán về dòng điện:

→ Điện lượng $Q$ truyền qua dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$,$Q=Q\left ( { t } \right. )$. Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm $t_{ o }$ được tính bằng công thức $I\left ( { t_{ 0 } } \right. )=Q'\left ( { t_{ 0 } } \right. )$.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí $s\left ( { t } \right. )$ (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức $s\left ( { t } \right. )=t ^ { 3 } +3t ^ { 2 } -9t+27,t≥0.$

(a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ (giây).

(b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc của chất điểm bị triệt tiêu.

Lời giải:

(a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ (giây).

Do $$v\left ( { t } \right. )=s'\left ( { t } \right. )=(t ^ { 3 } +3t ^ { 2 } -9t+27)'=3t ^ { 2 } +6t-9.$$

Tại thời điểm $t=2$ (giây), vận tốc của vật là $v=3.2 ^ { 2 } +6.2-9=15\left ( { m/s } \right. )$.

(b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc của chất điểm bị triệt tiêu.

Ta lại có $a\left ( { t_{ 0 } } \right. )=v'\left ( { t_{ 0 } } \right. )=s'$.

Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu:$3t ^ { 2 } +6t-9=0⇔\left[ t=1t=-3{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ l } }{ \rm{ o } }{ \rm{ a } }{ \rm{ i } }) \right.$.

Với $t=1$ thì gia tốc chuyển động là:$a=6.1+6=12\left ( { m{ \rm{ / } }s ^ { 2 } } \right. )$

Ví dụ 2. Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao $250\,km$ so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng $50$ giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm $h\left ( { t } \right. )=-0,01t ^ { 3 } +1,1t ^ { 2 } -30t+250$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $h$ là độ cao tính bằng kilomet.

(a) Vận tốc của con tàu tăng trong khoảng thời gian nào?

(b) Tính độ cao so với bề mặt Mặt Trăng của con tàu tại thời điểm vận tốc của con tàu lớn nhất .

Lời giải:

Xét hàm số:$h\left ( { t } \right. )=-0,01t ^ { 3 } +1,1t ^ { 2 } -30t+250$.

Tập xác định:$D=\mathbb{R}$.

$$h\left ( { t } \right. )=-0,01t ^ { 3 } +1,1t ^ { 2 } -30t+250⇒v\left ( { t } \right. )=h'\left ( { t } \right. )=-0,03t ^ { 2 } +2,2t-30$$

$$⇒a\left ( { t } \right. )=v'\left ( { t } \right. )=-0,06t+2,2⇒a\left ( { t } \right. )=0⇔t=\frac { 110 } { 3 }.$$

(a) Vận tốc của con tàu tăng trong khoảng thời gian nào?

Vận tốc của con tàu tăng trong khoảng thời gian $\left ( { 0s;\frac { 110 } { 3 }s } \right. )$.

(b) Tính độ cao so với bề mặt Mặt Trăng của con tàu tại thời điểm vận tốc của con tàu lớn nhất .

$v_{ { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } =\frac { 31 } { 3 }$ khi $t=\frac { 110 } { 3 }$.

Vậy độ cao của con tàu so với bề mặt Mặt Trăng tại thời điểm vận tốc của con tàu lớn nhất là $h\left ( { 37 } \right. )=\frac { 3670 } { 27 }≈135,9km$.

Dạng 2: Tốc độ thay đổi cẩu một đại lượng biến thiên trong hoá học, sinh học

I. PHƯƠNG PHÁP

• Bước 1: Chuyển bài toán thực tế đại lượng $y$ biến thiên theo đại lượng $x$ hoặc đã cho trong giả thiết bài toán.

• Bước 2: Thực hiện giải bài toán theo yêu cầu tương ứng.

• Bước 3: Kết luận vấn đề đặt ra.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 3. Enzyme là protein hoạt động như một chất xúc ta làm tăng tốc độ phản ứng hóa học xuất hiện trong các tế bào. Trong một phản ứng nào đó, một enzyme được chuyển hóa thành một enzyme khác, được gọi là enzyme sản phẩm. Enzyme sản phẩm này hoạt động như một chất xúc tác cho chính sự hình thành của nó. Tốc độ $R$ mà tại đó enxyme sản phẩm được tạo thành được cho bởi phương trình $R=kp\left ( { l-p ^ { 2 } } \right. ),$ trong đó $l$ là tổng số lượng enzyme ban đầu và enzyme sản phẩm,$p$ là lượng enzyme sản phẩm, và $k$ là hằng số dương. Với giá trị nào của $p$ thì $R$ đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải:

Ta có $$R=k\left ( { pl-p ^ { 2 } } \right. )⇒R'=k\left ( { l-2p } \right. ).$$

Đạo hàm $$R'\left ( { p } \right. )=0⇔k\left ( { l-2p } \right. )=0⇔p=\frac { l } { 2 }.$$

Ta có $R'$, nên hàm số đạt cực đại tại $p=\frac { l } { 2 }$.

Vậy $R$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac { kl ^ { 2 } } { 4 }$ khi $p=\frac { l } { 2 }$.

Ví dụ 4. Sau khi phát hiện một bệnh dịch lở mồm long móng của đàn gia xúc của một xã vùng cao, cán bộ y tế ước tính số gia xúc nhiễm bệnh. Kể từ ngày xuất hiện gia xúc nhiễm bệnh đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $G\left ( { t } \right. )=45t ^ { 2 } -t ^ { 3 }$, (kết quả khảo sát được trong 10 ngày vừa qua). Nếu xem $G'\left ( { t } \right. )$ là tốc độ truyền bệnh (con/ngày) tại thời điểm $t$ thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có:

$G'\left ( { t } \right. )=90t-3t ^ { 2 }$.

$G'$.

$G'$.

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15.

Dạng 3:Tốc độ thay đổi của một đại lượng biến thiên trong kinh tế - xã hội; nêu ý nghĩa về giá trị ngưỡng đối với một đại lượng biến thiên

I. PHƯƠNG PHÁP

• Bước 1: Chọn một hoặc 1 số chữ cái $x,a,b$,… gọi là biến để biểu thị những đại lượng chưa biết và viết biểu thức biểu thị đại lượng, kí hiệu $P$, cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo các biến đó.

• Bước 2: Viết lại biểu thức $P$ thành biểu thức chứa một biến, chẳng hạn là $x$, bằng cách biểu thị các biến khác theo biến $x$ nhờ các dữ kiện đề bài đã cho. Từ đó, ta nhận được hàm số xác định bởi công thức $P=f\left ( { x } \right. )$.

• Bước 3: Xác định tập hợp $D$ gồm các giá trị mà biến $x$ có thể nhận.

• Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất , gái trị nhỏ nhất của hàm số $P=f\left ( { x } \right. )$ trên $D$ và trả lời bài toán.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 5. Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức $N\left ( { t } \right. )=100e ^ { 0,012t } ,\,N\left ( { t } \right. )$ được tính bằng triệu người,$0≤t≤50$. Đạo hàm của hàm số $N\left ( { t } \right. )$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là $1,6$ triệu người/năm?

Lời giải:

Tốc độ tăng dân số của quốc gia được biểu thị bằng biểu thức:$$N'\left ( { t } \right. )=\left ( { 100.e ^ { 0,012t } } \right. ) ' = 100.0,012.e ^ { 0,012t } =1,2.e ^ { 0,012t }.$$

Theo giả thiết tốc độ tăng dân số là $1,6$ triệu người/năm.

Khi đó ta có $$1,2.e ^ { 0,012t } =1,6⇔e ^ { 0,012t } =\frac { 4 } { 3 }⇔0,012t=ln\frac { 4 } { 3 }⇒t≈23,97.$$

Vậy sau 24 năm, tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là $1,6$ triệu người/năm.

Ví dụ 6. Một cửa hàng đồ điện dân dụng đã bán được 200 máy sấy tóc mỗi tháng với giá mỗi máy là 150 nghìn đồng. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng, đối với máy sấy tóc giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua thì số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng. Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu nghìn đồng để doanh thu lớn nhất?

Lời giải:

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá cửa hàng giảm cho mỗi chiếc máy sấy tóc,$0≤x≤150$.

Số lượng máy sấy tóc cửa hàng bán ra trong 1 tháng là $200+20x.\frac { 1 } { 5 }=200+4x$ (chiếc).

Giá bán thực tế của mỗi chiếc máy sấy tóc là:$150-x$ (nghìn đồng).

Doanh thu của cửa hàng là $$f\left ( { x } \right. )=\left ( { 200+4x } \right. )\left ( { 150-x } \right. )=-4x ^ { 2 } +400x+30000.$$

Ta có $$f'\left ( { x } \right. )=-8x+400⇒f'\left ( { x } \right. )=0⇔x=50.$$

Vậy để doanh thu đạt tối đa, cửa hàng giảm giá 50 nghìn đồng cho 1 chiếc máy sấy tóc.

Dạng 4: Ứng dụng đạo hàm cho bài toán tối ưu trong các mô hình toán học.

I. PHƯƠNG PHÁP

• Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

• Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là $x$ và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo $x$. Khi đó, đại lượng $Q$ sẽ là hàm số của một biến $x$. Tìm tập xác định của hàm số $Q=Q\left ( { x } \right. )$

• Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q=Q\left ( { x } \right. )$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 7. Cắt một miếng giấy hình vuông như hình bên và xếp thành một hình chóp tứ giác đều. Biết các cạnh hình vuông bằng $20\,cm$,$OM=x\left ( { cm } \right. )$. Tìm $x$ để hình chóp đều ấy có thể lớn nhất

Lời giải:

Giả sử được hình chóp tứ giác đều như hình vẽ

Ta có:$$OM=x⇒OH=HM=\frac { x } { \sqrt{ 2 } }⇒SH=10\sqrt{ 2 }-\frac { x } { \sqrt{ 2 } }.$$

Suy ra $$SO=\sqrt{ SH ^ { 2 } -OH ^ { 2 } }=\sqrt{ \left ( { 10\sqrt{ 2 }-\frac { x } { \sqrt{ 2 } } } \right. ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { x } { \sqrt{ 2 } } } \right. ) ^ { 2 } }=\sqrt{ 20\left ( { 10-x } \right. ) }.$$

Thể tích $$V=\frac { 1 } { 3 }.S_{ MNPQ } .SO=\frac { 1 } { 3 }.2x ^ { 2 } .\sqrt{ 20\left ( { 10-x } \right. ) }=\frac { 2\sqrt{ 20 } } { 3 }x ^ { 2 } \sqrt{ 10-x },$$ (với $0≤x≤10$).

Xét hàm số $$f\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } \sqrt{ 10-x }⇒f'\left ( { x } \right. )=2x\sqrt{ 10-x }-\frac { x ^ { 2 } } { 2\sqrt{ 10-x } }⇒f'\left ( { x } \right. )=0⇔x=8,$$ vì $0≤x≤10$.

$V_{ { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } } } =\frac { 256\sqrt{ 10 } } { 3 }$ khi $x=8$.

Ví dụ 8. Một tấm kẽm hình chữ nhậtABCDcó cạnh $AD=40cm,\,\,AB=60 cm.$ Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh $EF$ và $GH$ cho đến khi $AD$ và $BC$ trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ đứng khuyết hai đáy , biết $DF=HC=x$.

Tính thể tích lớn nhất khối lăng trụ được tạo thành.

Lời giải:

Thể tích khối lăng trụ là:$V=BC.S_{ AEG } =40S_{ AEG } .$ Theo giả thiết ta phải có $0 < 2x < 60⇔0 < x < 30$.

Ta cóΔAEGcó độ dài các cạnh là $$AE=AG=x \left ( { cm } \right. ),EG=60-2x \left ( { cm } \right. )$$ nên diện tích là

$S_{ AEG } =\sqrt{ 30\left ( { 30-x } \right. )\left ( { 30-x } \right. )\left[ 30-\left ( { 60-2x } \right. ) \right] }=\sqrt{ 30\left ( { 30-x } \right. ) ^ { 2 } \left ( { 2x-30 } \right. ) } \left ( { cm ^ { 2 } } \right. )$.

Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích $S_{ AEG }$ đạt giá trị lớn nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $30-x;\,\,30-x;\,\,2x-30$ ta được

$\left ( { 30-x } \right. ) ^ { 2 } \left ( { 2x-30 } \right. )=\left ( { 30-x } \right. )\left ( { 30-x } \right. )\left ( { 2x-30 } \right. )$

$≤\left ( { \frac { \left ( { 30-x } \right. )+\left ( { 30-x } \right. )+\left ( { 2x-30 } \right. ) } { 3 } } \right. ) ^ { 3 } =10 ^ { 3 }$.

Dấu “=” xảy ra khi $30-x=2x-30⇔x=20$.

Do đó $S_{ AEG } ≤\sqrt{ 30.10 ^ { 3 } }=100\sqrt{ 3 }$ khi tam giác $AEG$ đều cạnh bằng 20 cm.

Vậy thể tích lớn nhất của lăng trụ được tạo thành là:

$V=40.100\sqrt{ 3 }=4000\sqrt{ 3 }\,cm ^ { 3 }$.

Dạng 5: Ứng dụng đạo hàm cho bài toán tối ưu trong liên môn học (vật lý, hóa học, sinh học,…)

I. PHƯƠNG PHÁP

• Bước 1: Biểu diễn các đại lượng tromg bài toán thông qua hàm số.

• Bước 2: Giải quyết yêu cầu bài toán thông qua hàm số.

• Bước 3: Từ kết quả tìm được đưa ra kết luận yêu cầu của bài toán.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 9. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong $t$ giờ được cho bởi công thức $c\left ( { t } \right. )=\frac { t } { t ^ { 2 } +1 }$ $\left ( { mg/L } \right. )$. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Lời giải:

Xét hàm số $c\left ( { t } \right. )=\frac { t } { t ^ { 2 } +1 }$,$(t>0)$.

$c'\left ( { t } \right. )=\frac { 1-t ^ { 2 } } { \left ( { t ^ { 2 } +1 } \right. ) ^ { 2 } }$.

$c'\left ( { t } \right. )=0⇔\left[ t=1t=-1 \right.$.

Với $t=1$ giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân cao nhất.

Ví dụ 10. Một vật chuyển động theo quy luật $S=10t ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 }$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $S\left ( { m } \right. )$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $15$ giây từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc $v\left ( { m/s } \right. )$ của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t\left ( { s } \right. )$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có:$S=10t ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 }$ $⇒v\left ( { t } \right. )=S'=20t-t ^ { 2 }$.

Xét hàm số $v\left ( { t } \right. );t∈\left[ 0;15 \right]$, ta có:$v'\left ( { t } \right. )=20-2t=0⇔t=10$.

$$v\left ( { 0 } \right. )=0;\,\,v\left ( { 15 } \right. )=75;v\left ( { 10 } \right. )=100.$$ Do đó:$\mathop { max } \limits_{ \left[ 0;15 \right] } v\left ( { t } \right. )=100⇔t=10$.

Dạng 6: Ứng dụng đạo hàm cho bài toán tối ưu trong kinh tế - xã hội

I. PHƯƠNG PHÁP

• Bước 1: Gọi ẩn và xác định điều kiện cho ẩn.

• Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết.

• Bước 3: Xét hàm số biểu thị đại lượng mà đề bài yêu cầu. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đó trên điều kiện của ẩn.

• Bước 4: Kết luận.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 11. Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi mét vuông mặt hồ thả $x$ con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là $108-x ^ { 2 }$ (gam). Hỏi nên thả bao nhiêu con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ tự nhiên đó để cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất.

Lời giải:

Sau một vụ lượng tôm trung bình trên mỗi $m ^ { 2 }$ mặt hồ nặng $x\left ( { 108-x ^ { 2 } } \right. )=108x-x ^ { 3 } \,\,(gam)$

Xét hàm số $f\left ( { x } \right. )=108x-x ^ { 3 }$ trên khoảng $\left ( { 0;+∞ } \right. )$ ta có

$$f'\left ( { x } \right. )=108-3x ^ { 2 } ;\,\,\,\,f'\left ( { x } \right. )=0⇔108-3x ^ { 2 } =0⇔\left[ x=6x=-6\,\,\, < 0 \right.$$

Trên khoảng $\left ( { 0;+∞ } \right. )$ hàm số $f\left ( { x } \right. )=108x-x ^ { 3 }$ đạt GTLN tại $x=6$.

Vậy nên thả 6 con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ thì cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất.

Ví dụ 12. Một người cần đi từ khách sạn $A$ bên bờ biển đến hòn đảo $C$. Biết rằng khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển là $BC=10\,{ \rm{ k } }{ \rm{ m } }$, khoảng cách từ khách sạn $A$ đến điểm ngắn nhất tính từ đảo $C$ vào bờ là $AB=40\,{ \rm{ k } }{ \rm{ m } }$. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy từ khách sạn ra đảo (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 20.000 đ/km, kinh phí đi đường bộ là 12.000 đ/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một đoạn $AD$ bao nhiêu để kinh phí đi từ $A$ đến $C$ nhỏ nhất? ($AB$ vuông góc $BC$- hình dưới đây)

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ $D$ đến $B$ là $x\,{ \rm{ k } }{ \rm{ m } } \,\left ( { 0≤x≤40 } \right. )$.

Khi đó:$AD=40-x$ và $DC=\sqrt{ x ^ { 2 } +100 }$.

Người đó đi từ $A$ đến $C$ hết số tiền là:$f\left ( { x } \right. )=12\left ( { 40-x } \right. )+20\sqrt{ x ^ { 2 } +100 }$ (nghìn đồng).

Người đó đi từ $A$ đến $C$ hết chi phí ít nhất khi $f\left ( { x } \right. )$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hàm số $f\left ( { x } \right. )=12\left ( { 40-x } \right. )+20\sqrt{ x ^ { 2 } +100 }$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;40 \right]$.

$f'\left ( { x } \right. )=-12+\frac { 20x } { \sqrt{ x ^ { 2 } +100 } }$.

$f'\left ( { x } \right. )=0⇔x=\frac { 15 } { 2 }$.

$\mathop { min } \limits_{ \left[ 0;40 \right] } f\left ( { x } \right. )=min\left\{ \begin{array}{l} f\left ( { 0 } \right. );f\left ( { \frac { 15 } { 2 } } \right. );f\left ( { 40 } \right. ) \end{array} \right\}=f\left ( { \frac { 15 } { 2 } } \right. )$.

Vậy người đó phải đi đường bộ một đoạn $AD=\frac { 15 } { 2 }\,{ \rm{ k } }{ \rm{ m } }$ để kinh phí đi từ $A$ đến $C$ nhỏ nhất.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.

IV. Bài tập trắc nghiệm Đúng / Sai (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh trả lời từ câu hỏi dưới đây. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t ^ { 3 } -12t+3,\,\,t≥0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 2: Một vật đang chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình:$s\left ( { t } \right. )=-\frac { 1 } { 3 }t ^ { 3 } +6t ^ { 2 } +13t+2$, trong đó $s$ tính bằng mét $\left ( { m } \right. )$,$t$ tính bằng giây $\left ( { s } \right. )$.

Câu 3: Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p\left ( { x } \right. )=1000-25x$, trong đó $p\left ( { x } \right. )$ (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có $x$ sản phẩm được bán ra.

Câu 4: Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao $60\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } }$, thể tích là $96.000\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } } ^ { { \rm{ 3 } } }$, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là $70.000$ đồng/${ \rm{ m } } ^ { { \rm{ 2 } } }$ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là $100.000$ đồng/${ \rm{ m } } ^ { { \rm{ 2 } } }$. Nếu coi chiều dài của hình chữ nhật đáy là $x\,\left ( { { \rm{ m } } } \right. )$ $\left ( { x>0 } \right. )$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 5: Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 – 10 năm 2024, ông An quyết định mua tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là $32\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } } ^ { 3 }$, có đáy là hình vuông và không có nắp. Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dày $d\left ( { { \rm{ m } }{ \rm{ m } } } \right. )$ của lớp mạ tại mọi nơi bên mặt ngoài hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là $h\,\left ( { { \rm{ c } }{ \rm{ m } } } \right. )$ và $x\,\left ( { { \rm{ c } }{ \rm{ m } } } \right. )$.

Câu 6: Vị trí một chuyển động thẳng được cho bởi phương trình:$s(t)=t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } +7t-2$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Khi đó:

Câu 7: Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $\left ( { 1≤x≤18 } \right. )$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:$C\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } -20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $B\left ( { x } \right. )$ là số tiền bán được và $L\left ( { x } \right. )$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa.

Câu 8: Để doanh thu cao nhất trong mùa hè năm 2024, Ban quản lý bể bơi thành phố tiến hành thăm dò dư luận. Qua thăm dò dư luận cho thấy số khách đến bơi thay đổi phụ thuộc vào giá vé $x$ theo hàm cầu là:$y\left ( { x } \right. )=-\frac { 1 } { 50 }x+1300$, với $x$ giá mỗi vé bơi đơn vị đồng. Xét tính Đúng – Sai các khẳng định sau đây?

V. Bài tập trắc nghiệm Trả lời ngắn (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh giải bài toán và điền đáp số vào ô trống tương ứng.

Câu 1: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t ^ { 3 } -12t+3$,$t≥0$. Tìm vận tốc chuyển động của hạt tại thời điểm $t=6$.

Câu 2: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau $t$ phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức:$f\left ( { t } \right. )=1000+30t ^ { 2 } -t ^ { 3 } { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 0≤t≤30 } \right. )$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?