Bài tập Toán 12: Tích phân và các phương pháp tính tích phân

Tóm tắt chuyên đề: Định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân (đổi biến số, tích phân từng phần) môn Toán 12 có bài tập trắc nghiệm tự chấm và đáp án chi tiết.

I. Lý thuyết trọng tâm cần nhớ

1. Hình thang cong

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$. Hình phẳng giới hạn bởi:

• đồ thị hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$,
• trục hoành,
• hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ được gọi là hình thang cong.

2. Diện tích hình thang cong

Định nghĩa: Nếu hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$ thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi:

• đồ thị hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$,
• trục hoành,
• hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ được tính bởi:$S=F\left ( { b } \right. )-F\left ( { a } \right. )$ Trong đó $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$.

3. Định nghĩa tích phân

Định nghĩa: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$. Nếu $F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$ thì hiệu số $F\left ( { b } \right. )-F\left ( { a } \right. )$ gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f\left ( { x } \right. )$, kí hiệu . Viết Gọi là dấu tích phân;$a$ là cận dưới;$b$ là cận trên,$f\left ( { x } \right. )\,{ \rm{ d } }x$ là biểu thức dưới dấu tích phân,$f\left ( { x } \right. )$ là hàm số dưới dấu tích phân

• Trường hợp $a=b$:

• Trường hợp $a>b$:

• Tích phân không phụ thuộc vào biến số $x$ hay $t$, nghĩa là . Chú ý

4. Ý nghĩa hình học của tích phân

Định nghĩa: Nếu hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$ thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi:

• đồ thị hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$,
• trục hoành,
• hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ Vậy .

5. Tính chất tích phân

Tính chất: ⑴ Cho hai hàm số $y=f\left ( { x } \right. ),\,y=g\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$. Khi đó: ⑵ Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$,$k$ là số thực. Khi đó: ⑶ Cho hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$,$c∈\left ( { a;\,b } \right. )$. Khi đó

II. Phân dạng bài tập & Phương pháp giải

Dạng 1. Áp dụng định nghĩa – tính chất

Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản.1 (Tích phân có hai cận giống nhau thì bằng 0).2 (Tích phân đảo cận $→$ thêm dấu trừ).3 với $k∈\mathbb{R}$.4.5Trong đoạn $\left[ a\,;\,b \right]$, tồn tại $c∈\left[ a\,;\,b \right]$ thì . Ý nghĩa hình học của tích phân:Nếu hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$ thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi: đồ thị hàm số $y=f\left ( { x } \right. )$, trục hoành, hai đường thẳng $x=a,\,x=b$. Vậy . Phương pháp

Ví dụ 1.1. Cho và . Tính:⑴ .⑵ .⑶ .⑷

Lời giải:

⑴ .

.

⑵ .

.

⑶ .

.

⑷

.

Ví dụ 1.2. Cho , . Tính

Lời giải:

Ta có: , .

Khi đó: .

. Vậy .

Ví dụ 1.3. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left ( { x } \right. )=e ^ { x }$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$.

Lời giải:

$y=f\left ( { x } \right. )=e ^ { x }$ có một nguyên hàm $F\left ( { x } \right. )=e ^ { x }$.

Diện tích hình thang cong là $$S=F\left ( { 1 } \right. )-F\left ( { 0 } \right. )=e ^ { 1 } -e ^ { 0 } =e-1$$ (đvdt).

Ví dụ 1.4. Cho $f$,$g$ là hai hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;\,3 \right]$ thoả , . Tính .

Lời giải:

.

.

Đặt , .

Từ $\left ( { 1 } \right. )$ và $\left ( { 2 } \right. )$ ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l} X+3Y=102X-Y=6 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{l} X=4Y=2 \end{array} \right.$.

Do đó ta được: và. Vậy .

Ví dụ 1.5. Cho số thực $a>1$, tính tích phân theo $a$.

Lời giải:

Ta có hàm số $f\left ( { x } \right. )=x-1$ có một nguyên hàm $F\left ( { x } \right. )=\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x$

Ta lại có $=F\left ( { 0 } \right. )-F\left ( { 1 } \right. )+F\left ( { a } \right. )-F\left ( { 1 } \right. )=\frac { a ^ { 2 } } { 2 }-a+1$.

Dạng 2. Tích phân hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Cách 1: Cho $f\left ( { x } \right. )=0$ tìm nghiệm $∈\left[ a;b \right]$ giả sử các nghiệm đó là $x_{ 1 } ;x_{ 2 } ;...x_{ n } ∈\left[ a;b \right]$ Khi đó Tính mỗi tích phân thành phần Cách 2: Cho $f\left ( { x } \right. )=0$ tìm nghiệm $∈\left[ a;b \right]$. Xét dấu $f\left ( { x } \right. )$ trên $\left[ a;b \right]$. Áp dụng $\left | { A } \right. |=\left\{ \begin{array}{l} A\,\,\,\,\,\,\,khi\,A>0-A\,\,\,khi\,\,A < 0 \end{array} \right.$ để phá trị tuyệt đối trong . Tính mỗi tích phân thành phầnPhương pháp

Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau:⑴ .⑵ .⑶ .⑷

Lời giải:

⑴ .

Xét $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 2 } -1$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$.

Cho $$f\left ( { x } \right. )=0⇔x ^ { 2 } -1=0⇔\left[ x=-1∈\left[ -2;2 \right]x=1∈\left[ -2;2 \right] \right..$$

Bảng xét dấu:

Do đó:

$=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x } \right. ) } \right. ._{ -2 } ^{ -1 }+\left | { \left ( { x-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right. ) } \right. ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-x } \right. ) } \right. ._{ 1 } ^{ 2 }=\left[ \frac { 2 } { 3 }-\left ( { -\frac { 2 } { 3 } } \right. ) \right]+\left[ \frac { 2 } { 3 }-\left ( { -\frac { 2 } { 3 } } \right. ) \right]+\left[ \frac { 2 } { 3 }-\left ( { -\frac { 2 } { 3 } } \right. ) \right]=4.$

⑵ .

Xét $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } +x ^ { 2 } -2x$ trên $\left[ -2;1 \right]$.

Cho $$f\left ( { x } \right. )=0⇔x ^ { 3 } +x ^ { 2 } -2x=0⇔\left[ x=-2∈\left[ -2;1 \right]x=0∈\left[ -2;1 \right]x=1∈\left[ -2;1 \right] \right..$$

Bảng xét dấu:

Do đó:

$\,\,\,\,=\left | { \left ( { \frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } +\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -x ^ { 2 } } \right. ) } \right. ._{ -2 } ^{ 0 }-\left | { \left ( { \frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } +\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -x ^ { 2 } } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ 1 }=-\left ( { -\frac { 8 } { 3 } } \right. )-\left ( { -\frac { 5 } { 12 } } \right. )=\frac { 37 } { 12 }.$

⑶ .

Xét $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 3 } -3x-2$ trên $\left[ -1;2 \right]$.

Cho $$f\left ( { x } \right. )=0⇔x ^ { 3 } -3x-2=0⇔\left[ x=2∈\left[ -1;2 \right]x=-1∈\left[ -1;2 \right] \right..$$

Bảng xét dấu:

Do đó: .

⑷

Xét $f\left ( { x } \right. )=x ^ { 4 } -3x ^ { 2 } -4$ trên $\left[ -2;2 \right]$.

Cho $$f\left ( { x } \right. )=0⇔x ^ { 4 } -3x ^ { 2 } -4=0⇔\left[ x=2∈\left[ -2;2 \right]x=-2∈\left[ -2;2 \right] \right..$$

Bảng xét dấu:

Do đó: .

Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:⑴ .⑵ .⑶ .⑷

Lời giải:

⑴ .

Ta có bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối:

Khi đó: .

⑵ .

Ta có bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối:

Khi đó:

$=\left | { \left ( { -\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-x } \right. ) } \right. ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }-3x } \right. ) } \right. ._{ 1 } ^{ 2 }=\left ( { -\frac { 3 } { 2 }-\frac { 1 } { 2 } } \right. )+\left[ -4-\left ( { -\frac { 5 } { 2 } } \right. ) \right]=-\frac { 7 } { 2 }.$

⑶ .

Ta có:$\left | { x-2 } \right. |=\left\{ \begin{array}{l} x-2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x≥2-x+2\,\,\,\,khi\,\,x < 2\,\, \end{array} \right.$.

Khi đó:

⑷

.

Ta có:$\left | { x-1 } \right. |=\left\{ \begin{array}{l} x-1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x≥1-x+1\,\,\,\,khi\,\,x < 1\,\, \end{array} \right.$.

Khi đó:

$=\left | { \left ( { \frac { 2 } { 3 }x\sqrt{ x }-\frac { 2 } { 5 }x ^ { 2 } \sqrt{ x } } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ 1 }+\left | { \left ( { \frac { 2 } { 5 }x ^ { 2 } \sqrt{ x }-\frac { 2 } { 3 }x\sqrt{ x } } \right. ) } \right. ._{ 1 } ^{ 3 }=\frac { 4 } { 15 }+\left[ \frac { 8\sqrt{ 3 } } { 5 }-\left ( { -\frac { 4 } { 15 } } \right. ) \right]=\frac { 24\sqrt{ 3 }+8 } { 15 }.$

Dạng 3. Tích phân hàm số cho bởi nhiều công thức

Bài toán 1:Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} g\left ( { x } \right. )\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x≤bh\left ( { x } \right. )\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x>b \end{array} \right.$ liên tục trên $D$. Tính . Xét $b∈\left[ a;c \right]$. Bước 1. Kiểm tra hàm số $f\left ( { x } \right. )$ có liên tục tại $x=b$?Tức là kiểm tra $\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { b } \right. )⇔\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { - } } g\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { + } } h\left ( { x } \right. )=f\left ( { b } \right. )$ Bước 2. Tách cận: . Bước 3. Tính các tích phân $I_{ 1 } \,;\,I_{ 2 }$ bằng các phương pháp đã học. Bài toán 2:Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} g\left ( { x;m } \right. )\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x≤bh\left ( { x;m } \right. )\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x>b \end{array} \right.$ liên tục trên $D$. Tính . Xét $b∈\left[ a;c \right]$. Bước 1. Kiểm tra hàm số $f\left ( { x } \right. )$ có liên tục tại $x=b$?Tức là kiểm tra:$\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { b } \right. )⇔\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { - } } g\left ( { x;m } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→b ^ { + } } h\left ( { x;m } \right. )=f\left ( { b } \right. )$ Bước 2. Tách cận: . Bước 3. Tính các tích phân $I_{ 1 } \,;\,I_{ 2 }$ bằng các phương pháp đã học. Phương pháp

Ví dụ 3.1. Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } -1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x≥2x ^ { 2 } -2x+3\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,\,x < 2 \end{array} \right.$. Tính tích phân ?

Lời giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { + } } \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right. )=3\mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { - } } \left ( { x ^ { 2 } -2x+3 } \right. )=3 \end{array} \right.$ và $f\left ( { 2 } \right. )=3$.

Do đó hàm số đã cho liên tục tại $x=2$.

Ta có: .

Ví dụ 3.2. Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=$. Tính tích phân ?

Lời giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \mathop { lim } \limits_{ x→1 ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→1 ^ { + } } \left ( { 4-x } \right. )=3\mathop { lim } \limits_{ x→1 ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→1 ^ { - } } \left ( { 3x ^ { 2 } } \right. )=3 \end{array} \right.$, và $f\left ( { 1 } \right. )=3$.

Vì hàm số đã cho liên tục trên $[0; 2]$ nên liên tục tại $x=1$.

Suy ra $\mathop { lim } \limits_{ x→1 ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→1 ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { 1 } \right. )$.

Khi đó

Ví dụ 3.3. Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} 0,5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,0≤x < 21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,2≤x < 154-0,2x\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,15≤x≤20 \end{array} \right.$. Tính .

Lời giải:

Ta có $\mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { - } } \left ( { 0,5x } \right. )=1=\mathop { lim } \limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=f\left ( { 2 } \right. )$ và

Do $\mathop { lim } \limits_{ x→15 ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=1=\mathop { lim } \limits_{ x→15 ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→15 ^ { + } } \left ( { 4-0,2x } \right. )=f\left ( { 15 } \right. )$ nên hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 0;20 \right]$

Do đó

$=\frac { x ^ { 2 } } { 4 }\left | { 20 } \right. .+x\left | { 152 } \right. .+\left ( { 4x-\frac { x ^ { 2 } } { 10 } } \right. )\left | { 2015 } \right. .=1+13+\frac { 5 } { 2 }=\frac { 33 } { 2 }$.

Ví dụ 3.4. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left ( { x } \right. )=\left\{ \begin{array}{l} 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x≤0a\left ( { x-x ^ { 2 } } \right. )\,\,\,\,\,\,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\,\,x>0 \end{array} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tính

Lời giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \mathop { lim } \limits_{ x→0 ^ { + } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→0 ^ { + } } \left ( { a\left ( { x-x ^ { 2 } } \right. ) } \right. )=0\mathop { lim } \limits_{ x→0 ^ { - } } f\left ( { x } \right. )=\mathop { lim } \limits_{ x→0 ^ { - } } \left ( { 2x } \right. )=0 \end{array} \right.$, và $f\left ( { 0 } \right. )=0$.

Vì hàm số đã cho liên tục trên $[-1; 1]$ nên liên tục tại $x=0$.

Khi đó $=\left | { \left ( { x ^ { 2 } } \right. ) } \right. ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { a\left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right. ) } \right. ._{ 0 } ^{ 1 }=-1+a\left ( { \frac { 1 } { 6 } } \right. )=\frac { a } { 6 }-1$

Dạng 4. Bài toán thực tế

• Bài toán chuyển động của một vật

• Một vật chuyển động theo phương trình vận tốc $v\left ( { t } \right. )$ trong khoảng thời gian $t=a$ đến $t=b\,\,\left ( { a < b } \right. )$ sẽ di chuyển được quãng đường là: .

• Một vật chuyển động có phương trình gia tốc $a\left ( { t } \right. )$ thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời gian $\Delta t=t_{ 2 } -t_{ 1 }$ là: .

• Bài toán ứng dụng tích phân vào tìm các đại lượng vật lý như công, điện lượng,…

• Theo định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiện là $f\left ( { x } \right. )=kx$, với $k\,\,\left ( { N/m } \right. )$ là độ cứng của lò xo. Công cần để kéo dãn lò xo từ độ dài $\ell _{ 1 }$ đến độ dài $\ell _{ 2 }$ là: .

• Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ $t_{ 1 }$ đến $t_{ 2 }$ là: . Phương pháp

Ví dụ 4.1. Một vật chuyển động với vận tốc $10\,m/s$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left ( { t } \right. )=3t+t ^ { 2 }$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Lời giải:

Hàm vận tốc .

Lấy mốc thời gian $\left ( { t=0 } \right. )$ lúc tăng tốc $⇒v\left ( { 0 } \right. )=10⇒C=10$.

Ta được:$v\left ( { t } \right. )=\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+\frac { 3t ^ { 2 } } { 2 }+10$.

Sau 10 giây kể từ lúc tăng tốc, quãng đường vật đi được là:

.

Ví dụ 4.2. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm $t$ (giây) là $v\left ( { t } \right. )=t ^ { 2 } -3t+2$ (m/s). Trong khoảng thời gian $1≤t≤3$⑴ Tìm độ dịch chuyển của vật .⑵ Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Lời giải:

⑴ Tìm độ dịch chuyển của vật .

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1≤t≤3$ là

.

⑵ Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1≤t≤3$ là

.

Ví dụ 4.3. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm $t$ (giây) là $v\left ( { t } \right. )=t ^ { 2 } -t-6$ (m/s). Trong khoảng thời gian $1≤t≤4$⑴ Tìm độ dịch chuyển của vật .⑵ Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Lời giải:

⑴ Tìm độ dịch chuyển của vật .

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1≤t≤4$ là

.

⑵ Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này.

Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1≤t≤4$ là

.

Ví dụ 4.4. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'\left ( { x } \right. )=-0,0002x+7,5$. Ở đây $P\left ( { x } \right. )$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.⑴ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $60$ đơn vị sản phẩm.⑵ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $150$ đơn vị sản phẩm.

Lời giải:

⑴ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $60$ đơn vị sản phẩm.

Ta có sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $50$ lên $60$ đơn vị sản phẩm là

$=-\left | { 0,0001x ^ { 2 } } \right. ._{ 50 } ^{ 60 }+\left | { 7,5x } \right. ._{ 50 } ^{ 60 }=-0,0001\left ( { 60 ^ { 2 } -50 ^ { 2 } } \right. )+7,5\left ( { 60-50 } \right. )=74,89$ (triệu đồng).

⑵ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $150$ đơn vị sản phẩm.

Ta có sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $150$ đơn vị sản phẩm là

$=-\left | { 0,0001x ^ { 2 } } \right. ._{ 100 } ^{ 150 }+\left | { 7,5x } \right. ._{ 100 } ^{ 150 }=-0,0001\left ( { 150 ^ { 2 } -100 ^ { 2 } } \right. )+7,5\left ( { 150-100 } \right. )=373,75$ (triệu đồng).

Ví dụ 4.5. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'\left ( { x } \right. )=-0,0005x+12,2$. Ở đây $P\left ( { x } \right. )$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.⑴ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị sản phẩm.⑵ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $110$ đơn vị sản phẩm.

Lời giải:

⑴ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị sản phẩm.

Ta có sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị sản phẩm là

$=-\left | { 0,00025x ^ { 2 } } \right. ._{ 100 } ^{ 101 }+\left | { 12,2x } \right. ._{ 100 } ^{ 101 }=-0,00025\left ( { 101 ^ { 2 } -100 ^ { 2 } } \right. )+12,2\left ( { 101-100 } \right. )≈12,15$ (triệu đồng).

⑵ Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $110$ đơn vị sản phẩm.

Ta có sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $100$ lên $110$ đơn vị sản phẩm là

$=-\left | { 0,00025x ^ { 2 } } \right. ._{ 100 } ^{ 110 }+\left | { 12,2x } \right. ._{ 100 } ^{ 110 }=-0,00025\left ( { 110 ^ { 2 } -100 ^ { 2 } } \right. )+12,2\left ( { 110-100 } \right. )≈121,48$ (triệu đồng).

Ví dụ 4.6. Giả sử vận tốc $v$ của dòng máu ở khoảng cách $r$ từ tâm của động mạch bán kính $R$ không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức bên dưới. Tìm vận tốc trung bình (đối với $r$) của động mạch trong khoảng $0≤r≤R$. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.⑴$v=\frac { k } { 2 }\left ( { \frac { 4 } { 3 }R ^ { 2 } -r ^ { 2 } } \right. )$, trong đó $k$ là một hằng số.⑵$v=k\left ( { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } } \right. )$, trong đó $k$ là một hằng số.

Lời giải:

⑴$v=\frac { k } { 2 }\left ( { \frac { 4 } { 3 }R ^ { 2 } -r ^ { 2 } } \right. )$, trong đó $k$ là một hằng số.

Vận tốc trung bình của động mạch là:

$=\frac { 1 } { 6R }\left ( { 4kR ^ { 3 } -kR ^ { 3 } } \right. )=\frac { kR ^ { 2 } } { 2 }$.

Vì $0≤r≤R$ nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là $v_{ max } =\frac { 2 } { 3 }kR ^ { 2 }$ khi $r=0$.

Do đó $v_{ max } =\frac { 4 } { 3 }v_{ tb }$.

⑵$v=k\left ( { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } } \right. )$, trong đó $k$ là một hằng số.

Vận tốc trung bình của động mạch là:

$=\frac { 1 } { R }\left ( { kR ^ { 3 } -\frac { 1 } { 3 }kR ^ { 3 } } \right. )=\frac { 2kR ^ { 2 } } { 3 }$.

Vì $0≤r≤R$ nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là $v_{ max } =kR ^ { 2 }$ khi $r=0$.

Do đó $v_{ max } =\frac { 3 } { 2 }v_{ tb }$.

III. Bài tập trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Tự luyện tương tác)

Học sinh làm bài trực tiếp trên hệ thống để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết tức thì.

IV. Bài tập trắc nghiệm Đúng / Sai (Cấu trúc mới GDPT 2018)

Thí sinh trả lời từ câu hỏi dưới đây. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn Đúng hoặc Sai.

Câu 1: Cho và .

Câu 2: Tính (trong đó $a,b,c∈\mathbb{N} ^ { * }$ và $\frac { b } { c }$ là phân số tối giản). Khi đó:

Câu 3: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.$F\left ( { x } \right. )$ là một nguyên hàm của $f\left ( { x } \right. )$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ thỏa $F\left ( { 3 } \right. )=2$ và $F\left ( { 0 } \right. )=1$. Khi đó:

Câu 4: Cho hàm số $f\left ( { x } \right. )=6x ^ { 5 }$. Gọi . Khi đó:

Câu 5: Cho . Khi đó:

Câu 6: Cho tích phân . Khi đó:

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $y=\sqrt{ 16-x ^ { 2 } }$. Khi đó:

Câu 8: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t\left ( { { \rm{ s } } } \right. )$ là $a\left ( { t } \right. )=2t-7{ \rm{ } }\left ( { { \rm{ m } }{ \rm{ / } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } } \right. )$. Biết vận tốc đầu bằng ${ \rm{ 6 } }{ \rm{ } }\left ( { { \rm{ m } }{ \rm{ / } }{ \rm{ s } } } \right. )$, xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Câu 9: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'\left ( { x } \right. )=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P\left ( { x } \right. )$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.