Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

Ở các bài học trước, chúng ta đã nắm vững các phép cộng, trừ, nhân số nguyên và quy tắc dấu ngoặc. Hôm nay, chúng ta sẽ hoàn thiện mảnh ghép cuối cùng trong bốn phép tính số học trên tập số nguyên $\mathbb{Z}$: Phép chia hết, cùng khái niệm ước và bội mở rộng cho số nguyên.

Nếu như ở tập số tự nhiên $\mathbb{N}$, ước của một số chỉ gồm các số tự nhiên dương, thì khi bước vào thế giới số nguyên $\mathbb{Z}$, ước và bội có gì khác biệt? Làm thế nào để xác định dấu của một thương nguyên? Khi tìm ước của một số nguyên âm thì làm ra sao? Bài học này sẽ giúp các em giải quyết toàn bộ những câu hỏi trên với phương pháp giải trực quan, bài tập độc bản $100\%$ và lời giải chi tiết từng bước.

Khởi động — Thử tài phản xạ phép chia và ước số nguyên (5–7 phút)

Hãy khởi động tư duy cùng 3 câu hỏi trắc nghiệm tương tác dưới đây:

A. Lý thuyết trọng tâm

1. Phép chia hết trong tập hợp các số nguyên

Ghi nhớ

Định nghĩa quan hệ chia hết trong $\mathbb{Z}$: Cho hai số nguyên $a$ và $b$ với $b \neq 0$. Nếu tồn tại một số nguyên $q$ sao cho:

$$a = b \cdot q$$

thì ta nói $a$ chia hết cho $b$, kí hiệu là $a \ \vdots \ b$. Khi đó, phép chia $a : b$ là phép chia hết và thương là $q$, viết là:

$$a : b = q.$$

Quy tắc dấu của thương

Phép chia là phép toán ngược của phép nhân ($a : b = q \iff a = b \cdot q$), do đó quy tắc dấu của thương hoàn toàn tương tự quy tắc dấu của tích:

Mẹo hay

Khẩu quyết nhớ dấu thương:

• Cùng dấu thì kết quả Dương $(+)$.
• Khác dấu thì kết quả Âm $(-)$.
• Số $0$ chia cho bất kỳ số nguyên khác $0$ nào đều bằng $0$: $0 : b = 0$ (với $b \neq 0$). Không có phép chia cho số $0$.

Ví dụ 1. Thực hiện các phép chia sau:

1. $63 : 9;$
2. $(-63) : (-9);$
3. $(-80) : 10;$
4. $54 : (-6);$
5. $0 : (-17).$

Lời giải:

1. Hai số cùng dấu dương: $63 : 9 = 7.$
2. Hai số cùng dấu âm nên thương mang dấu dương: $(-63) : (-9) = 63 : 9 = 7.$
3. Hai số khác dấu nên thương mang dấu âm: $(-80) : 10 = -(80 : 10) = -8.$
4. Hai số khác dấu nên thương mang dấu âm: $54 : (-6) = -(54 : 6) = -9.$
5. Số $0$ chia cho số nguyên âm khác $0$: $0 : (-17) = 0.$

2. Ước và bội của một số nguyên

Ghi nhớ

Định nghĩa ước và bội: Khi $a \ \vdots \ b$ (với $b \neq 0$), ta nói:

• $a$ là một bội của $b$.
• $b$ là một ước của $a$.

Tính chất đối xứng dấu của ước và bội

1. Nếu $a$ là một bội của $b$ thì $-a$ cũng là một bội của $b$.
2. Nếu $b$ là một ước của $a$ thì $-b$ cũng là một ước của $a$.

Do đó, các ước của một số nguyên khác $0$ luôn xuất hiện theo từng cặp số đối nhau $d$ và $-d$. Để viết gọn, ta sử dụng kí hiệu $\pm d$ (đọc là "cộng trừ $d$", nghĩa là gồm cả $d$ và $-d$).

Quan trọng

Quy tắc tìm tập hợp ước của số nguyên $a \neq 0$:

1. Bước 1: Tìm tất cả các ước nguyên dương của $|a|$ (chia $|a|$ lần lượt cho $1; 2; 3; \dots$).
2. Bước 2: Thêm các số đối của các ước vừa tìm được vào tập hợp.

Kí hiệu tập hợp các ước của $a$ là $\text{Ư}(a)$.

Ví dụ 2.

1. Viết tập hợp tất cả các ước của $15$ và tập hợp các ước của $-18$.
2. Tìm $5$ số nguyên là bội của $-6$.

Lời giải: 1.

• Giá trị tuyệt đối $|15| = 15$. Các ước dương của $15$ là $1; 3; 5; 15$. Thêm các số đối, ta có:$$\text{Ư}(15) = \{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\} = \{-15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15\}.$$
• Giá trị tuyệt đối $|-18| = 18$. Các ước dương của $18$ là $1; 2; 3; 6; 9; 18$. Thêm các số đối, ta có:$$\text{Ư}(-18) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6; \pm 9; \pm 18\}.$$

2. Để tìm bội của $-6$, ta nhân $-6$ lần lượt với các số nguyên $\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots$:

   • $(-6) \cdot 0 = 0;$
   • $(-6) \cdot 1 = -6;$
   • $(-6) \cdot (-1) = 6;$
   • $(-6) \cdot 2 = -12;$
   • $(-6) \cdot (-2) = 12.$

   Năm bội nguyên của $-6$ có thể chọn là: $-12; -6; 0; 6; 12.$

3. Tính chất chia hết trong tập hợp các số nguyên

Cho các số nguyên $a, b, c$ với $c \neq 0$:

1. Tính chất chia hết của một tổng và hiệu:
   • Nếu $a \ \vdots \ c$ và $b \ \vdots \ c$ thì $(a + b) \ \vdots \ c$ và $(a - b) \ \vdots \ c$.
   • Nếu $a \ \vdots \ c$ và $b \ \not\vdots \ c$ thì $(a + b) \ \not\vdots \ c$ và $(a - b) \ \not\vdots \ c$.
2. Tính chất chia hết của một tích:
   • Nếu $a \ \vdots \ b$ thì $(a \cdot m) \ \vdots \ b$ với mọi số nguyên $m$.
   • Nghĩa là: Trong một tích các số nguyên, chỉ cần có ít nhất một thừa số chia hết cho $b$ thì cả tích đó chia hết cho $b$.
3. Tính chất bắc cầu:
   • Nếu $a \ \vdots \ b$ và $b \ \vdots \ c$ thì $a \ \vdots \ c$.

Lưu ý / Cảnh báo

5 Cạm bẫy học sinh rất hay mắc phải:

1. Quên ước âm: Rất nhiều bạn chỉ viết các ước dương như hồi Tiểu học. Luôn nhớ rằng trong $\mathbb{Z}$, ước luôn đi kèm số âm đối xứng!
2. Số 0 không thể là ước: Số $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$ ($0 = b \cdot 0$), nhưng $0$ không thể là ước của bất kỳ số nào (vì không có phép chia cho $0$).
3. Số 1 và -1: Hai số $1$ và $-1$ là ước của mọi số nguyên.
4. Tập bội là vô hạn: Tập hợp các bội của một số nguyên khác $0$ kéo dài vô tận về cả chiều dương và chiều âm.
5. Nhầm chiều kí hiệu: Kí hiệu $a \ \vdots \ b$ đọc là "$a$ chia hết cho $b$" ($a$ là số bị chia). Khác với $b \mid a$ ("$b$ là ước của $a$").

B. Bảng so sánh và sơ đồ kiến thức trọng tâm

Bảng tóm tắt mối quan hệ giữa phép nhân và phép chia trên tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$:

C. Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải chi tiết

Dạng 1. Thực hiện phép chia hết — Xét quan hệ chia hết

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định dấu của thương bằng quy tắc dấu (cùng dấu $\to +$, khác dấu $\to -$).
• Bước 2: Lấy phần tự nhiên của số bị chia chia cho phần tự nhiên của số chia: $|a| : |b|$.
• Để kiểm tra $a$ có chia hết cho $b$ hay không, ta kiểm tra xem phép chia $|a| : |b|$ có phải là phép chia hết hay không.

Bài toán 1.1 (Thực hiện phép tính)

Tính giá trị các biểu thức sau:

1. $A = (-84) : 7;$
2. $B = (-96) : (-8);$
3. $C = 105 : (-15);$
4. $D = [(-45) + (-27)] : (-9);$
5. $E = (-120) : (-4) : (-5).$

Lời giải:

1. Khác dấu nên thương mang dấu âm:$$A = -(84 : 7) = -12.$$
2. Cùng dấu âm nên thương mang dấu dương:$$B = 96 : 8 = 12.$$
3. Khác dấu nên thương mang dấu âm:$$C = -(105 : 15) = -7.$$
4. Thực hiện phép tính trong ngoặc vuông trước:$$(-45) + (-27) = -72.$$Sau đó thực hiện phép chia cùng dấu:$$D = (-72) : (-9) = 72 : 9 = 8.$$
5. Thực hiện từ trái sang phải:$$(-120) : (-4) = 30.$$Tiếp tục lấy $30 : (-5) = -6.$ Vậy $E = -6.$

Bài toán 1.2 (Xét tính chia hết)

Trong các số $-28; 0; 14; -35; 42$:

1. Những số nào chia hết cho $7$?
2. Những số nào chia hết cho $-4$?

Lời giải:

1. Ta xét từng số với $7$:

   • $(-28) = 7 \cdot (-4) \implies -28 \ \vdots \ 7.$
   • $0 = 7 \cdot 0 \implies 0 \ \vdots \ 7.$
   • $14 = 7 \cdot 2 \implies 14 \ \vdots \ 7.$
   • $(-35) = 7 \cdot (-5) \implies -35 \ \vdots \ 7.$
   • $42 = 7 \cdot 6 \implies 42 \ \vdots \ 7.$

   Vậy tất cả các số đã cho $\{-28; 0; 14; -35; 42\}$ đều chia hết cho $7$.

2. Ta xét từng số với $-4$:

   • $(-28) = (-4) \cdot 7 \implies -28 \ \vdots \ (-4).$
   • $0 = (-4) \cdot 0 \implies 0 \ \vdots \ (-4).$
   • $14$ không chia hết cho $4$ (vì $14 = 4 \cdot 3 + 2$) nên $14 \ \not\vdots \ (-4).$
   • $-35$ không chia hết cho $4$ nên $-35 \ \not\vdots \ (-4).$
   • $42$ không chia hết cho $4$ (vì $42 = 4 \cdot 10 + 2$) nên $42 \ \not\vdots \ (-4).$

   Vậy các số chia hết cho $-4$ là: $-28$ và $0$.

Dạng 2. Tìm tập hợp các ước và bội của một số nguyên

Phương pháp giải:

• Tìm tập ước: Tìm tất cả ước dương của $|a|$, sau đó lấy thêm số đối của chúng.$$\text{Ư}(a) = \{\pm d_1; \pm d_2; \dots\}.$$
• Tìm tập bội: Nhân số đó với $k \in \mathbb{Z}$ ($\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots$). Chú ý điều kiện chặn khoảng hoặc bất đẳng thức của đề bài.

Bài toán 2.1

1. Tìm tất cả các ước của các số nguyên sau: $11; -14; 24; -36$.
2. Viết tập hợp các bội của $-8$ nằm trong khoảng từ $-30$ đến $30$.

Lời giải: 1.

• Với số $11$: Ước dương là $1; 11$. Do đó:$$\text{Ư}(11) = \{\pm 1; \pm 11\}.$$
• Với số $-14$: $|-14| = 14$. Ước dương của $14$ là $1; 2; 7; 14$. Do đó:$$\text{Ư}(-14) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14\}.$$
• Với số $24$: Ước dương là $1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24$. Do đó:$$\text{Ư}(24) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \pm 12; \pm 24\}.$$
• Với số $-36$: $|-36| = 36$. Ước dương là $1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36$. Do đó:$$\text{Ư}(-36) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 9; \pm 12; \pm 18; \pm 36\}.$$

2. Bội của $-8$ có dạng $-8k$ với $k \in \mathbb{Z}$: Lần lượt nhân $-8$ với $\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots$, ta thu được các bội:$$\dots; 24; 16; 8; 0; -8; -16; -24; -32; \dots$$Điều kiện đề bài yêu cầu: $-30 < x < 30$. Vậy các bội thỏa mãn là:$$\{-24; -16; -8; 0; 8; 16; 24\}.$$

Dạng 3. Tìm số nguyên $x$ trong đẳng thức (áp dụng phép chia)

Phương pháp giải:

• Biến đổi đưa đẳng thức về dạng cơ bản $a \cdot x = b$ (với $a \neq 0$).
• Nếu $b \ \vdots \ a$ thì $x = b : a$. Chú ý xác định đúng dấu của thương.
• Nếu $b \ \not\vdots \ a$ thì không có số nguyên $x$ thỏa mãn bài toán.

Bài toán 3.1

Tìm số nguyên $x$, biết:

1. $(-7) \cdot x = 63;$
2. $x \cdot (-9) = -108;$
3. $15x + 135 = 45;$
4. $(-8)x - 25 = (-3) \cdot (-7) + 10.$

Lời giải:

1. $(-7) \cdot x = 63$

   $$x = 63 : (-7)$$$$x = -9.$$

   Vậy $x = -9.$

2. $x \cdot (-9) = -108$

   $$x = (-108) : (-9)$$$$x = 12.$$

   Vậy $x = 12.$

3. $15x + 135 = 45$

   $$15x = 45 - 135$$$$15x = -90$$$$x = (-90) : 15$$$$x = -6.$$

   Vậy $x = -6.$

4. $(-8)x - 25 = (-3) \cdot (-7) + 10$

   $$(-8)x - 25 = 21 + 10$$$$(-8)x - 25 = 31$$$$(-8)x = 31 + 25$$$$(-8)x = 56$$$$x = 56 : (-8)$$$$x = -7.$$

   Vậy $x = -7.$

Dạng 4. Tìm cặp số nguyên $(x; y)$ khi biết tích

Phương pháp giải:

• Đưa phương trình về dạng tích: $X \cdot Y = k$ (với $k \in \mathbb{Z}$ là hằng số đã biết).
• Suy ra $X$ và $Y$ phải là các ước nguyên của $k$: $X \in \text{Ư}(k)$ và $Y = k : X$.
• Lập bảng liệt kê tất cả các khả năng của $X$, từ đó tìm ra $Y$, rồi giải tìm $x$ và $y$.
• Kiểm tra các điều kiện phụ của đề bài (ví dụ: $x < y$, hoặc $x, y > 0$).

Bài toán 4.1

Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn:

1. $x \cdot y = -10;$
2. $(x - 1)(y + 2) = 7;$
3. $(2x + 1)(y - 3) = -12.$

Lời giải:

1. Vì $x \cdot y = -10$ nên $x \in \text{Ư}(-10) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10\}$. Ta có bảng giá trị tương ứng:

Vậy các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn là:

2. Vì $(x - 1)(y + 2) = 7$ nên $x - 1$ và $y + 2$ là các ước của $7$. Tập hợp các ước của $7$ là $\text{Ư}(7) = \{1; -1; 7; -7\}$. Ta lập bảng:

Vậy các cặp $(x; y)$ thỏa mãn là:

3. Vì $(2x + 1)(y - 3) = -12$ nên $2x + 1$ là ước của $-12$. Đặc biệt, $2x + 1$ là một số nguyên lẻ (vì $2x$ chẵn $\implies 2x + 1$ lẻ). Các ước lẻ của $-12$ chỉ gồm: $\{1; -1; 3; -3\}$. Nhờ nhận xét này, ta rút ngắn bảng xét trường hợp:

Vậy có $4$ cặp số nguyên thỏa mãn:

Dạng 5. Xét tính chia hết của tổng, hiệu, tích không qua tính toán

Phương pháp giải:

• Dùng tính chất chia hết của tổng: Nếu tất cả các số hạng của tổng (hiệu) đều chia hết cho $m$ thì tổng (hiệu) chia hết cho $m$.
• Nếu có đúng một số hạng không chia hết cho $m$, các số hạng còn lại đều chia hết cho $m$ thì tổng (hiệu) không chia hết cho $m$.
• Dùng tính chất chia hết của tích: Chỉ cần một thừa số chia hết cho $m$ thì cả tích chia hết cho $m$.

Bài toán 5.1

Không thực hiện tính giá trị biểu thức, hãy giải thích vì sao:

1. Tổng $A = (-36) + 48 + (-84)$ chia hết cho $12$;
2. Hiệu $B = (-50) - 17$ không chia hết cho $5$;
3. Tích $C = (-14) \cdot 25 \cdot (-33)$ chia hết cho $7$ và chia hết cho $11$.

Lời giải:

1. Ta xét từng số hạng của tổng $A$:

   • $(-36) = 12 \cdot (-3) \implies -36 \ \vdots \ 12;$
   • $48 = 12 \cdot 4 \implies 48 \ \vdots \ 12;$
   • $(-84) = 12 \cdot (-7) \implies -84 \ \vdots \ 12.$

   Vì cả ba số hạng đều chia hết cho $12$ nên tổng $A \ \vdots \ 12.$

2. Ta xét từng số hạng của hiệu $B$:

   • $(-50) = 5 \cdot (-10) \implies -50 \ \vdots \ 5;$
   • $17$ không chia hết cho $5$ ($17 \ \not\vdots \ 5$).

   Một số hạng chia hết cho $5$, số hạng còn lại không chia hết cho $5$ nên hiệu $B \ \not\vdots \ 5.$

3. Trong tích $C$:

   • Có thừa số $-14$ chia hết cho $7$ (vì $-14 = 7 \cdot (-2)$) nên tích $C \ \vdots \ 7.$
   • Có thừa số $-33$ chia hết cho $11$ (vì $-33 = 11 \cdot (-3)$) nên tích $C \ \vdots \ 11.$

Dạng 6. Ứng dụng thực tế của phép chia và ước bội số nguyên

Bài toán 6.1 (Thâm hụt ngân sách cửa hàng)

Một cửa hàng kinh doanh hoa tươi trong quý I bị thua lỗ tổng cộng $36$ triệu đồng. Biết rằng số tiền lỗ được chia đều cho cả $3$ tháng trong quý.

1. Hãy dùng số nguyên để biểu diễn mức biến động lợi nhuận bình quân của cửa hàng trong mỗi tháng.
2. Sang quý II, cửa hàng đề ra mục tiêu: tổng lợi nhuận cả quý phải đạt $+45$ triệu đồng chia đều cho $3$ tháng. Hỏi mỗi tháng quý II cửa hàng phải tạo ra mức chênh lệch lợi nhuận bao nhiêu so với mỗi tháng của quý I?

Lời giải:

1. Cửa hàng thua lỗ $36$ triệu đồng, nghĩa là biến động lợi nhuận cả quý I là $-36$ triệu đồng. Mức biến động lợi nhuận bình quân mỗi tháng trong quý I là:

   $$(-36) : 3 = -12\text{ (triệu đồng)}.$$

   Mỗi tháng trong quý I cửa hàng bị lỗ $12$ triệu đồng.

2. Mục tiêu bình quân mỗi tháng trong quý II là:

   $$45 : 3 = 15\text{ (triệu đồng)}.$$

   Mức chênh lệch lợi nhuận mỗi tháng của quý II so với quý I là:

   $$15 - (-12) = 15 + 12 = 27\text{ (triệu đồng)}.$$

   Vậy mỗi tháng quý II cửa hàng phải tăng thêm $27$ triệu đồng lợi nhuận so với quý I.

D. Phiếu bài tập tự luyện (10 bài độc bản kèm lời giải)

Đề bài phiếu tự luyện

Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:

1. $(-91) : 7;$
2. $(-144) : (-12);$
3. $85 : (-17);$
4. $0 : (-29).$

Bài 2. Viết tập hợp tất cả các ước của các số nguyên sau:

1. $-16;$
2. $27;$
3. $-45.$

Bài 3. Điền số nguyên thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên $x$ là bội của $-7$ sao cho $-25 < x \le 28$.

Bài 5. Trong các số $-42; -18; 0; 15; 36; -77$:

1. Những số nào chia hết cho $-6$?
2. Những số nào chia hết cho $9$?

Bài 6. Tìm số nguyên $x$, biết:

1. $(-9) \cdot x = 72;$
2. $6x - 14 = -50;$
3. $(-5)x + 23 = (-4) \cdot (-8) + 11.$

Bài 7. Bạn Minh khẳng định: "Vì $12$ chia hết cho $4$ nên mọi ước của $12$ cũng đều chia hết cho $4$." Theo em, bạn Minh khẳng định đúng hay sai? Hãy lấy ví dụ minh họa để giải thích.

Bài 8. Không làm phép tính cụ thể, hãy xét xem:

1. $M = (-35) + 70 - 105$ có chia hết cho $7$ không?
2. $N = 4 \cdot (-9) \cdot 13 + 28$ có chia hết cho $4$ không? Có chia hết cho $9$ không?

Bài 9. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn:

Bài 10. Tìm các số nguyên $x, y$ sao cho:

Lời giải chi tiết phiếu tự luyện

Bài 1.

1. $(-91) : 7 = -(91 : 7) = -13.$
2. $(-144) : (-12) = 144 : 12 = 12.$
3. $85 : (-17) = -(85 : 17) = -5.$
4. $0 : (-29) = 0.$

Bài 2.

1. $|-16| = 16$. Các ước dương của $16$ là $1; 2; 4; 8; 16$.$$\text{Ư}(-16) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8; \pm 16\}.$$
2. Các ước dương của $27$ là $1; 3; 9; 27$.$$\text{Ư}(27) = \{\pm 1; \pm 3; \pm 9; \pm 27\}.$$
3. $|-45| = 45$. Các ước dương của $45$ là $1; 3; 5; 9; 15; 45$.$$\text{Ư}(-45) = \{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 9; \pm 15; \pm 45\}.$$

Bài 3.

• Cột 1: $a : b = (-24) : (-6) = 4.$
• Cột 2: Ta có $a : (-8) = 12 \implies a = 12 \cdot (-8) = -96.$
• Cột 3: $a : b = (-90) : 15 = -6.$
• Cột 4: $a : b = 0 : (-19) = 0.$

Bảng kết quả hoàn chỉnh:

Bài 4. Bội của $-7$ có dạng $-7k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Ta tìm các bội nguyên trong khoảng $(-25; 28]$:

Các giá trị này đều thỏa mãn $-25 < x \le 28$. Vậy $x \in \{-21; -14; -7; 0; 7; 14; 21; 28\}$.

Bài 5.

1. Các số chia hết cho $-6$ (chia hết cho cả $2$ và $3$):

   • $-42 = (-6) \cdot 7 \implies$ thỏa mãn;
   • $-18 = (-6) \cdot 3 \implies$ thỏa mãn;
   • $0 = (-6) \cdot 0 \implies$ thỏa mãn;
   • $15$ không chia hết cho $6$;
   • $36 = (-6) \cdot (-6) \implies$ thỏa mãn;
   • $-77$ không chia hết cho $6$.

   Vậy các số chia hết cho $-6$ là: $-42; -18; 0; 36.$

2. Các số chia hết cho $9$:

   • $-18 = 9 \cdot (-2) \implies$ thỏa mãn;
   • $0 = 9 \cdot 0 \implies$ thỏa mãn;
   • $36 = 9 \cdot 4 \implies$ thỏa mãn.

   Vậy các số chia hết cho $9$ là: $-18; 0; 36.$

Bài 6.

1. $(-9) \cdot x = 72$

   $$x = 72 : (-9) = -8.$$

2. $6x - 14 = -50$

   $$6x = -50 + 14$$$$6x = -36$$$$x = (-36) : 6 = -6.$$

3. $(-5)x + 23 = (-4) \cdot (-8) + 11$

   $$(-5)x + 23 = 32 + 11$$$$(-5)x + 23 = 43$$$$(-5)x = 43 - 23$$$$(-5)x = 20$$$$x = 20 : (-5) = -4.$$

Bài 7. Bạn Minh khẳng định sai. Giải thích và phản ví dụ: Số $6$ là một ước của $12$ (vì $12 \ \vdots \ 6$), nhưng $6$ không hề chia hết cho $4$ ($6 : 4 = 1$ dư $2$). Tương tự, các ước khác như $1; 2; 3; -1; -2; -3; -6$ của $12$ đều không chia hết cho $4$. (Lưu ý: Mọi bội của $12$ mới chia hết cho $4$, chứ ước của $12$ thì không nhất thiết chia hết cho $4$).

Bài 8.

1. Ta có: $-35 = 7 \cdot (-5) \ \vdots \ 7;$ $70 = 7 \cdot 10 \ \vdots \ 7;$ $105 = 7 \cdot 15 \ \vdots \ 7.$ Do cả ba số hạng đều chia hết cho $7$ nên $M \ \vdots \ 7.$

2. Xét biểu thức $N = 4 \cdot (-9) \cdot 13 + 28$:

   • Tích $4 \cdot (-9) \cdot 13$ có thừa số $4$ nên chia hết cho $4$; số hạng $28 = 4 \cdot 7$ cũng chia hết cho $4$. Do đó $N \ \vdots \ 4.$
   • Tích $4 \cdot (-9) \cdot 13$ có thừa số $-9$ nên chia hết cho $9$; tuy nhiên số hạng $28$ không chia hết cho $9$ ($28 = 9 \cdot 3 + 1$). Một số hạng chia hết cho $9$, số hạng còn lại không chia hết nên $N \ \not\vdots \ 9.$

Bài 9. Vì $x, y$ là các số nguyên và $x \cdot y = -14$ nên $x$ là ước của $-14$. Ta có $\text{Ư}(-14) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 7; \pm 14\}$. Vì tích âm nên $x$ và $y$ trái dấu. Ta lập danh sách các cặp $(x; y)$:

Có tất cả $8$ cặp số nguyên thỏa mãn.

Bài 10. Vì $(x + 2)(y - 5) = 8$ nên $x + 2$ và $y - 5$ là các ước nguyên của $8$. Ta có $\text{Ư}(8) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8\}$. Lập bảng tính giá trị của $x$ và $y$: